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2023年人教版七年级上册同步讲义：05 绝对值问题
学习目标
1．理解绝对值的概念及其几何意义，通过从数、形两个方面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法；
2．会求一个数的绝对值，知道一个数的绝对值，会求这个数；
3．通过应用绝对值解决实际问题，培养学生的学习兴趣，提高学生对数学的好奇心和求知欲．　　
知识方法解读
知识点1.绝对值
1. 概念：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记做|a|
2.几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
3.绝对值的性质（代数意义）：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
即（1）如果a＞0，那么|a| =a
（2）如果a=0，那么|a| =0
（3）如果a＜0，那么|a| =-a
知识点2.利用绝对值比较两个有理数的方法
1. 两个负数比较，绝对值大的反而小。
2. 两个正数比较，绝对值大数越大。
知识点3.对含有字母的绝对值化简求值
1. 首先判断这个数是正数、负数还是0.
2. 再根据绝对值的意义判断去掉绝对值的符号。
【知识拓展】
1）非负数的绝对值等于他本身，即a≥0 |a|=a。
2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a≤0 |a|=-a。
3) 一个数的绝对值不可能为负数。
4) 一个负数的绝对值是它的相反数。
【知识总结】
1.任何一个有理数的绝对值都是非负数，|a|≥0
2.相反数、绝对值的联系是什么？
（1）互为相反数的两个数的绝对值相等.
（2）绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
3.几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
4.注意绝对值等于某个正数的数有两个，他们互为相反数，解题时不要遗漏负值.
考点解析
考点1. 绝对值的意义及求法
【类型1】 求一个数的绝对值
【例题1】－3的绝对值是(　　)
A．3 B．－3 C．－ D.
【类型2】 利用绝对值求有理数
【例题2】如果一个数的绝对值等于，则这个数是__________．
【类型3】 化简绝对值
【例题3】化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．
考点2. 绝对值的性质及应用
【类型1】 绝对值的非负性及应用
【例题4】若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．
【类型2】 绝对值在实际问题中的应用
【例题5】第53届世乒赛于2015年4月26日至5月3日在苏州举办，此次比赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数).
一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球
－0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15
(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．
考点精练
一、选择题
1．若数轴上表示﹣1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是( )
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2．（2022广东）的值等于（ ）
A. 2 B. C. D. ﹣2
3．下列说法正确的是（ ）
A．一个数的绝对值一定比0大
B．一个数的相反数一定比它本身小
C．绝对值等于它本身的数一定是正数
D．最小的正整数是1
4. 若|x|=4，且x+y=0，那么y的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．无法确定
5. 已知，，且，则的值为（ ）
A．1或7 B．1或-7 C．±1 D．±7
6. -2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
7. （2022广西百色）﹣2023的绝对值等于（ ）
A. ﹣2023 B. 2023 C. 土2023 D. 2022
8. （2022黑龙江绥化）化简，下列结果中，正确的是（ ）
A. B. C. 2 D. -2
9. （2022湖南邵阳）－2022的绝对值是（ ）
A. B. C. －2022 D. 2022
10. （2022四川南充）下列计算结果为5的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
1．写出一个负数，使这个数的绝对值小于3__________．
2．计算：__________.
3.已知|a+2|=0，则a= ．
4．在数轴上点P到原点的距离为5，点P表示的数是 ．
5．绝对值不大于2的所有整数为 ．
6. 若，则________．
7. 化简：
（1） ；
（2） ；
（3） .
8．绝对值不大于2的所有整数为__________．
9. ﹣的绝对值是_____．
10. 的绝对值是________．
11. （2022湖南常德）|－6|＝______．
三、解答题
1. 求下列各数的绝对值.
12， -3/5 -7.5， 0.
2..判断对错
（1）一个数的绝对值是4 ，则这数是－4. 　　　　　　　 　　　　　　　　　
（2）|3|＞0.　　　　　　
（3）|－1.3|＞0.
（4）有理数的绝对值一定是正数.　
（5）若a＝－b，则|a|＝|b|.　　　　　　　　
（6）若|a|＝|b|，则a＝b.
（7）若|a|＝－a，则a必为负数.　　　　 　
（8）互为相反数的两个数的绝对值相等.
3．若|x|=4，且x+y=0，求y的值。
答案解析
考点解析
考点1. 绝对值的意义及求法
【类型1】 求一个数的绝对值
【例题1】－3的绝对值是(　　)
A．3 B．－3 C．－ D.
【答案】A
【解析】根据一个负数的绝对值是它的相反数，所以－3的绝对值是3.故选A.
【方法总结】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【类型2】 利用绝对值求有理数
【例题2】如果一个数的绝对值等于，则这个数是__________．
【答案】或－.
【解析】∵或－的绝对值都等于，∴绝对值等于的数是或－.
【方法总结】解答此类问题容易漏解、考虑问题不全面，所以一定要记住：绝对值等于某一个数的值有两个，它们互为相反数，0除外．
【类型3】 化简绝对值
【例题3】化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．
【答案】见解析。
【解析】|－|＝；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2.
方法总结：根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a.
考点2. 绝对值的性质及应用
【类型1】 绝对值的非负性及应用
【例题4】若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．
【答案】a＝3，b＝2015.
【解析】由绝对值的性质可知|a－3|≥0，|b－2015|≥0，则有|a－3|＝|b－2015|＝0.
由绝对值的性质得|a－3|≥0，|b－2015|≥0，又因为|a－3|＋|b－2015|＝0，所以|a－3|＝0，|b－2015|＝0，所以a＝3，b＝2015.
【方法总结】如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0.
【类型2】 绝对值在实际问题中的应用
【例题5】第53届世乒赛于2015年4月26日至5月3日在苏州举办，此次比赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数).
一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球
－0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15
(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．
(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克．
(2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球
|－0.15|＝0.15，合格品．
【方法总结】判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．
考点精练
一、选择题
1．若数轴上表示﹣1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是( )
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】D
【解析】本题考查数轴上两点间的距离，解题的关键是要明确两点之间的距离等于表示这两点的数的差的绝对值．AB=|﹣1﹣3|=4，
2．（2022广东）的值等于（ ）
A. 2 B. C. D. ﹣2
【答案】A
【解析】根据数轴上某个点与原点的距离叫做这个点表示的数的绝对值的定义，
在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，
所以，故选A．
3．下列说法正确的是（ ）
A．一个数的绝对值一定比0大
B．一个数的相反数一定比它本身小
C．绝对值等于它本身的数一定是正数
D．最小的正整数是1
【答案】D．
【解析】分别利用绝对值以及有理数和相反数的定义分析得出即可．
A．一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B．一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C．绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D．最小的正整数是1，正确．
4. 若|x|=4，且x+y=0，那么y的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．无法确定
【答案】C．
【解析】首先根据绝对值的性质可得x=±4，再根据x+y=0分情况计算即可．
∵|x|=4，
∴x=±4，
∵x+y=0，
∴当x=4时，y=﹣4，
当x=﹣4时，y=4。
5. 已知，，且，则的值为（ ）
A．1或7 B．1或-7 C．±1 D．±7
【答案】D
【解析】根据绝对值的意义，结合，求出a、b的值，然后即可得到答案．
∵，，
∴，，
∵，
∴，或，；
∴；
或；
∴；故选：D．
6. -2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．
7. （2022广西百色）﹣2023的绝对值等于（ ）
A. ﹣2023 B. 2023 C. 土2023 D. 2022
【答案】B
【解析】利用绝对值的代数意义，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，据此直接计算即可．
根据绝对值的定义可得
【点睛】本题考查绝对值的代数意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．
8. （2022黑龙江绥化）化简，下列结果中，正确的是（ ）
A. B. C. 2 D. -2
【答案】A
【解析】根据绝对值的运算法则，求出绝对值的值即可．
故选：A．
【点睛】本题考查根据绝对值的意义求一个数的绝对值，求一个数的绝对值：①当a是正数时，│a│=a；②当a是负数时，│a│=-a；③当a=0时，│0│=0．掌握求一个数的绝对值的方法是解答本题的关键．
9. （2022湖南邵阳）－2022的绝对值是（ ）
A. B. C. －2022 D. 2022
【答案】D
【解析】直接利用绝对值定义判断即可．
-2022的绝对值是2022，故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，明确负数的绝对值等于它的相反数是解题关键．
10. （2022四川南充）下列计算结果为5的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据去括号法则及绝对值化简依次计算判断即可．
A.-（+5）=-5，不符合题意；
B.+（-5）=-5，不符合题意；
C.-(-5)=5，符合题意；
D.，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查去括号法则及化简绝对值，熟练掌握去括号法则是解题关键．
二、填空题
1．写出一个负数，使这个数的绝对值小于3__________．
【答案】-1
【解析】一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
根据绝对值的定义及有理数的大小比较方法求解即可．
∵|-1|=1，1<3，∴这个负数可以是-1．故答案为：-1（答案不唯一）．
2．计算：__________.
【答案】8
【解析】根据绝对值的性质解答即可．
|﹣8|=8．
3.已知|a+2|=0，则a= ．
【答案】 2．
【解析】根据绝对值的意义得出a+2=0，即可得出结果．
由绝对值的意义得：a+2=0，
解得：a= 2；
4．在数轴上点P到原点的距离为5，点P表示的数是 ．
【答案】±5．
【解析】根据数轴上各点到原点距离的定义进行解答．即数轴上各点到原点的距离等于各点所表示的数绝对值．
∵在数轴上点P到原点的距离为5，即|x|=5，
∴x=±5．
5．绝对值不大于2的所有整数为 ．
【答案】0，±1，±2．
【解析】找出绝对值不大于2的所有整数即可．
绝对值不大于2的所有整数为0，±1，±2．
6. 若，则________．
【答案】-6
【解析】一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。
∵，∴，，
∴=2，，∴.故答案为-6.
7. 化简：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】 （1）-5，（2）5，（3）
【解析】本题考查的是绝对值、相反数的意义.
8．绝对值不大于2的所有整数为__________．
【答案】0，±1，±2．
【解析】找出绝对值不大于2的所有整数即可．
绝对值不大于2的所有整数为0，±1，±2．
【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键．
9. ﹣的绝对值是_____．
【答案】
【解析】绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示．|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离.
﹣的绝对值是|﹣|=
【点睛】本题考查的是绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.
10. 的绝对值是________．
【答案】
【解析】根据绝对值的意义，实数的绝对值永远是非负数，负数的绝对值是它的相反数，即可得解．
根据负数的绝对值是它的相反数，得
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
11. （2022湖南常德）|－6|＝______．
【答案】6
【解析】根据绝对值的意义，直接求解即可．
故答案为6．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；理解绝对值的意义是解题的关键．
三、解答题
1. 求下列各数的绝对值.
12， -3/5 -7.5， 0.
【答案】见解析。
【解析】正数的绝对值等于它本身，|12|=12；
负数的绝对值等于它的相反数，|-3/5|=3/5， |-7.5|=7.5；
0的绝对值是0，|0|=0.
2..判断对错
（1）一个数的绝对值是4 ，则这数是－4. 　　　　　　　 　　　　　　　　　
（2）|3|＞0.　　　　　　
（3）|－1.3|＞0.
（4）有理数的绝对值一定是正数.　
（5）若a＝－b，则|a|＝|b|.　　　　　　　　
（6）若|a|＝|b|，则a＝b.
（7）若|a|＝－a，则a必为负数.　　　　 　
（8）互为相反数的两个数的绝对值相等.
【答案】（1）错误。（2）正确。（3）正确。（4）错误。
（5）正确。（6）错误。（7）错误。（8）正确。
【解析】（1）一个数的绝对值是4 ，则这数可能是4，也可能是－4. 　　　　
（2）|3|＞0.　正确。　　　　　
（3）|－1.3|＞0.正确。
（4）0是有理数，其绝对值等于0.所以有理数的绝对值一定是正数说法错误.　
（5）若a＝－b，则|a|＝|b|.　正确。　　　　　　　
（6）若|a|＝|b|，则a＝b.
a=1,b=-1, |a|＝|b|，这时a,b不相等。
（7）若|a|＝－a，a=0，|a|＝－a，则a必为负数说法错误.　　　　 　
（8）互为相反数的两个数的绝对值相等.正确。
3．若|x|=4，且x+y=0，求y的值。
【答案】±4
【解析】首先根据绝对值的性质可得x=±4，再根据x+y=0分情况计算即可．
∵|x|=4，
∴x=±4，
∵x+y=0，
∴x与y是互为相反数，
∴当x=4时，y=﹣4，
当x=﹣4时，y=4，
所以y的值为±4。
【点评】此题主要考查了绝对值，关键是熟悉绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．

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