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初升高之集合的概念
资料编号:202307211812
一、本节知识要点
（1）集合的含义与表示;
（2）元素与集合之间的关系与表示;
（3）集合元素的三个基本性质;
（4）常用数集的表示;
（5）集合的两种表示方法（列举法和描述法）;
（6）集合的分类.
二、集合的含义与表示
一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
集合用大写字母来表示,集合的元素用小写字母来表示.
三、元素与集合之间的关系与表示
元素与集合之间是从属关系:若元素在集合A中,就说元素属于集合A,记作;若元素不在集合A中,则称元素不属于集合A,记作.
要求会判断元素与集合之间的从属关系.
四、集合元素的三个基本性质
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
确定性 给定一个集合,它的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合,也就确定了.
互异性 给定一个集合,它的元素是互不相同的.即同一个集合中的元素不能重复出现.
在用列举法表示集合时,相同的元素算作集合的一个元素.
无序性 集合中的元素是没有顺序的.
如果构成两个集合的元素是相同的,那么就称这两个集合相等.
五、常用数集的表示
自然数集N; 正整数集N+或N*; 整数集Z; 有理数集Q; 实数集R.
六、集合的两种表示方法
集合有两种常用表示方法,即列举法和描述法.此外还有韦恩图法（Venn图法）.
列举法
把集合的元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
用列举法表示集合时要注意以下几点:
（1）元素之间必须用逗号隔开;
（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）;
（3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）;
（4）表示有规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,如﹛1 , 2 , 3 , … ﹜;
（5）注意与的表示是有区别的:表示的是一个元素,表示的是只有一个元素的集合.二者具有从属关系,及.
列举法常用来表示有限集或有规律的无限集.
描述法
定义 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.记作,其中为集合的代表元素,I表示元素的取值范围,表示集合的元素所具有的共同特征.
第二定义 用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法,称为描述法.
注意:“共同特征”或“确定的条件”可以说是方程,也可以是不等式（组）等.如集合,集合.
用描述法表示集合时要注意以下几点:
（1）写清集合中的代表元素,如实数或有序实数对,从而正确表示数集和点集;
（2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征;
（3）不能出现未被说明的字母,如集合中的未被说明,应正确表示为或;
（4）元素的取值范围,从上、下文来看,如果是明确的,可以省略.
如集合,也可以写作.
（5）出现多层描述时,应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词;
（6）所有描述的内容都要写在大括号内;
（7）识别描述法表示的集合时,要看清代表元素,正确区分数集和点集.
当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时,适合用描述法来表示集合.
例1. 用两种方法表示二元一次方程组的解.
注意:二元一次方程组的解是有序实数对,所以在表示二元一次方程组的解时,要表示为点集的形式.
解:解二元一次方程组得:
用列举法表示为,用描述法表示为.
提示:与表示的是两个不同的集合.
例2. 指出集合与集合的区别.
注意:区分数集和点集的关键在于代表元素.用描述法表示集合时记作,其中表示的就是代表元素,它可以是一个数字（数集）,也可以是有序实数对（点集）.
解:集合表示的是一个数集,它表示函数解析式中自变量的取值范围,所以R;
集合表示的是一个点集,它表示函数的图象上所有点的坐标.
例3. 用合适的方法表示下列集合:
（1）文房四宝;
（2）2019年9月3日,新乡市平原示范区所辖乡镇;
（3）平面直角坐标系中,第二象限的点构成的集合.
注意:在用列举法表示集合时,元素之间必须用逗号隔开,不要用错标点符号.点集的代表元素为有序实数对.
解:（1）;
（2）;
（3）.
例4. 分别用列举法和描述法表示下列集合:
（1）方程的所有实数根组成的集合;
（2）由大于10小于15的所有整数组成的集合.
注意:在用描述法表示集合时,代表元素的取值范围,如果从上、下文来看是明确的,可以省略.
解:（1）列举法:;
描述法:或.
（2）列举法:﹛11 , 12 , 13 , 14﹜;
描述法:.
七、集合的分类
集合按所含元素个数的多少可以分为有限集、无限集和空集
含有有限个元素的集合叫做有限集.含无限个元素的集合叫做无限集.
不含任何元素的集合叫做空集,记作.
如方程的实数根组成的集合就是一个空集,即.
八、重要结论:
判断形如的方程的实数根的个数的方法是:
（1）当时,方程可化为的形式:
①当时,方程有唯一一个实数根;
②当时,方程有无数个实数根;
③当时,方程没有实数根;
（2）当时,原方程为关于的一元二次方程:
①若,则方程有两个不相等的实数根;
②若,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数根组成的集合时,集合只有一个元素）;
③若,则方程没有实数根.
提示:在讨论集合元素的个数时,一定要注意分类讨论.
例5. 已知集合.
（1）若A中只有一个元素,求的值;
（2）若A中至多有一个元素,求的取值范围.
分析:先弄清楚集合A的本质.集合A是由方程的实数根组成的集合,该方程中含有参数,为含参方程.
（1）集合A中只有一个元素,指的是方程只有一个实数根,该方程可以是一次方程,也可以是二次方程,注意分类讨论;
（2）集合A中至多有一个元素,指的是方程只有一个实数根或没有实数根.
解:（1）当时,原方程可化为:,解之得:,集合,符合题意;
当时,∵只有一个实数根
∴,解之得:
综上,当或时, A中只有一个元素;
（2）当A中只有一个元素时,由（1）可知:或;
当A中没有元素时,即方程没有实数根
∴,解之得:
综上,当或≥1时,A中至多有一个元素.
例6. 实数集A满足条件:,若,则.
（1）若,求A;
（2）集合A能否为单元素集合 若能,求出A;若不能,请说明理由;
（3）求证:.
分析:本题重点考查集合元素的三个基本性质:确定性、互异性和无序性.
（1）解:∵, ∴
∵ ∴
∵ ∴
∴﹛2 , , ﹜;
（2）解:A不能为单元素集合.
理由如下:若A为单元素集合,则有,整理得:
∵
∴方程没有实数根
∴A不能 为单元素集合;
（3）证明:若,则
∴.
例7. 已知集合,若,求集合A.
分析:由题意可知集合A是由方程的实数根构成的,“”指的是是方程的一个实数根.
解:∵
∴是方程的一个实数根
∴
解之得:
∴原方程为:
解之得:
∴集合.
例8. 已知集合.
（1）当A中只有一个元素时,求的值,并求出此元素;
（2）当A中有两个元素时,求满足的条件;
（3）当A中至少有一个元素时,求满足的条件.
分析:集合A为含参方程的实数根构成的集合.因为方程所含参数为二次项系数,所以该方程可以是关于的一元一次方程,也可以是一元二次方程,所以在研究该方程的实数根时,要分为两种情况进行讨论.
（1）当A中只有一个元素时,说明方程只有一个实数根,此时;或该方程有两个相等的实数根,此时;
（2）当A中有两个元素时,说明方程为一元二次方程,此时,且方程有两个不相等的实数根;
（3）当A中至少有一个元素时,说明方程只有一个实数根或有两个不相等的实数根,为（1）问和（2）问结果的综合.
解:（1）分为两种情况:
①当时,原方程为:,解之得:
∴,符合题意;
②当时,由题意可知方程有两个相等的实数根
∴
解之得:
∴原方程为:
解之得:
∴.
综上,当时,集合A只有一个元素;当时,集合A只有一个元素;
（2）∵A中有两个元素
∴方程为一元二次方程,且有两个不相等的实数根
∴
解之得:且;
（3）∵A中至少有一个元素
∴A中有一个元素或有两个元素
当A中有一个元素时,由（1）可知:或;
当A中有两个元素时,由（2）可知:且.
综上,满足的条件是≥.
重要结论:
判断形如的方程的实数根的个数的方法是:
（1）当时,方程可化为的形式:
①当时,方程有唯一一个实数根;
②当时,方程有无数个实数根;
③当时,方程没有实数根;
（2）当时,原方程为关于的一元二次方程:
①若,则方程有两个不相等的实数根;
②若,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数根组成的集合时,集合只有一个元素）;
③若,则方程没有实数根.
例9. 已知,,当时,求集合B.
解:∵
∴方程,即有两个相等的实数根,且
由根与系数的关系定理可得:
解之得:
∴
整理得:
解方程得:
∴集合.
例10. 设,,,若,试用列举法表示集合B.
分析:本题要先由根与系数的关系定理求出的值,然后把集合B中的方程转化为关于的具体的一元二次方程,解方程即可求出集合B.
解:∵
∴
∵
∴是方程的两个实数根
由根与系数的关系定理可得:
解之得:,∴
解方程得:
∴集合.
例11. 已知集合中各元素之和等于3,求实数的值,并用列举法表示集合M.
分析:本题考查到集合元素的基本性质:互异性,注意分类讨论.
解:∵
∴
∵,且集合M中各元素之和等于3
∴当时,,,不符合题意;
当,即时,,,符合题意;
当且时,,由得,此时,符合题意.
综上,实数的值为2或,集合或.
提示:在用列举法表示有限集时,要注意集合元素的互异性.
题型二、集合元素的基本性质的应用
集合的元素具有确定性、互异性和无序性,其中对互异性的考查最为常见.
例12. 已知集合,若,求实数的值.
分析:由元素与集合之间的关系可求出实数的值,但要注意所求的值要保证集合A中的元素互不相同,即满足互异性,所以要对求得的的值进行检验.
解:当时,解之得:,此时,不满足元素的互异性,舍去;
当时,解之得:（已舍去）,
当时,,符合题意.
综上,实数的值为.
例13. 由实数所组成的集合中,含有元素的个数最多有【 】
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
分析:本题主要考查集合元素的互异性.
解:∵,
∴①当时,,
∴所组成的集合中含有2个元素;
②当时,所组成的集合中,只有一个元素0;
③当时,,
∴所组成的集合中含有2个元素.
综上,含有元素的个数最多有2个.选择【 A 】.
题型三、元素与集合的关系
元素与集合的关系是从属关系,只有元素属于集合和元素不属于集合两种关系.
判断一个元素是否属于集合的方法是:
（1）弄清集合代表元素的含义以及集合所含元素的共同特征;
（2）看元素是否满足集合元素的共同特征.
例14. 已知集合A满足条件:若,则.若,且集合A中的元素不超过4个,求集合A中的其它元素.
分析:根据“若,则”,将代入即可求出集合A的另一个元素,以此类推,可得集合A中的其它三个元素.
解:∵,∴
∴
∴
∴
……
∴集合A中的其它元素为2 , , .
例15. 已知集合,,若,则与N的关系是【 】
（A） （B）
（C）或 （D）不能确定
解:∵
∴集合M为全体奇数的一半所组成的集合
∵
∴集合N为全体整数的一半所组成的集合
∴若,则必有.选择【 A 】.
令解:
当时,;
当时,.
∵
可设,∴.
（由后面可知,集合M与集合N的关系为,所以若,则有）
例16. 已知集合,,则集合B中所有元素之和为_________.
分析:先解绝对值不等式,再用列举法表示出集合A.下面给你补充简单绝对值不等式的解法.
知识点 简单绝对值不等式的解法
（1）≥（≥0）型不等式的解法:≥（≥0）≥或≤.
（2）≤（≥0）型不等式的解法:≤（≥0）≤≤.
根据上面补充的结论,若,则≤≤2,解之得:≤≤3.
解:∵
∴,集合B中所有元素之和为18.
初升高之集合的概念测试题
资料编号:202307222203
1. 若为集合A的四个元素,则以为边长的四边形可能是 【 】
（A）矩形 （B）平行四边形 （C）菱形 （D）梯形
2. 方程组的解集是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
3. 已知集合,下列说法正确的是 【 】
（A） （B） （C） （D）
4. 集合的元素个数为 【 】
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
5. 已知集合A中的元素满足,且,则 【 】
（A） （B）≤2
（C）≤4 （D）2≤
6. 若,,则M中元素的个数为【 】
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
7.（多选题）下列说法中不正确的是 【 】
（A）0与表示同一个集合
（B）集合与表示同一个集合
（C）方程的所有解的集合可表示为
（D）集合不能用列举法表示
8. 已知集合,其中R.若1是集合A中的一个元素,则集合 【 】
（A） （B） （C） （D）
9. 已知为非零实数,集合,下列判断正确的是 【 】
（A） （B） （C） （D）
10.（多选题）给出下列说法,其中正确的是 【 】
（A）集合用列举法表示为
（B）实数集可以表示为或
（C）方程组的解组成的集合为
（D）方程 所有解组成的集合为
11. 已知集合,且,则实数的取值范围为________.
12. 已知集合,其中为常数,且R.若A中至多有一个元素,则实数的取值范围为____________.
13. 集合,若,则_________.
14. 已知集合,那么集合A用列举法可表示为__________.
15. 已知集合A中有且仅有2个元素,并且实数满足,
,且N,N,则____________.
16.（1）用列举法表示方程组的解组成的集合;
（2）用描述法表示不等式的解集.
17. 已知集合与集合是两个相等的集合,求的值.
18. 已知集合.
（1）若,用列举法表示集合A;
（2）当集合A中有且只有一个元素时,求的值组成的集合B.
初升高之集合的概念测试题答案解析
1. D 2. D 3. B 4. C 5. D 6. C 7. ABC
8. C 9. A 10. AD
11. 12. 13. 2 14.
15. 或
16. 解:（1）解方程组得:
∴方程组的解组成的集合为;
（2）解不等式得:
∴不等式的解集为.
17. 解:由题意可得:,∴
∴,
显然,,,∴,解之得:（舍去）
∴.
18. 解:（1）∵
∴是方程的实数根
∴,解之得:
∴,解之得:
∴;
（2）当时,,解之得:,∴,符合题意;
当时,方程有两个相等的实数根
∴,解之得:,∴,符合题意.
综上所述,的值组成的集合.
初升高之集合间的基本关系
一、本节知识点
（1）Venn图,表示集合的图示法;
（2）子集的含义及表示;
（3）集合相等;
（4）真子集的含义及表示;
（5）空集的含义及其性质;
（6）子集、真子集个数的确定.
知识点一 Venn图
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图（韦恩图）.这种表示集合的方法叫做图示法.
关于Venn图:
（1）Venn图的边界是封闭的曲线,它可以是椭圆、圆、矩形,也可以是其它的封闭曲线;
（2）用Venn图表示集合的优点是能直观地反映集合之间的关系,缺点是集合元素的共同特征不明显.
知识点二 子集的含义及表示
子集反映的是集合之间的包含关系.
一般地,对于两个集合A , B ,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作（或）,读作“A含于B”（或“B包含A”）.
对子集的理解:
(
B
A
（
B
）
A
)（1）的Venn图表示:
（2）的符号表述:对任意的,都有.
（3）若集合A中存在不属于集合B的元素时,则集合A不是集合B的子集.
（4）空集是任何集合的子集.
子集的性质:
（1）任何一个集合都是它本身的子集（包括后面的空集,即）;
（2）传递性:若,则.
子集的应用
根据集合之间的关系可以确定参数的值或取值范围.
若,在未指明A非空时,要分两种情况进行讨论:
①;
②.
知识点三 集合相等
如果集合A是集合B的子集（）,且集合B是集合A的子集（）,此时集合A与集合B的元素是一样的,集合A与集合B相等,记作.
上面也即互为子集的两个集合相等.
集合的符号表述:若,且,则.
如何证明两个集合相等
对于两个集合A , B ,若要证明,只需证明与均成立即可.
如何判断两个集合相等
（1）当两个集合为有限集时,若两个集合的元素个数相同,且都含有相同的元素,则这两个集合相等.
（2）当两个集合为无限集时,若两个集合的代表元素满足的条件一致,则两个集合相等.
注意:集合相等与集合的形式无关,形式不同的两个集合也可以相等.
如.
知识点四 真子集的含义及表示
如果集合,但存在元素,且,我们称集合A是集合B的真子集,记作（或）,读作“A真含于B”（或“B真包含A”）.
对真子集的理解:
(
B
A
)（1）的Venn图表示:
（2）的符号表述:若,且,则.
（3）若,则B中至少存在一个A中没有的元素.
（4）规定是任何非空集合的真子集,即若,则.
子集与真子集的关系
若,则或.
知识点五 空集的含义及其性质
不含任何元素的集合叫做空集,记作.
空集的性质:
（1）空集是任何集合的子集（包括空集）.
（2）空集只有一个子集,是空集,即它本身.
（3）空集是任何非空集合的真子集,即若,则.
重要提醒:在由集合间的关系确定参数的值或参数的取值范围时,注意对空集的讨论.
知识点六 子集、真子集个数的确定
若集合A含有个元素,则集合A:
（1）含有个子集;
（2）含有个非空子集;
（3）含有个真子集;
（4）含有个非空真子集.
知识点七 关于集合为空集的重要结论
（1）若集合,则;
（2）若集合,则≥;
（3）若集合或,则≥.
以上结论,在解决由集合间的关系确定参数取值范围的问题时要会灵活运用,并注意分类讨论（如关于空集的讨论）.
二、例题讲解
例1. 已知集合,,若,求实数的取值范围.
分析:这是一道由集合间的关系确定参数的取值范围的问题,注意数形结合思想和分类讨论思想的应用.
因为,集合B中含有参数,所以分为两种情况:①;②.对于这种情况,要借助于数轴来完成对参数的约束,从而可以确定参数的取值范围.
最后需要说明的是,参数的取值范围要表示成集合的形式.
解:∵,,∴分为两种情况:
①当时,,解之得:;
②当时,则有:或,解之得:或≤3.
综上,实数的取值范围为.
例2. 已知集合,,若,求实数的取值范围.
分析:需要知道的是由集合间的基本关系可以确定参数的取值范围.
本题在分类讨论时要用到下面的结论:
关于集合为空集的重要结论
（1）若集合,则;
（2）若集合,则≥;
（3）若集合或,则≥.
最后,实数的取值范围最好写成集合的形式.
解:∵,
∴分为两种情况:
①当时,,解之得:;
②当时,则有:,解之得:≤≤2.
综上,实数的取值范围为.
例3. 设集合,,若,则实数的值取值范围为__________.
分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏,特别注意不能漏掉对的讨论.解决本题还要明白以下两点:（1）空集是任何集合的子集;（2）空集是任何非空集合的真子集.
解:
∵,
∴分为两种情况:
（1）当时,方程没有实数根
∴,解之得:;
（2）当时,则有或或
①当或时,方程有两个相等的实数根
∴,解之得:
∴符合题意;
②当时,由根与系数的关系定理可得:
解之得:.
综上,实数的值取值范围为.
例4. 已知集合.
（1）若,,求实数的取值范围;
（2）若,,求实数的取值范围;
（3）若,,求实数的取值范围.
解:（1）∵,,∴分为两种情况:
①当时,,解之得:;
②当时,则有:
,解之得:2≤≤3.
综上所述,实数的取值范围是;
（2）∵,,∴
则有:,解之得:3≤≤4
∴实数的取值范围是;
（3）∵
∴,无解,即不存在实数,使得.
例5. 已知集合,,且,求实数的取值范围.
分析:本题的解决要用到关于一元二次方程的结论.
一元二次方程有两个正根的条件是:
一元二次方程有两个负根的条件是:
解:∵,,∴分为两种情况:
①当时,,解之得:;
②当时,方程有两个正实数根,则有:
,解之得:≤.
综上所述,实数的取值范围是.
例6. 已知集合,,若,求实数的取值范围.
解:∵,∴分为两种情况:
①当时,,解之得:;
②当时,方程有两个负实数根,则有:
,解之得:≤.
综上所述,实数的取值范围是.
例7. 已知集合.
（1）若,求实数的取值范围;
（2）若,且,求实数的取值范围;
分析 对于（1）,因为空集是任何非空集合的真子集,所以集合A不是空集,据此列出参数满足的条件,注意对参数分类讨论;
对于（2）,若未说明集合A非空,则要分和两种情况讨论.
解:（1）∵,∴
当时,,解之得:,此时,符合题意;
当时,则有≥0,解之得:≤.
综上所述,实数的取值范围是;
（2）∵,
∴或或或
显然,不符合题意,∴
当时,则有,解之得:;
当或时,则有,解之得:,此时,不符合题意;
当时,则有,解之得:,由根与系数的关系定理可得:
,解之得:无解.
综上所述,实数的取值范围是.
初升高之集合的基本运算
资料编号:202307241001
本节知识点:
（1）并集.
（2）交集.
（3）全集与补集.
（4）德·摩根定律.
知识点一 并集
自然语言 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的并集,记作,读作“A并B”.
符号语言 .
图形语言（用Venn图表示并集） 图中阴影部分表示两个集合的并集.
(
A
B
A
B
)
（1）A与B有公共元素,相互不包含 （2）A与B没有公共部分
(
B
A
A
B
)
（3） （4）
(
A
（
B
）
)
（5）
对并集的理解
（1）求两个集合的并集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A或集合B的元素组成的.
（2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可.符号语言“”分为三种情况:
①,但; ②,但; ③,且.
（3）根据集合元素的互异性,在求两个集合的并集时,两个集合中的公共元素在并集中只能出现一次.
并集的性质
性质 说明
并集运算满足交换律
并集运算满足结合律
任何集合与空集的并集等于这个集合本身
任何集合与其本身的并集等于这个集合本身
若,则 并集运算与子集关系的转化
, 任何集合都是该集合与另一个集合的并集的子集
求并集的方法
（1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.
（2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.
知识点二 交集
自然语言 一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作,读作“A交B”.
符号语言 .
图形语言（用Venn图表示交集） 图中阴影部分表示两个集合的并集.
如下页图所示.
(
A
A
B
A
B
)
（1）A与B有部分公共元素 （2）A与B无公共元素,
(
A
B
B
A
A
（
B
）
)
（3）若,则（4）若,则（5）
对交集的理解
（1）求两个集合的交集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,及两个集合的公共元素所组成的集合.
（2）交集概念中的“所有”二字不能省略,否则会漏掉一些元素,一定要将两个集合中的相同元素（公共元素）全部找出来.
（3）当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是交集为空集,.
交集的性质
性质 说明
交集运算满足交换律
任何集合与空集的交集都是空集
任何集合与其本身的交集等于这个集合本身
交集运算满足结合律
满足分配律
若,则 交集运算与子集关系的转化
两个集合的交集是其中任何一个集合的子集
求交集的方法
（1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素.
（2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的交集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.
知识点三 全集与补集
全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作U.
补集 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称集合A的补集,记作CU A,即
CU A.
用Venn图表示为:
(
U
C
U
A
A
)
对补集的理解
（1）补集是相对于全集而言的,求一个集合的补集,结果因全集的不同而不同.所以求补集前,要先明确全集.
（2）补集既是集合间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.
（3）符号“CU A”有三层意思:
① CU A;
② CU A是U的一个子集,及(CU A);
③ CU A表示一个集合.
补集的性质
①(CU A); ②(CU A); ③ CU (CU A);
④ CU U; ⑤ CU.
知识点四 德·摩根定律
知识点五 重要结论
如图所示,集合A , B将全集U分成了四部分,这四部分用集合表示如下:
（1）①表示;
（2）②表示(CU B);
（3）③表示(CU A);
（4）④表示(CU A)(CU B).
知识点六 集合中元素的个数
若集合A为有限集,则用card(A)表示集合A中元素的个数.
如果集合A中含有个元素,那么有card(A).
（1）一般地,对于任意两个有限集合A , B,有
cardcard(A)card(B)－card.
（2）一般地,对于任意三个有限集合A , B , C,有
cardcard(A)card(B)－card－card－card＋
card.
例题讲解
题型一 并集运算
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的并集,记作,读作“A并B”.即
.
求并集的方法
（1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.
（2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.
例1. 已知集合,,则【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析:将一个用描述法表示的集合转化为用列举法表示时,一定要弄清代表元素的含义或特征.
求两个集合的并集运算时,可以按照并集的定义进行,也可以用Venn图求解或借助于数轴求解.
解:∵
∴.
选择【 D 】.
例2. 已知集合,,则____________.
分析:先解一元二次不等式,求出集合B,然后把集合A、B在数轴上画出来,它们对应图形所覆盖的全部范围即为.
解:∵
∴.
例3. 已知集合,,若,则等于【 】
（A）0或 （B）0或3
（C）1或 （D）1或3
分析:,由集合元素的互异性,得,排除C、D选项.
因为,根据并集的性质,所以,这样就将两个集合的并集运算转化为了这两个集合之间的关系,从而可以确定参数的值或取值范围.
解:∵,∴或
当时,解之得:（不符合题意,舍去）
综上,或.
例4. 已知集合,,若,则实数的取值范围是__________.
分析:∵,∴.
解:
∵,∴,∴
∴实数的取值范围是.
例5. 已知集合,,且,求的值.
分析:由题意可知:,所以,从而,且.
解:分为三种情况:
①当时,解之得:（不符合题意,舍去）;
②当时,解之得:;
③当时,解之得:.
综上所述,的值为0或或.
注意:在求参数的值时,参数的值要满足集合元素的互异性.
例6. 已知集合,,求.
分析:对于含参集合参与的集合运算,要注意分类讨论.
解:,.
当≤5,即≤8时,;
当时,即时,R.
例7.（易错题）已知集合,,且,求由的取值构成的集合.
分析:因为,所以.由于集合B是一个含参集合,所以要对集合B分和两种情况进行讨论.
解:∵,∴.
当时,,满足;
当时,或:
①若,则,解之得:;
②若,则,解之得:.
综上所述,的取值构成的集合为.
例8. 设集合,,若,则实数的取值范围是__________.
分析:先将并集运算的结果转化为两个集合M , N之间的关系,从而列出关于参数的不等式（组）求解.注意含参集合的分类讨论.
解:∵,∴.
分为两种情况:
①当时,有≥,解之得:≤;
②当时,则有:
,解之得:≤2.
综上所述,实数的取值范围是.
警示:在解决本题时,任意忽略的情况,另外要注意端点值能否取到.
例9. 已知集合,,若,求实数的取值范围.
分析:注意本题与例7的区别.
解:∵,∴.
分为三种情况:①当时,恒成立,∴R,满足;
②当时,,有,解之得:
∴;
③当时,,有,解之得:
∴.
综上所述,实数的取值范围是.
题型二 交集运算
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作,读作“A交B”.
.
求交集的方法
（1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素.（或可借助于Venn图）
（2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的解集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.
例10. 设集合,集合,则【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析:在进行集合的运算之前,要先弄清楚各个集合的本质.本题中集合A的代表元素为整数,所以集合A为范围内的整数集.
解:∵,
∴.
选择【 D 】.
例11. 设集合,,若,则实数的取值范围是__________.
分析:说明集合A、B有公共元素,在数轴上集合A、B所对应的图形覆盖的区域有公共部分.
解:.
例12. 设集合,,若,求实数的取值范围.
分析:若,则由交集的性质知,在得到这两个集合之间的关系后借助于数轴就可以列出不等式（组）进行求解了.
解:∵,∴.
分为两种情况:
①当时,满足,有≥,解之得:≤;
②当时,则有:
,解之得:≤2.
综上所述,实数的取值范围是.
★例13.（易错题）设集合,,则等于【 】
（A） （B）
（C） （D）
错解:解方程组得:或,故选【 C 】.
错因分析:这里好多学生认为是求抛物线和直线的交点坐标所构成的集合,根源在于没有搞清楚集合A , B的本质,没有弄清楚集合的代表元素的特征.
分析:本题中的两个集合都是由函数值构成的,它们的代表元素是函数值.表示函数和函数的函数值的交集.
解:∵,R.
∴R.
选择【 A 】.
变式: 设集合,,则等于【 】
（A） （B）
（C） （D）
例14. 已知集合,集合,则中元素的个数为【 】
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
解:解方程组得:
或
∴,共有2个元素.选择【 B 】.
方法二:由后面的学习可以知道,方程是单位圆的方程（以原点为圆心,以1为半径的圆）.集合A是由圆上的所有点构成的,集合B是由直线上的所有点构成的,所以就是由单位圆与直线的交点构成的,如图所示,交点有两个,故中元素的个数为2.
例15.（2018沈阳重点高中）设集合,.
（1）若,求A的非空真子集的个数;
（2）若,求实数的取值范围.
分析:（1）子集、真子集个数的确定
若集合A含有个元素,则集合A:
（1）含有个子集;
（2）含有个非空子集;
（3）含有个真子集;
（4）含有个非空真子集.
（2）若,则,注意分类讨论.
解:（1）
∵集合A中含有8个元素
∴集合A的非空真子集的个数为;
（2）∵,∴.
分为两种情况:
①当时,满足,有,解之得:;
②当时,则有:
,解之得:≤≤3.
综上所述,实数的取值范围是.
例16. 设,,其中R,如果,求实数的取值范围.
解:
∵,∴
分为两种情况:
①当时,满足
∴,解之得:;
②当时,或或.
若或,则有,解之得:
经检验,此时;
若,则由根与系数的关系定理可得:
,解之得:.
综上所述,实数的取值范围是.
例17. 设集合,,若,求实数的取值范围.
分析:对于任意实数,都有,所以本题中集合A不会是空集.
解:∵,∴.
∵
∴,解之得:≤≤2.
∴实数的取值范围是.
★★例18.（综合性强）已知集合,集合,若:
（1）求实数的取值范围;
（2）当恒成立时,求的最小值.
分析:（1）求集合A时要解含参一元二次不等式,可借助于因式分解:
对于集合B,代表元素是,所以集合B是函数值的集合,通过配方得:
∵0≤≤3,∴2≤≤4,∴;
（2）这是与二次函数有关的恒成立问题,使用数形结合方法.
解:（1）
∵（这里作差比较与的大小）
∴
∴.
∵
∴,解之得:≤或≤≤2.
∴实数的取值范围是;
（2）∵恒成立,即≥0恒成立.
∴≤0,解之得:≤≤2.
∴的最小值为.
题型三 补集运算
全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作U.
补集 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称集合A的补集,记作CU A,即
CU A.
补集的性质
①(CU A); ②(CU A); ③ CU (CU A);
④ CU U; ⑤ CU.
例19. 已知全集,集合,若CUA,则实数的取值范围是__________.
分析: CUA说明,且.
解:∵CUA,∴,且.
∴实数的取值范围是.
例20. 已知全集,集合,求CUA.
分析:集合A是由方程的解构成的,而方程可能无解、有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根,需要分类讨论.
解:由题意可知:.
分为两种情况:
①当时,方程无实数根,∴,解之得:
∴CUACU;
②当时,则有≥0,解之得:≤或≥4.
设方程的两个实数根分别为
由根与系数的关系定理可得::
若,则,符合题意,此时,CUA;
若,则,符合题意,此时,CUA.
综上所述,当时,CUA;
当时,CUA;
当时,CUA.
例21. 已知,.
（1）当时,求;
（2）若CRA,求实数的取值范围.
分析:（1）求两个连续型实数集合的并集时,借助于数轴进行求解能将抽象的问题直观化,但要特别注意端点的实心和空心以及端点值的取舍;（2）求连续型实数集合的补集也是借助于数轴进行.
解:（1）当时,
∴;
（2）∵,∴CRA
∵CRA,∴分为两种情况:
①当时,有≥,解之得:≤;
②当时,则有:或
解之得:无解或.
综上,实数的取值范围是.
★例22. 设全集,,,求CIA.
解:
∴集合A是由直线上除点外的所有点构成的集合
∴CIA
∵
∴集合B是由直线上所有的点构成的集合
∴CIA.
附:函数,即的图象如图所示.
初升高之集合的基本运算测试题
资料编号:202307241116
1. 已知集合,,那么集合等于 【 】
（A） （B）
（C） （D）
2. 设全集,,,则CU（） 【 】
（A） （B）
（C） （D）
3. 已知集合,,全集,则CU（）的所有子集的个数为 【 】
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
4. 若集合,,则等于 【 】
（A） （B）
（C） （D）
5. 已知集合,,,则 【 】
（A）0或4 （B）0或 （C）1或 （D）1或4
6. 已知集合,.若,则实数的取值范围是 【 】
（A） （B） （C） （D）
7. 已知集合,.若全集R,且（CUM）,则实数的取值范围是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
8. 已知全集R,集合,,那么阴影部分表示的集合为 【 】
（A） （B） （C） （D）
9.（多选题）已知集合,,则使得（CRA）成立的实数的取值范围可以是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
10.（多选题）已知集合,,则下列结论正确的是 【 】
（A）若,则
（B）若,则
（C）若R,则
（D）若,则
11. 设全集,,若CUA,则实数_________.
12. 集合,,则_______.
13. 已知全集R,,,且,则中所有元素的和构成的集合为____________.
（2022豫西名校联考）
14. 设全集,集合,,则（CUA）__________.
15. 集合,.
（1）若,求实数的值;
（2）若,求实数的取值范围;
（3）若全集R,（CUB）,求实数的取值范围.
（天津实验中学2022高一月考）
初升高之集合的基本运算测试题答案解析
1. C 2. C 3. C 4. B 5. A 6. B 7. C 8. D
9. ACD 10. ABC
11. 12. 13. 14.
15. 解:（1）
∵
∴
∴,解之得:或
当时,,符合题意;
当时,,符合题意.
∴实数的值为或;
（2）∵
∴
当时,满足,则有,解之得:;
当时,则有或或:
若或,则有,解之得:
此时,符合题意;
若,则有,解之得:无解.
综上所述,实数的取值范围是;
（3）∵（CUB）
∴
当时,由（1）可知:;
当时,则:
若,则,解之得:
∴当时,;
若,则,解之得:或
∴当时,或.
综上所述,实数的取值范围是.
初升高之充分条件与必要条件
资料编号:202307252303
一、本节知识点
（1）充分条件与必要条件.
（2）充要条件.
（3）从不同角度理解充分条件、必要条件、充要条件.
二、本节题型
（1）充分条件、必要条件的判断.
（2）充要条件的证明.
（3）充分条件、必要条件和充要条件的探求.
（4）含有参数的充分条件、必要条件、充要条件的应用.
三、知识点讲解.
充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,是指由通过推理可以得出.这时,我们就说,由可以推出,记作
.
并且说,是的充分条件,是的必要条件.
如果“若,则”为假命题,那么由条件不能推出结论,记作.此时,我们就说,不是的充分条件,不是的必要条件.
对充分条件的理解
（1）我们说是的充分条件,是指由条件可以推出结论,但这并不意味着只能由这个条件才能推出结论.
一般地,给定结论,使成立的条件不是唯一的.也即若是的充分条件,则不是唯一的.
举例如下:
①若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形;
②若四边形的对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形.
上面两个命题均为真命题,它们都是平行四边形的判定定理（未给完）,“四边形的一组对边平行且相等”、“四边形的对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件.
对必要条件的理解
一般地,要判断“若,则”形式的命题中是否为的必要条件,只需判断是否有“”,即“若,则”是否为真命题.
我们说是的必要条件,是指以为条件可以推出结论,但这并不意味着由条件只能推出结论.
一般来说,给定条件,可以推出的结论并不是唯一的.
举例如下:
①若四边形为平行四边形,则这个四边形的一组对边平行且相等;
②若四边形为平行四边形,则这个四边形的对角线互相平分.
上面两个命题均为真命题,由“四边形是平行四边形”可以推出“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”（未给完）,即“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件.
充分不必要条件和必要不充分条件
（1）若,但,则是的充分不必要条件.
（2）若,但,,则是的必要不充分条件.
举例如下:
①若,则.由可以推出,但不能推出,所以是的充分不必要条件;
②若,则.由不能推出,但由可以推出,所以是的必要不充分条件.
辨析 在具体解题时,要注意分清什么是条件,什么是结论.如“A是B的什么条件”中,A是条件,B是结论;而“A的什么条件是B”中,A是结论,B是条件.
充要条件
如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均为真命题,即既有,又有,就记作
.
此时,既是的充分条件,也是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简记为充要条件.
显然,如果是的充要条件,那么也是的充要条件.即与互为充要条件.
充要条件的证明
一般地,证明“的充要条件是”时,既要证明充分性,还要证明必要性.在证明充分性时,应以为条件,推出结论,即;在证明必要性时,应以为条件,推出结论,即.
注意 “的充要条件是”和“是的充要条件”是不一样的.
“的充要条件是”即“是的充要条件”.
从命题的角度理解充分必要性
若把原命题的条件和结论分别记作和,则有:
（1）若原命题为真命题,逆命题为假命题,则是的充分不必要条件;
（2）若原命题为假命题,逆命题为真命题,则是的必要不充分条件;
（3）若原命题与逆命题均为真命题,则是的充要条件;
（4）若原命题与逆命题均为假命题,则是的既不充分也不必要条件.
从集合的角度理解充分必要性
设非空集合,.
（1）若,则是的充分条件,若,则是的充分不必要条件;
（2）若,则是的必要条件,若,则是的必要不充分条件;
（3）若,则是的充要条件.
在解决含有参数的充分必要性问题时,把问题转化为集合之间的基本关系问题进行解决.
例题讲解
例1. 设R,则“是”的 【 】
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析 本题考查充分必要条件的判断,应弄清什么是条件,什么是结论.在“A是B的什么条件”中,A是条件,B是结论.
绝对值则不等式同解于,解之得:.
显然,由可以推出,但由不能推出,所以是的充分不必要条件.
∴选择答案【 A 】.
方法总结 判断充分必要条件的基本思路
（1）先确定条件是什么,结论是什么;
（2）尝试用条件推结论,或由结论推条件;（必要时举出反例）
（3）指出条件是结论的什么条件.
例2. 已知集合,,“”是“”的必要条件,则实数的取值范围是__________.
解析 本题以集合为出题背景,考查已知充分必要条件,求参数的取值范围,应从集合的角度理解充分必要条件,把问题转化为集合之间的基本关系进行求解.
由题意可知,,即,则有:
,解之得:≤≤5.
∴实数的取值范围是.
例3. 若“”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围是__________.
解析 设,.
由题意可知:.
∴≤,解之得:≤≤1.
∴实数的取值范围是.
例4. 已知:,:,若是的充分条件,则的取值范围是 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析 解不等式得:
由题意可知:
∴≥1.
∴选择答案【 D 】.
例5. “四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的 【 】
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析 显然,原命题“若四边形的对角线互相垂直,则四边形是菱形”是假命题,其逆命题“若四边形是菱形,则四边形的对角线互相垂直”是真命题.
∴“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件.
∴选择答案【 B 】.
例6. 设:1≤,:.若是的充分条件,则实数的取值范围是__________.
解析 由题意可知:.
∴≥4.
∴实数的取值范围是.
例7. 设R,则的一个必要不充分条件是 【 】
（A） （B） （C） （D）
解析 这里,作为结论.
设,则的一个必要不充分条件构成集合A,显然, .
∴只有【 A 】选项符合题意.
∴选择答案【 A 】.
例8. 设R,则“”是“”的 【 】
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析 解绝对值不等式得:.
,即,∴.
∵,∴,∴,即不等式的解集为.
显然,“”“”,但“” 不能推出“”.
∴“”是“”的充分不必要条件.
∴选择答案【 A 】.
例9. 求证:方程的两个根均大于1的充要条件是.
分析 本题考查充要条件的证明.
由题意可知,本题即证明是方程的两个根均大于1的充要条件,即条件为,结论是方程的两个根均大于1.
一般地,证明“的充要条件是”时,既要证明充分性,还要证明必要性.在证明充分性时,应以为条件,推出结论,即;在证明必要性时,应以为条件,推出结论,即.
本题还涉及到一元二次方程实数根的K分布问题,有下面的结论:
若一元二次方程的两个实数根均大于实数,则有:
证明: 充分性: ∵
∴
∴该方程有两个不相等的实数根,分别设为,则有
∴,即.
∴方程的两个根均大于1.
必要性: ∵方程的两个根均大于1
∴,解之得:.
综上所述,方程的两个根均大于1的充要条件是.
初升高之充分条件与必要条件
测试题
资料编号:202307271316
1. 已知集合,,则“”是“”的 【 】
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
2. 已知R,则“”的一个必要不充分条件是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
3. “≥2且≥2”是“≥8”的 【 】
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4. 若甲是乙的必要条件,丙是乙的充分不必要条件,那么 【 】
（A）丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
（B）丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
（C）丙是甲的充要条件
（D）丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
5. 若“”是“”的充分不必要条件,则的值为 【 】
（A）1 （B） （C）或1 （D）或
6. 如果不等式成立的充分不必要条件是,则实数的取值范围是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
7. 已知集合,.若“”是“”的充分条件,则实数的取值范围是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
8. 已知集合,,则B是A的真子集的一个充分不必要条件是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
9.（多选）下列四个条件中能成为的充分条件的有 【 】
（A） （B）
（C） （D）
10.（多选）使成立的充分不必要条件可以是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
11. 已知集合,,“”是“”的必要条件,则实数的取值范围是__________.
12. “”是“一元二次方程有实数解”的__________条件.
13. 已知集合,,若成立的一个充分不必要条件是,则实数的取值范围是____________.
14. 若“”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围是__________.
15. 已知,求证:成立的充要条件是.
16. 已知,非空集合.
（1）若是的必要条件,求实数的取值范围;
（2）是否存在实数,使是的充要条件.
初升高之充分条件与必要条件
测试题答案解析
1. A 2. B 3. B 4. A 5. B 6. B 7. B 8. D
9. AD 10. ACD
11. 12. 充分不必要 13. 14.
6. 如果不等式成立的充分不必要条件是,则实数的取值范围是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
解析 本题考查根据条件的充分必要性确定参数的取值范围.站在集合的角度,把充分必要性转化为集合之间的基本关系,然后建立关于参数的不等式或不等式组进行求解.
设集合,
∵不等式成立的充分不必要条件是
∴,∴或
解之得:≤或≤
∴实数的取值范围是.
∴选择答案【 B 】.
15. 已知,求证:成立的充要条件是.
证明: 充分性 ∵
∴
∴
必要性 ∵
∴
∴
∵∴,∴
∴,∴
综上所述,若,成立的充要条件是.
16. 已知,非空集合.
（1）若是的必要条件,求实数的取值范围;
（2）是否存在实数,使是的充要条件.
解:（1）∵是的必要条件
∴.
∵集合S为非空集合
∴,解之得:0≤≤3.
∴实数的取值范围是;
（2）若存在实数,使是的充要条件,则有.
∴,解之得:无解.
∴不存在实数,使是的充要条件.
初升高之全称量词与存在量词
资料编号:202307280912
一、本节知识点
（1）全称量词与全称量词命题.
（2）存在量词与存在量词命题.
（3）全称量词命题与存在量词命题的否定.
二、本节题型
（1）全称量词命题与存在量词命题的辨析及其真假的判断.
（2）全称量词命题与存在量词命题的否定.
（3）全称量词命题与存在量词命题的求参问题.
三、知识点讲解
知识点一 全称量词与全称量词命题
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中叫做全称量词,并用符号“”表示.
含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
全称量词命题“对M中任意一个,成立”可用符号表示为:
.
读作:对任意属于M,有成立.
对全称量词命题的理解:
（1）全称量词命题是陈述集合中所有元素都具有某种性质的命题.
（2）一个全称量词命题可用包含多个变量:如R,≥0.
（3）在某些全称量词命题中,有时全称量词可用省略.例如“长方体是六面体”,它指的是“所有的长方体都是六面体”.
全称量词命题真假的判断
（1）要判断全称量词命题“”是真命题,需要对集合M中的每个元素,证明成立;
（2）要判断全称量词命题“”是假命题,只需举出一个反例.若在集合M中能找到一个元素,使不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.
知识点二 存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词,并用符号“”表示.
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在M中的元素,成立”可用符号表示为:
.
读作:存在M中的元素,使成立.
对存在量词命题的理解:
（1）存在量词命题是陈述集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题.
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量,如R,使.
（3）如果一个命题含有存在量词,不管包含的范围有多大,都是存在量词命题.
存在量词命题真假的判断
（1）要判断存在量词命题“”是真命题,只需在集合M中找到一个元素,使成立即可;
（2）要判断存在量词命题“”是假命题,需要对集合M中任意一个元素,证明都不成立.
知识点三 全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题的否定
一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把“所有的” “任意一个”等全称量词,变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说,假定全称量词命题为“”,则它的否定为“并非”,也就是“,不成立”.用“”表示“不成立”.
对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:
全称量词命题:
,
它的否定:
,.
也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题.
存在量词命题的否定
一般来说,对含有一个量词的存在量词命题进行否定,我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词,变成“不存在一个”“没有一个”“都”等短语即可.也就是说,假定存在量词命题为“”,则它的否定为“不存在,使成立”,也就是“不成立”.
对含有一个量词的存在量词命题的否定,由下面的结论:
存在量词命题:
,
它的否定:
,.
也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题.
重要结论
（1）含有一个量词的命题的否定方法是:改变量词,否定结论.
（2）一个命题的否定仍是一个命题,它和原命题只能一真一假,不能同真同假.
所以,我们判断一个命题的否定是真是假,只需判断原命题的真假即可.
四、例题讲解
例1. 判断下列全称量词命题的真假:
（1）每个四边形的内角和都是;
（2）任何实数都有算术平方根;
（3）,是无理数.
分析: 要判断全称量词命题“”是真命题,需对集合中的每个元素,证明成立;要判断全称量词命题“”是假命题,只需在集合中找到一个元素,使不成立即可.
解:（1）根据多边形内角和定理,四边形的内角和为:
∴全称量词命题“每个四边形的内角和都是”是真命题;
（2）∵只有非负实数才有算术平方根
∴全称量词命题“任何实数都有算术平方根”是假命题;
（3）是无理数,但是有理数.
∴全称量词命题“,是无理数”是假命题.
例2. 判断下列存在量词命题的真假:
（1）存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直;
（2）至少有一个整数,使得为奇数;
（3）,是无理数.
分析: 要判断存在量词命题“”是真命题,只需在集合中找到一个元素,使成立即可;要判断存在量词命题“”是假命题,需要对集合M中任意一个元素,证明都不成立.
解:（1）菱形是特殊的四边形,它的两条对角线互相垂直.
∴存在量词命题“存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直”是真命题;
（2）∵为整数,为偶数
∴存在量词命题“至少有一个整数,使得为奇数”是假命题;
（3）∵是无理数,也是无理数
∴存在量词命题“,是无理数”是真命题.
例3. 写出下列命题的否定:
（1）Z,Q;
（2）任意奇数的平方还是奇数;
（3）每个平行四边形都是中心对称图形.
解:（1）Z,Q;
（2）存在一个奇数,它的平方不是奇数;
（3）存在一个平行四边形不是中心对称图形.
例4. 写出下列命题的否定:
（1）有些三角形是直角三角形;
（2）有些梯形是等腰梯形;
（3）存在一个实数,它的绝对值不是正数.
解:（1）所有的三角形都不是直角三角形;
（2）所有的梯形都不是等腰梯形;
（3）任意一个实数,它的绝对值是正数.
例5. 写出下列命题的否定,并判断真假:
（1）任意两个等边三角形都相似;
（2）R,.
解:（1）该命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似.
∵任意两个等边三角形的三边对应成比例
∴任意两个等边三角形都相似.
∴该命题的否定为假命题;
（2）该命题的否定:R,.
∵对任意R恒成立
∴该命题的否定为真命题.
例6. 写出下列命题的否定,并判断真假:
（1）R,一元二次方程有实数根;
（2）每个正方形都是平行四边形;
（3）N,N;
（4）存在一个四边形ABCD,其内角和不等于.
分析: 要先判断原命题是全称量词命题还是存在量词命题,任何给出正确的否定.
解:（1）R,一元二次方程没有实数根.
∵对R恒成立
∴一元二次方程总有两个不相等的实数根
∴该命题的否定为假命题;
（2）存在一个正方形不是平行四边形.是假命题;
（3）N,N.
∵当时,N
∴该命题的否定为假命题;
（4）任意一个四边形ABCD的内角和等于.是真命题.
（或所有的四边形ABCD的内角和等于）
例7. 已知命题: ,方程有解,则为 【 】
（A）,方程无解
（B）≤0,方程有解
（C）,方程无解
（D）≤0,方程有解
解析: 本题考查存在量词命题的否定.
存在量词命题:,它的否定:.存在量词命题的否定为全称量词命题.
选择答案【 A 】.
例8. 已知命题:≥3,使得是假命题,则实数的最大值是_______.
解析: 本题考查全称量词命题与存在量词命题的求参问题.
重要结论
一个命题的否定仍是一个命题,它和原命题只能一真一假,不能同真同假.
该命题的否定为:≥3,≥.
由题意可知,该命题的否定为真命题.
∴只需≥即可.
∴≤5,即实数的最大值是5.
例9. 若对≤≤2,有≤0恒成立,则实数的取值范围是__________.
解析: 本题中的命题为全称量词命题,即,≤0恒成立.
由≤0得:≤恒成立,只需≤即可.
∵,∴.
∴实数的取值范围是.
例10. 命题“,≥0”的否定是 【 】
（A）, （B）,≥0
（C）, （D）,≥0
解析: 把量词“”变成“”,并把结论否定即可.
∴选择答案【 C 】.
五、同步练习
1. 命题“R,”的否定是 【 】
（A）R, （B）R,
（C）R, （D）R,
2. 命题“存在实数,使关于的方程有实数根”的否定是 【 】
（A）存在实数,使关于的方程无实数根
（B）不存在实数,使关于的方程有实数根
（C）对任意实数,关于的方程都有实数根
（D）至多有一个实数,使关于的方程有实数根
3. 命题“,都有”的否定是 【 】
（A）,都有≤0 （B）,使得≤0
（C）,使得≤0 （D）≤1,使得≤0
4. 已知命题R,,则是 【 】
（A）R, （B）R,
（C）R, （D）R,
5. 判断下列命题的真假,并写出命题的否定.
（1）Z,;
（2）在实数范围内,有些一元二次方程无解;
（3）正数的平方都是正数.
6. 用符号“”或“”改写下面的命题,并判断真假.
（1）实数的平方大于或等于0;
（2）存在实数,使成立;
（3）直角三角形满足勾股定理.
参考答案
1. D 2. B 3. B 4. A
5. 解:（1）真命题,该命题的否定:Z,;
（2）真命题,该命题的否定:在实数范围内,任意一个一元二次方程都有解;
（3）真命题,该命题的否定是:存在一个正数,它的平方不是正数.
6. 解:（1）R,≥0,是真命题;
（2）R,,是真命题;
（3）,满足勾股定理,是真命题.
初升高之全称量词与存在量词
测试题
资料编号:202307281130
1. 下列命题中,为假命题的是 【 】
（A）不是有理数
（B）
（C）方程没有实数根
（D）等腰三角形不可能有的角
2. 设Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题,,则 【 】
（A） （B）
（C） （D）
3. 下列关于命题“R,使得”的否定,说法正确的是 【 】
（A）R,均有≥0,假命题
（B）R,均有≥0,真命题
（C）R,使得≥0,假命题
（D）R,使得≥0,真命题
4. 已知集合,则命题“,≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 【 】
（A）≥4 （B）≤4 （C）≥5 （D）≤5
5. 命题“R,≤0”的否定是 【 】
（A）R,≥0 （B）R,
（C）R,≤0 （D）R,
6. 下列存在量词命题是假命题的是 【 】
（A）存在Q,使得
（B）存在R,使得
（C）有的素数是偶数
（D）有的有理数没有倒数
7. 下列是全称量词命题且是真命题的为 【 】
（A）R, （B）Q,都有Q
（C）Z,≥1 （D）R,
8. 已知R,.若是真命题,则实数的取值范围是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
9.（多选题）下列存在量词命题中,为真命题的是 【 】
（A）Z,
（B）至少有一个Z,使能同时被2和3整除
（C）R,
（D）有些自然数是偶数
10.（多选题）下列命题为“R,”的表述方法的是 【 】
（A）有一个R,使得成立
（B）对有些R,成立
（C）任选一个R,都有成立
（D）至少有一个R,使得成立
11. 能够说明“存在两个不相等的正数,使得是真命题”的一组有序实数对为__________.
12. 已知命题“≥3,使得≥”是真命题,则实数的最大值是______.
13. 已知命题R,,则是_________命题.（填“真”或“假”）
14. 命题“”的否定是___________________.
15. 命题“”的否定是_____________________.
16. （1）解关于的不等式;
（2）解关于的不等式≥0;
（3）若命题“R,”为真,求实数的取值范围.
初升高之全称量词与存在量词
测试题答案解析
1. D 2. D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. B 8. B
9. ABD 10. ABD
11. （答案不唯一） 12. 5 13. 真 14. ≥0
15. ≥0或.
16. 解:（1）∵
∴,解之得:或.
∴原不等式的解集为;
（2）∵≥0,∴≤0.
它同解于不等式组,解之得:≤1.
∴原分式不等式的解集为;
（3）∵命题“R,”为真
∴,解之得:或.
∴实数的取值范围是.

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