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第六单元第5讲 数列的综合应用
练
练题型 练真题
题型一：数列与数学文化
题型二：等差数列、等比数列的综合运算
题型三：数列与其他知识的交汇
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【练】
【练题型】
【题型一】数列与数学文化
【典例1】中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问丙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人，所分钱数为等差数列，甲、乙两人共分77文，戊、己、庚三人共分75文，则丙、丁两人各分多少文钱？则下列说法正确的是(　　)
A．丙分34文，丁分31文
B．丙分37文，丁分40文
C．丙分40文，丁分37文
D．丙分31文，丁分34文
【解析】方法一：设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，且成等差数列，设公差为d，根据题意可得即解得所以丙分得a3＝a1＋2d＝34(文)，丁分得a4＝a1＋3d＝31(文)，故选A.
方法二：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a－3d，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，a＋3d，则解得所以丙分得a－d＝34(文)，丁分得a＝31(文)，
故选A.
【典例2】1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳和行星间距离的法则．记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：
星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星
与太阳的距离 4 7 10 16 52 100
除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则(某数列规律)．当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28应该还有一颗大行星.1801年，意大利天文学家皮亚齐通过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带．请你根据这个定则，估算出从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是(　　)
A．388　　　　　　　 B．772
C．1 540 D．3 076
【解析】设an是从水星开始，第n个行星与太阳的平均距离，依题意可知an＝an－1＋3·2n－3(n≥3)，a3＝10，a4＝16，a5＝28，a6＝52，a7＝100，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a4－a3)＋a3＝3·(2n－3＋2n－4＋…＋21)＋10＝3×2×＋10＝3·2n－2＋4(n≥3)．a2＝7也满足上式，故an ＝3·2n－2＋4(n≥2)．所以a10＝3×210－2＋4＝772.
故选B.
【典例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】由100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包，设较大的两份为20＋d，20＋2d，较小的两份为20－d，20－2d，由已知条件可得(20＋20＋d＋20＋2d)＝20－d＋20－2d，解得d＝，所以最小的一份为20－2d＝20－2×＝.
故选A.
【题型二】等差数列、等比数列的综合运算
【典例1】已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，
所以d＝a2－a1＝2，
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
又an＝2log2bn，即2n＝2log2bn，
所以n＝log2bn，
所以bn＝2n.
(2)由(1)得bn＝2n＝2·2n－1＝a2n－1，
即bn是数列{an}中的第2n－1项．
设数列{an}的前n项和为Pn，数列{bn}的前n项和为Qn，
因为b7＝＝a64，b8＝＝a128，
所以数列{cn}的前100项是由数列{an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的，
所以S100＝P107－Q7
＝－＝11 302.
【典例2】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足a1＝b1＝c1＝1，cn＝an＋1－an，cn＋1＝cn，n∈N*.
(1)若{bn}为等比数列，公比q>0，且b1＋b2＝6b3，求q的值及数列{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，公差d>0，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1＋，n∈N*.
【解析】(1)解　由b1＝1，b1＋b2＝6b3，且{bn}为等比数列，得1＋q＝6q2，解得q＝(负舍)．
∴bn＝.
∴cn＋1＝cn＝4cn，∴cn＝4n－1.
∴an＋1－an＝4n－1，
∴an＝a1＋1＋4＋…＋4n－2＝＋1
＝.
(2)证明　由cn＋1＝·cn(n∈N*)，
可得bn＋2·cn＋1＝bn·cn，
两边同乘bn＋1，
可得bn＋1·bn＋2·cn＋1＝bn·bn＋1·cn，
∵b1b2c1＝b2＝1＋d，
∴数列{bnbn＋1cn}是一个常数列，
且此常数为1＋d，即bnbn＋1cn＝1＋d，
∴cn＝＝·
＝·＝，
又∵b1＝1，d>0，∴bn>0，
∴c1＋c2＋…＋cn
＝＋＋…＋
＝
＝
＝<1＋，
∴c1＋c2＋…＋cn<1＋.
【典例3】已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a1＝1，a2＋a4＝10，
所以2a1＋4d＝10，
解得d＝2.
所以an＝2n－1.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2b4＝a5，
所以b1q·b1q3＝9.
又b1＝1，所以q2＝3.
所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.
则b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.
【题型三】数列与其他知识的交汇
【典例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求角A的大小；
(2)若等差数列{an}的公差不为零，a1sin A＝1，且a2，a4，a8成等比数列，bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)由＝，
根据正弦定理可得＝，即b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝，
由0＜A＜π，得A＝.
(2)由(1)知，A＝，
设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a1sin A＝1，
所以a1sin＝a1＝1，解得a1＝2.
因为a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，所以d2＝2d.
又d≠0，所以d＝2，则an＝2n，
bn＝＝＝(－)，
则Sn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(1－)＝.
【典例2】设函数f(x)＝＋，正项数列{an}满足a1＝1，an＝f，n∈N*，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N*，求证：＋＋＋…＋＜2.
【解析】(1)由an＝f，
所以an＝＋an－1，n∈N*，且n≥2，
所以数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)＝.
(2)证明：由(1)可知
＝＝4，
Sn＝＋＋＋…＋
＝4[＋＋…＋(－)]
＝4
＝2－＜2，得证．
【典例3】已知在等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q>1，a2，a3是函数f(x)＝x3－6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和是________．
【解析】由f(x)＝x3－6x2＋32x，
得f′(x)＝x2－12x＋32，
又因为a2，a3是函数f(x)＝x3－6x2＋32x的两个极值点，
所以a2，a3是函数f′(x)＝x2－12x＋32的两个零点，
故
因为q>1，所以a2＝4，a3＝8，故q＝2，
则前9项和S9＝＝210－2＝1 022.
【练真题】
【真题1】(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
【解析】设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d＝9，首项为a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，解得n＝9，
则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块)．
故选C.
【真题2】(2021·新高考全国Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×
6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么k＝_______ dm2.
【解析】依题意得，S1＝120×2＝240；
S2＝60×3＝180；
当n＝3时，共可以得到5 dm×6 dm， dm×12 dm，10 dm×3 dm,20 dm× dm四种规格的图形，且5×6＝30，×12＝30,10×3＝30，
20×＝30，所以S3＝30×4＝120；
当n＝4时，共可以得到5 dm×3 dm， dm×6 dm， dm×12 dm,10 dm× dm,20 dm× dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，×6＝15，×12＝15,10×＝15,20×＝15，
所以S4＝15×5＝75；
……
所以可归纳Sk＝×(k＋1)＝.
所以k＝240，①
所以×k
＝240，②
由①－②得，×k
＝240
＝240
＝240，
所以k＝240dm2.
【真题3】(2018·高考北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.
【解析】(1)设{an}的公差为d.
因为a2＋a3＝5ln 2，
所以2a1＋3d＝5ln 2.
又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.
(2)因为ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，
所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)＝2n＋1－2.
【真题4】(2019·高考北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为__________．
【解析】设等差数列{an}的公差为d，因为即所以可得所以a5＝a1＋4d＝0，因为Sn＝na1＋d＝(n2－9n)，所以当n＝4或n＝5时，Sn取得最小值，最小值为－10.
二、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9等于(　　)
A．－3 B．3 C．－4 D．4
【解析】∵a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，∴a5，a7是方程x2－4x＋3＝0的两个根，∴a5·a7＝3，由等比数列的性质可得a3·a9＝a5·a7＝3.
故选B.
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为(　　)
【解析】∵a7是a3与a9的等比中项，
∴a＝a3a9，
又数列{an}的公差为－2，
∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，
∴an＝20＋(n－1)×(－2)＝22－2n，
∴S10＝＝5×(20＋2)＝110.
故选D.
3. 若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a7成等比数列，则等于(　　)
A. B. C. D．2
【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，
则a3＝a1＋2d，a7＝a1＋6d.
因为a1，a3，a7成等比数列，
所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，
解得a1＝2d.所以＝＝.
故选A.
4. 某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要(　　)
A．3 233万元 B．4 706万元
C．4 709万元 D．4 808万元
【解析】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为an万元(n＝1,2,3，…，10)，
则所以
解得故a10＝a1q9＝1 536.
依题意x＋1 536≤1 700，即x≤164.
所以总费用为10x＋a1＋a2＋…＋a10＝10x＋＝10x＋3 069≤4 709.
故选C.
【多选题】
5. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则(　　)
A．a4＝12
B．an＋1＝an＋n＋1
C．a100＝5 050
D．2an＋1＝an·an＋2
【解析】由题意知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，
an＝an－1＋n，故an＝，
∴a4＝＝10，故A错误；
an＋1＝an＋n＋1，故B正确；
a100＝＝5 050，故C正确；
2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，
an·an＋2＝，
显然2an＋1≠an·an＋2，故D错误．
故选BC.
6. 若数列{an}满足：对任意的n∈N*且n≥3，总存在i，j∈N*，使得an＝ai＋aj(i≠j，i＜n，j＜n)，则称数列{an}是“T数列”．则下列数列是“T数列”的为(　　)
A．{2n} B．{n2}
C．{3n} D．
【解析】令an＝2n，则an＝a1＋an－1(n≥3)，所以数列{2n}是“T数列”；令an＝n2，则a1＝1，a2＝4，a3＝9，所以a3≠a1＋a2，所以数列{n2}不是“T数列”；令an＝3n，则a1＝3，a2＝9，a3＝27，所以a3≠a1＋a2，所以数列{3n}不是“T数列”；令an＝，则an＝＋＝an－1＋an－2(n≥3)，所以数列是“T数列”．
故选AD．
【填空题】
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＋2Sn＋1Sn＝0，则Sn＝________.
【解析】因为an＋1＝Sn＋1－Sn，
则an＋1＋2Sn＋1Sn＝0，可化简为Sn＋1－Sn＋2Sn＋1Sn＝0，
等式两边同时除以Sn＋1Sn，
可得－＋2＝0，即－＝2，
所以数列为等差数列，首项＝＝1，公差d＝2，
所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
即Sn＝.
8. 若数列{an}中，an＝，n∈N*，则数列{an}中的项的最小值为________．
【解析】an＋1－an＝－＝，
当n≥2时，an＋1－an>0，即an＋1>an，
当n＝1时，a2－a1<0，
∴数列{an}中，从a2开始是递增的，
又a2【解答题】
9. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3＝3，S7＝14.
(1)求an和Sn；
(2)若bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝3，S7＝14，
得解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－n＋6，
Sn＝＝＝.
(2)由(1)知an＝－n＋6，bn＝，
得bn＝26－n＝26×n，
∴Tn＝＝26－26×n＝64－26－n.
10. 已知un＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋abn－1＋bn(a>0，b>0，n∈N*)．
(1)当a＝2，b＝3时，求un；
(2)若a＝b，求数列{un}的前n项和Sn.
【解析】(1)当a＝2，b＝3时，un＝2n＋2n－1·3＋2n－2·32＋…＋2·3n－1＋3n(n∈N*)，
两边除以2n，得
＝1＋＋2＋…＋n－1＋n
＝＝＝－2，
所以un＝3n＋1－2n＋1.
(2)若a＝b，则un＝(n＋1)an，
所以Sn＝2a＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an，①
当a＝1时，Sn＝2＋3＋…＋(n＋1)＝；
当a>0，a≠1时，在①的两边同乘以a，得aSn＝2a2＋3a3＋4a4＋…＋(n＋1)an＋1，
与①式作差，得(1－a)Sn＝2a＋a2＋a3＋…＋an－(n＋1)an＋1＝a＋－(n＋1)an＋1，
所以Sn＝＋－.
综上，Sn＝
11. 从“①Sn＝n；②S2＝a3，a4＝a1a2；③a1＝2，a4是a2，a8的等比中项．”三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并解答．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，________，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Wn，求Wn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】(1)选①：
Sn＝n＝n2＋n，
令n＝1，得a1＝1＋，即a1＝2，
所以Sn＝n2＋n.
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋n－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，又a1＝2，满足上式，
所以an＝2n.
选②：
由S2＝a3，得a1＋a2＝a3，得a1＝d，
又由a4＝a1a2，得a1＋3d＝a1(a1＋d)，
因为d≠0，则a1＝d＝2，所以an＝2n.
选③：
由a4是a2，a8的等比中项，得a＝a2a8，
则(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，
因为a1＝2，d≠0，所以d＝2，则an＝2n.
(2)Sn＝n2＋n，bn＝(2n＋1)2＋2n＋1－(2n)2－2n
＝3·22n＋2n，
所以Wn＝3×22＋2＋3×24＋22＋…＋3×22n＋2n＝＋＝4(4n－1)＋2(2n－1)＝4n＋1＋2n＋1－6.
【测能力】
【单选题】
1. 如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近(lg2≈0.3)(　　)
A．10300 B．10400
C．10500 D．10600
【解析】如图，将数字塔中的数写成幂的形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为1＋2＋22＋…＋29＝210－1＝1 023，所以原数字塔中前10层所有数字之积为21 023＝101 023lg 2≈10300.
故选A.
2. 已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn.若a2，a3，a4为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，则Sn的最大值为(　　)
A．5 B．11
C．20 D．25
【解析】由等差数列{an}的公差为－2可知该数列为递减数列，则a2，a3，a4中a2最大，a4最小．又a2，a3，a4为三角形的三边长，且最大内角为120°，由余弦定理得a＝a＋a＋a3a4.设首项为a1，则(a1－2)2＝(a1－4)2＋(a1－6)2＋(a1－4)(a1－6)，整理得(a1－4)(a1－9)＝0，所以a1＝4或a1＝9.又a4＝a1－6＞0，即a1＞6，故a1＝4舍去，所以a1＝9.数列{an}的前n项和Sn＝9n＋×(－2)＝－(n－5)2＋25.故Sn的最大值为S5＝25.
故选D．
3. 定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d为常数)，则称|an|为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”．已知“绝对和数列”{an}中，a1＝2，绝对公和为3，则其前2 019项的和S2 019的最小值为(　　)
A．－2 019 B．－3 010
C．－3 025 D．－3 027
【解析】依题意，要使“绝对和数列”{an}前2 019项的和S2 019的值最小，只需每一项的值都取最小值即可．因为a1＝2，绝对公和d＝3，所以a2＝－1或a2＝1(舍)，所以a3＝－2或a3＝2(舍)，所以a4＝－1或a4＝1(舍)，…，所以满足条件的数列{an}的通项公式
an＝所以S2 019＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 018＋a2 019)＝2＋(－1－2)×＝－3 025，
故选C．
4. 已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0，2Sn＝a＋an，bn＝，若k>Tn恒成立，则k的最小值为(　　)
A. B. C．1 D.
【解析】∵2Sn＝a＋an，①
且an>0，
∴当n＝1时，2S1＝a＋a1，
解得a1＝1或a1＝0(舍去)．
当n≥2时，2Sn－1＝a＋an－1，②
①－②得2an＝a＋an－(a＋an－1)，
a－a－an－an－1＝0，
即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
∵an>0，∴an－an－1＝1，
∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝n，
∴bn＝＝＝－，
∴Tn＝－＋－＋…＋－＝－＝1－<1，
∵k>Tn恒成立，
∴k≥1，即k的最小值为1.
故选C.
【多选题】
5. 已知各项均为正数的等比数列{an}，a1＞1，0＜q＜1，其前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　)
A．数列{ln an}为等差数列
B．若Sn＝Aqn＋B，则A＋B＝0
C．SnS3n＝S
D．记Tn＝a1a2·…·an，则数列{Tn}有最大值
【解析】由题意可知，an＝a1qn－1，Sn＝.对于A，ln an＝ln a1qn－1＝ln a1＋(n－1)ln q, ln an＋1＝ln a1qn＝ln a1＋nln q，所以ln an＋1－ln an＝ln q，所以{ln an}为等差数列，所以A正确．对于B，Sn＝＝qn＋，又Sn＝Aqn＋B，所以A＋B＝－＋＝0，所以B正确．对于C，由题意，得SnS3n＝·＝，S＝，显然SnS3n≠S，所以C错误．对于D，因为在等比数列{an}中，a1＞0，0＜q＜1，所以数列{an}为单调递减数列，所以存在从某一项开始使得ak＝a1qk－1∈(0，1)，所以在数列{Tn}中，Tk－1＝a1a2·…·ak－1为最大值，所以D正确，
故选ABD.
6. 已知在△ABC中，A1，B1分别是边BA，CB的中点，A2，B2分别是线段A1A，B1B的中点，…，An，Bn分别是线段An－1A，Bn－1B(n∈N*，n＞1)的中点，设数列{an}，{bn}满足＝an＋bn(n∈N*)，给出下列四个结论，其中正确的是(　　)
A．数列{an}是递增数列，数列{bn}是递减数列
B．数列{an＋bn}是等比数列
C．数列{}(n∈N*，n＞1)既有最小值，又有最大值
D．若在△ABC中，C＝90°，CA＝CB，则||最小时，an＋bn＝
【解析】由＝＝(－)，得＝，得＝＋＝＋(－)＝＋，所以an＝1－，bn＝－1，则数列{an}是递增数列，数列{bn}是递减数列，故A正确；数列{an＋bn}中，an＋bn＝，a1＋b1＝，即数列{an＋bn}是首项为，公比为的等比数列，故B正确；当n＞1时，在数列中，＝＝－1＋，所以数列递增，有最小值，无最大值，故C错误；若在△ABC中，C＝90°，CA＝CB，则||2＝(a＋b)·CA2＋2anbn·＝(a＋b)2，a＋b＝＋＝5×－6×＋2＝5＋，当n＝1时，a＋b取得最小值，故当||最小时，an＋bn＝，故D正确．
故选ABD.
【填空题】
7. 各项均为正数且公比q＞1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝4，a2＋a4＝5，则的最小值为________．
【解析】由题意a1a5＝a2a4＝4，
又a2＋a4＝5，公比q＞1，
∴a2＝1，a4＝4，故q2＝＝4，
故q＝2，a1＝.
∴an＝2n－2，
Sn＝＝(2n－1)．
∴＝，
令t＝2n－1∈{1,2,22，23，……}，
则原式＝＝t＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当t＝2n－1＝2，即n＝2时取等号．
8. 如图所示，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于________ cm2.
【解析】记第1个正方形的面积为S1，第2个正方形的面积为S2，…，第n个正方形的面积为Sn，
设第n个正方形的边长为an，则第n个正方形的对角线长为an，
∴第n＋1个正方形的边长为an＋1＝an，
∴＝，
即数列{an}是首项为a1＝5，公比为的等比数列，
∴an＝5·n－1，
数列{Sn}是首项为S1＝25，公比为的等比数列，
∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝＝50·，
∴如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50 cm2
【解答题】
9. 由整数构成的等差数列{an}满足a3＝5，a1a2＝2a4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前(4n＋3)项和T4n＋3.
【解析】(1)由题意，设数列{an}的公差为d，
因为a3＝5，a1a2＝2a4，
可得
整理得(5－2d)(5－d)＝2(5＋d)，
即2d2－17d＋15＝0，解得d＝或d＝1，
因为{an}为整数数列，所以d＝1，
又由a1＋2d＝5，可得a1＝3，
所以数列{an}的通项公式为an＝n＋2.
(2)由(1)知，数列{an}的通项公式为an＝n＋2，又由数列{bn}的通项公式为bn＝2n，
根据题意，得新数列{cn}，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，
则T4n＋3＝b1＋a1＋a2＋b2＋b3＋a3＋a4＋b4＋…＋b2n－1＋a2n－1＋a2n＋b2n＋b2n＋1＋a2n＋1＋a2n＋2
＝(b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n＋1)＋(a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n＋2)
＝＋＝4n＋1＋2n2＋9n＋5.
10. 已知在等差数列{an}中，a2＝5，a4＋a6＝22，在数列{bn}中，b1＝3，bn＝2bn－1＋1(n≥2)．
(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)定义x＝[x]＋(x)，[x]是x的整数部分，(x)是x的小数部分，且0≤(x)＜1.记数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝5，a4＋a6＝22，所以a5＝＝11，所以d＝＝2，所以an＝a2＋2(n－2)＝5＋2(n－2)＝2n＋1.又b1＝3，bn＋1＝2(bn－1＋1)(n≥2)，所以{bn＋1}是首项为4，公比为2的等比数列，所以bn＋1＝2n＋1(n≥2)，所以bn＝2n＋1－1(n≥2)．易知b1＝3满足上式，所以bn＝2n＋1－1(n∈N*)．
(2)由二项式定理知，当n≥1时，2n＋1＝2(1＋1)n≥2(C＋C)＝2(1＋n)＞2n＋1，所以cn＝＝，所以Sn＝＋＋＋…＋①，
Sn＝＋＋＋…＋②，
①－②，得Sn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋－－
＝－，
故Sn＝－.
11. 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列，
∴Sn＝na1＋n(n－1)，
(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，
解得a1＝1，∴an＝2n－1.
(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1
＝(－1)n－1，
当n为偶数时，
Tn＝－＋－…
＋－
＝1－＝；
当n为奇数时，
Tn＝－＋－…－＋
＝1＋＝.
∴Tn＝
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第六单元第5讲 数列的综合应用
练
练题型 练真题
题型一：数列与数学文化
题型二：等差数列、等比数列的综合运算
题型三：数列与其他知识的交汇
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【练】
【练题型】
【题型一】数列与数学文化
【典例1】中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问丙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人，所分钱数为等差数列，甲、乙两人共分77文，戊、己、庚三人共分75文，则丙、丁两人各分多少文钱？则下列说法正确的是(　　)
A．丙分34文，丁分31文
B．丙分37文，丁分40文
C．丙分40文，丁分37文
D．丙分31文，丁分34文
【典例2】1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳和行星间距离的法则．记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：
星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星
与太阳的距离 4 7 10 16 52 100
除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则(某数列规律)．当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28应该还有一颗大行星.1801年，意大利天文学家皮亚齐通过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带．请你根据这个定则，估算出从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是(　　)
A．388　　　　　　　 B．772
C．1 540 D．3 076
【典例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为(　　)
A. B.
C. D.
【题型二】等差数列、等比数列的综合运算
【典例1】已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100.
【典例2】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足a1＝b1＝c1＝1，cn＝an＋1－an，cn＋1＝cn，n∈N*.
(1)若{bn}为等比数列，公比q>0，且b1＋b2＝6b3，求q的值及数列{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，公差d>0，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1＋，n∈N*.
【典例3】已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
【题型三】数列与其他知识的交汇
【典例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求角A的大小；
(2)若等差数列{an}的公差不为零，a1sin A＝1，且a2，a4，a8成等比数列，bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
【典例2】设函数f(x)＝＋，正项数列{an}满足a1＝1，an＝f，n∈N*，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N*，求证：＋＋＋…＋＜2.
【典例3】已知在等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q>1，a2，a3是函数f(x)＝x3－6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和是________．
【练真题】
【真题1】(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
【真题2】(2021·新高考全国Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×
6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么k＝_______ dm2.
【真题3】(2018·高考北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.
【真题4】(2019·高考北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为__________．
二、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9等于(　　)
A．－3 B．3 C．－4 D．4
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为(　　)
3. 若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a7成等比数列，则等于(　　)
A. B. C. D．2
4. 某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要(　　)
A．3 233万元 B．4 706万元
C．4 709万元 D．4 808万元
【多选题】
5. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则(　　)
A．a4＝12
B．an＋1＝an＋n＋1
C．a100＝5 050
D．2an＋1＝an·an＋2
6. 若数列{an}满足：对任意的n∈N*且n≥3，总存在i，j∈N*，使得an＝ai＋aj(i≠j，i＜n，j＜n)，则称数列{an}是“T数列”．则下列数列是“T数列”的为(　　)
A．{2n} B．{n2}
C．{3n} D．
【填空题】
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＋2Sn＋1Sn＝0，则Sn＝________.
8. 若数列{an}中，an＝，n∈N*，则数列{an}中的项的最小值为________．
【解答题】
9. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3＝3，S7＝14.
(1)求an和Sn；
(2)若bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
10. 已知un＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋abn－1＋bn(a>0，b>0，n∈N*)．
(1)当a＝2，b＝3时，求un；
(2)若a＝b，求数列{un}的前n项和Sn.
11. 从“①Sn＝n；②S2＝a3，a4＝a1a2；③a1＝2，a4是a2，a8的等比中项．”三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并解答．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，________，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Wn，求Wn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【测能力】
【单选题】
1. 如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近(lg2≈0.3)(　　)
A．10300 B．10400
C．10500 D．10600
2. 已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn.若a2，a3，a4为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，则Sn的最大值为(　　)
A．5 B．11
C．20 D．25
3. 定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d为常数)，则称|an|为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”．已知“绝对和数列”{an}中，a1＝2，绝对公和为3，则其前2 019项的和S2 019的最小值为(　　)
A．－2 019 B．－3 010
C．－3 025 D．－3 027
4. 已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0，2Sn＝a＋an，bn＝，若k>Tn恒成立，则k的最小值为(　　)
A. B. C．1 D.
【多选题】
5. 已知各项均为正数的等比数列{an}，a1＞1，0＜q＜1，其前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　)
A．数列{ln an}为等差数列
B．若Sn＝Aqn＋B，则A＋B＝0
C．SnS3n＝S
D．记Tn＝a1a2·…·an，则数列{Tn}有最大值
6. 已知在△ABC中，A1，B1分别是边BA，CB的中点，A2，B2分别是线段A1A，B1B的中点，…，An，Bn分别是线段An－1A，Bn－1B(n∈N*，n＞1)的中点，设数列{an}，{bn}满足＝an＋bn(n∈N*)，给出下列四个结论，其中正确的是(　　)
A．数列{an}是递增数列，数列{bn}是递减数列
B．数列{an＋bn}是等比数列
C．数列{}(n∈N*，n＞1)既有最小值，又有最大值
D．若在△ABC中，C＝90°，CA＝CB，则||最小时，an＋bn＝
【填空题】
7. 各项均为正数且公比q＞1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝4，a2＋a4＝5，则的最小值为________．
8. 如图所示，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于________ cm2.
【解答题】
9. 由整数构成的等差数列{an}满足a3＝5，a1a2＝2a4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前(4n＋3)项和T4n＋3.
10. 已知在等差数列{an}中，a2＝5，a4＋a6＝22，在数列{bn}中，b1＝3，bn＝2bn－1＋1(n≥2)．
(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)定义x＝[x]＋(x)，[x]是x的整数部分，(x)是x的小数部分，且0≤(x)＜1.记数列{cn}满足cn＝，求数列{cn}的前n项和．
11. 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
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