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第二章 直角三角形的边角关系
单元测试题
(120分 90分钟)
一、选择题(每题3分，共30分)
1.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,则下列正确的是( )
2.在△ABC中,∠C=90°,若 则 cosB的值为( )
A. C.2
3.如图,在△ABC中,点A,B,C都在正方形网格的格点上,则tan∠BAC=( )
A.1 B.
4.如图,某水库大坝的横断面是梯形 ABCD,坝高 DE =5m ,斜坡 BC的坡比为5:12,则斜坡 BC=( )
A.13 m B.8 m C.18 m D.12 m
5.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔6海里的A处，若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离AB 的长是( )
A.6海里 B.6cos 55°海里 C.6sin 55°海里 D.6tan 55°海里
6.如图,∠ACB=45°,∠PRQ=125°,△ABC底边 BC上的高为h ,△PQR底边 QR上的高为 h ,则有( )
A. h =h B. h ＜h C. h ＞h D.以上都有可能
7.如图，利用四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”中，小正方形的面积是1，大正方形的面积是25，直角三角形中较大的锐角为β，则 tanβ=( )
8.如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,将△ABC绕点 A 逆时针旋转得到△AB'C',使点C'落在AB边上,连接BB',则sin∠BB'C'的值为( )
A. B.
9.如图，在平面直角坐标系xOy中， 连接AB并延长至C，连接OC，若满足OC =BC·AC,tanα=3,则点C 的坐标为( )
A.(-2,6) B.(-3,9)
10.如图，小欢同学为了测量建筑物AB 的高度，从建筑物底端点B出发，经过一段坡度
i=1：2.4的斜坡，到达点C，测得坡面BC 的长度为15.6m，再沿水平方向行走 30m到达点D(A，B，C，D在同一平面内).在点 D处测得建筑物顶端A 的仰角为37°，则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin 37°≈0.60,c os37°≈0.80, tan 37°≈0.75)( )
A.27.3 m B.28.4 m C.33.3 m D.38.4 m
二、填空题(每题4分，共24分)
11.如图，在山坡上种树，已知∠C=90°，∠A=α，相邻两棵树的坡面距离AB为am，则相邻两棵树的水平距离AC为___________m.
12.如图,点 P(12,a)在反比例函数 的图象上,PH⊥x轴于H,则 tan∠POH 的值
为____________.
13.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 米，则这个坡面的坡度为___________.
14.在△ABC中, AD是 BC边上的高,∠ACD=45°,则BC的长为____________.
15.如图，为测量旗杆 AB的高度，在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点 D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点 B在同一水平线上.已知 CD=9.6m,则旗杆AB 的高度为___________m.
16.如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A 处测得海岛上观测点 D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西北45°方向上,若 CD与AB平行,则 CD=____________海里(计算结果不取近似值).
三、解答题(17～19 题每题10分,其余每题12分,共66分)
17.计算:
18.在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,∠B=60°,求这个三角形的其他元素.
19.荷泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB 的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点 D,求BD的长.(结果精确到0.1米.参考数据:sin 37°≈0.60,c os 37°≈0.80, tan 37°≈
20.如图,已知四边形 ABCD为矩形, 点E 在 BC上,CE=AE,将△ABC沿AC翻折得到△AFC,连接 EF.
(1)求EF的长;
(2)求 sin∠CEF 的值.
21.“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点 E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD=2m,BF=3m .
(1)天睛时打开“天幕”,若α=65°,求遮阳宽度 CD(结果精确到0.1m );
(2)下雨时收拢“天幕”，α从65°减小到45°，求点E下降的高度(结果精确到0.1m).
(参考数据：
22.小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜 MN，MN与墙面AB 所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8m，房顶AM 与水平地面平行，小强在点 M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离 CD是多少 (结果精确到0.1m，参考数据:sin 34°≈0.56, tan 34°≈0.67, tan 56°≈1.48)
参考答案
一、1. B 【点拨】因为∠ACB =90°,CD⊥AB,所以 故选 B.
2. A 【点拨】∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴sinA=故选A.
3. A 【点拨】由题图可知 BC =AB ,∴△ABC为直角三角形,且∠BCA=90°,故选A.
4. A 【点拨】过点 C作CF⊥AB,垂足为 F.∵坝高 DE=5m ,CF⊥AB,∴DE=CF=5m.又∵斜坡BC的坡比为5:12,∴BF=12m,∴在Rt△BCF中, 故选A.
5. B 【点拨】由题易知∠B=90°,∠A=55°,AP=6海里,∴AB=AP·c osA=6cos 55°海里.故选 B.
6. B 【点拨】如图，分别作出两个三角形的高h ，h .
∵∠ACB = 45°,AC = 5,∴ h = AC × sin 45°=5sin 45°.∵∠PRQ = 125°,PR =5,∴h = PR×sin(180°-125°) = 5sin 55°.∵ sin 55°> sin 45°,∴h >h .故选B.
7. A 【点拨】由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5.设直角三角形中较小直角边的边长为x，则有(1+x) +x =25.解得x=3(负值不合题意,舍去),∴较长直角边的边长为 x + 1 = 4, 故选 A.
8. C 【点拨】在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8，由勾股定理得 10.∵△ABC绕点A逆时针旋转得到 .在Rt△BB'C'中,由勾股定理得 故选C.
9. C 【点拨 又∵∠C=∠C,∴△OBC∽△AOC,∴∠A =∠COB.∵α+∠COB=90°,∠A+∠ABO=90°,∴∠ABO=α.
∴OA =3OB.由勾股定理可得OA +OB =AB ,即9OB +OB = 如图,过点 C 作 CD⊥x轴于点 D.
∵tanα=3,∴设 即 解得 经检验， 是原方程的解.∴点C的坐标为 故选C.
10. A 【点拨】设AB的延长线与DC 的延长线交于点E.
∵BC=15.6m ,斜坡BC的坡度 14.4+30=44.4(m).
又∵∠D=37°,∴AE = ED·tan 37°≈44.4×0.75=33.3(m),
∴AB=AE-BE≈33.3-6=27.3(m).
二、11.acosα 【点拨】∵∠C=90°,∠A=α,AB=a m,∴AC=AB·cosα=acosαm.
【点拨】∵点 P(12,a)在反比例函数 的图象上，∴ 轴于H,∴PH=5,
13.1：2 【点拨】由勾股定理得斜坡的水平宽度为(米).则这个坡面的坡度
或 【点拨】分情况讨论：如图①，
当AD在△ABC的内部时,∵AD⊥BC,即∠ADB=∠ADC = 90°.在 Rt△ACD 中,∠ACD = 45°,
在Rt△ABD中, 解得AB=4.根据勾股定理得
如图②,当AD在△ABC的外部时,∵AD是 BC 边上的高,∴∠D=90°.在Rt△ACD中,∠ACD=45°,∴∠DAC=45°.∴AD=DC=AC·sin 45°=2.在 Rt△ABD中, 综上，BC的长为 或
15.14.4 【点拨】过点D作DE⊥AB于E,则∠AED=90°,四边形 BCDE 是矩形,∴BE = CD=9.6m ,∠CDE=∠DEA = 90°,∴∠ADC = 90°+30°=120°.∵∠ACB=60°,∴∠ACD=30°,∴∠CAD=30°=∠ACD,∴AD=CD=9.6m .在Rt△ADE中,BE=4.8+9.6=14.4(m).
【点拨】如图，过点D作 DE⊥AC,垂足为E.
依题意得，(海里),∠FAD=15°,∠FAC=45°,∠FAB=90°,∠ABC=45°,∴∠CAB=90°-45°=45°,∠DAC=∠FAC-∠FAD=30°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=90°.在Rt△ACB中, (海里).设DE=x海里,在 Rt△DAE中,AE= (海里).∵DC∥AB,∴∠DCA=∠CAB = 45°.在 Rt△DEC中 x海里, 海里.∵AE+EC=AC,∴ x+解得 海里.
三、17.【解】(1)原式
(2)原式
18.【解】∵∠C=90°,∠B=60°,∴∠A=90°-∠B=90°-60°=30°.
19.【解】在 Rt△ABC中,AB=8米,∠ABC=37°,∴AC=AB·sin∠ABC≈8×0.60=4.8(米),
BC=AB·cos∠ABC≈8×0.80=6.4(米).
在 Rt△ADC中,∠ADC=30°,(米),∴BD=CD-BC≈8.3-6.4=1.9(米).
答:BD的长约为 1.9 米.
20.【解】(1)如图,设BE=x,则EC=4-x,∴AE=EC =4-x.
在 Rt△ABE中,AB +BE =AE , 解得x=1.∴BE=1,AE=CE=3.
∵AE=EC,∴∠1=∠2.∵∠ABC = 90°,∴∠CAB = 90°-∠2,∴∠CAB=90°-∠1.
由折叠可知△FAC≌△BAC, ∴∠FAC+ ∠1=90°,即∠FAE=90°.
在 Rt△FAE中,
(2)如图,过F作FM⊥BC于M,∴∠FME=∠FMC=90°.设EM=a,则MC=3-a.
在 Rt△FME中,FM =FE -EM ,
在 Rt△FMC中,FM =FC -MC ,
∴FE -EM =FC -MC ,
21.【解】(1)∵AD=AC=2m ,∠AOD=90°,∴CD=2OD.
在 Rt△AOD中,∠OAD=α=65°,∴OD=AD·sinα=2×sin 65°≈2×0.91 =1.82(m),
∴CD=2OD≈3.6m .
答:遮阳宽度 CD约为3.6m .
(2)如图,过点 E作 EH⊥AB于H,则∠BHE=90°.
∵AB⊥BF,EF⊥BF,∴∠ABF=∠EFB=90°,∴四边形 BFEH 为矩形,∴EH=BF=3m.
在 Rt△AHE中,
当α=65°时,
当α=45°时,
∴当α从65°减小到45°时，点E下降的高度约为3-1.4=1.6(m).
22.【解】如图,过M点作 ME⊥MN交 CD于E点,则∠NME=90°.
由题易得四边形 AMCB 为矩形，∴MC=AB=8 m,AB∥CM,∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°.
∵地面上的点 D经过平面镜 MN反射后落在点 C，∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°,∴∠CMD=56°.
在 Rt△CMD中, 即
即水平地面上最远处 D到小强的距离CD约是11.8 m.
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