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2023年人教版七年级上册同步讲义：10 有理数的乘法
学习目标
1．理解有理数的乘法法则；
2．能利用有理数的乘法法则进行简单的有理数乘法运算；
3．会利用有理数的乘法解决实际问题。　
4．会确定多个因数相乘时积的符号，并会用法则进行多个因数的乘积运算；
5．掌握有理数乘法的运算律，能利用乘法的运算定律进行简化计算。
知识梳理
知识点1．有理数的乘法法则
(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
(2)任何数与0相乘都得0.
知识点2．多个有理数相乘的法则
①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.
知识点3．有理数乘法的运算律
（1）乘法交换律：a×b＝b×a；
（2）乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；
（3）乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.
考点解析
考点1. 有理数的乘法法则
【例题1】计算：
(1)5×(－9); (2)(－5)×(－9)；
(3)(－6)×(－9); (4)(－6)×0； (5)(－)×.
考点2.有理数乘法的新定义问题
【例题2】若定义一种新的运算“*”，规定a*b＝ab－3a.求3*(－4)的值．
考点3.多个数相乘
【例题3】计算：
(1)－2×3×(－4)；
(2)－6×(－5)×(－7)；
(3)0.1×(－0.001)×(－1)；
(4)(－100)×(－1)×(－3)×(－0.5)；
(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.
考点4.有理数乘法的运算律
【类型1】 利用运算律简化计算
【例题4】计算：
(1)(－＋)×(－24)；
(2)(－7)×(－)×.
【类型2】 逆用乘法的分配律
【例题5】计算：－32×＋(－11)×(－)－(－21)×.
【类型3】 有理数乘法的运算律应用
【例题6】我市旅游局发布统计报告：国庆期间，溱湖风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数).
日期 10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10月 6日 10月 7日
人数变化 单位：万人 ＋1.2 ＋0.8 ＋0.2 －0.2 －0.6 ＋0.2 －1
若9月30日的游客人数为0.6万人，10月1日～10月3日门票为每人150元，10月4日～10月5日门票为每人120元，10月6日～10月7日门票为每人100元，问国庆期间溱湖风景区门票收入是多少元？
考点精练
一、选择题
1．计算：3×（﹣2）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
2．算式743×369﹣741×370之值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
3. （2022浙江台州）计算的结果是（ ）
A. 6 B. C. 5 D.
二、填空题
1.计算: （1/4+1/6-1/2）×12=_________
2.计算： (－8)×(－12)×(－0.125)×(－1/3 )×(－0.1) =_________
三、解答题
1. 有理数的乘法的计算：
(1)（-9）×（-6） ； (2)( 9)×6 ；
(3)3 ×（-4）； (4)（-3）×（-4）
2. 计算：（－85）×（－25）×（－4）
3．用简便方法计算：．
4．学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对．
小明的解法：原式；
小军的解法：原式．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把看作，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：．、
答案解析
考点解析
考点1. 有理数的乘法法则
【例题1】计算：
(1)5×(－9); (2)(－5)×(－9)；
(3)(－6)×(－9); (4)(－6)×0； (5)(－)×.
【答案】见解析。
【解析】(1)(5)小题是异号两数相乘，先确定积的符号为“－”，再把绝对值相乘；(2)(3)小题是同号两数相乘，先确定积的符号为“＋”，再把绝对值相乘；(4)小题是任何数同0相乘，都得0.
解：(1)5×(－9)＝－(5×9)＝－45；
(2)(－5)×(－9)＝5×9＝45；
(3)(－6)×(－9)＝6×9＝54；
(4)(－6)×0＝0；
(5)(－)×＝－(×)＝－.
【方法总结】两数相乘，积的符号是由两个乘数的符号决定：同号得正，异号得负，任何数乘以0，结果为0.
考点2.有理数乘法的新定义问题
【例题2】若定义一种新的运算“*”，规定a*b＝ab－3a.求3*(－4)的值．
【答案】见解析。
【解析】解答此类新定义问题时要根据题设先确定运算顺序，再根据有理数乘法法则进行计算．
3*(－4)＝3×(－4)－3×3＝－21.
【方法总结】解题时要正确理解题设中新运算的运算方法．
考点3.多个数相乘
【例题3】计算：
(1)－2×3×(－4)；
(2)－6×(－5)×(－7)；
(3)0.1×(－0.001)×(－1)；
(4)(－100)×(－1)×(－3)×(－0.5)；
(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.
【答案】见解析。
【解析】先确定结果的符号，然后再将它们的绝对值相乘即可．
(1)原式＝－6×(－4)＝24；
(2)原式＝30×(－7)＝－210；
(3)原式＝－0.0001×(－1)＝0.0001；
(4)原式＝100×(－3)×(－0.5)＝－300×(－0.5)＝150；
(5)原式＝0.
【方法总结】①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.
考点4.有理数乘法的运算律
【类型1】 利用运算律简化计算
【例题4】计算：
(1)(－＋)×(－24)；
(2)(－7)×(－)×.
【答案】见解析。
【解析】第(1)题，按运算顺序应先算括号内的再算括号外的，显然括号内两个分数相加，通分较麻烦，而括号外面的因数－24与括号内每个分数的分母均有公因数，若相乘可以约去分母，使运算简便．因此，可利用乘法分配律进行简便运算．第(2)题，仔细观察，会发现第1个因数－7与第3个因数的分母可以约分，因此可利用乘法的交换律把它们先结合运算．
解：(1)(－＋)×(－24)＝(－)×(－24)＋×(－24)＝20＋(－9)＝11；
(2)(－7)×(－)×＝(－7)××(－)＝(－)×(－)＝.
【方法总结】当一道题按照常规运算顺序去运算较复杂，而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些，这时可用运算律进行简化运算．
【类型2】 逆用乘法的分配律
【例题5】计算：－32×＋(－11)×(－)－(－21)×.
【答案】见解析。
【解析】根据乘法分配律的逆运算可先把－提出，可得－×(32－11－21)，再计算括号里面的减法，后计算乘法即可．
原式＝－×(32－11－21)＝0.
【方法总结】如果按照先算乘法，再算加减，则运算比较繁琐，且符号容易出现问题，但如果逆用乘法的分配律，则可以使运算简便．
【类型3】 有理数乘法的运算律应用
【例题6】我市旅游局发布统计报告：国庆期间，溱湖风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数).
日期 10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10月 6日 10月 7日
人数变化 单位：万人 ＋1.2 ＋0.8 ＋0.2 －0.2 －0.6 ＋0.2 －1
若9月30日的游客人数为0.6万人，10月1日～10月3日门票为每人150元，10月4日～10月5日门票为每人120元，10月6日～10月7日门票为每人100元，问国庆期间溱湖风景区门票收入是多少元？
【答案】见解析。
【解析】解此类问题时要根据表格信息，正确理解题意．
10月1日的游客人数为0.6＋1.2＝1.8(万人)；10月2日的游客人数为1.8＋0.8＝2.6(万人)；10月3日的游客人数为2.6＋0.2＝2.8(万人)；10月4日的游客人数为2.8－0.2＝2.6(万人)；10月5日的游客人数为2.6－0.6＝2(万人)；10月6日的游客人数为2＋0.2＝2.2(万人)；10月7日的游客人数为2.1－1＝1.1(万人)．则该风景区国庆期间的门票收入为[150×(1.8＋2.6＋2.8)＋120×(2.6＋2)＋100×(2.2＋1.2)]×10000＝19720000(元)．
【方法总结】解答本题关键是根据题意列出算式，然后根据乘法的分配律进行简便计算．
考点精练
一、选择题
1．计算：3×（﹣2）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
【答案】D
【解析】根据有理数乘法法则进行运算．
3×（﹣2）＝﹣4．
2．算式743×369﹣741×370之值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据乘法分配律，可简便运算，根据有理数的减法，可得答案．
原式＝743×(370﹣1)﹣741×370＝370×(743﹣741)﹣743＝370×2﹣743＝﹣3
3. （2022浙江台州）计算的结果是（ ）
A. 6 B. C. 5 D.
【答案】A
【解析】根据有理数乘法法则计算即可．
．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数乘法：两个数相乘，同号得正，异号得负，再将两个数字的绝对值相乘．
二、填空题
1.计算: （1/4+1/6-1/2）×12=_________
【答案】-1
【解析】（1/4+1/6-1/2）×12
=（1/4）×12+(1/6) ×12-(1/2）×12
=3+2-6
=-1
2.计算： (－8)×(－12)×(－0.125)×(－1/3 )×(－0.1) =_________
【答案】－0.4
【解析】原式=－8×(－0.125) ×(－12) ×(－1/3 ) ×(－0.1)
=[－8×(－0.125)] ×[(－12) ×(－1/3 )] ×(－0.1)
=1×4×(－0.1)
=－0.4
三、解答题
1. 有理数的乘法的计算：
(1)（-9）×（-6） ；
(2)( 9)×6 ；
(3)3 ×（-4）；
(4)（-3）×（-4）
【答案】（1）54（2）-54（3）-12（4）12
【解析】有理数乘法的求解步骤:先确定积的符号，再确定积的绝对值。
(1) （-9）×（-6）= 54 ;
(2) ( 9)×6 = (9×6) = 54;
(3) 3×（-4）= （3 ×4）=-12
(4)（-3）×（-4）= +（3×4）=12
2. 计算：（－85）×（－25）×（－4）
【答案】－8500
【解析】原式＝（－85）×［（－25）×（－4）］
＝（－85）×100
＝－8500
3．用简便方法计算：．
【答案】
【解析】
本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律进行简便运算，掌握乘法分配律是解题的关键．
4．学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对．
小明的解法：原式；
小军的解法：原式．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把看作，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：．
【答案】（1）小军；（2）见解析；（3）
【解析】（1）根据两人得计算过程可以判断出小军的解法较好；
（2）观察算式转化成（50-）×（-5），再利用乘法分配律进行计算；
（3）将9写成（10-），然后利用乘法分配律进行计算．
【详解】（1）小军的解法较好；
（2）小强的解法：
；
（3）．
本题考查了有理数乘法，掌握乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转换是解题的关键．

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