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2023年人教版七年级上册同步讲义：09 有理数加减混合运算
学习目标
1．会把有理数的加减混合运算统一成加法运算；
2．熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序；
3．能根据具体问题，适当运用运算律进行简化运算。　　
知识梳理
知识点1．有理数的加减混合运算
(1)将减法转化为加法，然后去掉括号和加号．
(2)运用加法法则和运算律进行计算．
知识点2．加法运算律
(1)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(2)交换律：a＋b＝b＋a.
方法规律总结：有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤：（1）减法化加法；
（2）省略括号和加号；
（3）运用加法运算律使计算简便；
（4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
考点解析
考点1.加减混合运算统一成加法运算
【例题1】将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．
(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)
考点2.有理数的加减混合运算
【例题2】计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；
(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)；
(3)－－(－)＋(－)．
考点3.利用有理数加减运算解决实际问题
【例题3】下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：米).
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化 0.2 0.81 －0.35 0.13 0.28 －0.36 －0.01
(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它们位于警戒水位之上还是之下，与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？
考点精练
一、选择题
1.计算1—2+3—4+5—6++2013—2014的结果是 （ ）
A． —2019 B． —1007 C． —1 D． 0
2．某地一天早晨的气温是℃，中午温度上升了12℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温是（ ）
A．℃ B．℃ C．2℃ D．6℃
3．如果是非零有理数，且，那么的所有可能的值为（ ）
A．0 B．1或 C．0或 D．2或
4. （2022内蒙古包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（ ）
A. B. C. D. 16
5. （2022河北）与相等的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
1.某天上午的温度是5℃，中午又上升了3℃，下午由于冷空气南下，到夜间
又下降了9℃，则这天夜间的温度是 ℃。
2.将中的减法改成加法并写成省略加号的代数和的形式应是 。
3．如果，且，则的值是______．
三、解答题
1.计算：(－2)＋(+30)－(－15)－(＋27)
2.计算：
3.计算1—2+3—4+5—6+…+2019—2020
4．某出租车周日下午以钟楼为出发点在东西方向的大街上行驶，规定向东为正方向，行驶里程按时间顺序记录如下（单位：km）
＋9，－3.5，－5，＋4.5，－8，＋6.5，－3，－6，＋4，＋10.5
（1）出租车最后在钟楼的什么方向，离钟楼多远？
（2）若出租车按每千米2.4元收费，油费为每千米0.8元，该出租车周日下午的净收入是多少？
答案解析
考点解析
考点1.加减混合运算统一成加法运算
【例题1】将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．
(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)
【答案】见解析。
【解析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；读有理式，式子中第一项的符号，要作为这一项的符号读出正负来，式子中的符号就读作加或减．
(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.
读法①：负13、正7、负21、负9、正32的和；
读法②：负13减去负7减去21减去9加上32.
【方法总结】注意掌握括号前是“＋”号时，将括号连同它前边的“＋”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号．
考点2.有理数的加减混合运算
【例题2】计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；
(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)；
(3)－－(－)＋(－)．
【答案】见解析。
【解析】本题根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运算，求出结果．其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合．另外，同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合．
（1）－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|
＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|
＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3
＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3
＝0＋1－4＋3
＝0；
（2）－14＋11－(－12)－14＋(－11)
＝－14＋11＋12－14－11
＝(－14＋12)＋(11－11)－14
＝－2＋0－14
＝－16；
（3）－－(－)＋(－)
＝－＋－
＝(＋)＋(－－)
＝1＋(－)
＝.
【方法总结】(1)为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律．在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．(2)注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便．(3)当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便．
考点3.利用有理数加减运算解决实际问题
【例题3】下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：米).
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化 0.2 0.81 －0.35 0.13 0.28 －0.36 －0.01
(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它们位于警戒水位之上还是之下，与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？
【答案】见解析。
【解析】(1)先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．理解表中的正负号表示的含义，根据条件计算出每天的水位即可求解；(2)只要观察星期日的水位是正负即可．
解：(1)以警戒水位为基准，前两天的水位是上升的，星期一的水位是＋0.20米；星期二的水位是＋0.20＋0.81＝1.01米；星期三的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66米；星期四的水位是：＋0.66＋0.13＝0.79米；星期五的水位是：0.79＋0.28＝1.07米；
星期六的水位是：1.07－0.36＝0.71米；
星期日的水位是：0.71－0.01＝0.7米；
则水位最低的一天是第一天，高于警戒水位；
水位最高的是第5天；
（2）＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7米；
则本周末河流的水位是上升了0.7米．
【方法总结】关键是分析题意列出算式，采用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题．
考点精练
一、选择题
1.计算1—2+3—4+5—6++2013—2014的结果是 （ ）
A． —2019 B． —1007 C． —1 D． 0
【答案】B
【解析】1—2+3—4+5—6++2013—2014共有2014项，可以分1007项，每一项都是-1.这样代数和为-1007
2．某地一天早晨的气温是℃，中午温度上升了12℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温是（ ）
A．℃ B．℃ C．2℃ D．6℃
【答案】C
【解析】温度上升是加法，温度下降是减法，据此列式计算即可．
由题意得：-2+12-8=2（℃），故选：C．
此题考查有理数加减法解决实际问题，正确理解上升与下降的含义列算式计算是解题的关键．
3．如果是非零有理数，且，那么的所有可能的值为（ ）
A．0 B．1或 C．0或 D．2或
【答案】D
【解析】由、、是非零有理数，且可得，当a、b为正数时，则c为负；当a为正数时，则b、c为负；分情况讨论求的值．
、、为非零有理数，且
、、只能为两正一负或一正两负.
①当、、为两正一负时，设、为正，为负
原式
②当、、为一正两负时，设为正，、为负
原式
综上，的值为2或-2，
故选D．
此题考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4. （2022内蒙古包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（ ）
A. B. C. D. 16
【答案】C
【解析】根据a，b互为相反数，可得，c的倒数是4，可得 ，代入即可求解．
∵a，b互为相反数，
∴，
∵c的倒数是4，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得，是解题的关键．
5. （2022河北）与相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据，分别求出各选项的值，作出选择即可．
A.，故此选项符合题意；
B.，故此选项不符合题意；
C.，故此选项不符合题意；
D.，故此选项不符合题意．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解答本题的关键．
二、填空题
1.某天上午的温度是5℃，中午又上升了3℃，下午由于冷空气南下，到夜间
又下降了9℃，则这天夜间的温度是 ℃。
【答案】-1
【解析】5℃+3℃-9℃=-1℃
2.将中的减法改成加法并写成省略加号的代数和的形式应是 。
【答案】6-3+7-2
【解析】=6-3+7-2
3．如果，且，则的值是______．
【答案】2或6
【解析】首先根据绝对值的意义求得a，b的值，再由|a+ b|= a+ b确定出a与b的对应值有两种可能性，然后分别代入a-b，根据有理数的减法法则计算即可．
∵|a|=4，|b|=2，
∴a=±4, b=±2，
∵|a+b|=a+ b，
∴a+b> 0，
∴a=4，b=2或a=4，b=-2，
当a=4，b=2时，a-b=4-2=2；
当a=4，b=-2时，a-b=4-(-2) =4+2=6，
故a-b的值为：2或6，
故答案为：2或6.
本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，难点在于确定出a、b的对应情况.
三、解答题
1.有理数加减混合计算：(－2)＋(+30)－(－15)－(＋27)
【答案】16
【解析】减法转化成加法后按有理数加法法则计算
原式＝(－2)＋(＋30)＋(＋15)＋(－27)
＝[(－2)＋(－27)]＋[(＋30)＋(＋15)]
＝(－29)＋(＋45)
＝16
2.计算：
【答案】8
【解析】根据有理数的减法法则和加法法则计算即可。
=
=
=
=8
3.计算1—2+3—4+5—6+…+2019—2020
【答案】—1010
【解析】1—2+3—4+5—6++2019—2020共有1010项，
可以分1010项，每一项都是-1.这样代数和为-1010
4．某出租车周日下午以钟楼为出发点在东西方向的大街上行驶，规定向东为正方向，行驶里程按时间顺序记录如下（单位：km）
＋9，－3.5，－5，＋4.5，－8，＋6.5，－3，－6，＋4，＋10.5
（1）出租车最后在钟楼的什么方向，离钟楼多远？
（2）若出租车按每千米2.4元收费，油费为每千米0.8元，该出租车周日下午的净收入是多少？
【答案】（1）出租车离钟楼9km，在钟楼的东方；（2）96元
【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
（1）将最后一名乘客送到目的地时，出租车的位置应该是所有正、负数的和；
（2）求该司机这天下午的营业额，应先求这几个数的绝对值的和，再乘以2.4-0.8=1.6即可求得．
【详解】（1）9－3.5－5＋4.5－8＋6.5－3－6＋4＋10.5＝9．
答：出租车离钟楼9km，在钟楼的东方；
（2）总里程＝9+3.5+5+4.5+8+6.5+3+6+4+10.5=60（km），60×(2.4-0.8)＝96（元）．
答：该出租车周日下午的净收入是96元．
此题考查正数和负数的意义，有理数的加减混合运算的应哟．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

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