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2023年江苏省泰州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算等于( )
A. B. C. D.
2. 书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 若，下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为下列说法正确的是( )
A. 试验次数越多，越大
B. 与都可能发生变化
C. 试验次数越多，越接近于
D. 当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定
5. 函数与自变量的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是( )
A. B.
C. D.
6. 菱形的边长为，，将该菱形绕顶点在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 函数中，自变量的取值范围是______ ．
8. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为______ ．
9. 两个相似图形的周长比为：，则面积比为______ ．
10. 若，则的值为______ ．
11. 半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为______ ．
12. 七班名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为，则 ______ 填“”“”“”
13. 关于的一元二次方程的两根之和为______ ．
14. 二次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，则的值可以是______ 填一个值即可
15. 小明对数书九章中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走里到达城堡边，再往前走里到达树下则该城堡的外围直径为______ 里
16. 如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
解方程：．
18. 本小题分
如图是我国年汽车销售情况统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的______ 精确到；这年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是______ 年；
小明说：新能源汽车年的销售量超过前年的总和，所以年新能源汽车销售量的增长率比年高你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
19. 本小题分
某校组织学生去敬老院表演节目，表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌种类型小明、小丽人积极报名参加，从种类型中随机挑选一种类型求小明、小丽选择不同类型的概率．
20. 本小题分
如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为，且______ ，______ ，则______ ．
给出下列信息：平分；；请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
21. 本小题分
阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式，函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？
通过思考，小丽得到以下种方法：
方法方程的两根为，，可得函数的图象与轴的两个交点横坐标为、，画出函数图象，观察该图象在轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集．
方法不等式可变形为，问题转化为研究函数与的图象关系画出函数图象，观察发现；两图象的交点横坐标也是、；的图象在的图象下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．
方法当时，不等式一定成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为问题转化为研究函数与的图象关系
任务：
不等式的解集为______ ；
种方法都运用了______ 的数学思想方法从下面选项中选个序号即可；
A.分类讨论
B.转化思想
C.特殊到一般
D.数形结合
请你根据方法的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答．
22. 本小题分
如图，堤坝长为，坡度为：，底端在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶处立有高的铁塔小明欲测量山高，他在处看到铁塔顶端刚好在视线上，又在坝顶处测得塔底的仰角为求堤坝高及山高，小明身高忽略不计，结果精确到
23. 本小题分
某公司的化工产品成本为元千克销售部门规定：一次性销售千克以内时，以元千克的价格销售；一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于千克时，均以某一固定价格销售一次性销售利润元与一次性销售量千克的函数关系如图所示．
当一次性销售千克时利润为多少元？
求一次性销售量在之间时的最大利润；
当一次性销售多少千克时利润为元？
24. 本小题分
如图，矩形是一张纸，其中，小天用该纸玩折纸游戏．
游戏折出对角线，将点翻折到上的点处，折痕交于点展开后得到图，发现点恰为的中点．
游戏在游戏的基础上，将点翻折到上，折痕为；展开后将点沿过点的直线翻折到上的点处；再展开并连接后得到图，发现是一个特定的角．
请你证明游戏中发现的结论；
请你猜想游戏中的度数，并说明理由．
25. 本小题分
在平面直角坐标系中，点、的位置和函数、的图象如图所示以为边在轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点，边与函数、的图象分别相交于点、，一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，连接．
若，，求函数的表达式及的面积；
当、在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；
试判断直线与边的交点是否在函数的图象上？并说明理由．
26. 本小题分
已知：、为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
如图，中，、位于直线异侧，．
求的度数；
若的半径为，，求的长；
逆向思考
如图，若为圆内一点，且，，求证：为该圆的圆心；
拓展应用
如图，在的条件下，若，点在位于直线上方部分的圆弧上运动点在上，满足的所有点中，必有一个点的位置始终不变请证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.与无法合并，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及零指数幂的性质、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及零指数幂的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．
故选：．
根据频率的稳定性解答即可．
本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．
5.【答案】
【解析】解：由表格可知，与的每一组对应值的积是定值为，所以是的反比例函数，
故选：．
根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，将该菱形绕顶点在平面内顺时针旋转，
连接，相交于点，与交于点，

四边形是菱形，，
，，，，
，
，，
，
菱形绕点顺时针旋转得到菱形，
，，
，，三点共线，
，
又，
，
，
重叠部分的面积的面积的面积，
重叠部分的面积；
将该菱形绕顶点在平面内逆时针旋转，同方法可得重叠部分的面积，
故选：．
分两种情况：如图，将该菱形绕顶点在平面内顺时针旋转，连接，相交于点，与交于点，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积的面积的面积求解即可．
将该菱形绕顶点在平面内逆时针旋转，同方法可得重叠部分的面积．
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分母不为可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
9.【答案】：
【解析】解：两个相似图形，其周长之比为：，
其相似比为：，
其面积比为：．
故答案为：：．
由两个相似图形，其周长之比为：，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
10.【答案】
【解析】解：
，
，
，
原式．
故答案为：．
直接利用整式的加减运算法则化简，进而把已知代入得出答案．
此题主要考查了整式的加减化简求值，正确合并同类项是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为的圆周长的五分之一，
所以，
故答案为：．
根据正多边形和圆的性质，计算半径为的圆周长的五分之一即可．
本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键．
12.【答案】
【解析】解：因为有个数据，中位数应是数据有小到大排列第、个数据的平均数，
由频数分布直方图可知：第组的人数分别为，，，，，
所以第、个数据都在第组，即，这两个数的平均数一定小于，
故答案为：．
根据中位数的意义解答即可．
本题考查频数分布直方图，中位数的概念，能从频数分布直方图中获取有用信息，明确中位数的确定方法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
解一元二次方程得出的值，再进行相加，从而取得最终答案．
本题主要考查了根与系数的关系．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为，
即二元一次方程的根为，
由根与系数的关系得：，，
一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，
，为异号，
，
故答案为：答案不唯一．
根据根与系数的关系即可求解．
本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
15.【答案】
【解析】解：如图，表示圆形城堡，
由题意知：切圆于，切圆于，连接，
，，里，
里，
里，
，
，
，
里．
城堡的外围直径为里．
故答案为：．
由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出，由，求出里，即可得到答案．
本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，由锐角的正切得到，求出长即可．
16.【答案】或
【解析】解：由折叠得：，，
分三种情况：当时，
，
是的一个外角，
，
；
当时，
，
是的一个外角，
，
此种情况不成立；
当时，如图：
，
，
是的一个外角，
，
；
综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或，
故答案为：或．
根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换折叠问题，分三种情况讨论是解题的关键．
17.【答案】解：
；
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
【解析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．
18.【答案】
【解析】解：年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：，
年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：，
年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：，
年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：，
这年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是年．
故答案为：，年；
不同意．理由如下：
年新能源汽车销售量的增长率为：，
年新能源汽车销售量的增长率为：，
年新能源汽车销售量的增长率比年低．
将图中数据分别计算年我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比即可求解；
求出、年新能源汽车销售量的增长率即可求解．
本题主要考查了条形统计图，折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键．
19.【答案】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中小明、小丽选择不同类型的有种，
所以小明、小丽选择不同类型的概率为．
【解析】用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
20.【答案】
【解析】证明：根据题意补全图形如图所示：
垂直平分，
，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
在与中，
，
≌，
，
在与中，
，
≌，
，
又，
，
即，
平分．
故答案为：．
根据题意补全图形，连接、，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出，在求证三角形全等得出角相等，求得，进而得出结论平分．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键．
21.【答案】
【解析】解：解方程，
得，，
函数的图象与轴的两个交点横坐标为、，
画出二次函数的大致图象如图所示，
由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即．
所以不等式的解集为：．
故答案为：；
上述种方法都运用了数形结合思想，
故答案为：；
当时，不等式一定成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．
画出函数和函数的大致图象如图：
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，
当时，不等式一定成立，
不等式的解集为：．
利用题干中的方法，画出函数的图象，观察图象解答即可；
依据解答过程体现的数学思想方法解答即可；
画出函数和函数的大致图象，结合图象即可求得．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
22.【答案】解：过作于，
坡度为：，
设，，
，
，
，，
过作于，
则，，
设，
．
，
，
坡度为：，
：：：，
，
米，
米，
答：堤坝高为米，山高为米．
【解析】过作于，设，，根据勾股定理得到，求得，，过作于，则，，设，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用俯角仰角，解直角三角形的应用坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：根据题意，当时，，
当一次性销售千克时利润为元；
设一次性销售量在之间时，销售价格为，
，
，，
当时，有最大值，最大值为，
一次性销售量在之间时的最大利润为元；
由知，当时，，
当一次性销售量在之间时，利润为元，
，
解得，，
当一次性销售为或千克时利润为元．
【解析】用销售量利润计算即可；
根据一次性销售不低于千克时，每增加千克降价元求出销售单价，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
根据中解析式，令，解方程即可．
本题考查二次函数的应用，关键是根据题意确定二次函数解析式．
24.【答案】证明：由折叠的性质可得，
，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，，
，
即，
，
解得，
根据勾股定理可得，
，
即，
．
解得，
，
，
点为的中点．
解：，理由如下：
连接，如图：
由折叠的性质可知，，
，，
，
，
，
由知，可得，
，
设，则，，
，
，
在中，，
，
，
．
【解析】由折叠的性质可得，根据题意可得，再设，然后表示出、，再由锐角三角函数求出即可；
由折叠的性质可知，，从而可得出，进而得到，，由知，可得，在中求出的正切值即可解答．
本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题关键．
25.【答案】，，
点，，，，
点，，，
一次函数的图象经过点、，
设，则
，
，
函数的表达式为，
，
，
．
点，，，，
点，，，
设，则
，
，
，
，
．
当、在满足的条件下任意变化时，的面积不变化．
设直线与边的交点为，设直线为，代入，得，
，
，
当时，，
，
点在的图象上．
【解析】先确定、两个点的坐标，再利用待定系数法求出函数的表达式，进而求出点的坐标，结合点求的面积；
按的思路求解；
用，表示直线与边的交点，验证是否在函数的图象上．
本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，难在用字母表示，计算繁琐易出错．
26.【答案】解：，，
，
．
连接，过作，垂足为，
，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
延长交圆于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
≌，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
．
【解析】根据，结合圆周角定理求的度数；
构造直角三角形；
只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；
根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
本题考查了圆周角定理，并对圆周角定理的逆命题进行了创新，还考查了解直角三角形和三角形全等的知识，对于构造一条线段等于是关键．
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