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第1章　三角形的初步认识
1.1　认识三角形
第2课时　三角形的高线、中线与角平分线
基础过关全练
知识点1　三角形的角平分线
1.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论错误的是(　　)
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
2.如图,在△ABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是△ABC的角平分线,则∠CAD的度数为(　　)
A.40°　　　　B.45°　　　　C.50°　　　　D.55°
知识点2　三角形的中线
3.【教材变式·P9T5】如图,已知AD为△ABC边BC上的中线,AB=12,AC=9,△ACD的周长为27,则△ABD的周长为(　　)
A.27　　　　B.29　　　　C.30　　　　D.31
4.(2023浙江绍兴柯桥月考)如图,在△ABC中,D、E、F分别为BC、AD、CE的中点,且S△ABC=12 cm2,则阴影部分△AEF的面积为(　　)
A.1 cm2　　　　B.1.5 cm2　　　　C.2 cm2　　　　D.3 cm2
知识点3　三角形的高线
5.(2023浙江杭州上城开元中学期中)在三条边都不相等的三角形中,同一条边上的中线、高和这边所对角的平分线,最短的是(　　)
A.角平分线　　　　B.高
C.中线　　　　 D.不能确定
6.(2023浙江杭州余杭联盟学校月考)下列△ABC的边AC上的高的画法中,正确的是(　　)
　
A B C D
7.(2022浙江杭州大关中学期中)如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点,那么这个三角形是(　　)
A.锐角三角形　　　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　　　D.不能确定
能力提升全练
8.【新考法】(2022河北中考,2,★☆☆)如图,将△ABC折叠,使AC边落在AB边上,展开后得到折痕l,则l是△ABC的(　　)
A.中线　　　　B.中位线　　　　
C.高线　　　　D.角平分线
9.(2022河南周口沈丘期末,10,★★☆)如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,下面判断正确的有(　　)
①AD是△ABE的角平分线;
②BE是△ABD边AD上的中线;
③CH是△ACD边AD上的高;
④AH是△ACF的角平分线和高.
A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个
10.【一题多变】(2023浙江温州洞头期中,8,★★☆)如图,在△ABC中,AD是角平分线,AE是高,已知∠B=50°,∠C=60°,那么∠EAD的度数为(　　)
A.35°　　　　B.5°　　　　C.15°　　　　D.25°
[变式1]　如图,在△ABC中,AD是角平分线,AE是高,已知∠C-∠B=20°,那么∠EAD的度数为　　　°.
[变式2]　【方程思想】(2023浙江杭州拱墅月考,7,★★☆)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AE⊥BC,已知∠BAC=2∠B,∠B=4∠DAE,那么∠C的度数为(　　)
A.45°　　　　B.60°　　　　C.70°　　　　D.72°
11.(2022湖北荆门中考,13,★★☆)如图,点G为△ABC的重心,D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,具有性质:AG∶GD=BG∶GE=CG∶GF=2∶1.已知△AFG的面积为3,则△ABC的面积为　　　　.

12.(2022湖北黄冈浠水月考,17,★★☆)在△ABC中,AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成70和50两部分,求AC和AB的长.
素养探究全练
13.【推理能力】已知AD为△ABC的中线,E为AD上一点.
(1)如图①,若AB-AC=3,△ADC的周长为10,求△ABD的周长;
(2)若△BDE的面积为20,BD=8,请在图②中作△BDE边BD上的高,并求出点E到BC的距离;
(3)如图③,若∠ABD=40°,∠ADB=110°,BE平分∠ABD,点P是射线BE上一点,连结DP,且DP与△BDE的一条边所在的直线垂直,请直接写出∠BDP的度数.
图① 图② 图③
答案全解全析
基础过关全练
1.D　根据角平分线的定义可得,CE是△BCD的角平分线,选项D符合题意.故选D.
2.A　由三角形内角和定理可得,∠BAC=180°-∠B-∠C=80°,
∵AD是△ABC的角平分线,∴∠CAD=∠BAC=40°.故选A.
3.C　∵△ACD的周长为27,∴AC+CD+AD=27,∵AC=9,
∴CD+AD=18,∵AD为△ABC边BC上的中线,∴BD=CD,
∴BD+AD=18,∴△ABD的周长为AB+BD+AD=12+18=30.故选C.
4.B　∵S△ABC=12 cm2,D为BC的中点,∴S△ADC=S△ABC=×12=6(cm2),
∵E为AD的中点,∴S△AEC=S△ADC=×6=3(cm2),∵F为EC的中点,∴S△AEF=S△AEC=×3=1.5(cm2).故选B.
5.B　根据“垂线段最短”可得,同一条边上的中线、高和这边所对角的平分线中,最短的是高.故选B.
6.D　在△ABC中,AC边上的高,即是过点B作AC边所在直线的垂线段,选项D符合题意.故选D.
7.B　直角三角形的三条高交于直角顶点,所以该三角形为直角三角形.故选B.
能力提升全练
8.D　本题借助折叠考查角平分线的概念.由已知可得,∠1=∠2,则l为△ABC的角平分线.故选D.
9.B　根据三角形角平分线的概念,知AG是△ABE的角平分线,故①错误;根据三角形中线的概念,知BG是△ABD边AD上的中线,故②错误;根据三角形高的概念,知CH为△ACD边AD上的高,故③正确;根据三角形角平分线和高的概念,知AH是△ACF的角平分线和高,故④正确.故选B.
10.B ∵∠B=50°,∠C=60°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°,
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAC=∠BAC=35°,∵AE是高,∴∠AEC=90°,∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°,∴∠EAC=180°-
90°-60°=30°,∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-30°=5°.故选B.
[变式1]　答案　10
解析　∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAC=∠BAC=(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-∠C,
∵AE是高,∴∠AEC=90°,∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°,
∴∠EAC=180°-90°-∠C=90°-∠C,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-∠B-∠C-(90°-∠C)=(∠C-∠B),
∵∠C-∠B=20°,∴∠DAE=×20°=10°.
[变式2]　B　设∠DAE=a°,则∠B=4a°,∴∠BAC=8a°,
∴∠C=180°-12a°,∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,
∴∠EAC=180°-90°-∠C=12a°-90°,
∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAC=4a°,
∵∠DAC-∠EAC=∠DAE,∴4a-(12a-90)=a,
解得a=10,∴∠C=180°-12a°=60°.故选B.
11.答案　18
解析　∵CG∶GF=2∶1,△AFG的面积为3,∴△ACG的面积为6,∴△ACF的面积为3+6=9,∵点F为AB的中点,∴△ACF的面积=△BCF的面积,∴△ABC的面积为9+9=18.
12.解析　∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,设BD=CD=x,则BC=2x,∴AC=2BC=4x,
分为两种情况:
①当AC+CD=70,AB+BD=50时,4x+x=70,解得x=14,
∴BC=2x=2×14=28,AC=4x=4×14=56,BD=CD=14,
∴AB=50-BD=50-14=36,
∵BC+AB=28+36=64,AC=56,64>56,∴能组成三角形,此时AC=56,AB=36;
②当AC+CD=50,AB+BD=70时,4x+x=50,解得x=10,
∴BC=2x=2×10=20,AC=4x=4×10=40,BD=CD=10,∴AB=
70-BD=70-10=60,
∵BC+AC=20+40=60,AB=60,60=60,∴不能组成三角形,舍去.
综上所述,AC=56,AB=36.
素养探究全练
13.解析　(1)∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD,
∵AB-AC=3,∴△ABD的周长-△ADC的周长=AB+BD+
AD-(AC+CD+AD)=AB-AC=3,
∵△ADC的周长为10,∴△ABD的周长=10+3=13.
(2)如图1,EF为△BDE的边BD上的高.∵△BDE的面积为20,∴S△BDE=BD·EF=20,即×8EF=20,∴EF=5,∴点E到BC的距离为5.
图1 图2
(3)∠BDP的度数为70°或90°或20°.
详解:∵∠ABD=40°,BE平分∠ABD,
∴∠DBE=∠ABD=20°.
如图2,DP⊥BE时,∠BPD=90°,∴∠BDP=180°-90°-20°=70°;
DP1⊥BD时,∠BDP1=90°;DP2⊥DE时,∠P2DE=90°,
∴∠BDP2=∠ADB-∠P2DE=110°-90°=20°.
综上,∠BDP的度数为70°或90°或20°.

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