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专题05 用空间向量研究直线、平面的平行、垂直问题
10种常见考法归类
1．空间中点、直线和平面的向量表示
点P的位置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量表示，我们把向量称为点P的位置向量.
空间直线的向量表示式 a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，也可以表示为＝＋t.这两个式子称为空间直线的向量表示式.
空间平面ABC的向量表示式 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y，这就是空间平面ABC的向量表示式.
2.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？
注：不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量．
3．空间中平行关系的向量表示
线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2 u1∥u2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
线面平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α u·n＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
4．空间中有关垂直的向量关系
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
5．空间中垂直关系的向量表示
线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2 u·v＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α u∥n u＝λn (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)
面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？
注：垂直．
对直线方向向量的三点说明
(1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量.
(2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
(3)非零性：直线的方向向量是非零向量．
直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量．
7．在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？
注：可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标．
8．依据待定系数法求出的平面法向量唯一吗？
注：不唯一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可．
9．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？
注：根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意一条直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．
10．求平面法向量的步骤
(1)设法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程组
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
11．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.
12．向量法处理空间平行问题的两个应用
(1)求字母的值：通过线线、线面、面面平行转化为向量的共线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系，进而求出字母的值．
(2)求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式．
13．证明两直线平行的方法
法一：平行直线的传递性
法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn.
法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
14．向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
15．应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
16．向量法证明线面平行的两个关注点
(1)明确理论依据
如果一条直线与一个平面的垂线垂直，那么，这条直线在平面内或与平面平行．
(2)区分有关概念
直线与平面平行，直线一定在平面外，向量与平面平行，向量对应的直线可在平面内.
17．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
18．利用向量法证明线线垂直的方法
用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法如下：
(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可．
(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.
19．利用空间向量证明线面垂直时，一般有哪几种思路？
注：利用基向量的办法和建立空间坐标系的方法，但往往都是求直线的方向向量与平面的法向量共线．
20．证明线面垂直，能否不求平面的法向量？
注：可以，这时只需证明直线的方向向量分别与平面内两个不共线的向量的数量积为零即可．
21．应用线线垂直求点的坐标的策略
(1)设出点的坐标．
(2)利用点满足的条件建立与坐标有关的方程．
(3)通过解方程的方法求出点的坐标．
22．坐标法证明线面垂直的两种方法
法一：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
法二：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
注：使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．
23．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：
一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
24．向量法证明面面垂直的优越性
主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
25.空间垂直关系的解决策略
几何法 向量法
线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为90°. (2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直 两直线的方向向量互相垂直
线面 垂直 对于直线l，m，n和平面α (1)若l⊥m，l⊥n，m α，n α，m与n相交，则l⊥α. (2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α (1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面垂直 对于直线l，m和平面α，β (1)若l⊥α，l β，则α⊥β. (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β. (3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β 证明两个平面的法向量互相垂直
26.探索性问题的解决方法
(1)猜测法：猜测满足的条件，然后以此为基础结合题目中的其他条件进行证明结论成立，或者利用题目条件用变量设出条件，再结合结论逆向推导出变量的取值．
(2)逆推法：利用结论探求条件；如果是存在型问题，那么先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在．
27．解决空间平行、垂直关系的两个策略
（1）关注解决空间平行、垂直关系的依据
平行、垂直关系的向量表示是解题依据，是解题的前提和根本，也是避免无谓丢分的关键，如本例利用向量平行证明线线平行；通过证明两个平面的法向量互相垂直，得两个平面互相垂直．
（2）准确计算，避免失误
利用向量法解决空间平行垂直问题的最大特点是通过计算证明位置关系，这也是向量法与几何法的主要区别．因此，准确计算是此类问题的关键，如本例中两个平面的法向量坐标必须计算准确.
考点一 求直线的方向向量
考点二 求平面的法向量
考点三 利用空间向量证明线线平行
考点四 利用空间向量证线面平行
考点五 利用空间向量证面面平行
考点六 利用空间向量证明线线垂直
考点七 用空间向量证明线面垂直
考点八 利用空间向量证明面面垂直
考点九 利用空间向量解决平行、垂直的综合问题
考点十 探索性问题
考点一 求直线的方向向量
1．（2023·江苏·高二专题练习）已知点，都在直线上，写出一个直线的方向向量： .
2．（2023·江苏·高二专题练习）若向量都是直线的方向向量，则 .
3．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　）
A．0 B．1 C． D．3
4．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量．
考点二 求平面的法向量
5．（2023·江苏·高二专题练习）若是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）已知向量，则平面的一个法向量（ ）
A． B． C． D．
7．【多选】（2023·江苏·高二专题练习）在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是 （ ）

A．直线 的一个方向向量为
B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为
D．平面的一个法向量为
8．（2023·江苏·高二专题练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（ ）

A． B． C． D．
9．（2023·江苏·高二专题练习）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量

10．（2023·江苏·高二专题练习）已知平面α内两向量，且.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（　　）
A．-1，2 B．1，-2
C．1，2 D．-1，-2
11．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
12．（2023秋·高二课时练习）四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，求平面SCD和平面SAB的法向量.
考点三 利用空间向量证明线线平行
13．（2023春·高二课时练习）已知直线的方向向量分别为和，若，则 .
14．（2023春·高二课时练习）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.证明：PQ∥RS.
15．（2023春·高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.
考点四 利用空间向量证线面平行
16．（福建省厦门市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则 .
17．（2023·全国·高三专题练习）设是平面的一个法向量，是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A．平行或直线在平面内B．不能确定 C．相交但不垂直 D．垂直
18．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·全国·高二专题练习）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点.分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.

(1)求点E、F的坐标；
(2)求证：EF∥平面ACD1.
20．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面，，，E是PD的中点．证明：平面.
21．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
22．（2023·全国·高二专题练习）如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若，用向量法证明：直线MN∥平面PAB.

23．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
24．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A． B． C． D．1
考点五 利用空间向量证面面平行
25．（2023秋·高二课时练习）若平面，则下面选项中可以是这两个平面法向量的是（　　）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
26．（2023·江苏·高二专题练习）若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断
27．（2023春·高二课时练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 .
28．（2023·江苏·高二专题练习）已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（　　）
A．α⊥β B．α∥β
C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对
29．【多选】（2023秋·海南·高三校联考期末）如图，在正方体中，，，，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（ ）

A． B．平面
C．平面平面 D．
30．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.

31．（2023春·高一课时练习）如图，从所在平面外一点O作向量，，，.求证：
(1)，，，四点共面；
(2)平面平面.
考点六 利用空间向量证明线线垂直
32．（2023春·高二课时练习）设的一个方向向量为，的一个方向向量为，若，则m等于（ ）
A．1 B． C． D．3
33．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：；
34．（2023春·四川乐山·高二期末）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（2023春·江西吉安·高二宁冈中学校考期末）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．

(1)若，求该几何体的体积；
(2)若AE垂直PD于E，证明：；
(3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点七 用空间向量证明线面垂直
36．（2023·江苏·高二专题练习）设直线的方向向量为，，，为平面的三点，则直线与平面的位置关系是（ ）
A． B． C． D．或
37．（2023春·高二课时练习）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l⊥α，则实数λ的值为 ．
38．（2023秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量.若，则实数a，b的值是（ ）
A．a=1，b=7 B．a=5，b=1 C．a=-5，b=1 D．a=5，b=-1
39．（2023·全国·高二专题练习）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，.
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求PC的长.
40．（2023秋·河南南阳·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，且底面为直角梯形，，， ，，为的中点.
(1)求证：BE//平面PAD
(2)求证：平面PCD
41．（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.
(1)求证：.
(2)求证：平面.
考点八 利用空间向量证明面面垂直
42．【多选】（2023春·甘肃白银·高二校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（ ）
A．若两条不重合的直线，的方向向量分别是，，则
B．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则
C．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则
D．若两个不同的平面，的法向量分别是，，则
43．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA.
44．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，面，在四边形中，，点在上，.求证：
(1)CM面；
(2)面面.
45．（2023·全国·高三专题练习）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若.
(1)求五面体ABCDEF的体积；
(2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD.
考点九 利用空间向量解决平行、垂直的综合问题
46．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一校考期末）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
47．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．

(1)判断，，，四点是否共面，并说明理由；
(2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面．
48．（2023春·福建漳州·高二统考期末）如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.

(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
49．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点.求证：

(1)平面；
(2)平面平面.
考点十 探索性问题
50．（2023秋·辽宁大连·高二大连市第二十三中学校考阶段练习）在多面体中，正方形和矩形互相垂直， 分别是和的中点，.
（1）求证：平面.
（2）试问在边所在的直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
51．（2023·高二课时练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
(1)求证：平面．
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
52．（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，点E为BC的中点．
(1)在B1B上是否存在一点P，使平面？
(2)在平面上是否存在一点N，使平面？
53．（2023·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，垂足为A，，点M在棱PD上，平面ACM．

(1)试确定点M的位置；
(2)计算直线PB与平面MAC的距离；
(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得平面PBD？
54．（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点．
(1)求证：平面．
(2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
55．（2023春·四川成都·高一石室中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为中点.

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得 若存在，求的值；若不存在，说明理由.专题05 用空间向量研究直线、平面的平行、垂直问题
10种常见考法归类
1．空间中点、直线和平面的向量表示
点P的位置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量表示，我们把向量称为点P的位置向量.
空间直线的向量表示式 a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，也可以表示为＝＋t.这两个式子称为空间直线的向量表示式.
空间平面ABC的向量表示式 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y，这就是空间平面ABC的向量表示式.
2.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？
注：不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量．
3．空间中平行关系的向量表示
线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2 u1∥u2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
线面平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α u·n＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
4．空间中有关垂直的向量关系
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
5．空间中垂直关系的向量表示
线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2 u·v＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α u∥n u＝λn (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)
面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？
注：垂直．
对直线方向向量的三点说明
(1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量.
(2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
(3)非零性：直线的方向向量是非零向量．
直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量．
7．在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？
注：可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标．
8．依据待定系数法求出的平面法向量唯一吗？
注：不唯一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可．
9．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？
注：根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意一条直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．
10．求平面法向量的步骤
(1)设法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程组
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
11．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.
12．向量法处理空间平行问题的两个应用
(1)求字母的值：通过线线、线面、面面平行转化为向量的共线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系，进而求出字母的值．
(2)求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式．
13．证明两直线平行的方法
法一：平行直线的传递性
法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn.
法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
14．向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
15．应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
16．向量法证明线面平行的两个关注点
(1)明确理论依据
如果一条直线与一个平面的垂线垂直，那么，这条直线在平面内或与平面平行．
(2)区分有关概念
直线与平面平行，直线一定在平面外，向量与平面平行，向量对应的直线可在平面内.
17．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
18．利用向量法证明线线垂直的方法
用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法如下：
(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可．
(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.
19．利用空间向量证明线面垂直时，一般有哪几种思路？
注：利用基向量的办法和建立空间坐标系的方法，但往往都是求直线的方向向量与平面的法向量共线．
20．证明线面垂直，能否不求平面的法向量？
注：可以，这时只需证明直线的方向向量分别与平面内两个不共线的向量的数量积为零即可．
21．应用线线垂直求点的坐标的策略
(1)设出点的坐标．
(2)利用点满足的条件建立与坐标有关的方程．
(3)通过解方程的方法求出点的坐标．
22．坐标法证明线面垂直的两种方法
法一：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
法二：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
注：使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．
23．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：
一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
24．向量法证明面面垂直的优越性
主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
25.空间垂直关系的解决策略
几何法 向量法
线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为90°. (2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直 两直线的方向向量互相垂直
线面 垂直 对于直线l，m，n和平面α (1)若l⊥m，l⊥n，m α，n α，m与n相交，则l⊥α. (2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α (1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面垂直 对于直线l，m和平面α，β (1)若l⊥α，l β，则α⊥β. (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β. (3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β 证明两个平面的法向量互相垂直
26.探索性问题的解决方法
(1)猜测法：猜测满足的条件，然后以此为基础结合题目中的其他条件进行证明结论成立，或者利用题目条件用变量设出条件，再结合结论逆向推导出变量的取值．
(2)逆推法：利用结论探求条件；如果是存在型问题，那么先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在．
27．解决空间平行、垂直关系的两个策略
（1）关注解决空间平行、垂直关系的依据
平行、垂直关系的向量表示是解题依据，是解题的前提和根本，也是避免无谓丢分的关键，如本例利用向量平行证明线线平行；通过证明两个平面的法向量互相垂直，得两个平面互相垂直．
（2）准确计算，避免失误
利用向量法解决空间平行垂直问题的最大特点是通过计算证明位置关系，这也是向量法与几何法的主要区别．因此，准确计算是此类问题的关键，如本例中两个平面的法向量坐标必须计算准确.
考点一 求直线的方向向量
考点二 求平面的法向量
考点三 利用空间向量证明线线平行
考点四 利用空间向量证线面平行
考点五 利用空间向量证面面平行
考点六 利用空间向量证明线线垂直
考点七 用空间向量证明线面垂直
考点八 利用空间向量证明面面垂直
考点九 利用空间向量解决平行、垂直的综合问题
考点十 探索性问题
考点一 求直线的方向向量
1．（2023·江苏·高二专题练习）已知点，都在直线上，写出一个直线的方向向量： .
【答案】(答案不唯一)
【分析】由方向向量的定义求解即可.
【详解】，
因为点，都在直线上，
所以都是直线的方向向量，
则可取.
故答案为：.
2．（2023·江苏·高二专题练习）若向量都是直线的方向向量，则 .
【答案】/
【分析】根据题意可知，再根据空间向量共线定理即可得解.
【详解】根据题意可知，
故存在唯一实数，使，即，
则，解得，
所以.
故答案为：.
3．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】因为直线过点和两点，所以，
又直线的一个方向向量，所以，
所以，所以，
所以，解得，所以.
故选：D
4．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量．
【答案】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得．
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则，，
所以即为直线PC的一个方向向量.
考点二 求平面的法向量
5．（2023·江苏·高二专题练习）若是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平面法向量的性质判断即可.
【详解】因为，所以，所以也为平面的法向量，
其它选项中的向量都不合题意，
故选：D．
6．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）已知向量，则平面的一个法向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据法向量的定义逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若，则，
可得，所以可以是平面的一个法向量，故A正确；
对于选项B：若，则，
可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故B错误；
对于选项C：若，则，
可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故C错误；
对于选项D：若，则，
可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故D错误；
故选：A.
7．【多选】（2023·江苏·高二专题练习）在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是 （ ）

A．直线 的一个方向向量为
B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为
D．平面的一个法向量为
【答案】ABD
【分析】写出点的坐标，AB选项，得到，，AB正确；CD选项，根据求平面法向量的方法进行求解.
【详解】设正方体棱长为，
则，
A选项，，故选项A正确；
B选项，，故选项B正确；
C选项，因为平面即为坐标平面，所以与轴平行的向量均为它的法向量，故选项C错误；
D选项，．设平面的一个法向量， 则
，取，得，
所以是平面的一个法向量．
故选项D正确．
故选：ABD．
8．（2023·江苏·高二专题练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．
【详解】根据题意，设，则，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，可得，则.
故选：B．
9．（2023·江苏·高二专题练习）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量

【答案】F为线段PB的一个三等分点（靠近P点）．
【分析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，求出点的坐标，由，可得，设，，得，由＝0即可求得F的位置．
【详解】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设DA＝2，则，
∴，,
∵，∴，
设，，∴，∴
∴，∴
∵＝0，∴，∴，
∴F为线段PB的一个三等分点(靠近P点)．
10．（2023·江苏·高二专题练习）已知平面α内两向量，且.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（　　）
A．-1，2 B．1，-2
C．1，2 D．-1，-2
【答案】A
【分析】求出向量的坐标后，利用向量是平面的法向量，得，利用坐标运算列出方程组，求解即可.
【详解】
，
由为平面α的法向量，得,即
解得
故选：A.
11．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】根据题意得到，进而得到方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为，
因为，可得，所以，
即，解得，所以.
故选：A.
12．（2023秋·高二课时练习）四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，求平面SCD和平面SAB的法向量.
【答案】=（1，0，0）是平面SAB的法向量，即为平面SCD的法向量.
【分析】建坐标系，写出坐标，利用向量数量积为零求得法向量.
【详解】因为AD∥BC，∠ABC=90°，所以,
因为SA⊥平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，
所以AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），D（1，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2），
于是，，.

所以是平面SAB的法向量.
设平面SCD的一个法向量为，
则，解得.
又，解得.
所以即为平面SCD的法向量.
考点三 利用空间向量证明线线平行
13．（2023春·高二课时练习）已知直线的方向向量分别为和，若，则 .
【答案】
【分析】利用两直线平行法向量的关系及向量共线定理即可求解.
【详解】因为，
所以，即
所以，解得，
故答案为：.
14．（2023春·高二课时练习）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.证明：PQ∥RS.
【答案】证明见试题解析．
【分析】方法一：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得，即可得到.
方法二：建立空间直角坐标系，利用向量的运算，求得-+,+-，从而得到，即可得到.
【详解】方法一：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),
=(-3,2,1),=(-3,2,1),∴,∴∥,即PQ∥RS.
方法二：+-+,
++-,∴,
∴∥,即RS∥PQ.
【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系中的应用，对于空间向量判定两条直线平行时，通常建立适当的空间直角坐标系，利用向量的运算得到两条直线的方向向量平行（共线），进而得到两直线平行，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
15．（2023春·高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.
【答案】证明见解析.
【分析】建立合适的空间直角坐标系，计算得出并结合即可得证.
【详解】如下图，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为1，则,
所以,
所以，
所以，
又因为,
所以，
所以四边形AEC1F是平行四边形.
考点四 利用空间向量证线面平行
16．（福建省厦门市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则 .
【答案】
【分析】依题意可得，则，根据数量积的坐标表示得到方程，即可得解.
【详解】因为直线的一个方向向量，平面的一个法向量且，
所以，所以，即，
所以.
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）设是平面的一个法向量，是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A．平行或直线在平面内B．不能确定 C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】A
【分析】判断两个向量的位置关系即可得解.
【详解】因为，所以，
所以直线l与平面的位置关系是平行或直线在平面内.
故选：A.
18．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.
【详解】因为，则，而，，
因此，解得.
故选：D
19．（2023·全国·高二专题练习）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点.分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.

(1)求点E、F的坐标；
(2)求证：EF∥平面ACD1.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据坐标系，利用坐标的定义，可得结论；
（2）求出、的坐标，可得，从而可得线线平行，即可得到线面平行．
【详解】（1）由题意，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点，
∴，
（2），，
，，
∴，∴AC∥EF，
∵EF 平面ACD1，AC 平面ACD1，
∴EF∥平面ACD1．
20．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面，，，E是PD的中点．证明：平面.
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可证明.
【详解】因为在底面 内，，所以，
连接，因为为的中点，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为，所以，
因为底面，底面，所以，
所以以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系，
因为侧面PAD为等边三角形，，
所以，，，，，
因为E是PD的中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，则
，令，得，
因为，所以，
又因为平面，所以平面.
21．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可.
【详解】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
若，则，，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面
平面的其中一个法向量为，
所以，即，
又因为平面，
所以平面.
22．（2023·全国·高二专题练习）如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若，用向量法证明：直线MN∥平面PAB.

【答案】证明见解析
【分析】建立空间坐标系，设A，C，P三点坐标，用此三点的坐标表示出，，，然后观察能否用表示出即可判断线面是否平行．
【详解】建立如图所示的空间坐标系，

设，则，
∴，
，
∵，∴，设λ，
则λ ，．
∴，
∴．
∵BP 平面PAB，BA 平面PAB，MN 平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
23．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面平行求出的关系，再借助二次函数求出向量模的最小值作答.
【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，于是，
即有，向量是平面的一个法向量，
，则，而，
于是，因为平面，则，
即，化简得，即，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
24．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面EFC的一个法向量为，设，得，根据平面EFC，即可求解.
【详解】
如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得 ,，
则,
所以，
设平面EFC的法向量为，
则，解得， 令，则，
所以平面EFC的一个法向量为.
因为平面EFC，则，
设，则，所以，
解得，所以，即.
故选：C
考点五 利用空间向量证面面平行
25．（2023秋·高二课时练习）若平面，则下面选项中可以是这两个平面法向量的是（　　）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】D
【分析】平面，则两个平面的法向量平行，即可得答案.
【详解】因为平面，所以两个平面的法向量应该平行，即存在，，只有D项符合.
故选： D.
26．（2023·江苏·高二专题练习）若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断
【答案】A
【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系.
【详解】因为，是平面与的法向量，
则，所以两法向量平行，则平面与平行.
故选：A
27．（2023春·高二课时练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 .
【答案】
【分析】利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，即，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
28．（2023·江苏·高二专题练习）已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（　　）
A．α⊥β B．α∥β
C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据两个平面法向量的关系即可判断两个平面的位置关系，从而得出结果.
【详解】因为平面的法向量为，平面的法向量为，可得，所以，即平面平面，
故选：B.
29．【多选】（2023秋·海南·高三校联考期末）如图，在正方体中，，，，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（ ）

A． B．平面
C．平面平面 D．
【答案】ABC
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线的方向向量和平面和平面的法向量，利用空间直线的方向向量与平面的法向量的关系即可求解.
【详解】依题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示

不妨设正方体的棱长为，则
所以，
所以，即，亦即，故A正确；
所以，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
所以，
所以，即，
又平面，
所以平面，故B正确；
所以，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
所以，
所以，即，
所以平面平面，故C正确；
所以,
所以和不平行，故D错误.
故选：ABC.
30．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.

【答案】证明见解析
【分析】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证，同理，再结合面面平行判定定理即可证明结论.
【详解】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图

则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，
，，同理，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又平面
平面与平面平行．
31．（2023春·高一课时练习）如图，从所在平面外一点O作向量，，，.求证：
(1)，，，四点共面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用共面向量定理证明，由可得四点共面；
（2）利用共线向量定理，可得：，，从而利用面面平行的判定定理即可证明.
【详解】（1）证明：因为从所在平面外一点O作向量，，，，
所以，
所以
，
故，，，四点共面，证毕.
（2）证明：，从而，
∵平面，平面，
∴平面，
由（1）知，
∵平面，平面，
∴平面，
因为，平面，
所以平面平面.
考点六 利用空间向量证明线线垂直
32．（2023春·高二课时练习）设的一个方向向量为，的一个方向向量为，若，则m等于（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【分析】由，可得其两直线的方向向量垂直，结合空间向量的坐标运算求解.
【详解】因为，即，
可得，解得.
故选：B.
33．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：；
【答案】证明见解析
【分析】根据直棱柱的几何性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】因为三棱柱是直三棱柱，
所以面，又面，故，
因为，所以，则两两垂直，
故以为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，
故，所以，
所以，故.
34．（2023春·四川乐山·高二期末）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】如图建立以A为原点的空间直角坐标系.依次判断各选项是否满足即可.
【详解】如图建立以A为原点的空间直角坐标系，设正方体边长为.
A选项，，
则，则，故A错误；

B选项，，
，则，故B错误；

C选项，，
，则，即，故C正确；

D选项，
，则，故D错误.

故选：C
35．（2023春·江西吉安·高二宁冈中学校考期末）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．

(1)若，求该几何体的体积；
(2)若AE垂直PD于E，证明：；
(3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在．
【分析】建立空间直角坐标系，
（1）求出，利用可得，再求体积即可；
（2）求出坐标，可得答案；
（3）由，求出E点的竖坐标、点的竖坐标，设，由，得可得答案．
【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则，，
，
，
此时；
（2），
，
；
（3）由，E点的竖坐标为，点的竖坐标为，
设，由，得，存在．

考点七 用空间向量证明线面垂直
36．（2023·江苏·高二专题练习）设直线的方向向量为，，，为平面的三点，则直线与平面的位置关系是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据线面垂直的向量法即可判断.
【详解】依题意，，所以，．
因此，，即，．又，所以．
故选：C．
37．（2023春·高二课时练习）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l⊥α，则实数λ的值为 ．
【答案】/
【分析】根据题意可得与共线，结合空间向量共线的坐标关系分析运算.
【详解】因为l⊥α，所以与共线，
则存在实数m使得，且，
可得，解得，
故答案为：.
38．（2023秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量.若，则实数a，b的值是（ ）
A．a=1，b=7 B．a=5，b=1 C．a=-5，b=1 D．a=5，b=-1
【答案】D
【分析】根据给定条件，可得，再利用共线向量列式求解作答.
【详解】依题意，，而，，
于是，即，解得，
所以.
故选：D
39．（2023·全国·高二专题练习）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，.
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求PC的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据两个向量的数量积为0，可以判断出AP⊥AB且AP⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理得到PA⊥底面ABCD；
（2）根据向量加法的三角形法则，可以求出向量PC的坐标，进而代入向量模的计算公式，得到答案．
【详解】（1）∵，
∴，，
∴，，
即AP⊥AB且AP⊥AD，
又∵AB∩AD＝A，平面ABCD
∴AP⊥平面ABCD.
（2）∵，
∴，，
∴．
40．（2023秋·河南南阳·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，且底面为直角梯形，，， ，，为的中点.
(1)求证：BE//平面PAD
(2)求证：平面PCD
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）取的中点，连接,先利用平行四边形性质证明，再利用线面平行的判定定理即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量垂直关系即可求解.
【详解】（1）如图所示：,
取的中点，连接,则有，
又，，，
,
,
四边形为平行四边形，
，
又
BE//平面PAD.
（2）由题知，三条直线两两垂直，
以为空间直角坐标系的原点，射线所在的方向分别为
的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则有：，，
所以，，，，
所以，，
，
所以，，
即，，又，
所以，平面PCD.
41．（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.
(1)求证：.
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，然后以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法证明线线垂直；
（2）先求出平面的法向量，然后利用直线AM的方向向量与法向量共线即可证明线面垂直.
【详解】（1）因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，
建立空间直角坐标系，
由，，得，，，，
，，.
所以，，
所以，所以，
所以
（2）由（1）知，，，.
设是平面的法向量，则，，
所以，得，
取，得，，则.
因为，所以，即与共线.
所以平面.
考点八 利用空间向量证明面面垂直
42．【多选】（2023春·甘肃白银·高二校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（ ）
A．若两条不重合的直线，的方向向量分别是，，则
B．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则
C．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则
D．若两个不同的平面，的法向量分别是，，则
【答案】BD
【分析】根据向量与不平行，可判定A错误；由，可判定B正确；由，可判定C不正确；由，可判定D正确.
【详解】对于A中，由直线，的方向向量分别是，，
设，可得，此时方程组无解，即与不平行，
所以与不平行，所以A错误；
对于B中，由直线的方向向量是，平面的法向量是，
可得，所以，所以，所以B正确；
对于C中， 由直线的方向向量是，平面的法向量是，
可得，可得，所以或，所以C不正确；
对于D中，由两个不同的平面，的法向量分别是，，
可得，所以，则，所以D正确.
故选：BD.
43．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA.
【答案】证明见解析
【分析】建系，分别求平面DEA、平面ECA的法向量，利用空间向量证明面面垂直.
【详解】证明：建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，
则，
所以，
设平面ECA的一个法向量是，
则，
取，则，即，
设平面DEA的一个法向量是，
则，
取，则，即，
因为，所以，
所以平面DEA⊥平面ECA.
44．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，面，在四边形中，，点在上，.求证：
(1)CM面；
(2)面面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，由法向量与方向向量的关系即可证明线面平行，
（2）根据空间向量垂直可证明线面垂直，进而根据面面垂直的判断定理即可求证.
【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
设为平面的一个法向量，
由 得 令，得，
，则，又平面，
平面.
（2）如图，取的中点，连接，
则.
.
又，
，又平面,
平面，又平面，
平面平面
45．（2023·全国·高三专题练习）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若.
(1)求五面体ABCDEF的体积；
(2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）取AD中点N，连接EN，，易证得EN⊥平面ABCD，五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积，分别求出棱柱的体积和棱锥的体积即可得出答案.
（2）证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系.由垂直向量的坐标运算可证得，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明；证法2：由题意证得，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明；
【详解】（1）因为，取AD中点N，连接EN，，
因为，所以，
又FA⊥平面ABCD，平面ABCD，，
所以EN⊥平面ABCD，又因为，即，，
平面，所以平面，
所以为底面是等腰直角三角形的直棱柱，
高等于1，三棱锥是高等于1底面是等腰直角三角形.
五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积.
即：
（2）证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系.
点，，，，
所以
得到：
所以，，平面AMD，
所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，所以平面平面AMD.
证法2：因为，所以为等腰三角形，M为EC的中点，所以；
同理在中，，（N为AD中点）又AM、MN平面AMD，
，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，
平面⊥平面AMD.
考点九 利用空间向量解决平行、垂直的综合问题
46．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一校考期末）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）通过中位线得到线线平行，利用判定定理可证或利用法向量证明线面平行；
（2）利用面面垂直的性质得到线面垂直，结合线面垂直的判定可证或利用直线的方向向量与平面的法向量平行可证.
【详解】（1）解法一：证明：取中点，连结，，
由三角形中位线性质可得且，
又因为且，所以且，
所以是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．

解法二：证明：因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，所以．
如图，以为原点，以，， 的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
．
因为，易知为平面的一个法向量．

因此，所以．
又平面，所以平面．
（2）解法一：证明：因为，，，
所以，所以．
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，所以．
又，平面，所以平面．
解法二：由（1）可得，，．
设平面的一个法向量， 则
，取，得，
所以是平面的一个法向量．
因此，所以平面．
47．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．

(1)判断，，，四点是否共面，并说明理由；
(2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面．
【答案】(1)，，，四点共面，理由见解析
(2)为中点
【分析】（1）取的中点，取的中点，连接，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，设，由，求得，得到向量，得出，即可得到，，，四点共面；
（2）设，得到，根据平面，列出方程，求得，即可求解.
【详解】（1）答案：四点共面.
证明：取的中点，连接，，取的中点，连接，
则在等边三角形中，，
又因为平面平面，所以平面，
同理，得平面，平面，
所以，，两两垂直，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
设，由，即，
解得，，，所以，所以，
又由，，所以，
所以，，共面，
因为为公共点，所以，，，四点共面.
（2）解：设，故，
若平面，则，即，解得，
所以为中点时，平面．

48．（2023春·福建漳州·高二统考期末）如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.

(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）通过求证，由线面平行的判定定理即可求证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
【详解】（1）四边形是平行四边形，
.
平面平面
平面.
（2）取的中点为.
平面平面平面，平面平面,
平面.
以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴建立空间直角坐标系，则轴在平面内,

，
，，
.
设平面的法向量为
即
令，则.
，
.
又平面的法向量为平面，
∴.
∴在线段上存在点，使平面，且的值是.
49．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点.求证：

(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定得到平面.然后利用向量的数量积为零得到，进而得证；
（2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量的数量积为零得到，进而得到平面平面.
【详解】（1）由题意，知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方形的边长为2，则，，，，，，， .
由题意知，，
又因为，平面，
所以平面.
因为，，所以，即.
又因为平面，故平面.
（2）设平面与平面的法向量分别为，.因为，，
所以，即，
令，则平面的一个法向量为.
因为，
可得，即，
令，则平面的一个法向量为.
因为，
所以，所以平面平面.
考点十 探索性问题
50．（2023秋·辽宁大连·高二大连市第二十三中学校考阶段练习）在多面体中，正方形和矩形互相垂直， 分别是和的中点，.
（1）求证：平面.
（2）试问在边所在的直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且.
【分析】（1）结合面面垂直的性质定理来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用向量法，结合平面来求得点的坐标，进而求得的长.
【详解】（1）由于正方形和矩形互相垂直，且交线为，
，根据面面垂直的性质定理可知平面.
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，设.
，
设平面的法向量为，
则，故可设,
若平面，则，
所以存在使平面，
所以，.
51．（2023·高二课时练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
(1)求证：平面．
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，的值为.
【分析】(1)首先利用面面垂直的性质证明，然后结合已知条件利用线面垂直的判定定理即可证明；(2)首先假设存在点，根据已知条件和(1)中结论，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与垂直求解即可.
【详解】(1)因为平面平面，且平面平面，，
平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，
所以平面.
(2)假设在棱上是否存在点，使得平面，
取中点，连接，，如下图：
因为，，
所以，，
从而，故平面，
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图：
由题意可知，，，，，
设，因为点在棱上，故，，
所以，故，
设平面的法向量为，
故，令，则，，
从而平面的法向量可以取，
因为平面，
所以，解得，，
故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时，
即，从而.
52．（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，点E为BC的中点．
(1)在B1B上是否存在一点P，使平面？
(2)在平面上是否存在一点N，使平面？
【答案】(1)不存在
(2)存在
【分析】（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设点，由可得答案；
（2）设，由可得答案.
【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则点A(1，0，0)，E，，
，＝．
假设存在点满足题意，于是，
所以 ，所以，
解得与矛盾，
故在上不存在点使平面．
（2）假设在平面上存在点N，使平面．
设，
则，因为，
所以，解得，
故平面AA1B1B上存在点N，使平面．
53．（2023·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，垂足为A，，点M在棱PD上，平面ACM．

(1)试确定点M的位置；
(2)计算直线PB与平面MAC的距离；
(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得平面PBD？
【答案】(1)点M为PD中点
(2)
(3)点E为PC中点
【分析】（1）设，则O这BD的中点，设点M为PD中点，在△PBD中，，由此能够确定M的位置使平面ACM．
（2）设，则，由底面ABCD是正方形，底面ABCD，知，，，，故，利用等积法能够求出直线PB与平面MAC的距离．
（3）以A为原点，AB、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出当点E为PC中点时，平面PBD．
【详解】（1）连，则O为BD的中点，连接，
因为平面，平面平面，
又平面PBD，于是，
所以点M为PD中点．
（2）因为，则，
底面ABCD是正方形，有，底面ABCD，，
而，则平面，又平面，
因此，∴，，，
∴，∴，
取AD的中点F，连接MF，
则，平面ABCD，且，
∵平面ACM，M为PD的中点，
∴直线PB与平面MAC的距离为点D到平面MCA的距离，设为h，
∵，
∴，解得h．
（3）以A为原点，AB、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
∴，，
设平面PBD的法向量，则，
∴，∴，
设，设，则，
则，则，
即，
∵平面PBD，
∴，∴，解得，∴E为PC中点．
故当点E为PC中点时，平面PBD．

54．（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点．
(1)求证：平面．
(2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）连结交于点，可知.然后根据线面平行的判定定理，即可得出平面；
（2）先证明平面．以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，设，求出点的坐标，然后得到.求出平面的法向量，根据得出的值，根据数乘向量的模，即可得出答案.
【详解】（1）
如图1，连结交于点.
因为是正方形，所以是的中点，
又是的中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）存在，理由如下：
因为平面，平面，所以．
因为为正方形，所以．
又，平面，平面，
所以平面．
以点为坐标原点，过点作的平行线为轴，分别以为轴，
建立空间直角坐标系，如图2，
则，，，，，，
所以.
令，
则,
所以，所以.
因为，，
设是平面的一个法向量，
则，所以，
取，则是平面的一个法向量.
因为平面，所以，
所以有，解得，所以.
因为，
所以.
55．（2023春·四川成都·高一石室中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为中点.

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得 若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)在棱上存在点，使得，.
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点和向量的坐标，设点M坐标并用参数表示，利用向量垂直的坐标表示可求得参数的值，即可得出结论，求得答案.
【详解】（1）设交与点F，连接，

因为底面为矩形，所以F为的中点，
又为中点，故，
而平面，平面，
故平面；
（2）在棱上存在点，使得；
取的中点为O，连接,
因为底面为矩形，故，
，故O为的中点，则，而F为的中点，
故；
又平面平面，平面，平面平面，
故平面，
故以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
即，则，可得，
故，
因为，故，即，
解得，
即在棱上存在点，使得，此时.

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