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专题06 用空间向量研究距离、夹角问题10种常见考法归类
1．空间角的向量求法
角的分类 向量求法 范围
两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos|＝
直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos|＝
平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos|＝
2．空间距离的向量求法
分类 向量求法
两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| （注：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则d＝||＝＝）
点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，Pl，设＝a，则点P到直线l的距离d＝
点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，则点P到平面α的距离为d＝
3．空间距离的定义
(1)图形与图形的距离：一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值叫做图形与图形的距离．
(2)点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．
(3)直线与其平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做直线与平面的距离．
(4)两个平行平面的距离：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．
4.求点到平面的距离的四步骤
注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．　
5.求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离．
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求．
(3)等体积法：求点面距离可以转化为求三棱锥的高，如四面体中点A到平面BCD的距离，用等体积法求得h＝.
(4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝.
6．向量法求空间距离的注意点
(1)数形结合：利用向量法求空间距离时，一定要注意结合图形分析，再利用向量求解．
(2)向量式的共同点：空间两几何元素(点、直线、平面)之间的距离，除两点间距离及点线距外都具有相同的表达形式．设平面的法向量为n(求异面直线间的距离时，取与两异面直线都垂直的向量为n)，求距离的两几何图形上各取一点A，B，则距离d＝.(如图)
(3)特殊性：求距离还常采用等积变换法或归结为解直角三角形．利用向量法实际取点时，要选取方便，容易计算的．
7.求异面直线所成的角主要方法有两种：
一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；
注：用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解．
8．两条异面直线所成的角的两个关注点
(1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．
(2)范围：异面直线所成的角θ∈，故两直线的方向向量夹角α的余弦值为负时，应取其绝对值．
9.求直线与平面的夹角的思路与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤．
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝.
10.求线面角的两种方法
(1)将线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为两条直线所成的角来求解，此时要注意两直线所成角的取值范围．
(2)向量法．设直线AP的方向向量为a，平面α的法向量为n，所求直线与平面所成的角为θ(θ∈[0，])，a与n的夹角为φ，则
sinθ＝|cosφ|＝.求解步骤如下：
①分析图形关系，建立空间直角坐标系；
②求出直线的方向向量a和平面的法向量n；
③计算：设线面角为θ，则sin θ＝；
④判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.
11.二面角与平面的夹角区别和联系
（1）二面角的范围为[0，π]，而两个平面的夹角是不大于直角的角，范围是.
（2）两平面的夹角与二面角的两个半平面的法向量所成的角的关系：两平面的法向量分别为u，v，若〈u，v〉为锐角时，两平面的夹角等于〈u，v〉，若〈u，v〉为钝角时，两平面的夹角等于π－〈u，v〉．
12.利用向量法求两平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)．
13.求二面角的两种思路
（1）若AB，CD分别是二面角α l β的两个平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则向量与的夹角就是二面角的平面角(如图)，可利用公式cos〈，〉＝求二面角．
（2）设n1，n2分别是二面角α l β的两个半平面α，β所在平面的法向量，则向量n1与n2的夹角或其补角就是二面角的平面角(如图所示)．
而我们做题时经常用第二种思路．
利用法向量求二面角的大小的一般步骤如下．
①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
②求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.
③计算：求n1与n2所成锐角θ，cos θ＝.
④定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
注：确定二面角的平面角的大小，方法有：①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定其余弦值的正负；②依据“同进同出互补，一进一出相等”求解；③在二面角的一个半平面内取一点P，过P点作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角为锐角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角为钝角．
图示如下：
条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
图形
关系 θ＝φ θ＝π－φ
计算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ
14．向量法求空间角的一般步骤
(1)向量表示
法一：选不共面的三个向量为基底，进行基底表示；法二：建立适当的坐标系进行坐标表示．求出直线a、b的方向向量a、b，平面α、β的法向量m、n.
(2)向量运算
①求直线a、b所成的角，计算cos〈a，b〉；
②求直线a与平面α所成的角，计算cos〈a，m〉；
③求两个平面的夹角的大小，计算cos〈m，n〉．
(3)解释结论
①由于直线a、b所成角θ∈，故cos θ＝|cos〈a，b〉|.
②直线a与平面α所成角θ∈，由图形知〈a，m〉与θ的余角相等或互补，故sin θ＝|cos〈a，b〉|.
③两个平面的夹角为不大于直角的角，范围θ∈，故cos θ＝|cos〈m，n〉
考点一 求点到直线的距离
（一）点到直线的距离
（二）两平行线间的距离
考点二 求点到平面的距离
（一）点到平面距离
（二）直线到平面的距离
（三）平行平面间的距离
（四）异面直线的距离
考点三 有关距离的探索性问题
考点四 求两条异面直线所成的角
考点五 已知线线角求其他量
考点六 求直线与平面所成的角
考点七 已知线面角求其他量
考点八 求平面与平面的夹角
（一）平面与平面的夹角
（二）二面角
考点九 已知面面角求其他量
考点十 有关夹角的探索性问题
考点一 求点到直线的距离
（一）点到直线的距离
1．（2023·全国·高二专题练习）已知空间三点，则点到直线的距离为 ．
2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为 .
3．（2023春·江西赣州·高二上犹中学校考期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江温州·统考三模）四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是 ．
6．（2023秋·高二课时练习）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.

(1)求证:平面ABCD;
(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.
7．（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，是棱上两点（在的上方），且.

(1)若，求证：平面；
(2)当点到平面的距离取得最大值时，求的长.
8．（2023·吉林·统考模拟预测）如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥.
(1)若平面平面，求证： ；
(2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围.
（二）两平行线间的距离
9．（2023秋·山东济宁·高二济宁市育才中学校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为 .
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到直线的距离；
（3）求点到平面的距离；
（4）求直线到平面的距离．
考点二 求点到平面的距离
11．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点．以，，分别为轴，轴，轴的正方向，井以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求：

(1)直线的一个方向向量；
(2)点到平面的距离．
12．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（ ）

A． B． C． D．
13．（2023春·江西·高二赣州市第四中学校考期末）如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点．

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
14．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
15．（2023春·江苏南京·高二统考期末）如图，在三棱柱中，平面，，点为中点.

(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离.
16．【多选】（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）已知正方体的边长为1，点分别是棱的中点，下列说法正确的有（ ）
A．
B．平面
C．平面截正方体的截面面积为
D．到平面的距离为
（二）直线到平面的距离
17．（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
(1)求点到平面的距离为；
(2)求到平面的距离．
18．【多选】（2023·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．异面直线AC与所成的角为
B．是平面的一个法向量
C．直线到平面的距离为
D．平面与平面间的距离为
（三）平行平面间的距离
19．（2023·全国·高三专题练习）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ．
20．（2023春·高二课时练习）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 .
21．（2023秋·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离．
22．（2023春·高二课时练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的距离．
（四）异面直线的距离
23．（2023·北京石景山·校考模拟预测）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．
24．（2023秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，求：
(1)点到直线BD的距离；
(2)点到平面的距离；
(3)异面直线之间的距离.
26．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
考点三 有关距离的探索性问题
27．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，.
(1)求四棱锥的体积；
(2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1 若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.
28．（2023秋·江苏·高二专题练习）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点．
（1）求平面和平面夹角的余弦值；
（2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由．
29．（2023秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面， ，为的中点．
(1)证明：；
(2)已知是边长为1的等边三角形，且三棱锥的体积为，若点在棱上，且点到平面的距离为，求．
考点四 求两条异面直线所成的角
30．（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.

(1)求证：平面；
(2)若，求与所成角的余弦值.
31．（2023春·江西赣州·高二江西省寻乌中学校考阶段练习）如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．

(1)求异面直线、EF所成角的余弦值；
(2)求点到平面AEF的距离．
32．（2023秋·北京西城·高二北京市第三十五中学校考期中）已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中点.

(1)求直线BD与直线PC所成角的余弦值；
(2)求证：平面
(3)求点到平面的距离.
33．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知直三棱柱，各棱长均为，为的中点，为的中点．
(1)求直三棱柱的体积；
(2)求证：平面；
(3)求异面直线与所成角的余弦值．
34．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）在三棱锥中，平面，平面平面.

(1)证明：平面；
(2)若为中点，求向量与夹角的余弦值.
考点五 已知线线角求其他量
35．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.

(1)求证：平面；
(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
36．（2023秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考阶段练习）如图，三棱锥中，底面于B，∠BCA＝90°，，点E是PC的中点．

(1)求证：侧面PAC⊥平面PBC；
(2)若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求平面ABC与平面ABE所成角的大小．
37．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，点是线段上的动点.
(1)证明：平面平面；
(2)若点在线段上，，且异面直线与成30°角，求平面和平面夹角的余弦值.
38．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）为正方体，动点P在对角线上，记．
(1)求证：；
(2)若异面直线AP与所成角为，求的值．
考点六 求直线与平面所成的角
39．（2023春·江西九江·高二校考期末）如图所示，在直四棱柱中，，，，，.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
40．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）如图所示，在三棱锥C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中点，.

(1)证明：平面CBD⊥平面ABD；
(2)求直线BC与平面ACD所成角的正弦值．
41．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.

(1)证明：；
(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.
42．（2024·江西·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
43．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．

(1)求点到平面的距离；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
考点七 已知线面角求其他量
44．（江西省新余市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.

(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
45．（2023·江苏·高二专题练习）如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且.

(1)若,求证:平面;
(2)若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值.
46．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.
47．（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，平面，，，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，在圆上.

(1)在图中作出交线（说明画法，不必证明），并求三棱锥的体积；
(2)若点满足，且与平面所成角的正弦值为，求的值.
考点八 求平面与平面的夹角
平面与平面的夹角
48．（2023·天津·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，平而为的中点，在上，且
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值；
(3)点是线段上异于两端点的任意一点，若满足异面直线与所成角的余弦值为，求的长．
49．（2023秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结．
(1)证明：平面；
(2)在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值．
50．（福建省厦门市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题）如图所示，在三棱柱中，是正三角形，D为棱AC的中点，，平面交于点E.

(1)证明：四边形是矩形
(2)若，，求平面与平面的夹角的余弦值.
51．（2023春·云南昆明·高二统考期末）如图，三棱柱中，是的中点，平面.

(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
52．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.
（二）二面角
53．（2023秋·天津河西·高二天津实验中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面 ,点为棱的中点．

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
54．（2023春·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）如图，已知五面体中，四边形为矩形，为直角梯形，．

(1)求证：平面平面；
(2)若为中点，求二面角的余弦值．
55．（2023春·贵州黔东南·高二统考期末）在四棱锥中，底面是矩形，分别是棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.
56．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，．

(1)证明：；
(2)若，，，求二面角的余弦值．
考点九 已知面面角求其他量
57．（2023·江苏·高二专题练习）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
58．（2023春·福建·高二校联考期末）如图，在正三棱柱中，点在棱上，且.

(1)求证：平面；
(2)若正三棱柱的底面边长为，二面角的大小为，求直线到平面的距离.
59．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．

(1)求证：平行四边形为矩形；
(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．
60．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图，在四棱锥中，，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)已知，，.若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
61．（2023春·河南安阳·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，，.

(1)证明：平面平面ABCD；
(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，求直线PD与底面ABCD所成角的正切值.
考点十 有关夹角的探索性问题
62．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，F，G分别是PB，AD的中点．
(1)求证：平面PCB；
(2)在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，求出M点的位置，若不存在，请说明理由．
63．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．
64．（2023春·河南焦作·高二温县第一高级中学校考阶段练习）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，=2，.
(1)求点C到平面的距离；
(2)线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由.
65．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．
(1)求证：；
(2)求点到侧面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
66．（2023秋·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.

(1)取的中点N，求证：平面；
(2)求直线与所成角的余弦值.
(3)在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为 如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由.
67．（2023春·福建宁德·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．

(1)证明：平面平面；
(2)已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．专题06 用空间向量研究距离、夹角问题10种常见考法归类
1．空间角的向量求法
角的分类 向量求法 范围
两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos|＝
直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos|＝
平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos|＝
2．空间距离的向量求法
分类 向量求法
两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| （注：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则d＝||＝＝）
点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，Pl，设＝a，则点P到直线l的距离d＝
点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，则点P到平面α的距离为d＝
3．空间距离的定义
(1)图形与图形的距离：一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值叫做图形与图形的距离．
(2)点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．
(3)直线与其平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做直线与平面的距离．
(4)两个平行平面的距离：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．
4.求点到平面的距离的四步骤
注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．　
5.求点到平面的距离的常用方法
(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离．
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求．
(3)等体积法：求点面距离可以转化为求三棱锥的高，如四面体中点A到平面BCD的距离，用等体积法求得h＝.
(4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝.
6．向量法求空间距离的注意点
(1)数形结合：利用向量法求空间距离时，一定要注意结合图形分析，再利用向量求解．
(2)向量式的共同点：空间两几何元素(点、直线、平面)之间的距离，除两点间距离及点线距外都具有相同的表达形式．设平面的法向量为n(求异面直线间的距离时，取与两异面直线都垂直的向量为n)，求距离的两几何图形上各取一点A，B，则距离d＝.(如图)
(3)特殊性：求距离还常采用等积变换法或归结为解直角三角形．利用向量法实际取点时，要选取方便，容易计算的．
7.求异面直线所成的角主要方法有两种：
一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；
注：用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解．
8．两条异面直线所成的角的两个关注点
(1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．
(2)范围：异面直线所成的角θ∈，故两直线的方向向量夹角α的余弦值为负时，应取其绝对值．
9.求直线与平面的夹角的思路与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤．
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝.
10.求线面角的两种方法
(1)将线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为两条直线所成的角来求解，此时要注意两直线所成角的取值范围．
(2)向量法．设直线AP的方向向量为a，平面α的法向量为n，所求直线与平面所成的角为θ(θ∈[0，])，a与n的夹角为φ，则
sinθ＝|cosφ|＝.求解步骤如下：
①分析图形关系，建立空间直角坐标系；
②求出直线的方向向量a和平面的法向量n；
③计算：设线面角为θ，则sin θ＝；
④判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.
11.二面角与平面的夹角区别和联系
（1）二面角的范围为[0，π]，而两个平面的夹角是不大于直角的角，范围是.
（2）两平面的夹角与二面角的两个半平面的法向量所成的角的关系：两平面的法向量分别为u，v，若〈u，v〉为锐角时，两平面的夹角等于〈u，v〉，若〈u，v〉为钝角时，两平面的夹角等于π－〈u，v〉．
12.利用向量法求两平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)．
13.求二面角的两种思路
（1）若AB，CD分别是二面角α l β的两个平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则向量与的夹角就是二面角的平面角(如图)，可利用公式cos〈，〉＝求二面角．
（2）设n1，n2分别是二面角α l β的两个半平面α，β所在平面的法向量，则向量n1与n2的夹角或其补角就是二面角的平面角(如图所示)．
而我们做题时经常用第二种思路．
利用法向量求二面角的大小的一般步骤如下．
①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
②求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.
③计算：求n1与n2所成锐角θ，cos θ＝.
④定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
注：确定二面角的平面角的大小，方法有：①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定其余弦值的正负；②依据“同进同出互补，一进一出相等”求解；③在二面角的一个半平面内取一点P，过P点作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角为锐角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角为钝角．
图示如下：
条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
图形
关系 θ＝φ θ＝π－φ
计算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ
14．向量法求空间角的一般步骤
(1)向量表示
法一：选不共面的三个向量为基底，进行基底表示；法二：建立适当的坐标系进行坐标表示．求出直线a、b的方向向量a、b，平面α、β的法向量m、n.
(2)向量运算
①求直线a、b所成的角，计算cos〈a，b〉；
②求直线a与平面α所成的角，计算cos〈a，m〉；
③求两个平面的夹角的大小，计算cos〈m，n〉．
(3)解释结论
①由于直线a、b所成角θ∈，故cos θ＝|cos〈a，b〉|.
②直线a与平面α所成角θ∈，由图形知〈a，m〉与θ的余角相等或互补，故sin θ＝|cos〈a，b〉|.
③两个平面的夹角为不大于直角的角，范围θ∈，故cos θ＝|cos〈m，n〉
考点一 求点到直线的距离
（一）点到直线的距离
（二）两平行线间的距离
考点二 求点到平面的距离
（一）点到平面距离
（二）直线到平面的距离
（三）平行平面间的距离
（四）异面直线的距离
考点三 有关距离的探索性问题
考点四 求两条异面直线所成的角
考点五 已知线线角求其他量
考点六 求直线与平面所成的角
考点七 已知线面角求其他量
考点八 求平面与平面的夹角
（一）平面与平面的夹角
（二）二面角
考点九 已知面面角求其他量
考点十 有关夹角的探索性问题
考点一 求点到直线的距离
（一）点到直线的距离
1．（2023·全国·高二专题练习）已知空间三点，则点到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】易知，
则，，
故点到直线的距离为．
故答案为：.
2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为 .
【答案】
【分析】根据空间中点到直线的距离公式求解即可.
【详解】∵，，
∴，又，
∴，
∴，又，
∴点P到直线l的距离为.
故答案为:.
3．（2023春·江西赣州·高二上犹中学校考期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
所以，
所以，
所以点到直线的距离是.
故选：D.
4．（2023·浙江温州·统考三模）四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再利用向量求出点到直线的距离作答.
【详解】四面体满足，即两两垂直，
以点O为原点，以射线的正方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
因为，，则，
于是，，
所以点到直线的距离.
故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是 ．
【答案】/
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出、，进而可计算得出点到直线的距离为.
【详解】因为平面，底面为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点、、，
，，，
所以，，
所以，的中点到直线的距离.
故答案为：.
6．（2023秋·高二课时练习）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.

(1)求证:平面ABCD;
(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理、判定定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算，求点到直线的距离.
【详解】（1）因为四边形为菱形，所以,
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以,
因为，为中点，
所以，
又因为平面，
所以平面.
（2）以为原点，方向为轴方向，建系如图，

因为,所以为异面直线所成的角，
所以，在菱形中，，
因为，所以,
设，则，
在中，由余弦定理得，，
所以，解得，
所以,
,
所以,
所以点E到直线BP的距离为.
7．（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，是棱上两点（在的上方），且.

(1)若，求证：平面；
(2)当点到平面的距离取得最大值时，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于，连接，证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）根据三棱锥的等体积法判断要使点到平面的距离最大，则需的面积最小，即到的距离最小；建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）连接交于，连接，
因为为的中点，是正方形，
所以；
因为，所以，所以，
因为平面平面，所以平面；
（2）在四棱锥中，因为，所以的面积为定值，
又点A到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，
即三棱锥的体积为定值；
要使点到平面的距离最大，则需的面积最小，
即到的距离最小；
由题知，以A为坐标原点，为轴建立如图空间直角坐标系，
则，
由于平面，平面，故,
而，故为等腰直角三角形，即；
设到的距离为，则，
，
故到的距离为，
对于二次函数，其图象对称轴为，
当时，取到最小值，此时到的距离最小，
此时点到平面的距离最大，
所以.

8．（2023·吉林·统考模拟预测）如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥.
(1)若平面平面，求证： ；
(2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到四边形是平行四边形，证得，进而证得平面，结合线面平行的性质定理，即可证得.
（2）取中点，以为原点，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，设，求得和向量，得到，且，结合点到直线的距离，即可求解.
【详解】（1）证明：在梯形中，因为且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面，
因为平面，且平面平面，所以.
（2）解：取中点，连接，因为是等边三角形，可得
以为原点，所在直线为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，
则，
所以，，，且，
则点到直线的距离
因为，所以当时，；
当时，，所以点到直线的距离的取值范围是.
（二）两平行线间的距离
9．（2023秋·山东济宁·高二济宁市育才中学校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为 .
【答案】
【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，将直线到直线的距离转化为到的距离，利用空间向量点到直线的距离公式即可得到答案.
【详解】以为原点分别为轴,轴,轴建立空间坐标系,则由题意得,,,
,,,故，
点到的距离就是到的距离,,
.
故答案为：.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到直线的距离；
（3）求点到平面的距离；
（4）求直线到平面的距离．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离；
（2）先证明再转化为点到直线的距离求解；
（3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解；
（4）把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则
（1）
因为，
所以.
所以点到直线的距离为.
（2）因为所以，即
所以点到直线的距离即为直线到直线的距离.
所以直线到直线的距离为
（3）设平面的一个法向量为，
.
由
令，则，即.
设点到平面的距离为，
则，即点到平面的距离为.
（4）因为所以平面，
所以直线到平面的距离等于到平面的距离.
，由（3）得平面的一个法向量为，
所以到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为.
考点二 求点到平面的距离
11．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点．以，，分别为轴，轴，轴的正方向，井以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求：

(1)直线的一个方向向量；
(2)点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到点的坐标，可得直线的一个方向向量；
（2）根据点面距的向量公式可求出结果.
【详解】（1）依题意得，，
所以为直线的一个方向向量.
（2），，， ，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，，则，
所以点到平面的距离为.
12．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
因为是的中点，，
所以，
所以，．
设是平面的法向量，

则，令，得．
故点到平面的距离为．
故选：B
13．（2023春·江西·高二赣州市第四中学校考期末）如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点．

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】（1）证明：取中点，连接、，
因为、分别为、的中点，则且，
因为四边形为矩形，则且，
因为为的中点，所以，且，
所以，且，故四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，因此，平面.
（2）解：因为平面，底面为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，令，可得，
因为，故点到平面的距离为.
14．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取线段的中点，连接，记，连接，证明，，从而可证得平面平面，再根据面面平行的性质即可得证；
（2）取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）取线段的中点，连接，记，连接，
因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由题意可知四边形是矩形，则是的中点，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，且，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
（2）取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
故点到平面的距离．

15．（2023春·江苏南京·高二统考期末）如图，在三棱柱中，平面，，点为中点.

(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离.
【答案】(1)证明见解析.
(2) .
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.
（2）利用空间向量坐标法即可解决空间点到直线的距离问题.
【详解】（1）证明：连接，交于点，则为中点.
因为点为中点，
所以，
因为，
所以平面；

（2）如图,以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
可得，，
设夹角为，则，故可得，
又，设点到直线的距离为，则.

16．【多选】（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）已知正方体的边长为1，点分别是棱的中点，下列说法正确的有（ ）
A．
B．平面
C．平面截正方体的截面面积为
D．到平面的距离为
【答案】ACD
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则
所以，所以，故A正确，
,由于，故与不垂直，故与平面不可能垂直，故B错误，
分别取的中点，连接,则六边形即为平面截正方体的截面，由于六边形为边长为的正六边形，所以其面积为，故C正确，
设平面的法向量为，则
，取，则，所以，
又
所以点到平面的距离为，故D正确，
故选：ACD

（二）直线到平面的距离
17．（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
(1)求点到平面的距离为；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可；
（2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可.
【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，
所以平面所的法向量为，又
所以点到平面的距离.
（2）由（1）可得平面的法向量为，
∵，∴，
，
，
∴平面，
所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离，
由，
所以到平面的距离为.
18．【多选】（2023·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．异面直线AC与所成的角为
B．是平面的一个法向量
C．直线到平面的距离为
D．平面与平面间的距离为
【答案】ABD
【分析】对A，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量关系可求出；对B，说明平面即可；对C，等价于点到直线的距离；对D，根据向量关系可求出.
【详解】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，设异面直线AC与所成的角为，
则，因为，所以，故A正确；
在正方体中，平面，平面，
所以，又，，，，
所以平面，所以是平面的一个法向量，故B正确；
因为平面，所以直线平面，
则直线到平面的距离等于点到平面的距离，等于点到直线的距离，为，故C错误；
设平面的一个法向量，
则，即，所以，
则平面与平面间的距离，故D正确．
故选：ABD．
（三）平行平面间的距离
19．（2023·全国·高三专题练习）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答.
【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离，
而，所以平行平面、间的距离.
故答案为：
20．（2023春·高二课时练习）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AMN的一个法向量，然后使用等价转化的思想，面面距转为点面距，最后计算即可.
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，
F(2，4，4)，N(4，2，4).
∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)，
∴，
∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，
则解得
取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1).
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.
∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=.
故答案为：
【点睛】本题考查面面距，使用数形结合，形象直观，并采用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.
21．（2023秋·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离．
【答案】
【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面EFBD的法向量，并证明平面平面EFBD.于是两平面的距离转化为点到平面的距离．利用向量距离公式求出即可.
【详解】以D为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴．
则，
.
设是平面EFBD的一个法向量，
则，即，解得，所以 ．
又因为，
所以，从而，所以平面，
所以平面平面EFBD，所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离．
从而两平面间距离为．
22．（2023春·高二课时练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明.
（2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案.
【详解】（1）法一:证明：连接分别为的中点，
分别是的中点，
，平面，平面，
平面，平行且等于，
是平行四边形，，
平面，平面，平面，
，平面平面；
法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，

则，
，
，
，，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又，平面平面，
（2）法一:平面与平面的距离到平面的距离．
中，，，，
由等体积可得，．
法二:
设平面的一个法向量为，
则，则可取，
，
平面与平面的距离为
（四）异面直线的距离
23．（2023·北京石景山·校考模拟预测）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线距离可得.
【详解】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，
以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），设P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），
，
设异面直线的公共法向量为，
则，取x＝1，得，
∴点P到直线AC的距离为：
，
点P到直线AC的距离的最小值为.
故选：C.

24．（2023秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，求出与和垂直的向量坐标，求出异面直线间的距离.
【详解】以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，设与和都垂直，
则，即，取，又因为，
所以异面直线和间的距离为.
故选：B.
25．（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，求：
(1)点到直线BD的距离；
(2)点到平面的距离；
(3)异面直线之间的距离.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】(1)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和向量的坐标，再求在上的投影向量的大小，结合勾股定理求点到直线BD的距离；(2)求平面的法向量，再求向量在向量上的投影的大小即可；(3)证明平面，利用向量方法求点到平面的距离即可.
【详解】（1）以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，则，，，，，
所以，，所以在上的投影向量的大小为，又，所以点到直线BD的距离；
（2）由(1) ，，，
设平面的法向量，则，所以，
取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；
（3）由(1) ，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以异面直线之间的距离与点到平面的距离相等，设平面的法向量，因为，则，所以，
取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；故异面直线之间的距离为.
26．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设是底面正的中心，平面，，以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离用空间向量法求异面直线的距离．
【详解】如图，是底面正的中心，平面，平面，则，
，则，又，，
，直线交于点，，
以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
，
设与和都垂直，
则，取，则，，
P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于．
故选：D．
考点三 有关距离的探索性问题
27．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，.
(1)求四棱锥的体积；
(2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1 若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)1
(2)存在，或
【分析】（1）找到四棱锥的高，利用四棱锥体积公式求出体积；
（2）根据题目中的条件建立空间直角坐标系，表达出与，均垂直的向量，进而利用异面直线BF，DE的距离为1建立等式求出a.
【详解】（1）
∵侧面为正方形，∴，
又，且，面，
∴平面，又，
∴平面，取BC中点G，
则，∴平面.
∴.
（2）以为原点，分别以BA，BC，所在直线建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
设，则，，.
设与，均垂直的向量为，
则，即，取，
∴异面直线BF，DE的距离，解得或.
∴或.
故存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1，且此时或.
28．（2023秋·江苏·高二专题练习）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点．
（1）求平面和平面夹角的余弦值；
（2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，理由见解析．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用二面角的向量公式即得解；
（2）设，，，利用点到平面的向量距离公式，列出等式即得解
【详解】（1）取的中点，连接，，则，，
平面，平面，
，，两两垂直，
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，2，，，2，，，2，，，0，，
，2，，，2，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
设平面和平面的夹角为，由图知为锐角，
则，
平面和平面夹角的余弦值为．
（2）假设在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为，
设，，，，则，，，
点到平面的距离为，，
解得（舍或，
在线段上存在点（端点处），使点到平面的距离为．
29．（2023秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面， ，为的中点．
(1)证明：；
(2)已知是边长为1的等边三角形，且三棱锥的体积为，若点在棱上，且点到平面的距离为，求．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)2
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直；
（2）作出辅助线，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离为，列出方程，求出答案.
【详解】（1）因为，为的中点，
所以，
因为平面平面，交线为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）取OD的中点G，连接CG，过点O作OFCE，交BC于点F，
因为是边长为1的等边三角形，
所以CG⊥OD，则OF⊥OD，
结合（1）知：两两垂直，
以O为坐标原点，OF所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，
因为三棱锥的体积为，
所以，
解得：，
设，则，
设平面的法向量为，
则，
令得：，，
所以，
则点到平面的距离为
解得：或，
因为点在棱上，所以，所以舍去，
故.
考点四 求两条异面直线所成的角
30．（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.

(1)求证：平面；
(2)若，求与所成角的余弦值.
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）通过已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两直线所成角的余弦值即可.
【详解】（1）证明：因为底面是菱形，
所以，
又平面，平面
所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）设
因为，
所以
以为坐标原点,射线分别为轴,轴的正半轴
建立空间直角坐标系，
如图：

则，
所以 ，
设与所成角，
所以
，
即与所成角的余弦值为.
31．（2023春·江西赣州·高二江西省寻乌中学校考阶段练习）如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．

(1)求异面直线、EF所成角的余弦值；
(2)求点到平面AEF的距离．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角余弦作答.
（2）由（1）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答.
【详解】（1）在直三棱柱中，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，，
所以异面直线所成角的余弦值为．
（2）设平面AEF的一个法向量为，而，
则，令，得，又，
于是．
所以点到平面AEF的距离为．
32．（2023秋·北京西城·高二北京市第三十五中学校考期中）已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中点.

(1)求直线BD与直线PC所成角的余弦值；
(2)求证：平面
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值；
（2）利用数量积坐标运算得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；
（3）利用点到平面距离向量公式直接计算即可.
【详解】（1）以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系.

由题意，，，，，，
设直线BD与直线PC所成的角为，
因为，，所以，
所以直线BD与直线PC所成角的余弦值为；
（2）因为，，，
所以，，
所以，又平面，
所以平面；
（3）由（2）知，为平面的一个法向量，
设点到平面的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值，
由，得，
所以点到平面的距离为.
33．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知直三棱柱，各棱长均为，为的中点，为的中点．
(1)求直三棱柱的体积；
(2)求证：平面；
(3)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）依题意，利用棱柱的体积公式求解即可；
（2）利用线面平行的判定定理即可得解；
（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】（1）因为直三棱柱中，各棱长均为，
所以底面是正三角形，，侧棱，且底面，
故，
所以.
（2）记的中点为，连接，如图，
又因为为的中点，所以，，
因为为的中点．所以，，
故，，则四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面.
（3）依题意，以为原点，以为轴，以在平面内垂直于的直线为轴，如图所示，
则，
故，
记异面直线与所成角为，则，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为.
34．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）在三棱锥中，平面，平面平面.

(1)证明：平面；
(2)若为中点，求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的性质定理和判定定理证明即可；
（2）由，求出，，由空间向量夹角的公式代入求解即可.
【详解】（1）证明：过点作于点，

平面平面，平面平面平面，
平面，又平面.
平面平面.
平面平面.
（2）由（1）知，设，
则.
为中点，，
与夹角的余弦值为.
考点五 已知线线角求其他量
35．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.

(1)求证：平面；
(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）以点为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面；
（2）设，则，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得出结论.
【详解】（1）证明：因为底面，，
如图，以点为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、、，
，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
又因为，则，所以，，
又因为平面，所以，平面.
（2）解：依题意，设，则，
所以，，，
由已知，得，
整理可得，解得或，
所以，线段的长为或.
36．（2023秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考阶段练习）如图，三棱锥中，底面于B，∠BCA＝90°，，点E是PC的中点．

(1)求证：侧面PAC⊥平面PBC；
(2)若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求平面ABC与平面ABE所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)60°
【分析】（1）由线面垂直的性质得PB⊥AC，再由线面垂直、面面垂直的判定证结论；
（2）构建空间直角坐标系，根据已知异面直线所成角求的长，进而求出平面ABC与平面ABE的法向量，应用向量法求面面角的大小.
【详解】（1）由PB⊥平面ABC，面，所以PB⊥AC，
因为∠BCA＝90°，即AC⊥BC；
又PB∩BC＝B，面，
所以AC⊥平面PBC，又平面PAC，
所以面PAC⊥面PBC.
（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC＝m＞0，
则，
所以，
由得：，由，
∴，解得m，则，
设面ABE的一个法向量为，则，取x＝1，则．
取面ABC的一个法向量，故，
所以，结合面面角的范围易知：平面ABC与平面ABE所成角的大小为60°．

37．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，点是线段上的动点.
(1)证明：平面平面；
(2)若点在线段上，，且异面直线与成30°角，求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，利用垂直关系转化为证明平面，即可证明；
（2）首先建立空间直角坐标系，利用向量公式求点的坐标，并分别求平面和平面的法向量，利用二面角的向量公式，即可求解.
【详解】（1）证明：∵平面平面，且平面平面，，且平面，
∴平面，平面，∴，
∵，
∵平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴平面平面；
（2）因为，过点作垂直于平面，
以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，
所以
设，，，
，，
因为异面直线与所成30°角，
，
，
由题意知，平面的一个法向量为，，
设平面的一个法向量为，则，
所以，
所以，
平面和平面夹角的余弦值为.
38．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）为正方体，动点P在对角线上，记．
(1)求证：；
(2)若异面直线AP与所成角为，求的值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)．
【分析】（1）连接，，可证明平面，即可证得线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，得到点的坐标，由已知可得，代入点的坐标即有，求解即可得到的值．
【详解】（1）
证明：如图，连接，.
由已知可得，平面，平面，所以，
又是正方形，所以，
又平面，平面，，
所以平面，
又动点P在对角线上，所以平面，所以平面，
所以.
（2）
以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，如图建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，，
则，.
由已知，可得，设点，则，
所以，所以，即，所以，
.
又异面直线AP与所成角为，所以，
即，
整理可得，因为，所以，即点位于点处时，满足条件.
考点六 求直线与平面所成的角
39．（2023春·江西九江·高二校考期末）如图所示，在直四棱柱中，，，，，.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系,得两直线方向向量,利用向量数量积运算证明即可；
（2）建立方程组得平面法向量,再根据线面角的向量求法,结合空间向量数量积运算可得结果.
【详解】（1）因为在直四棱柱中，面，
又面，所以，
又因为，所以，即两两垂直，
故以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，.
（2）因为，，
设平面的法向量为，则由得，
令，则，故，
设直线与平面所成角为，
因为，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
40．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）如图所示，在三棱锥C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中点，.

(1)证明：平面CBD⊥平面ABD；
(2)求直线BC与平面ACD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取BD的中点O，连接OC，OE，令，则，，，OC⊥BD，然后由勾股定理逆定理可得OC⊥OE，再由线面垂直的判定可得OC⊥平面ABD，最后由面面垂直的判定定理可证得结论；
（2）分别以OE、OD、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：取BD的中点O，连接OC，OE，
令，因为AB⊥BD，，所以，
因为 E是AD的中点 ，所以 ，
因为BC⊥CD，，所以，OC⊥BD，
因为，所以OC⊥OE，
因为平面ABD，，
所以OC⊥平面ABD，
因为平面CBD，所以平面CBD⊥平面ABD
（2）分别以OE、OD、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则
，
所以，
设平面ACD的法向量为，则，
，令，则，
设直线BC与平面ACD所成角为，则
，
所直线BC与平面ACD所成角的正弦值为.

41．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.

(1)证明：；
(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由面面垂直的性质可得平面，则，所以由线面垂直的判定可得平面，从而可得结论；
（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：因为，点是的中点，所以.
因为平面平面，所以平面平面，
因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由题意可得两两垂直，
设，如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，

因为点是的中点，所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令可得，所以平面的一个法向量.
，设，
即，所以.
又，
所以，
化简得，解得或（舍去）.
所以，
设直线与平面所成的角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
42．（2024·江西·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，证明得到四边形是正方形，进而得到平面，所以，根据直角三角形相关性质可得到；
（2）先建立空间直角坐标系，结合线段长度写出坐标，求平面的一个法向量，再结合线面角计算公式求出答案.
【详解】（1）取中点，连接，则，

又因为，所以四边形是平行四边形，
因为，，所以四边形是正方形，
所以，即是等腰三角形，则，
所以，即，
因为平面，平面，所以，
又因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为点是的中点，所以由直角三角形性质易得
（2）因为平面，平面，所以，，
又因为四边形是正方形，所以，
如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，

则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成的角为，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
43．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．

(1)求点到平面的距离；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）应用等体积法求出点到平面距离；
（2）空间向量法求线面角的正弦值即可.
【详解】（1）在平行六面体中，是三棱柱，
，
设点到平面的距离为，则，所以，
即点到平面的距离为1．
（2）在中，，所以是菱形，连接交于，则，
由（1）知点到平面的距离为1，所以平面．
设点在直线上射影为点，
则，且，
所以和重合，即．
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
根据，则，
，设平面的一法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角正弦值为．

考点七 已知线面角求其他量
44．（江西省新余市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.

(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由底面，证得，再由为正方形，得到，证得平面，得到，结合，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得到，利用平面的一个法向量为，利用夹角公式列出方程求得，再求得平面的法向量为，结合向量的距离公式，即可求解.
【详解】（1）证明，因为底面，且底面，所以，
因为为正方形，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
由，为线段的中点，所以，
因为且平面，所以平面.
（2）解：因为底面，且，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，所以，
设，则，
因为轴平面，所以平面的一个法向量为
所以，解得，所以；
又因为，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以.
因为，所以点到平面的距离为.

45．（2023·江苏·高二专题练习）如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且.

(1)若,求证:平面;
(2)若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）当时可得点分别为的中点,根据已知条件证明四边形为平行四边形,再依据线面平行的判定定理即可证明.
（2）以为正交基底空间直角坐标系,写出各个点的坐标,根据直线与平面所成角的正弦值为求出值,再分别求出平面和平面的法向量,根据公式求解即可.
【详解】（1）
当时,,即点分别为的中点,
在直三棱柱中,,所以,
所以四边形为平行四边形,所以,，
又,所以,
所以四边形为平行四边形,则,
又因为平面平面,
所以平面.
（2）平面,又,以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,

则点,
由得,
所以.
设平面的一个法向量,则,即,
取,得,
设直线与平面所成角为,则,
得,解得或,又因为,所以.
而,
所以,
设平面的一个法向量为,则,即,
取,则,
又平面的一个法向量为,得,
观察得二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.
46．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，在中，由余弦定理求得，得到，证得，再由，证得平面，即可证得平面平面；
（2）若O为中点，证得，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，设，由平面的一个法向量为，列出方程求得，进而得到，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：由题知且，所以为等边三角形，
则，
又由四边形为梯形，，则，
在中，，
所以，即，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：若O为中点，，则，
由（1）得平面平面，平面平面，平面，
则平面，
连接，则，且平面，所以，，
所以，，两两垂直，
以为原点，，，分别为为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
设且，则，由平面的一个法向量为，
可得，解得，
因为，所以，可得，
所以，，，
设是平面的一个法向量，则，
取，可得，所以
则，
由图形可得的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

47．（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，平面，，，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，在圆上.

(1)在图中作出交线（说明画法，不必证明），并求三棱锥的体积；
(2)若点满足，且与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】(1)答案见解析，
(2)或
【分析】（1）由线线平行即可找到直线，由等体积法即可求解体积，
（2）建立空间直角坐标系，利用向量夹角即可求解线面角，进而可求解.
【详解】（1）过点作交圆于点，（ ，分别为，的中点，所以,又，所以,故为平面与平面的交线）
因为是圆的直径，所以，，
所以，所以四边形为矩形，
因为，，所以，
因为平面，为的中点，
所以点到平面的距离为，
所以
（2）以为坐标原点，分别以，，的方向作为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，
所以，，，
，
设平面的法向量为，则
即，不妨取，得
因为与平面所成角的正弦值为，
所以
所以，所以或
考点八 求平面与平面的夹角
平面与平面的夹角
48．（2023·天津·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，平而为的中点，在上，且
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值；
(3)点是线段上异于两端点的任意一点，若满足异面直线与所成角的余弦值为，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.
（2）由（1）中坐标系，求出平面的法向量，再二面角的余弦值作答.
（3）利用空间向量运算求出点F的坐标，再利用向量求出异面直线夹角余弦即可求解作答.
【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，则，
而，则以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，又，则有，
，因为，则，
，因此，即，
而，于是得，而平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，设平面的法向量为，
则，令，得，显然平面的法向量为，
令平面与平面所成二面角为，则，
所以平面与平面所成二面角的正弦值.
（3）由（1）知，，令，，则，
，而，则，整理得，
而，解得，有，.
49．（2023秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，，，分别是，上的点，且，，分别为，的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连结．
(1)证明：平面；
(2)在翻折的过程中，当时，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，利用面面平行的判定证明平面平面，再利用面面平行的性质即可证明；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到答案.
【详解】（1）在四棱锥中，取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，，则，，
因为平面，平面，则平面，同理可得，平面，
又，，平面，故平面平面，因为平面，
故平面；
（2）因为在等腰直角三角形中，，，
所以，则在四棱锥中，，，
因为，则，，又，平面，
故平面，又平面，故，
因为，，，则，所以，故．
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则：
，，，，故，
设平面的法向量为，则，
令，则，故；
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
50．（福建省厦门市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题）如图所示，在三棱柱中，是正三角形，D为棱AC的中点，，平面交于点E.

(1)证明：四边形是矩形
(2)若，，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接和，可证得为平面与棱的交点， 从而可得四边形是平行四边形，由可得，从而可证得结论；
（2）连接，可证得两两垂直，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.
【详解】（1）取的中点，则点为平面与棱的交点，
证明如下：连接和，
因为点分别是和的中点，所以∥，，
因为∥，，所以∥，，
所以四边形是平行四边形，
所以点为平面与棱的交点，
因为，∥，所以
所以四边形是矩形，
（2）连接，
在正中，为的中点，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为，，所以为正三角形，
因为为棱的中点，所以，
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
设三棱柱的棱长为2，则，
所以,，
设平面的法向量为，则
，令，则
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角的大小为，则
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为

51．（2023春·云南昆明·高二统考期末）如图，三棱柱中，是的中点，平面.

(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直判定定理先证平面，然后由线面垂直的性质可得；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解可得.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）知两两垂直，
建立空间直角坐标系如图所示，

不妨设，则，则，
所以，
可得，
设平面的法向量为，
由得取，得，
又，
设平面的法向量为，
由得取，得
所以，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
52．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明平面，从而得到，由正三角形的性质可得，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.
【详解】（1）在正方形中，，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为 是正三角形，是的中点，则，
又，，平面，
所以平面；
（2）取中点为，中点为，连接,建立如图所示的空间直角坐标系，
,
所以,
设平面的法向量为，则
，取，则，
由（1）知是平面的一条法向量，,
设平面与平面所成二面角的平面角为，
则

（二）二面角
53．（2023秋·天津河西·高二天津实验中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面 ,点为棱的中点．

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，即可利用向量的坐标运算求解，
（2）根据法向量与方向向量的夹角即可求解，
（3）根据共线和垂直关系得点坐标，即可由法向量夹角求解.
【详解】（1）∵底面
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵,点为棱的中点．．
∴
∴，
∵，∴BE⊥DC；
（2）∵，，
设平面的法向量，
由，得，
令，则，
则直线与平面所成角满足：
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
（3）∵，，
由为棱上一点，设，
故，
由，得，
解得，
即，
设平面的法向量为，
由，得
令，则，
取平面的法向量，
则二面角的平面角满足：由图可知为锐角，所以
，
故二面角的余弦值为．
54．（2023春·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）如图，已知五面体中，四边形为矩形，为直角梯形，．

(1)求证：平面平面；
(2)若为中点，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件得到面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再利用平面角的向量法即可求出结果.
【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，又，，面，
所以面，又面，
所以平面平面.
（2）因为，为中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，过作直线，建立如图所示空间直角坐标系，
设，又，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则由，得到，
令，得到，所以，
设平面的法向量为，则由，得到，
令，得到，所以，
所以，由图知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值.

55．（2023春·贵州黔东南·高二统考期末）在四棱锥中，底面是矩形，分别是棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接、，即可证明，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）如图，取中点，连接、，根据题意，因为点为中点，
所以且，又因为四边形为矩形，为的中点，
所以且

所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，令，则，
设平面的一个法向量为，则，令，则，
显然二面角为锐二面角，设其平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为.
56．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，．

(1)证明：；
(2)若，，，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明平面，从而得证；
（2）证明平面，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，再由空间向量求解．
【详解】（1）取的中点，连接，，
，，，，
又，平面，平面，
而平面，
；

（2）在中，，，
可得，，
在中，，，可得，
在中，，，，
可得，即，
由（1）知，平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，
平面，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
由，取，得，
由，取，得．
．
由图可知，二面角的平面角为钝角，
二面角的余弦值为．
考点九 已知面面角求其他量
57．（2023·江苏·高二专题练习）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过作，交底面弧于，连接，有为平行四边形，根据题设可得，即，再由线面垂直的性质可得，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.
（2）构建如下图示空间直角坐标系，令半圆柱半径为，高为，确定相关点坐标，进而求平面、平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得，即可求出点到直线的距离.
【详解】（1）过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形，
所以，又为弧的中点，则是弧的中点，
所以，而由题设知：，则，
所以，即，由底面，平面，则，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系，
令半圆柱半径为，高为，则，，，，
所以，，，，
若是面的一个法向量，则，令，则，
若是面的一个法向量，则，令，则，
所以，
整理可得，则，又，
由题设可知，此时点，，，
则，，
所以点到直线的距离.
.
58．（2023春·福建·高二校联考期末）如图，在正三棱柱中，点在棱上，且.

(1)求证：平面；
(2)若正三棱柱的底面边长为，二面角的大小为，求直线到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正三棱柱和得，即可得D是AB的中点，从而由中位线得，证明结论.
（2）由二面角的大小为，解得平面的一个法向量，根据第一问的平行和点到平面的距离公式得出答案.
【详解】（1）在正三棱柱中，是侧棱，所以平面ABC，
又平面ABC，所以.
又，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，又因为，所以D是AB的中点.
如图，连接，交于点M，连接DM.因为M是的中点，
所以DM是的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面.

（2）取的中点，可知，所以平面ABC.以D为原点，
分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设三棱柱的高为h，则，，，，，，，，.
设平面的一个法向量为，则，取，得.
设平面的一个法向量为，则，
取，得.
所以，解得，所以，
由（1）知平面，所以直线到平面的距离即点A到平面的距离，
因为，所以直线到平面的距离为.

59．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．

(1)求证：平行四边形为矩形；
(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，由正三角形、面面垂直的性质易得面，再由线面垂直的性质及判定证，即可得结论；
（2）构建空间直角坐标系，设并求面、面的法向量，结合面面角的余弦值求参数，应用向量法求点面距.
【详解】（1）取中点，连接，为正三角形，则，
面面，面面，面，则面，

面，故，又，面，，
所以面，面，故，则平行四边形为矩形.
（2）如下图，以为原点，为轴，为轴建立坐标系，设，
则，，，，，
所以，，

设面的法向量为，则，令，则，
设面的法向量为，则，令，则，
由，解得，
则面的法向量为，，
点到平面的距离.
60．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图，在四棱锥中，，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)已知，，.若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后利用夹角余弦值建立方程求解即可.
【详解】（1）如图，取的中点分别为，连接BE，AF，EF，CF，
所以，且，
又，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，，所以，
因为，，所以，
又，所以，
所以，即.
又，，平面，
所以平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，因为，平面，
所以，，所以.
在Rt中，，，
则，则.
因为，，所以，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，向量，，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
，，.
由，，
得.
设平面的法向量为，则，即，
取，则，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故的值为.
61．（2023春·河南安阳·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，，.

(1)证明：平面平面ABCD；
(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，求直线PD与底面ABCD所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）首先利用菱形的性质得，再利用线面垂直的判定证得平面，从而得，最后利用面面垂直的判定即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，从而得到两个平面的法向量，利用面面角的空间向量求法得到的长度，再根据线面角的定义即可得到答案.
【详解】（1）四边形是菱形，
是的中点，，
平面，
平面.
平面，
是的中点,，
平面平面，
平面.
平面平面平面.
（2）设菱形的边长为，
根据余弦定理可得,解得.
由（1）可知平面，平面，
又两两垂直，
以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,
则，
设,则，
设为平面的法向量，
由可得取，则.
平面，所以平面的一个法向量为，
平面与平面的夹角的余弦值为，
，所以 ，
，
平面为直线与底面所成的角，
，
故直线与底面所成角的正切值为3.

考点十 有关夹角的探索性问题
62．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，F，G分别是PB，AD的中点．
(1)求证：平面PCB；
(2)在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，求出M点的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)在AP上存在一点M，点M为AP中点，使得DM与PC所成角为60°
【分析】（1）以点D为原点，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，建立平面PBC的法向量，证得，即GF⊥平面PCB;
（2）设＝λ，求得点M坐标表示，使用空间向量数量积公式，求得的值，即得到点M的坐标.
【详解】（1）以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
∴，，，
设平面PCB的法向量为，
则，即，令，则，，∴，
∴，故平面PCB．
（2）设，则，∴，
∵DM与PC所成角为60°，，
∴，解得，
故在AP上存在一点M，点M为AP中点，使得DM与PC所成角为60°．
63．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可.
【详解】（1）因为底面，，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得 ，
又，
可得，因为平面，
所以平面 ，
（2）因为，
所以点到直线的距离.
（3）设，，则，
设平面的法向量为，
则令，则，
所以，
即，解得或（舍去），
所以.
64．（2023春·河南焦作·高二温县第一高级中学校考阶段练习）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，=2，.
(1)求点C到平面的距离；
(2)线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量法可得；
（2）设点F坐标，根据向量法求线面角建立方程求解可得.
【详解】（1）如图所示，取中点，连结，，
因为三角形是等腰直角三角形，所以，
因为面面，面面面，
所以平面，又因为，
所以四边形是矩形，可得，
则，
建立如图所示的空间直角坐标系，则：
据此可得，
设平面的一个法向量为，
则，令可得，
从而，又，
故求点到平面的距离.
（2）假设存在点，，满足题意，
点在线段上，则，
即：，，，，，
据此可得：，，从而，，，，
设与平面所成角所成的角为，
则，
整理可得：，
解得：或（舍去）.
据此可知，存在满足题意的点，点为的中点，即.
65．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．
(1)求证：；
(2)求点到侧面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在满足条件的点，1
【分析】（1）由已知条件可证平面，即可得到；
（2）以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可求解；
（3）假设存在满足条件的点E，并，利用向量的加减运算，求出，利用线面夹角公式得出，求得，即可求出的长.
【详解】（1）证明：由点在底面ABC上的投影为AC的中点，知平面ABC，
又平面ABC，故，
因是以AC为斜边的等腰直角三角形，故，
而，平面，，故平面，
由平面，得．
（2）由点，为AC的中点，侧面为菱形，知，
由是以AC为斜边的等腰直角三角形，，可得，，
由（1）知直线，，两两垂直，故以点为坐标原点，
直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
又，故点到平面的距离为：
（3）假设存在满足条件的点E，并，
则，
于是，由直线DE与侧面所成角的正弦值为，
可得，
即，解得．
又，故．
因此存在满足条件的点，且．
66．（2023秋·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.

(1)取的中点N，求证：平面；
(2)求直线与所成角的余弦值.
(3)在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为 如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】取的中点，连接，则，以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
（1）计算，利用向量法求证即可；
（2）利用向量的夹角公式计算异面直线所成的角；
（3）假设存在点M符合题意，根据二面角、线面角的向量求法计算即可.
【详解】（1）取的中点，连接，则，，
所以四边形为矩形，所以，
以A为原点，所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，
取中点，则，，
所以，故，又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，，
.
故直线AC与PD所成角的余弦值为.
（3）假设存在，且，
则点为，所以，
设平面的法向量是，
，
令，，（易知t=1不合题意）
又是平面的一个法向量，
，
解得(舍去)，则．
此时平面的一个法向量可取，，
设与平面所成的角为，
则，
由知，.
与平面所成角的大小为．
67．（2023春·福建宁德·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．

(1)证明：平面平面；
(2)已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【分析】（1）根据勾股定理证明线线垂直，结合线面垂直得线线垂直，即可由线面垂直的判断定理证明线面垂直，进而可证面面垂直.
（2）建立空间之间坐标系，利用向量的夹角求解二面角，即可.或者利用几何法找到二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解.
【详解】（1）底面是平行四边形，则，
∵，∴，∴
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面
（2）以为坐标原点，以、、的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则，，，，
则平面的一个法向量为，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
，
∴，∴，所以
解法二：
连接，由（1）知，，，平面，平面,
所以平面，
由平面,所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
在中，因为，所以，
所以为等边三角形，
所以为中点，所以

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