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第二十一章　一元二次方程
21.3　实际问题与一元二次方程
基础过关全练
知识点1　列一元二次方程解应用题的一般步骤及常见问题
1.【教材变式·P22T6】某市要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,应邀请多少个队参加比赛 设应邀请x个队参加比赛,则x的值为 (　　)
A.7　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10
2.【新独家原创】【新情境·卡塔尔世界杯】有n个同学相约一起观看卡塔尔世界杯决赛,并把猜想的分数通过微信发给其他同学.已知这n个同学互发信息共90条,则n的值为　　　　.
3.已知一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4,则这个两位数是　　　　.
4.某校团体操表演队伍有6行8列,后又增加了51人,使得团体操表演队伍增加的行、列数相同,求增加了多少行,多少列.
5.(2023广东佛山顺德期中)某水果店销售一种进口水果,其进价为每千克40元,按每千克60元的价格出售,每天可售出400千克,调查发现:当每千克售价每降低1元时,每天的销量可增加50千克.
(1)当售价为每千克50元时,每天销售这种水果　　　　千克,每天获得利润　　　 　元;
(2)若要使每天的利润为9 750元,同时又要尽快减少库存,则这种水果每千克应降价多少元
知识点2　典型问题——传播问题
6.(2022湖北武汉武昌期中)有一个人患了感冒,经过两轮传染后总共有64人患了感冒,按照这样的传染速度,经过三轮传染后患了感冒的人数为 (　　)
A.596　　　　B.428　　　　C.512　　　　D.604
7.某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是 (　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
8.化学课代表在老师的教导下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作,回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学,第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学,这样全班49人恰好都会做这个实验了,那么1人每节课手把手教会了　　　　名同学.
9.(2023山东德州夏津模拟)某校机房有200台学生用电脑和1台教师用电脑,现在教师用电脑被某种电脑病毒感染,且该电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有16台电脑被感染.
(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑
(2)若病毒得不到有效控制,则几轮感染后机房内所有电脑都被感染
知识点3　典型问题——平均增长(降低)率问题
10.(2022浙江杭州中考)某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万,2021年的新注册用户数为169万,设新注册用户数的年平均增长率为x(x>0),则x=　　　　(用百分数表示).
11.(2022上海浦东新区期中)某厂工业废气年排放量为2 000万立方米,为了改善大气质量,该厂决定分两期投入治理,使废气的年排放量减少到1 280万立方米,那么这两期废气年排放量的平均减少率是　　　　.
12.(2021山东东营中考)“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标,第三阶段实现水稻亩产量1 008公斤的目标.
(1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率;
(2)按照(1)中亩产量的平均增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1 200公斤,请通过计算说明他们的目标能否实现.
知识点4　典型问题——几何图形问题
13.(2023山西忻州月考)如图,一块试验园地是边长为60米的正方形,为了便于管理,现要在中间开辟一横两纵的等宽小道,使得剩下的种植面积为3 422平方米,则小道的宽为 (　　)
A.0.5米　　　　B.1米　　　　C.1.5米　　　　D.2米
14.如图,在长为32 m,宽为20 m的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540 m2,则道路的宽为 (　　)
A.1 m　　　　B.1.5 m　　　　C.2 m　　　　D.2.5 m
15.【数学文化】(2022山东滕州期中)1275年,我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步 意思是矩形面积为864平方步,宽比长少12步,问宽和长各几步 你来解决这道古算题,可以求得矩形的宽为　　　步,长为　　　步.
16.(2023江西南昌东湖期中)如图,利用一面墙EF(最长可利用28 m)围成一个矩形花园ABCD,在墙BC上要预留2 m宽的入口(如图中MN所示),入口不用砌墙,假设有砌60 m长墙的材料且恰好用完,设BC的长为x m.
(1)填空:砌AB段墙时,需　　　　m长的砌墙材料(用含x的代数式表示);
(2)当矩形花园ABCD的面积为300 m2时,BC的长为多少m
能力提升全练
17.(2022黑龙江龙东地区中考,5,★☆☆)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了45场,共有多少支队伍参加比赛 (　　)
A.8　　　　B.10　　　　C.7　　　　D.9
18.(2023河南驻马店新蔡月考,8,★★☆)如图,某农家乐老板计划在一块长130米,宽60米的空地开挖两块形状、大小相同的垂钓鱼塘,它们的面积之和为5 750平方米,两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道,则垂钓通道的宽度为 (　　)
A.4.5米　　　　B.5米　　　　C.5.5米　　　　D.6米
19.(2023重庆开州月考,8,★★☆)甲、乙两家某商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元,三月份销售额甲店比乙店多10万元.已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍,则乙店这两个月的月平均增长率是 (　　)
A.40%　　　　B.50%　　　　C.60%　　　　D.70%
20.(2023山东菏泽东明月考,16,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=10 cm,BC=15 cm,点P从A出发沿AC向C点以1 cm/s的速度匀速移动;点Q从C出发沿CB向B点以2 cm/s的速度匀速移动,且点P、Q分别从起点同时出发,设移动到某一位置所需的时间为t s,则当t=　　　　时,△PQC的面积等于16 cm2.
21.【主题教育·生命安全与健康】(2021山东日照中考,19,★★☆)某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价为35元,原计划以每桶55元的价格销售,为更好地助力疫情防控,现决定降价销售.已知这种消毒液的销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)在这次助力疫情防控活动中,该药店仅获利1 760元.这种消毒液每桶的实际售价为多少元
22.(2020重庆中考B卷,24,★★☆)为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召,确保粮食安全,优选品种,提高产量,某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年A、B两个品种各种植了10亩.收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/千克,且B品种的平均亩产量比A品种高100千克,A、B两个品种全部售出后总收入为21 600元.
(1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克.
(2)今年,科技小组优化了玉米的种植方法,在保持去年种植面积不变的情况下,预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎,预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%,而A品种的售价保持不变,A、B两个品种全部售出后总收入将增加a%.求a的值.
素养探究全练
23.【模型观念】如图,这是一个三角点阵,从上向下数有无数行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,……,第n行有n个点,……,前n行的点数之和不能是以下哪个结果 (　　)
A.741　　　　B.600　　　　C.465　　　　D.300
24.【推理能力】(2023河北石家庄晋州期中)下图为2022年10月的月历表,在其中用一个方框圈出4个数(如图中虚框所示),设这4个数从小到大依次为a,b,c,d.
(1)若用含有a的式子分别表示出b,c,d,其结果应为b=　　　　,c=　　　　,d=　　　　.
(2)按这种方法所圈出的四个数中,ab的最大值为　　　　.
(3)嘉嘉说:“按这种方法可以圈出四个数,使得bc的值为135.”
淇淇说:“按这种方法可以圈出四个数,使最小数a与最大数d的乘积ad为84.”
请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确.
答案全解全析
基础过关全练
1.A　由题意列方程为x(x-1)=21,解得x1=7,x2=-6(舍去),∴x的值为7.
2.10
解析　由题意,得n(n-1)=90,整理得n2-n-90=0,解得n1=-9(不合题意,舍去),n2=10.
3.84
解析　设这个两位数的个位上的数字为x,则十位上的数字为x+4,依题意得x2+(x+4)2-[10(x+4)+x]=-4,解得x1=4,x2=-.又∵x为非负整数,∴x=4,∴10(x+4)+x=10×(4+4)+4=84.故这个两位数是84.
4.解析　设增加了x行,则增加的列数为x,
根据题意,得(6+x)(8+x)-6×8=51,
整理,得x2+14x-51=0,
解得x1=3,x2=-17(舍).
答:增加了3行,3列.
5.解析　(1)900;9 000.
(2)设这种水果每千克应降价x元,
依题意,得(60-40-x)(400+50x)=9 750,
整理,得x2-12x+35=0,解得x=5或x=7,
∵要尽快减少库存,∴x=7.
答:这种水果每千克应降价7元.
6.C　设每轮传染中平均一个人传染x个人,由题意得1+x+x(1+x)=64,解得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去),则第三轮传染后患了感冒的人数为(7+1)3=512.
7.C　设这种植物每个支干长出x个小分支,
依题意,得1+x+x2=43,
解得x1=-7(舍去),x2=6.故选C.
8.6
解析　设1人每节课手把手教会了x名同学,由题意,得1+x+(x+1)x=49,解得x1=6,x2=-8(不合题意,舍去),
∴1人每节课手把手教会了6名同学.
9.解析　(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,
依题意,得1+x+x(1+x)=16,
解得x1=3,x2=-5(不合题意,舍去).
∴每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑.
(2)经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为16×(1+3)=64(台),
经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为64×(1+3)=256(台),
∵64<200+1<256,
∴四轮感染后机房内所有电脑都被感染.
10.30%
解析　依题意,得100(1+x)2=169,解得x1=0.3=30%,x2=-2.3(不合题意,舍去),∴新注册用户数的年平均增长率为30%.
11.20%
解析　设这两期废气年排放量的平均减少率是x,由题意,得2 000(1-x)2=1 280,解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题意,舍去).故平均减少率为20%.
12.解析　(1)设水稻亩产量平均增长率为x,
由题意,得700(1+x)2=1 008,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).
∴水稻亩产量平均增长率为20%.
(2)1 008×(1+20%)=1 209.6(公斤).
∵1 209.6>1 200,∴他们的目标能实现.
13.B　设小道的宽为x米,则剩余部分能合成长为(60-x)米,宽为(60-2x)米的矩形,依题意,得(60-x)(60-2x)=3 422,整理,得x2-90x+89=0,解得x1=1,x2=89(不符合题意,舍去),∴小道的宽为1米.故选B.
14.C　设道路的宽为x m,由题意,得(20-x)(32-x)=540.整理得x2-52x+100=0.解得x1=50(不合题意,舍去),x2=2,所以道路的宽为2 m.故选C.
15.24;36
解析　设矩形的长为x步,则矩形的宽为(x-12)步,由题意,得x(x-12)=864,整理得x2-12x-864=0,解得x1=36,x2=-24(不合题意,舍去),∴x=36,x-12=24,∴矩形的宽为24步,长为36步.
16.解析　(1).
(2)依题意,得x·=300,
整理,得x2-62x+600=0,
解得x1=12,x2=50.
又∵墙EF最长可利用28 m,∴x=12.
答:当矩形花园ABCD的面积为300 m2时,BC的长为12 m.
能力提升全练
17.B　设共有x支队伍参加比赛,依题意,得=45,解得x=10或x=-9(舍),∴共有10支队伍参加比赛.故选B.
18.B　设垂钓通道的宽度为x米,则两块垂钓鱼塘可合成长为(130-3x)米、宽为(60-2x)米的矩形,根据题意得(130-3x)(60-2x)=5 750,整理得3x2-220x+1 025=0,解得x1=>60(舍去),x2=5,即垂钓通道的宽度为5米.故选B.
19.C　设乙店二、三月份销售额的月平均增长率为x,则甲店三月份的销售额为10(1+2x)2万元,乙店三月份的销售额为15(1+x)2万元.由题意得10(1+2x)2-15(1+x)2=10,解得x1=0.6=60%,x2=-1(不合题意,舍去),即乙店这两个月的月平均增长率为60%,故选C.
20.2
解析　∵AP=t,PC=AC-AP=10-t,CQ=2t,∴S△PQC=PC·CQ=t(10-t)=16,∴t1=2,t2=8,又当t=8时,CQ=2t=16>15,故舍去,∴当t=2时,△PQC的面积等于16 cm2.
21.解析　(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将点(1,110)、(3,130)代入一次函数关系式得
故函数关系式为y=10x+100(0(2)由题意,得(10x+100)×(55-x-35)=1 760,
整理,得x2-10x-24=0.解得x1=12,x2=-2(舍去).所以x=12,55-x=43.
答:这种消毒液每桶的实际售价为43元.
22.解析　(1)设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克.
根据题意得
答:A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克.
(2)由题意得2.4×400×10(1+a%)+2.4(1+a%)×500×10(1+2a%)=21 600,解得a=0(舍去)或a=10.
答:a的值为10.
素养探究全练
23.B　前n行的点数之和为1+2+3+…+n=n(n+1).A项,若前n行的点数之和为741,则n(n+1)=741,解得n=38或n=-39(舍),即前38行的点数之和为741,不合题意;B项,若前n行的点数之和为600,则n(n+1)=600,解得n=-,n不是正整数,即不存在前n行的点数之和为600的情况,符合题意;C项,若前n行的点数之和为465,则n(n+1)=465,解得n=30或n=-31(舍),即前30行的点数之和为465,不合题意;D项,若前n行的点数之和为300,则n(n+1)=300,解得n=24或n=-25(舍),即前24行的点数之和为300,不符合题意.故选B.
24.解析　(1)a+1;a+7;a+8.
(2)552.
(3)嘉嘉的说法错误,理由如下:
依题意,得(a+1)(a+7)=135,
整理,得a2+8a-128=0,
解得a1=8,a2=-16(不符合题意,舍去),
∵10月8日为周六,不符合题意,
∴嘉嘉的说法错误;
淇淇的说法正确,理由如下:
依题意,得a(a+8)=84,
整理,得a2+8a-84=0,
解得a1=6,a2=-14(不合题意,舍去),
∵10月6日为周四,符合题意,
∴淇淇的说法正确.

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