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2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表：
年龄岁
人数人
则这些学生年龄的众数是( )
A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁
6. 在一个不透明的袋子中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为( )
A. B. C. D.
7. 如图，直线，被直线所截，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8. 九章算术中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天已知快马的速度是慢马速度的倍，求规定时间设规定时间为天，所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，在中，，，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线交于点，交于点，连接，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点，点为线段上的动点，作交于点，作交射线于点，过点作于点，点沿方向运动，当点与点重合时停止运动设点运动的路程为，四边形与重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 若有意义，则实数的取值范围是______ ．
12. 分解因式：______．
13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．
14. 某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛这两名运动员次测试成绩单位：的平均数是，，方差是，，那么应选______ 去参加比赛填“甲”或“乙”
15. 如图，在中，，点为的中点，过点作交的延长线于点，若，，则的长为______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是______ ．
17. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，则四边形的面积与的面积的比值为______ ．
18. 如图，在矩形中，，，点为的中点，是上的一点，连接，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点当最大时，点到的距离是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
为了推进“优秀传统文化进校园”活动学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：民族舞蹈组；经典诵读组；民族乐器组；地方戏曲组，为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项并将调查结果绘制成如所示两幅统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
本次调查的学生共有______ 人；
在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；
在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这个小组中随机抽取个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的个小组恰好是和小组的概率．
21. 本小题分
某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出个甲种驱蚊手环和个乙种驱蚊手环，收入元；另一天，以同样的价格卖出个甲种驱蚊手环和个乙种驱蚊手环，收入元．
每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共个，总费用不超过元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？
22. 本小题分
小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶处距地面的高度为米图中点，，，均在同一平面内．
求两楼之间的距离结果保留根号；
求大厦的高度结果取整数．
参考数据：，，，
23. 本小题分
电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件元，在销售过程中发现，每周的销售量件与每件玩具售价元之间满足一次函数关系其中，且为整数，当每件玩具售价为元时，每周的销量为件；当每件玩具售价为元时，每周的销量为件．
求与之间的函数关系式；
当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？
24. 本小题分
如图，内接于，是的直径，平分交于点，过点作，交的延长线于点．
求证：与相切；
若，，过点作于点，交于点，交于点，求的长．
25. 本小题分
是等边三角形，点是射线上的一点不与点，重合，连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点．
如图，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
如图，当点在线段的延长线上时，请判断中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
当，时，请直接写出的长．
26. 本小题分
抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点．
求抛物线的解析式；
如图，当的周长是线段长度的倍时，求点的坐标；
如图，当点运动到抛物线顶点时，点是轴上的动点，连接，过点作直线，连接并延长交直线于点，当时，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数．
故选：．
根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可．
本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义．正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数．
2.【答案】
【解析】解：该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B.该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C.该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握定义是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：；故A符合题意；
；故B不符合题意；
和不是同类项；故C不符合题意；
；故D不符合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的除法、单项式乘单项式、整式的加法及幂的乘方的运算法则进行计算求解．
本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的除法、单项式乘单项式、整式的加法及幂的乘方的运算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：从正面看，图形的下面是个正方形，上面个正方形，．
故选：．
主视图是从物体的正面观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握主视图的定义．
5.【答案】
【解析】解：在这一组数据中是出现次数最多的，出现了次，
这些学生年龄的众数是岁；
故选：．
根据众数是出现次数最多的数就可以求解．
此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．解题的关键是理解众数的意义，正确认识表格．
6.【答案】
【解析】解：个白球和个红球一共有个球，所以摸到白球的概率是．
故选：．
利用白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
本题考查概率公式，概率计算一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
7.【答案】
【解析】解：如图，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质可求得，再由对顶角相等即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
8.【答案】
【解析】解：用慢马送，需要的时间比规定时间多一天，用快马送，所需的时间比规定时间少天，且规定时间为天，
用慢马送需要天，用快马送需要天．
根据题意得：．
故选：．
根据用快、慢马送所需时间与规定时间之间的关系，可得出用慢马送需要天，用快马送需要天，利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马速度的倍，即可列出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由作法得垂直平分，
，
，
，
，，
，
，
过点作于点，如图，
，
，
．
故选：．
利用基本作图的垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，则，所以，再计算出，过点作于点，如图，利用等腰直角三角形的性质得到，利用含度角的直角三角形三边的关系得到，然后计算即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、含度角的直角三角形三边的关系．
10.【答案】
【解析】解：，，
是边长为的正三角形，
平分，
，，，
当矩形全部在之中，即由图到图，此时，
，
，
，
在中，，，
，
；
图时，，即，解得，由图到图，此时，
如图，由题意可知是正三角形，
，
，
，
图时，，由图到图，此时，
如图，由题意可知是正三角形，
，，，
，
综上所述，与的函数关系式为，
因此三段函数的都是二次函数关系，其中第段是开口向上，第段、第段是开口向下的抛物线，
故选：．
分三种情况分别求出与的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．
本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下与的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：有意义，
故，
解得，
故答案为：．
根据二次根式具有非负性，是一个非负数，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的非负性是解题关键．
12.【答案】
【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
解：原式
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
利用一元二次方程根的判别式列式计算即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，结合已知条件列得是解题的关键．
14.【答案】甲
【解析】解：两名运动员次测试成绩单位：的平均数是，，方差是，，
，
这次测试成绩比较稳定的运动员是甲；
故答案为：甲．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15.【答案】
【解析】解：点为的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，
由旋转的性质得，，，
点的坐标为，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
点的坐标为，
点恰好落在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
过点作轴于点，由旋转的性质得，，，在中求出、的长，即可得出点的坐标，代入反比例函数解析式即可求出的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转，解答本题的关键是求出点的坐标．
17.【答案】
【解析】四边形是平行四边形，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
∽，
，
，
，
，
同理，
，
设，
则，，，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形推出平行四边形，根据和相似，进而求出各个三角形的面积比，设，表示出其他三角形面积，进而作答．
本题考查平行四边形及三角形的相似，相似比和面积比，解题的关键是根据三角形的相似比表示出三角形的面积．
18.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
点关于直线的对称点，
，，，，
当时，有最大值，
，
点与点重合，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
点到的距离是，
故答案为：．
当时，有最大值，即点与点重合，由勾股定理可求的长，可求，通过证明∽，即可求解．
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，确定点的位置是解题的关键．
19.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】先对原式进行化简，然后把的值代入化简后的算式进行计算即可．
本题考查分式的应用，熟练掌握分式化简求值的方法和步骤是解题关键．
20.【答案】
【解析】解：人，
故答案为：；
组所对应的扇形圆心角的度数为：，
选择组的人数为：人，补全条形统计图如下：
用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中个小组恰好是和小组的有种，
所以选中的个小组恰好是和小组的概率为．
从两个统计图可知，样本中参加组的有人，占调查人数的，由频率可求出调查人数；
求出样本中选择组的学生所占的百分比，进而可求出相应的圆心角度数，求出选择组的学生人数，即可补全条形统计图；
用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率是正确解答的关键．
21.【答案】解：设每个甲种驱蚊手环的售价是元，每个乙种驱蚊手环的售价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个甲种驱蚊手环的售价是元，每个乙种驱蚊手环的售价是元；
设购买甲种驱蚊手环个，则购买乙种驱蚊手环个，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多可购买甲种驱蚊手环个．
【解析】设每个甲种驱蚊手环的售价是元，每个乙种驱蚊手环的售价是元，根据“卖出个甲种驱蚊手环和个乙种驱蚊手环，收入元；卖出个甲种驱蚊手环和个乙种驱蚊手环，收入元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买甲种驱蚊手环个，则购买乙种驱蚊手环个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，，
在中，，
米，
米，
两楼之间的距离为米；
在中，，
米，
米，
米，
大厦的高度约为米．
【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
当每件玩具售价为元时，每周的销量为件；当每件玩具售价为元时，每周的销量为件，
，
解得，
即与之间的函数关系式为；
设利润为元，
由题意可得：，
当时，取得最大值，此时，
答：当每件玩具售价为元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是元．
【解析】先设出函数解析式，然后根据待定系数法即可求出函数解析式；
将函数化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可得到利润的最大值．
本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是会用待定系数法求一次函数的解析式和会用二次函数的性质求最值．
24.【答案】证明：连接，如图，
是的直径，
，
平分交于点，
，
，
，
，
．
为的半径，
与相切；
解：连接，，
，，
，
，
为等边三角形，
，
．
，，
，
，
，
，是的直径，
，
的长．
【解析】连接，利用直径所对的圆周角为直角，角平分线的定义，圆周角定理，垂直的定义，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
连接，，利用同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，圆周角定理求得的度数，再利用圆的弧长公式计算即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，垂直的定义，平行线的性质，圆的切线的判定定理，圆的弧长公式，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
25.【答案】解：是等边三角形，点是的中点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
如图，
仍然成立，理由如下：
连接，
和是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
如图，
当点在的延长线上时，
作于，
，
，
，
，
，
由知：，
，
，
，
，
如图，
当点在上时，
作于，
由上知：，，
，
，
，
综上所述：或．
【解析】可证得，进一步得出结果；
连接，可证明≌，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出；
分为两种情形：当点在的延长线上时，作于，可得出，，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，，进一步得出结果．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型．
26.【答案】解：将点，点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
点，点，
，，
，
，，
的周长，
的周长是线段长度的倍，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
解得舍或，
；
，
，
轴，
，
设，
过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
将点代入，，
解得或，
或
【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
根据直角三角形三角形函数值可得，，则的周长，结合已知可得等式，设，则，，从而得到方程，求出的值即可求解；
先求出，设，过点作轴交于点，通过证明≌，求出，再求直线的解析式为，将点代入直线方程可得，求出的值即可求点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
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