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天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023 天津）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间/min 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/km 1.2
②填空：张强从体育场到文具店的速度为 　 　km/min；
③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
二．二次函数综合题（共4小题）
2．（2021 天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
3．（2023 天津）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N．
（1）若b＝﹣2，c＝3．
①求点P和点A的坐标；
②当时，求点M的坐标；
（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．
4．（2022 天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
5．（2021 天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．
三．四边形综合题（共2小题）
6．（2023 天津）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），，H（0，）．
（1）填空：如图①，点C的坐标为 　 　，点G的坐标为 　 　；
（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．
①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
7．（2022 天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．
（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；
（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是 　 　（请直接写出两个不同的值即可）．
四．切线的性质（共1小题）
8．（2023 天津）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．
（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．
五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
9．（2023 天津）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．
六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
10．（2021 天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．
七．条形统计图（共1小题）
11．（2023 天津）为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为 　 　，图①中m的值为 　 　；
（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．
天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023 天津）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间/min 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/km 1.2
②填空：张强从体育场到文具店的速度为 　0.06　km/min；
③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（1）①0.12，1.2；0.6；②0.06；③y关于x的函数解析式为y＝；
（2）离宿舍的距离是0.3km．
【解答】解：（1）①由图象可知，张强从宿舍到体育场的速度为1.2÷10＝0.12（km/min），
∴当张强离开宿舍1min时，张强离宿舍的距离为0.12×1＝0.12（km）；
当张强离开宿舍20min时，张强离宿舍的距离为1.2km；
当张强离开宿60舍min时，张强离宿舍的距离为0.6km；
张强离开宿舍的时间/min 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/km 0.12 1.2 1.2 0.6
故答案为：0.12，1.2；0.6；
②由图象知，张强从体育场到文具店的速度为＝0.06（km/h），
故答案为：0.06；
③当50＜x≤60时，y＝0.6；
张强从文具店到宿舍时的速度为＝0.03（km/h），
∴当60＜x≤80时，y＝2.4﹣0.03x；
综上，y关于x的函数解析式为y＝；
（2）根据题意，当张强离开体育场15min时，张强到达文具店并停留了5min，
设李明从体育场出发x分钟后与张强相遇，
则0.06x＝0.03（x﹣5）+0.6，
解得x＝15，
∴1.2﹣0.06×15＝0.3（km），
∴离宿舍的距离是0.3km．
二．二次函数综合题（共4小题）
2．（2021 天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（Ⅰ）（2，2）；
（Ⅱ）①S＝﹣t2+t﹣（4≤t＜）；
②≤S≤．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H，
由点A（4，0），得OA＝4，
∵BO＝BA，∠OBA＝90°，
∴OH＝BH＝OA＝＝2，
∴点B的坐标为（2，2）；
（Ⅱ）①由点E（﹣，0），
得OE＝，
由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形，
得∠O'E'D'＝90°，O'E'＝OE＝，
∴OE'＝OO'﹣O'E'＝t﹣，∠FE'O＝90°，
∵BO＝BA，∠OBA＝90°，
∴∠BOA＝∠BAO＝45°，
∴∠OFE'＝90°﹣∠BOA＝45°，
∴∠FOE'＝∠OFE'，
∴FE'＝OE'＝t﹣，
∴S△FOE'＝OE' FE'＝（t﹣）2，
∴S＝S△OAB﹣S△FOE'＝，
即S＝﹣t2+t﹣（4≤t＜）；
②a．当4＜t≤时，由①知S＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣）2+4，
∴当t＝4时，S有最大值为，当t＝时，S有最小值为，
∴此时≤S＜；
b．当＜t≤4时，如图2，令O'C'与AB交于点M，D'E'与DB交于点N，
∴S＝S△OAB﹣S△OE'N﹣S△O'AM＝4﹣（t﹣）2﹣（4﹣t）2＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣）2+，
此时，当t＝时，S有最大值为，当t＝4时，S有最小值为，
∴≤S≤；
c．当≤t≤时，如图3，令O'C'与AB交于点M，此时点D'位于第二象限，
∴S＝S△OAB﹣S△O'AM＝4﹣（4﹣t）2＝﹣t2+4t﹣4＝﹣（t﹣4）2+4，
此时，当t＝时，S有最小值为，当t＝时，S有最大值为，
∴≤S≤；
综上，S的取值范围为≤S≤；
∴S的取值范围为≤S≤．
3．（2023 天津）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N．
（1）若b＝﹣2，c＝3．
①求点P和点A的坐标；
②当时，求点M的坐标；
（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．
【答案】（1）①P点的坐标为（﹣1，4），A点的坐标为（﹣3，0）．
②点M的坐标为（﹣2，3）．
（2）点M的坐标为（﹣）．
【解答】解：（1）①∵b＝﹣2，c＝3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣3，0）．
答：P点的坐标为（﹣1，4），A点的坐标为（﹣3，0）．
②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，于直线AC交于点F，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC，
∴在Rt△AOC中，∠OAC＝45°，
∴在Rt△AEF中，EF＝AE，
∵抛物线上的点M的横坐标为m，其中﹣3＜m＜﹣1，
∴M（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，0），
∴EF＝AE＝m﹣（﹣3）＝m+3，
∴F（m，m+3），
∴FM＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，
∴，
∴﹣m2﹣3m＝2，
解得m1＝﹣2，m2＝﹣1（舍去），
∴M（﹣2，3）．
答：点M的坐标为（﹣2，3）．
（2）∵点A（﹣c，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，其中c＞1，
∴﹣c2﹣bc+c＝0，
得b＝1﹣c，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，
∴M（m，﹣m2+（1﹣c）m+c），其中．
∴顶点P的坐标为（），对称轴为直线l：x＝．
如图，过点M作MQ⊥l于点Q，
则，
∵MP∥AC，
∴∠PMQ＝45°，
∴MQ＝QP，
∴，
即（c+2m）2＝1，
解得c1＝﹣2m﹣1，c2＝﹣2m+1（舍去），
同②，过点M作ME⊥x轴于点E，与直线AC交于点F，
则点E（m，0），点F（m，﹣m﹣1），点M（m，m2﹣1），
∴，
∴，
即2m2+m﹣10＝0，
解得（舍去），
∴点M的坐标为（﹣）．
答：点M的坐标为（﹣）．
4．（2022 天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【答案】（Ⅰ）①顶点P的坐标为（1，﹣4）；
②点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；
（Ⅱ）点E（，0），点F（0，﹣）．
【解答】解：（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，
则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；
②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BP的解析式为y＝kx+n，
∴，解得，
∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，
∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），
∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，
∴当m＝2时，MG取得最大值1，
此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；
（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又3b＝2c，
b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），
∵直线x＝2与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为（2，﹣3a），
作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，
得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），
当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．
延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．
在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．
∴P'N′2＝P'H2+HN′2＝9+49a2＝25．
解得a1＝，a2＝﹣（舍）．
∴点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．
∴直线P'N′的解析式为y＝x﹣．
∴点E（，0），点F（0，﹣）．
5．（2021 天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．
【答案】（Ⅰ）（1，﹣2）；（Ⅱ）y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣1；（Ⅲ）点M的坐标为（﹣，0）、点N的坐标为（，﹣1）．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），则c＝﹣1，
（Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；
（Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
故点D（1，﹣a﹣1），
由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，
即（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，
解得a＝或，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣1；
（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a），
作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1），
当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由：
∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，
则F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+4＝（2）2，
解得a＝（舍去）或﹣，
则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，）、（0，﹣），
由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x﹣，
当y＝0时，y＝﹣3x﹣＝0，解得x＝﹣＝m，
则m+3＝，
即点M的坐标为（﹣，0）、点N的坐标为（，﹣1）．
三．四边形综合题（共2小题）
6．（2023 天津）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），，H（0，）．
（1）填空：如图①，点C的坐标为 　（，2）　，点G的坐标为 　（﹣，）　；
（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．
①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）（，2），（﹣，）；
（2）①＜t≤，②．
【解答】（1）解：四边形EFGH是矩形，且E（0，）．F（﹣，）（0，），
∴EF＝GH＝，EH＝FG＝1，
∴G（﹣，）；
连接AC，BD，交于一点H，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，且A（，0），B（0，1），D（2，1），
AB＝AD＝，AC⊥BD，CM＝AM＝OB＝1，BM﹣MD＝OA＝，
∴AC＝2，
∴C（，2），
故答案为（，2），（﹣，）；
（2）解：①∵点E（0，），点F（﹣，），点H（0，），
∴矩形EFGH中，EF∥x轴，E'H'⊥x轴，EF＝，EH＝1，
∴矩形E'F'G'H'中，E'F'∥x轴，E'H'⊥x轴，E'F'＝，E'H'＝1，
由点A（，0），点B（0，1），得OA＝，OB＝1，
在Rt△ABO中，tan∠ABO＝，得∠ABO＝60°，
在Rt△BME中，由EM＝EB×tan60°，EB＝1﹣＝，得EM＝，
∴S△BME＝EB×EM＝，同理，得S△BNH＝，
∵EE'＝t，得S矩形EE'H'H＝EE'×EH＝t，
又S＝S矩形EE'H'H﹣S△BME﹣S△BNH，
∴S＝t﹣，
当EE'＝EM＝时，则矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为△BE'H'，
∴t的取值范围是＜t≤，
②由①及题意可知当≤t时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是增大的，当时，矩E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是减小的，
∴当t＝时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：
此时面积S最大，最大值为S＝1×＝；
当t＝时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：
由（1）可知B、D之间的水平距离为2，则有点D到G'F'的距离为，
由①可知：∠D＝∠B＝60°，
∴矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为等边三角形，
∴该等边三角形的边长为2×，
∴此时面积S最小，最小值为，
综上所述：当时，则．
7．（2022 天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．
（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；
（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是 　3或　（请直接写出两个不同的值即可）．
【答案】（Ⅰ）60°，（，）；
（Ⅱ）EO′＝3t﹣6（2＜t＜3）；
（Ⅲ）3或（答案不唯一）．
【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点O′作O′H⊥OA于点H．
在Rt△POQ中，∠OPQ＝30°，
∴∠PQO＝60°，
由翻折的性质可知QO＝QO′＝1，∠PQO＝∠PQO′＝60°，
∴∠O′QH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴QH＝QO′ cos60°＝，O′H＝QH＝，
∴OH＝OQ+QH＝，
∴O′（，）；
（Ⅱ）如图②中，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
∵OQ＝t，
∴AQ＝3﹣t．
∵∠EQA＝60°，
∴QE＝2QA＝6﹣2t，
∵OQ′＝OQ＝t，
∴EO′＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6（2＜t＜3）；
（Ⅲ）如图③中，当点Q与A重合时，重叠部分是△APF，过点P作PG⊥AB于点G．
在Rt△PGF中，PG＝OA＝3，∠PFG＝60°，
∴PF＝＝2，
∵∠OPA＝∠APF＝∠PAF＝30°，
∴FP＝FA＝2，
∴S△APF＝ AF PG＝××3＝3，
观察图象可知当3≤t＜2时，重叠部分的面积是定值3，
∴满足条件的t的值可以为3或（答案不唯一）．
故答案为：3或．
四．切线的性质（共1小题）
8．（2023 天津）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．
（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．
【答案】（1）120°，30°；（2）．
【解答】解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，
∴＝，
∴∠BOC＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，
∵∠CEB＝∠BOC，
∴∠CEB＝30°；
（2）如图，连接OE，
∵半径OC⊥AB，
∵＝，
∴∠CEB＝∠AOC＝30°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠B＝75°，
∴∠DFC＝∠EFB＝75°，
∠DCF＝90°﹣∠DFC＝15°，
∵OE＝OC，
∴∠C＝∠OEC＝15°，
∴∠EOG＝∠C+∠OEC＝30°，
∵GE切圆于E，
∴∠OEG＝90°，
∴tan∠EOG＝＝，
∵OE＝OA＝3，
∴EG＝．
五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
9．（2023 天津）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．
【答案】（1）DE的长为3m；
（2）①线段EA的长为（3+h）m；
②塔AB的高度约为11m
【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，CD＝6m，∠DCE＝30°，
∴DE＝CD＝3（m），
∴DE的长为3m；
（2）①由题意得：BA⊥EA，
在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°，
∴CE＝DE＝3（m），
在Rt△ABC中，AB＝hm，∠BCA＝45°，
∴AC＝＝h（m），
∴AE＝EC+AC＝（3+h）m，
∴线段EA的长为（3+h）m；
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝EA＝（3+h）m，DE＝FA＝3m，
∵AB＝hm，
∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m，
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF tan27°≈0.5（3+h）m，
∴h﹣3＝0.5（3+h），
解得：h＝3+6≈11，
∴AB＝11m，
∴塔AB的高度约为11m．
六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
10．（2021 天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．
【答案】168海里．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，
在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，
∴BH＝AH tan60°＝AH，AB＝＝2AH，
在Rt△BCH中，
∵tan∠BCH＝，
∴CH＝＝（海里），
又∵CA＝CH+AH，
∴257＝+AH，
所以AH＝（海里），
∴AB＝≈＝168（海里），
答：AB的长约为168海里．
七．条形统计图（共1小题）
11．（2023 天津）为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为 　40　，图①中m的值为 　15　；
（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（1）40；15；
（2）14；15；14．
【解答】解：（1）a＝5+6+13+16＝40；
∵m%＝100%﹣12.5%﹣40%﹣32.5%＝15%，
∴m＝15．
故答案为：40；15；
（2）平均数为＝；
∵15岁的学生最多，
∴众数为15；
∵一共调查了40名学生，12岁的有5人，13岁的6人，
∴中位数为14．天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
一．合并同类项（共1小题）
1．（2021 天津）计算4a+2a﹣a的结果等于 　 　．
二．同底数幂的乘法（共1小题）
2．（2022 天津）计算m m7的结果等于 　 　．
三．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
3．（2023 天津）计算（xy2）2的结果为 　 　．
四．二次根式的混合运算（共3小题）
4．（2023 天津）计算的结果为 　 　．
5．（2022 天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 　 　．
6．（2021 天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 　 　．
五．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
7．（2022 天津）若一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是 　 　（写出一个即可）．
六．一次函数图象与几何变换（共2小题）
8．（2023 天津）若直线y＝x向上平移3个单位长度后经过点（2，m），则m的值为 　 　．
9．（2021 天津）将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　 　．
七．菱形的性质（共1小题）
10．（2022 天津）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 　 　．
八．正方形的性质（共2小题）
11．（2023 天津）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，．
（1）△ADE的面积为 　 　；
（2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 　 　．
12．（2021 天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　 　．
九．圆周角定理（共1小题）
13．（2021 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 　 　；
（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．
一十．作图—复杂作图（共2小题）
14．（2023 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 　 　；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．
15．（2022 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上．
（Ⅰ）线段EF的长等于 　 　；
（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．
一十一．概率公式（共3小题）
16．（2023 天津）不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 　 　．
17．（2022 天津）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 　 　．
18．（2021 天津）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 　 　．
天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．合并同类项（共1小题）
1．（2021 天津）计算4a+2a﹣a的结果等于 　5a　．
【答案】5a．
【解答】解：4a+2a﹣a＝（4+2﹣1）a＝5a．
故答案为：5a．
二．同底数幂的乘法（共1小题）
2．（2022 天津）计算m m7的结果等于 　m8　．
【答案】m8．
【解答】解：m m7＝m8．
故答案为：m8．
三．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
3．（2023 天津）计算（xy2）2的结果为 　x2y4　．
【答案】x2y4．
【解答】解：（xy2）2＝x2 （y2）2＝x2y4，
故答案为：x2y4．
四．二次根式的混合运算（共3小题）
4．（2023 天津）计算的结果为 　1　．
【答案】1．
【解答】解：
＝（）2﹣（）2
＝7﹣6
＝1，
故答案为：1．
5．（2022 天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 　18　．
【答案】18．
【解答】解：原式＝（）2﹣12
＝19﹣1
＝18，
故答案为：18．
6．（2021 天津）计算（+1）（﹣1）的结果等于 　9　．
【答案】9．
【解答】解：原式＝（）2﹣1
＝10﹣1
＝9．
故答案为9．
五．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
7．（2022 天津）若一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是 　1（答案不唯一，满足b＞0即可）　（写出一个即可）．
【答案】1．（答案不唯一，满足b＞0即可）
【解答】解：∵一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴b＞0，
可取b＝1，
故答案为：1．（答案不唯一，满足b＞0即可）
六．一次函数图象与几何变换（共2小题）
8．（2023 天津）若直线y＝x向上平移3个单位长度后经过点（2，m），则m的值为 　5　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：将直线y＝x向上平移3个单位，得到直线y＝x+3，
把点（2，m）代入，得m＝2+3＝5．
故答案为：5．
9．（2021 天津）将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　y＝﹣6x﹣2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y＝﹣6x﹣2，
故答案为：y＝﹣6x﹣2．
七．菱形的性质（共1小题）
10．（2022 天津）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 　　．
【答案】．
【解答】解：如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，
∴FH∥AB，
∴∠FHG＝∠AEG，
∵F是CE的中点，FH∥CD，
∴H是DE的中点，
∴FH是△CDE的中位线，
∴FH＝CD＝1，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE＝1，
∴AE＝FH，
∵∠AGE＝∠FGH，
∴△AEG≌△FHG（AAS），
∴AG＝FG，
∵AD∥BC，
∴∠CBM＝∠DAB＝60°，
Rt△CBM中，∠BCM＝30°，
∴BM＝BC＝1，CM＝＝，
∴BE＝BM，
∵F是CE的中点，
∴FB是△CEM的中位线，
∴BF＝CM＝，FB∥CM，
∴∠EBF＝∠M＝90°，
Rt△AFB中，由勾股定理得：AF＝＝＝，
∴GF＝AF＝．
故答案为：．
八．正方形的性质（共2小题）
11．（2023 天津）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，．
（1）△ADE的面积为 　3　；
（2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 　　．
【答案】．
【解答】解：（1）过E作EM⊥AD于M，
∵．AD＝3，
∴AM＝DM＝AD＝，
∴EM＝＝2，
∴△ADE的面积为；
故答案为：3；
（2）过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∴EP⊥BC，
∴四边形ABPM是矩形，
∴PM＝AB＝3，AB∥EP，
∴EP＝5，∠ABF＝∠NEF，
∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
在△ABF与△NEF中，
，
∴△ABF≌△NEF（ASA），
∴EN＝AB＝3，
∴MN＝1，
∵PM∥CD，
∴AN＝NG，
∴GD＝2MN＝2，
∴AG＝＝，
故答案为：．
12．（2021 天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　　．
【答案】．
【解答】解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1，
∴E（4，﹣2），F（2，3），
∵G为EF的中点，
∴G（3，），
设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：
﹣2＝4k，解得k＝﹣，
∴直线OE解析式为y＝﹣x，
令x＝2得y＝﹣1，
∴H（2，﹣1），
∴GH＝＝，
方法二：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，
∵O为正方形对角线AC和BD的交点，
∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC，
∴点H、点G分别为OE、FE的中点，
∴GH为△OEF的中位线，
∴GH＝OF，
在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，
∴GH＝OF＝，
故答案为：．
九．圆周角定理（共1小题）
13．（2021 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 　　；
（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求　．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）作图见解析部分．取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BFA的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△FAP≌△BAC，则点P即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AC＝＝．
故答案为：．
（Ⅱ）如图，点P即为所求．
故答案为：如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BFA的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△FAP≌△BAC，则点P即为所求．
一十．作图—复杂作图（共2小题）
14．（2023 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 　　；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 　取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与
GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．　．
【答案】（1）；
（2）取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
【解答】解：（1）AB＝＝．
故答案为：；
（2）如图，点Q即为所求；
方法：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
理由：可以证明∠PCA＝∠QCB，∠CBQ＝∠CAP＝60°，
∵AC＝CB，
∴△ACP≌△BAQ（ASA），
∴∠ACP＝∠BCQ，CP＝CQ，
∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴△PCQ是等边三角形．
故答案为：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
15．（2022 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上．
（Ⅰ）线段EF的长等于 　　；
（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求　．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）EF＝＝．
故答案为：；
（Ⅱ）如图，点M，N即为所求．
步骤：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求．
故答案为：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求
一十一．概率公式（共3小题）
16．（2023 天津）不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 　　．
【答案】．
【解答】解：∵袋子中共有10个球，其中绿球有7个，
∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率是，
故答案为：．
17．（2022 天津）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 　　．
【答案】．
【解答】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ，
故答案为：．
18．（2021 天津）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 　　．
【答案】．
【解答】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，
故答案为：．天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类
一．估算无理数的大小（共1小题）
1．（2022 天津）估计的值在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
二．分式的加减法（共1小题）
2．（2022 天津）计算+的结果是（　　）
A．1 B． C．a+2 D．
三．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
3．（2022 天津）若点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3
4．（2021 天津）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
5．（2022 天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2021 天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
五．二次函数的应用（共1小题）
7．（2023 天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
六．等腰三角形的性质（共1小题）
8．（2022 天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（　　）
A．（5，4） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，3）
七．勾股定理（共1小题）
9．（2023 天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
八．平行四边形的性质（共1小题）
10．（2021 天津）如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　）
A．（﹣4，1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）
九．旋转的性质（共3小题）
11．（2023 天津）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD
12．（2022 天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC
13．（2021 天津）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD
一十．特殊角的三角函数值（共1小题）
14．（2022 天津）tan45°的值等于（　　）
A．2 B．1 C． D．
一十一．简单组合体的三视图（共1小题）
15．（2023 天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．估算无理数的大小（共1小题）
1．（2022 天津）估计的值在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】C
【解答】解：∵25＜29＜36，
∴5＜＜6，即5和6之间，
故选：C．
二．分式的加减法（共1小题）
2．（2022 天津）计算+的结果是（　　）
A．1 B． C．a+2 D．
【答案】A
【解答】解：原式＝
＝
＝1．
故选：A．
三．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
3．（2022 天津）若点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3
【答案】B
【解答】解：点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，
∴x1＝＝4，x2＝＝﹣8，x3＝＝2．
∴x2＜x3＜x1，
故选：B．
4．（2021 天津）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【答案】B
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣5＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵﹣5＜0，0＜1＜5，
∴点A（﹣5，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（5，y3）在第四象限，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
四．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
5．（2022 天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵a＜c，
∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；
②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，
∴b＜0，
∴对称轴x＝﹣＞1，
∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；
③∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，
对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，
∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选：C．
6．（2021 天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），
∴c＝1，a﹣b+c＝﹣1，
∴a＝b﹣2，
∵当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．
∴4a﹣2b+1＞1，
∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，解得：b＞4，
∴a＝b﹣2＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵a＝b﹣2，c＝1，
∴（b﹣2）x2+bx+1﹣3＝0，即（b﹣2）x2+bx﹣2＝0，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣2）×（b﹣2）＝b2+8b﹣16＝b（b+8）﹣16，
∵b＞4，
∴Δ＞0，
∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根，故②正确；
③∵a＝b﹣2，c＝1，
∴a+b+c＝b﹣2+b+1＝2b﹣1，
∵b＞4，
∴2b﹣1＞7，
∴a+b+c＞7．
故③正确；
故选：D．
五．二次函数的应用（共1小题）
7．（2023 天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为m，
当AB＝6时，＝6，
解得x＝28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，
故①不正确；
∵菜园ABCD面积为192m2，
∴x ＝192，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得x＝24或x＝16，
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，
故②正确；
设矩形菜园的面积为ym2，
根据题意得：y＝x ＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，
∵﹣＜0，20＜26，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200．
故③正确．
∴正确的有2个，
故选：C．
六．等腰三角形的性质（共1小题）
8．（2022 天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（　　）
A．（5，4） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，3）
【答案】D
【解答】解：设AB与x轴交于点C，
∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，
∴AC＝AB＝3，
由勾股定理得：OC＝＝＝4，
∴点A的坐标为（4，3），
故选：D．
七．勾股定理（共1小题）
9．（2023 天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵BD＝CD，
∴BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，
∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，
∴AB＝＝＝6，
故选：D．
八．平行四边形的性质（共1小题）
10．（2021 天津）如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　）
A．（﹣4，1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）
【答案】C
【解答】解：∵B，C的坐标分别是（﹣2，﹣2），（2，﹣2），
∴BC＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，
∵点A的坐标为（0，1），
∴点D的坐标为（4，1），
故选：C．
九．旋转的性质（共3小题）
11．（2023 天津）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD
【答案】A
【解答】解：如图，设AD与BE的交点为O，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴∠BED＝∠BAD＝∠CAE，
故选：A．
12．（2022 天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC
【答案】C
【解答】解：A、∵AB＝AC，
∴AB＞AM，
由旋转的性质可知，AN＝AM，
∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；
B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；
C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，
∵AM＝AN，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；
D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
13．（2021 天津）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD
【答案】D
【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝60°＝∠ADC，
∴AB∥CD，
故选：D．
一十．特殊角的三角函数值（共1小题）
14．（2022 天津）tan45°的值等于（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解答】解：tan45°的值等于1，
故选：B．
一十一．简单组合体的三视图（共1小题）
15．（2023 天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：从正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、2、1．
故选：C．天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题（容易题）知识点分类
一．有理数的加法（共1小题）
1．（2022 天津）计算（﹣3）+（﹣2）的结果等于（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
二．有理数的乘法（共2小题）
2．（2023 天津）计算的结果等于（　　）
A． B．﹣1 C． D．1
3．（2021 天津）计算（﹣5）×3的结果等于（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣15 D．15
三．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
4．（2023 天津）据2023年5月21日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到935000000人次，将数据935000000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.935×109 B．9.35×108 C．93.5×107 D．935×106
5．（2022 天津）将290000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.29×106 B．2.9×105 C．29×104 D．290×103
6．（2021 天津）据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（　　）
A．0.141178×106 B．1.41178×105
C．14.1178×104 D．141.178×103
四．估算无理数的大小（共2小题）
7．（2023 天津）估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．（2021 天津）估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
五．实数的运算（共1小题）
9．（2023 天津）的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
六．分式的加减法（共2小题）
10．（2023 天津）计算的结果等于（　　）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
11．（2021 天津）计算﹣的结果是（　　）
A．3 B．3a+3b C．1 D．
七．解二元一次方程组（共1小题）
12．（2021 天津）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
八．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
13．（2022 天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
九．根与系数的关系（共1小题）
14．（2023 天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
一十．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
15．（2023 天津）若点A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1
一十一．轴对称图形（共3小题）
16．（2023 天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称（　　）
A． B． C． D．
17．（2022 天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
18．（2021 天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
一十二．特殊角的三角函数值（共1小题）
19．（2021 天津）tan30°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．2
一十三．简单组合体的三视图（共2小题）
20．（2022 天津）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
21．（2021 天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题（容易题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．有理数的加法（共1小题）
1．（2022 天津）计算（﹣3）+（﹣2）的结果等于（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
【答案】A
【解答】解：原式＝﹣（3+2）
＝﹣5，
故选：A．
二．有理数的乘法（共2小题）
2．（2023 天津）计算的结果等于（　　）
A． B．﹣1 C． D．1
【答案】D
【解答】解：原式＝+（×2）
＝1，
故选：D．
3．（2021 天津）计算（﹣5）×3的结果等于（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣15 D．15
【答案】C
【解答】解：（﹣5）×3
＝﹣（5×3）
＝﹣15，
故选：C．
三．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
4．（2023 天津）据2023年5月21日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到935000000人次，将数据935000000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.935×109 B．9.35×108 C．93.5×107 D．935×106
【答案】B
【解答】解：935000000＝9.35×108，
故选：B．
5．（2022 天津）将290000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.29×106 B．2.9×105 C．29×104 D．290×103
【答案】B
【解答】解：290000＝2.9×105．
故选：B．
6．（2021 天津）据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（　　）
A．0.141178×106 B．1.41178×105
C．14.1178×104 D．141.178×103
【答案】B
【解答】解：141178＝1.41178×105．
故选：B．
四．估算无理数的大小（共2小题）
7．（2023 天津）估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴＜＜，
即2＜＜3，
那么在2和3之间，
故选：B．
8．（2021 天津）估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【解答】解：∵≈4.12，
∴的值在4和5之间．
故选：C．
五．实数的运算（共1小题）
9．（2023 天津）的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解答】解：原式＝+
＝，
故选：B．
六．分式的加减法（共2小题）
10．（2023 天津）计算的结果等于（　　）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
【答案】C
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
故选：C．
11．（2021 天津）计算﹣的结果是（　　）
A．3 B．3a+3b C．1 D．
【答案】A
【解答】解：﹣
＝
＝
＝3，
故选：A．
七．解二元一次方程组（共1小题）
12．（2021 天津）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：
由②﹣①，得：2x＝2，
∴x＝1，
把x＝1代入①式，得：1+y＝2，
解得：y＝1，
所以，原方程组的解为．
故选：B．
八．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
13．（2022 天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【答案】D
【解答】解：x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣1，
故选：D．
九．根与系数的关系（共1小题）
14．（2023 天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
【答案】A
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，
故选：A．
一十．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
15．（2023 天津）若点A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1
【答案】D
【解答】解：将A（x1，﹣2）代入，得：，即：x1＝1，
将B（x2，1）代入，得：，即：x2＝﹣2，
将C（x3，2）代入，得：，即：x3＝﹣1，
∴x2＜x3＜x1．
故选：D．
一十一．轴对称图形（共3小题）
16．（2023 天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：B、C，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
17．（2022 天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
18．（2021 天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
一十二．特殊角的三角函数值（共1小题）
19．（2021 天津）tan30°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：tan30°＝．
故选：A．
一十三．简单组合体的三视图（共2小题）
20．（2022 天津）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：从正面看底层是两个正方形，左边是三个正方形，
则立体图形的主视图是A中的图形，
故选：A．
21．（2021 天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：从正面看，从左到右有三列，每列的小正方形的个数分别为1、2、2．
故选：D．天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．解一元一次不等式组（共3小题）
1．（2023 天津）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 　 　；
（2）解不等式②，得 　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 　 　．
2．（2022 天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　．
3．（2021 天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　．
二．一次函数的应用（共2小题）
4．（2022 天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离/km 0.5 　 　 　 　 1.6 　 　
（Ⅱ）填空：
①阅览室到超市的距离为 　 　km；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 　 　km/min；
③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为 　 　min．
（Ⅲ）当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．
5．（2021 天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开学校的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3
离学校的距离/km 2 　 　 　 　 12 　 　
（Ⅱ）填空：
①书店到陈列馆的距离为 　 　km；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 　 　h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 　 　km/h；
④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为 　 　h．
（Ⅲ）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
三．切线的性质（共2小题）
6．（2022 天津）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．
（Ⅰ）如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
7．（2021 天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．
四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
8．（2022 天津）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．
参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
五．条形统计图（共2小题）
9．（2022 天津）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 　 　，图①中m的值为 　 　；
（Ⅱ）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．
10．（2021 天津）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为 　 　，图①中m的值为 　 　；
（Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．
天津市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．解一元一次不等式组（共3小题）
1．（2023 天津）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 　x≥﹣2　；
（2）解不等式②，得 　x≤1　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 　﹣2≤x≤1　．
【答案】（1）x≥﹣2；
（2）x≤1；
（3）解集先数轴上表示见解答；
（4）﹣2≤x≤1．
【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣2；
（2）解不等式②，得x≤1；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：
（4）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1；
故答案为：（1）x≥﹣2；
（2）x≤1；
（4）﹣2≤x≤1．
2．（2022 天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　x≥﹣1　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　x≤2　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　﹣1≤x≤2　．
【答案】x≥﹣1，x≤2，﹣1≤x≤2．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤2，
故答案为：x≥﹣1，x≤2，﹣1≤x≤2．
3．（2021 天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　x≥﹣1　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　x≤3　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　﹣1≤x≤3　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤3．
故答案为：x≥﹣1，x≤3，﹣1≤x≤3．
二．一次函数的应用（共2小题）
4．（2022 天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离/km 0.5 　0.8　 　1.2　 1.6 　2　
（Ⅱ）填空：
①阅览室到超市的距离为 　0.8　km；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 　0.25　km/min；
③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为 　10或116　min．
（Ⅲ）当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（Ⅰ）0.8，1.2，2；
（Ⅱ）①0.8；②0.25；③10或116；
（Ⅲ）y＝．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到达离学生公寓1.2km的阅览室，
∴离开学生公寓的时间为8min，离学生公寓的距离是×8＝0.8（km），
由图象可知：离开学生公寓的时间为50min，离学生公寓的距离是1.2km，
离开学生公寓的时间为112min，离学生公寓的距离是2km，
故答案为：0.8，1.2，2；
（Ⅱ）①阅览室到超市的距离为2﹣1.2＝0.8（km），
故答案为：0.8；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为＝0.25（km/min），
故答案为：0.25；
③当小琪从学生公寓出发，离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为＝10（min）；
当小琪从超市出发，离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为112+＝116（min），
故答案为：10或116；
（Ⅲ）当0≤x≤12时，y＝0.1x；
当12＜x≤82时，y＝1.2；
当82＜x≤92时，y＝1.2+（x﹣82）＝0.08x﹣5.36，
∴y＝．
5．（2021 天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开学校的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3
离学校的距离/km 2 　10　 　12　 12 　20　
（Ⅱ）填空：
①书店到陈列馆的距离为 　8　km；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 　3　h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 　28　km/h；
④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为 　或　h．
（Ⅲ）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：当x＝0.5时，y＝10；当x＝0.8时，y＝12；当x＝3时，y＝20；
故答案为：10；12；20；
（Ⅱ）由题意得：
①书店到陈列馆的距离为：（20﹣12）＝8（km）；
②李华在陈列馆参观学习的时间为：（4.5﹣1.5）＝3（h）；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为：（20﹣6）÷（5﹣4.5）＝28（km/h）；
④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为：4÷（2÷0.6）＝（h）或5+（6﹣4）÷[6÷（5.5﹣5）]＝（h），
故答案为：①8；②3；③28；④或；
（Ⅲ）当0≤x≤0.6时，y＝20x；
当0.6＜x≤1时，y＝12；
当1＜x≤1.5时，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，根据题意，得：
，解得，
∴y＝16x﹣4，
综上所述，y＝．
三．切线的性质（共2小题）
6．（2022 天津）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．
（Ⅰ）如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
【答案】（Ⅰ）∠CAB＝45°，AC＝3；
（Ⅱ）2．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵C为的中点，
∴＝，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴AC＝AB cos∠CAB＝3；
（Ⅱ）∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵OD⊥BC，∠FCB＝90°，
∴四边形FCED为矩形，
∴FD＝EC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝6，
则BC＝＝4，
∵OD⊥BC，
∴EC＝BC＝2，
∴FD＝2．
7．（2021 天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．
【答案】（Ⅰ）∠DBC＝48°；∠ACD＝21°；
（Ⅱ）36°．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣42°）＝69°，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠BAC＝42°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝90°﹣42°＝48°；
∴∠ACD＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝69°﹣48°＝21°；
（Ⅱ）如图②，连接OD，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝42°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣69°＝111°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣42°﹣111°＝27°，
∴∠COD＝2∠CAD＝54°，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠DOE＝90°﹣54°＝36°．
四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
8．（2022 天津）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．
参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
【答案】这座山AB的高度约为112米．
【解答】解：设AP＝x米，
在Rt△APB中，∠APB＝35°，
∴AB＝AP tan35°≈0.7x（米），
∵BC＝32米，
∴AC＝AB+BC＝（32+0.7x）米，
在Rt△APC中，∠APC＝42°，
∴tan42°＝＝≈0.9，
∴x＝160，
经检验：x＝160是原方程的根，
∴AB＝0.7x＝112（米），
∴这座山AB的高度约为112米．
五．条形统计图（共2小题）
9．（2022 天津）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 　40　，图①中m的值为 　10　；
（Ⅱ）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（Ⅰ）40，10；
（Ⅱ）2、2、2．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为：13÷32.5%＝40（人），
m%＝×100%＝10%，即m＝10；
故答案为：40，10；
（Ⅱ）这组项数数据的平均数是：×（1×13+2×18+3×5+4×4）＝2；
∵2出现了18次，出现的次数最多，
∴众数是2；
把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数，
则中位数是＝2．
10．（2021 天津）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为 　50　，图①中m的值为 　20　；
（Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为：8÷16%＝50（个）；
m%＝×100%＝20%，即m＝20；
故答案为：50，20；
（Ⅱ）这组月均用水量数据的平均数是：＝5.9（t），
∵6出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是6t；
将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6，
∴这组数据的中位数是6t．

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