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2022-2023学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式有意义，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 用长度相等的火柴棒首尾相连拼接直角三角形，若其中两条直角边分别用根和根火柴棒，则斜边需用火柴棒的根数为根．( )
A. B. C. D.
3. 下列化简正确的是( )
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则( )
A. B. C. D. 以上都有可能
5. 如图，，两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点，然后测量出，的中点，的距离，若，则，两点间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
6. 一次函数的自变量和函数值的部分对应值如下表所示：
则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7. 如图，，，点是射线上的一个动点，，垂足为点，点为的中点，则线段的长的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是( )
A. 平均数比大
B. 中位数比众数小
C. 若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大
D. 若年龄最大的选手离队，则方差将变小
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 中，，则______．
10. 如图，数轴上点，，，所对应的数分别是，，，，若点对应的数是则点落在______ 之间填序号
和；
和；
和．
11. 如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为的两个正方形所拼成的若直角三角形的斜边长为，则的值为______ ．
12. 在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：
项目 演讲内容 演讲能力 演讲效果
成绩
若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______
13. 在矩形中，的角平分线交于点，连接，若，，则线段的长为______ ．
14. 已知直线：，将直线向上平移个单位后经过点将直线向下平移个单位后经过点，那么直线向______ 填“左”或“右”平移______ 个单位后过点．
三、解答题（本大题共12小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：．
．
16. 本小题分
如图，将 的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使求证：四边形是平行四边形．
17. 本小题分
已知一次函数．
在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象；
该一次函数图象与轴交点坐标为______ 当时，自变量的取值范围是______ ．
18. 本小题分
如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画 和．
请你在方格纸中找到点，补全 ；
若每个正方形小格的边长为，请计算线段的长度并判断与的位置关系，并说明理由．
19. 本小题分
快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务，现有三款包装纸箱，底面规格如下表：
型号 长 宽
小号
中号
大号
已知甲乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．
20. 本小题分
已知一次函数的图象经过点，．
求这个一次函数的解析式；
若正比例函数的图象与线段有公共点，直接写出的取值范围．
21. 本小题分
如图，在中，，点，，分别为，，的中点．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．
22. 本小题分
邻边比为的矩形叫做“黄金矩形”黄金矩形给我们以协调、匀称的美感若要将一张边长为的正方形纸片剪出一个以为边的黄金矩形，小松同学的作法如下：
作的垂直平分线分别交，于点，；
连接，作的角平分线，交于点；
过点作于点；
矩形即为所求．
根据上述作图过程，补全图形；
小松证明四边形是黄金矩形的思路如下：作于点，连接，设，
根据角平分线的性质，可知．
根据条件，可求得的长度为______ ，的长度为______ ．
在和中，由勾股定理可得．
由此可列关于的方程为______ ．
解得 ______ ．
所以，矩形为黄金矩形．
23. 本小题分
甲、乙两名选手参加米手枪速射资格赛资格赛规则为每名选手完成发射击，得分按整数计例如：环计分，每发最高得分，满分分甲、乙各射击发的成绩如下表所示：
得分
频数
选手
甲
乙
已知甲、乙两名选手在资格赛中分段的详细数据如下：
甲的分段频数分布表
分组环 频数
根据以上信息，整理分析两名选手得分数据如下：
选手 平均数 中位数 众数
甲 ______ ，
乙 ______ ______
补全上述表格中的信息；
进入决赛后，资格赛成绩不带入决赛每名选手最多完成发，每发按照“击中”或“脱靶”统计，环及以上计为击中，环以下计为脱靶，只有击中才累计环数，按照总环数高低进行排名若甲、乙两名选手均进入决赛，请你推断哪位选手更可能获胜，并说明理由．
24. 本小题分
实数与满足．
写出与的取值范围；
已知是有理数．
当是正整数时，求的值；
当是整数时，将符合条件的的值从大到小排列，请直接写出排在第个位置和个位置的数．
25. 本小题分
在正方形中，点在射线上，点在的延长线上，为的角平分线，点为射线上一点，且．
如图，当点在线段上时，补全图形，求证：．
在的条件下，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
若，，直接写出线段的长．
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若存在实数，，，使得且，则称点为以点和为端点的线段的等差点．
若线段的两个端点坐标分别为和，则下列点是线段等差点的有______ ；填写序号即可
；
；
；
．
点，都在直线上，已知点的横坐标为，，．
如图，当时，线段的等差点在线段上，求满足条件的点的坐标；
如图，点横坐标为，以为对角线构造正方形，在正方形的边上包括顶点任取两点连接的线段中，若线段上存在其中某条线段的等差点，直接写出的取值范围______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：二次根式有意义，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件，求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，解本题的关键是熟练掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】
【解析】解：由勾股定理得：斜边需用火柴棒的根数根，
故选：．
根据勾股定理列式计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
3.【答案】
【解析】解：，
不符合题意．
，
不符合题意．
，
不符合题意．
，
符合题意．
故选：．
根据基二次根式的性质一一排除即可得出结论．
本题考查了二次根式的性质与化简，其中熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：点，在函数的图象上，
，，
，
故选：．
首先将点，代入之中求出，即可得出答案．
此题主要考查了一次函数图象上的点的坐标，解答此题的关键是理解一次函数图象上的点都满足函数的表达式，满足一次函数表达式的点都在函数的图象上．
5.【答案】
【解析】解：连接，
、分别是、的中点，
，
，
，
即、两点间的距离是，
故选：．
连接，根据三角形的中位线性质得出，再代入求出答案即可．
本题考查了三角形的中位线性质，能根据三角形的中位线性质得出是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6.【答案】
【解析】解：由题意得：，解得：，
，
，
解得：，
故选：．
先根据待定系数法求出一次函数的解析式，再解不等式求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握待定系数法是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
点为的中点，
，
当时，的值最小，
即线段的值最小，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故线段的长的最小值为，
故选：．
根据直角三角形的性质得到，当时，的值最小，即线段的值最小，推出是等腰直角三角形，得到，求得，于是得到结论．
本题考查了垂线段最短，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形的性质，正确地得出当时，的值最小是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：足球队队员年龄按由小到大的顺序排列为：、、、、、、、、、、、、、、、，、、、、、，
A、平均数为：，故选项表述错误，不符合题意；
B、中位数为：，众数为，项表述错误，不符合题意；
C、若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差与去年相等，故选项表述错误，不符合题意；
D、若年龄最大的选手离队，则方差将变小，故选项表述正确，符合题意；
故选：．
根据平均数、中位数、众数和方差的定义进行判断．
本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，掌握平均数、众数、中位数以及方差的意义是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，再求出，即可求出的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
点落在和之间．
故答案为：．
根据，而，即可解决问题．
本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，解题的关键是掌握数轴的知识．
11.【答案】
【解析】解：如图，直角三角形的斜边长为，
，
故答案为：．
根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
本题考查了全等图形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：该选手的综合成绩为：，
故答案为：．
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
13.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
的角平分线交于点，
，
，
，
，
故答案为：．
由矩形的性质得，，由，，根据勾股定理得，则，由，得，而，则，所以，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，证明是解题的关键．
14.【答案】左
【解析】解：直线：向上平移个单位后的解析式为：，
直线：向下平移个单位后的解析式为：，
将点代入，将点代入，
得，
解得：，，
直线为：，
设直线向“左”平移后的解析式为，
过点，
，
解得，
直线向左平移个单位后过点，
故答案为：左，．
直线：向上平移个单位后的解析式为：，直线：向下平移个单位后的解析式为：，根据题意得到关于、的方程组，解方程组求得直线的解析式为：，设直线向“左”平移后的解析式为，代入点，求得的值，即可求出答案．
本题主要考查一次函数与几何变换的知识，一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求得直线的解析式是解此题的关键．
15.【答案】解：
；
．
【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
先计算二次根式的乘除法，再算减法，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】证明：连接，设与交于点如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
又，
．
四边形是平行四边形．
【解析】由四边形是平行四边形易知，，再证得，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法．
17.【答案】
【解析】解：
一次函数图象与轴交点坐标为，当时，自变量的取值范围是．
故答案为：，．
一次函数与轴的交点为，与轴的交点为，连接两点并延长即为一次函数的图形；
求一次函数图象与轴交点坐标，即，代入解析式，求出的值，时，解不等式或通过图象确定的取值．
本题考查了一次函数的图象即图象的性质，解题的关键是掌握一次函数的图象特点和性质．
18.【答案】解：所作点如图所示：
由图得：，，，
，
三角形是直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
．
【解析】在过点且平行于的直线上截取个单位长度，即找到点；
证明三角形是直角三角形，，再由，即可证明．
本题考查了作图能力，平行四边形的判断及勾股定理的逆定理等知识点是解题关键．
19.【答案】解：从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱．理由如下：
甲乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，
甲礼品的底面边长为，乙礼品的底面边长为，
，
，，
小号包装纸箱长度尺寸不够，大号包装纸箱长度尺寸偏大，中号包装纸箱长、宽尺寸适中，
从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱．
【解析】根据甲乙两件礼品的底面积大小，可以估计这两件礼品的底面边长大小，然后与三款包装纸箱的尺寸比较，从而找到合适的纸箱．
本题考查了二次根式的应用，正方形的面积，无理数的估算，理解题意得出要求包装的纸箱的尺寸范围是解题的关键．
20.【答案】解：设一次函数为，
一次函数的图象经过点，，
，
解得，
这个一次函数的解析式为；
当直线经过点时，
则，
解得，
当直线经过点时，
则，
解得：，
当正比例函数的图象与线段有公共点时，或．
【解析】利用待定系数法求得即可．
分别求出直线过点、点时的值，再结合函数图象即可求出的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
21.【答案】证明：，分别是，的中点，
且．
同理且．
又，
，
四边形是菱形．
解：，，点，，分别为，，的中点，
，，
，
菱形的面积为．
【解析】由题意易得且，且结合已知推导出，从而证明四边形是菱形；
依据点，，分别为，，的中点，分别求出、，然后根据菱形的面积解答即可．
此题主要考查菱形的判定及性质以及三角形中位线定理等，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
22.【答案】
【解析】解：补全图形如图：
证明：作于点，连接，
设，则，
根据角平分线的性质，可知，
是的垂直平分线，
，
，
，，
≌，
，
，
在和中，
由勾股定理可得，
，
解得，
，
矩形为黄金矩形．
故答案为：，，，．
根据题意作图即可；
作于点，连接，设，则，由角平分线的性质可得，求出，证明≌，得到，则，由勾股定理得到，解得所以，即得矩形为黄金矩形．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图等，灵活运用所学知识是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由题意得，甲资格赛成绩的中位数为，
乙资格赛成绩的平均数为：，
乙资格赛成绩的众数为．
故答案为：，，；
乙选手更可能获胜，理由如下：
在资格赛成绩中，甲环及以上所占百分比为：，
乙环及以上所占百分比为：，
，
推断乙选手更可能获胜．
分别根据中位数、加权平均数以及众数的定义解答即可；
比较资格赛两人环及以上所占比例即可．
本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：要使在实数范围有意义，须有，
，
．
是正整数，
只能是、、、．
又是有理数，
只能是或．
当时，，；
当时，，．
或．
是整数，且是有理数，
是的整数倍．
符合条件的的第一值为，，
设，
，两边同时平方并整理得，．
当时，，，是有理数；
当时，，，是有理数．
当是整数时，将符合条件的的值从大到小排列，排在第个位置和个位置的数分别是和．
【解析】要使二次根式有意义，被开方数须不小于，由此得出与的取值范围；
当是正整数时，只能是、、、，从中选出符合条件的的值即可；
若是整数，且是有理数，则必是的整数倍．可设，整理为，分别计算当和时的值即可．
本题考查实数及其大小比较，比较简单，但该部分内容非常重要，是中学数学的基础，一定要牢牢掌握．
25.【答案】证明：如图，
四边形是正方形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
；
解：，证明如下：
如图，连接交于点，过点作于点，
四边形是正方形，
，
由可知，，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
；
解：四边形是正方形，，
，，，
，
，
点在线段上时，，
，
，
，
由可知，，
；
如图，点在线段的延长线上时，，
连接交于点，过点作于点，
，
，
，
，
，，
；
综上所述，线段的长为或．
【解析】证，得，再由平行线的性质和等腰三角形的性质得，然后由三角形内角和定理即可得出结论；
连接交于点，过点作于点，证四边形是矩形，得，再由等腰三角形的性质得，即可解决问题；
分两种情况，点在线段上时，，求出，再由可知，，即可得出结论；
点在线段的延长线上时，，连接交于点，过点作于点，求出，则，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线定义、三角形内角和定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
26.【答案】 或
【解析】解：的两个端点坐标分别为和
：，，
是等差点；
：，且，
不是等差点；
：，且，
不是等差点；
：，且，
是等差点．
故答案为：．
点直线上，横坐标为，
，
当时，，，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线解析式为，
联立，
解得，
交点即等差点坐标为；
设点，
则或，
解得或，
或；
如图，点横坐标为，以为对角线构造正方形，
可知，，，，且，分别在轴、直线上，
根据等差点定义知，正方形上两点，的一个等差点为，
点位于时，取最小值，
，
即；
正方形上两点，的一个等差点为，
点位于时，取最大值，
即；
正方形的边上包括顶点任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，
或，
即或，
综上，或．
故答案为：或．
的两个端点坐标分别为和，根据定义计算检验即可；
根据解析式得，当时，，，待定系数法确定直线解析式为，联立，求解交点即等差点坐标为；设点，根据定义即可求解；
如图，点的横坐标为，可知，，，，且，分别在轴、直线上，如图，正方形上两点，的一个等差点为，点位于时，取最小值，；正方形上两点，的一个等差点为，点位于时，取最大值，；任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故或，所以或．
本题考查一次函数的综合应用，主要考查正方形性质，一次函数，待定系数法求解析式，理解新定义是解题的关键，注意动态问题的多情况分析．
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