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2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）
专题04 一元二次不等式与其他常见不等式解法
考点要求 考题统计 考情分析
（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式． （2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． （3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 2020年I卷第1题，5分 从近几年高考命题来看，三个 “二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中．
知识点1 二次函数与一元二次方程、不等式
1．二次函数的解析式常见的三种设法：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，已知二次函数图像经过三个点时经常采用这种设法．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，已知二次函数的顶点坐标或对称轴时经常采用该种设法．
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，已知二次函数的图像与x轴的两个交点或已知二次函数对应的一元二次方程的两个实根时经常采用该种设法．
2．函数y＝ax2和y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像之间的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可通过配方得到y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式．由函数y＝ax2(a≠0)的图像向左右、上下平移得到．具体平移过程由下列两种模式：
①y＝ax2(a≠0)y＝a(x＋h)2(a≠0)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)
②y＝ax2(a≠0)y＝ax2＋k(a≠0)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)
3．二次函数[y＝ax2＋bx＋c＝a2＋]的性质(如图)
(1)a＞0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－]上递减，在[－，＋∞)上递增，当x＝－时，f(x)min＝；
(2)a＜0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－]上递增，在[－，＋∞)上递减，当x＝－时，f(x)max＝；
对称轴x＝－，顶点(－，)
4．三个“二次”的关系(a＞0)[口诀：大于取两根之外，小于取两根之内]
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c的图像
ax2＋bx＋c＝0的根 两异实根x1，x2(x1＜x2) 两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0的解集 {x|x＞x1或x＜x2} {x|x≠－} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c＜0的解集 {x|x1＜x＜x2}
5．一元高次不等式的解法如图(数轴标根法，穿针引线法)[注意：a＞0]．
(1)正化求根：将不等式移项分解因式，把每个因式最高项系数化为正，并求出每个因式对应的根．
(2)标根穿线：将n个不同的根标在数轴上，然后穿线．穿线时从轴上最右边一个根开始，由右上方连续穿过n个根．
(3)数轴上方的曲线对应区间就是y＞0的解集；下方对应区间就是y＜0的解集．
(4)如果分解因式后有重根，则“奇过偶不过”，即乘方指数是奇数的画线时穿过x轴，乘方指数是偶数的，画线时到此根对应x轴上点后返回，不穿过去．
(x－1)2(x－2)(x－3)＞0
(x－1)3(x－2)(x－3)＞0
6．分式不等式的解法
(1)＞0(或＜0) y1·y2＞0(或＜0)再求解．
(2)≥0(或≤0) y1·y2≥0(或≤0)且y2≠0再求解．
(3) 形如 的分式不等式可同解变形为
故可转 化为 ．
7．绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
例1．（2023·上海金山·统考二模）若实数满足不等式，则的取值范围是__________.
例2．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
例3．（2023·高三课时练习）函数的定义域为______．
例4．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
例8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
【解题总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．8
题型四：其他不等式解法
【解题总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
例14．（2023·北京海淀·统考一模）不等式的解集为_________．
例15．（2023·全国·高三专题练习）不等式的 的解集是______
例16．（2023·上海·高三专题练习）若不等式，则x的取值范围是____________．
例17．（2023·上海浦东新·统考三模）不等式的解集是__________．
例18．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合，则___________．
题型五：二次函数根的分布问题
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向．
例19．（2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
例21．（2023·全国·高三专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是______.
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为________.
题型六：一元二次不等式恒成立问题
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论．
例23．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
例24．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．
例25．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______.
例26．（2023·全国·高三专题练习）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．
例27．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.
1．（2020·山东·统考高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国·统考高考真题）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018·全国·高考真题）已知集合，则
A． B．
C． D．
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2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）
专题04 一元二次不等式与其他常见不等式解法
考点要求 考题统计 考情分析
（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式． （2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． （3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 2020年I卷第1题，5分 从近几年高考命题来看，三个 “二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中．
知识点1 二次函数与一元二次方程、不等式
1．二次函数的解析式常见的三种设法：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，已知二次函数图像经过三个点时经常采用这种设法．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，已知二次函数的顶点坐标或对称轴时经常采用该种设法．
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，已知二次函数的图像与x轴的两个交点或已知二次函数对应的一元二次方程的两个实根时经常采用该种设法．
2．函数y＝ax2和y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像之间的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可通过配方得到y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式．由函数y＝ax2(a≠0)的图像向左右、上下平移得到．具体平移过程由下列两种模式：
①y＝ax2(a≠0)y＝a(x＋h)2(a≠0)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)
②y＝ax2(a≠0)y＝ax2＋k(a≠0)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)
3．二次函数[y＝ax2＋bx＋c＝a2＋]的性质(如图)
(1)a＞0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－]上递减，在[－，＋∞)上递增，当x＝－时，f(x)min＝；
(2)a＜0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－]上递增，在[－，＋∞)上递减，当x＝－时，f(x)max＝；
对称轴x＝－，顶点(－，)
4．三个“二次”的关系(a＞0)[口诀：大于取两根之外，小于取两根之内]
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c的图像
ax2＋bx＋c＝0的根 两异实根x1，x2(x1＜x2) 两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0的解集 {x|x＞x1或x＜x2} {x|x≠－} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c＜0的解集 {x|x1＜x＜x2}
5．一元高次不等式的解法如图(数轴标根法，穿针引线法)[注意：a＞0]．
(1)正化求根：将不等式移项分解因式，把每个因式最高项系数化为正，并求出每个因式对应的根．
(2)标根穿线：将n个不同的根标在数轴上，然后穿线．穿线时从轴上最右边一个根开始，由右上方连续穿过n个根．
(3)数轴上方的曲线对应区间就是y＞0的解集；下方对应区间就是y＜0的解集．
(4)如果分解因式后有重根，则“奇过偶不过”，即乘方指数是奇数的画线时穿过x轴，乘方指数是偶数的，画线时到此根对应x轴上点后返回，不穿过去．
(x－1)2(x－2)(x－3)＞0
(x－1)3(x－2)(x－3)＞0
6．分式不等式的解法
(1)＞0(或＜0) y1·y2＞0(或＜0)再求解．
(2)≥0(或≤0) y1·y2≥0(或≤0)且y2≠0再求解．
(3) 形如 的分式不等式可同解变形为
故可转 化为 ．
7．绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
例1．（2023·上海金山·统考二模）若实数满足不等式，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】不等式，即，解得，则的取值范围是.
故答案为：.
例2．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
【答案】
【解析】解:由题知不等式为,
即,
即,
解得,
所以解集为.
故答案为:
例3．（2023·高三课时练习）函数的定义域为______．
【答案】
【解析】要使函数有意义，则 ，解得.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
例4．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
【答案】
【解析】不等式即，
的根为，
故的解集为，
即不等式的解集为，
故答案为：
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，，解得：，；
由得：；
“”是“”的充分不必要条件， ，
当时，，不满足 ；当时，，不满足 ；
当时，，若 ，则需；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：A.
例6．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不等式即 ，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故，
当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是 ，故，，
故实数m的取值范围为，
故选：C
例7．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【解析】方程： 且
解得方程两根：；
当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为：
综上所述, 当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为：
例8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.
故选：A.
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
【解题总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
【答案】B
【解析】因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故选：A.
例11．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的解集是，，得，
则不等式，
即，解得：，
所以不等式的解集是.
故选：D
例12．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
【答案】C
【解析】由题意，所以正确;
对于:，当且仅当，即时成立,
所以正确;
对于,由韦达定理，可知，所以错误;
对于,由韦达定理，可知，
则，解得，
所以正确,
故选：.
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．8
【答案】C
【解析】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，，
所以，当且仅当，即时取等号，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为2.
故选：C.
题型四：其他不等式解法
【解题总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
例14．（2023·北京海淀·统考一模）不等式的解集为_________．
【答案】或
【解析】根据分式不等式解法可知等价于，
由一元二次不等式解法可得或；
所以不等式的解集为或.
故答案为：或
例15．（2023·全国·高三专题练习）不等式的 的解集是______
【答案】：
【解析】则或
【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法
例16．（2023·上海·高三专题练习）若不等式，则x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】∵，则，解得，
∴x的取值范围是.
故答案为：.
例17．（2023·上海浦东新·统考三模）不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】当时，，解得，此时解集为空集，
当时，，即，符合要求，此时解集为，
当时，，解得，此时解集为空集，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
例18．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合，则___________．
【答案】
【解析】，
.
故.
故答案为：
题型五：二次函数根的分布问题
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向．
例19．（2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
【答案】
【解析】令，图象恒过点，
方程0在区间内有两个不同的根，
，解得.
故答案为：
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
【答案】.
【解析】方程
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，
故答案为：.
例21．（2023·全国·高三专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是______.
【答案】1
【解析】方程化为，
由，解得，
所以最大整数值是.
故答案为：1.
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】，故，
，，
将看成方程的两根，则，
即，故，解得.
故答案为：
题型六：一元二次不等式恒成立问题
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论．
例23．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】原不等式可化为对恒成立．
（1）当时，若不等式对恒成立，
只需，解得；
（2）当时，若该二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
综上：.
故答案为：
例24．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由不等式对恒成立，
可转化为对恒成立，即，
而，
当时，有最大值，所以，
故答案为：．
例25．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，所以由得，
因为关于的不等式在区间上有解，
所以只需小于等于的最大值，
当时，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为1，
所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
例26．（2023·全国·高三专题练习）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】，使关于的不等式成立，
则，即，，
令，，则对勾函数在上单调递增，
所以，
故
故答案为：
例27．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.
【答案】
【解析】可转化为.
设，则是关于m的一次型函数.
要使恒成立，只需，
解得.
故答案为：
1．（2020·山东·统考高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】结合图像易知，
不等式的解集，故选：A.
2．（2020·全国·统考高考真题）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由解得，
所以，
又因为，所以，故选：D.
3．（2018·全国·高考真题）已知集合，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解不等式得，
所以，
所以可以求得，故选B.
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