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专题5.5 函数的图象及三角函数模型的应用
1.的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
2.五点法作的图象
⑴列表
⑵描点：在同一平面直角坐标系中描出各点；
⑶连线：用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期内的图象.利用函数的周期性，通过左、右平移得到定义域内的简图.
3.函数的性质
定义域
值域
周期 最小正周期
奇偶性 奇函数： 偶函数：
对称性 对称轴方程：令，得 对称中心：令，得
单调性 1.设则，利用复合函数的单调性性质“同增异减”，由内函数的单调性，判断外函数的单调性； 2.得出外函数的单调区间，即的取值范围，解不等式，得出函数 的单调区间
【重要结论】
1.有关周期的结论
①函数的周期均为；
②函数的周期为.
2.奇偶性
对于函数，
①为奇函数的充要条件是；②为偶函数的充要条件是.
3.单调性
(1)对于不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间上为增函数.
(2)要注意求的单调性时和的符号,尽量化成时情况,避免出现增减区间的混淆.
4.求解函数的性质问题的四种意识
(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式．
(2)整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“”，采用整体代入求解．
(3)讨论意识：当有参数时，求最值应分情况讨论，.
(4)数形结合意识：解决三角函数性质有关问题时，可借助图象使解题思路更直观更形象．
1.【人教A版必修一 习题5.6 第5题 P241】函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
2.【人教A版必修一 习题5.6 第7题 P241】（多选）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：在水面下则为负数，若以盛水筒 刚 浮 出 水 面 时开始计算时间，则与时间单位：之间的关系为，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【方法储备】
1.函数的图象经变换得到的图象的两种途径
⑴先平移后伸缩
的图象向左（右）平移个单位长度得到的图象
的图象横坐标变为原来的得到的图象
的图象纵坐标变为原来的倍得到的图象
⑵先伸缩后平移
的图象横坐标变为原来的得到的图象
的图象向左（右）平移个单位长度得到的图象
的图象纵坐标变为原来的倍得到的图象
2. 函数图象变换解题策略
⑴由的图象得到或的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移个单位，都是相应的解析式中的变为，而不是变为.
⑵不同名函数之间的平移：应用诱导公式,化为同名函数再平移.
⑶由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到.
【典例精讲】
例1.(2022·四川省成都市月考) 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
例2.(2023·广东省佛山市月考) 函数其中，，的图象如图所示为了得到的图象，只需把的图象上所有的点( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
例3.(2022·江苏省徐州市模拟)（多选） 已知函数与，则下列结论正确的是( )
A. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
B. 的图象与的图象相邻的两个交点间的距离为
C. 图象的一条对称轴为
D. 在区间上单调递增
【拓展提升】
练1-1(2023·福建省厦门市模拟) 已知，将图象向左平移个单位后得到的图象，若与的图象关于轴对称，则
练1-2(2022·广东省茂名市期末)（多选）把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的纵坐标不变得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是( )
A. 最小正周期为
B. 单调递增区间为
C. 图象的一个对称中心为
D. 图象的一条对称轴为直线
【方法储备】
1. 由的图象的一部分求解析式
(1)求，确定函数的最大值和最小值，
则.
(2)求，确定函数的最小正周期，则可得.
(3)求常用的方法有：
①五点法： 选取图象上的点，若为“第一点”，则满足；若为“第二点”，则满足；若为“第三点”，则满足；若为“第四点”，则满足；若为“第五点”，则满足.
注意：要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中.
②特殊点法：往往选择特殊点，若为最大值点，则；若为最小值点，则，结合题干中的范围，求出的唯一解.
2. 图象变换法：利用图象变换的知识，一步一步变换得到新的解析式.
【典例精讲】
例4.(2022·湖北省黄冈市月考)（多选）函数的部分图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
例5. (2022·辽宁省大连市期中)（多选）如图是函数的部分图象，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. 函数是奇函数
B. 函数图象的对称轴为直线
C. 函数的单调递增区间为
D. 函数图象的对称中心为
【拓展提升】
练2-1(2022·吉林省长春市模拟) 函数的部分图象如图，轴，当时，不等式恒成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
练2-2(2022·湖北省武汉市期末) 如图是函数的部分图象，是图象的一个最高点，是图象与轴的交点，，是图象与轴的交点，且，的面积等于，则的解析式为 ．
【方法储备】
1.三角函数性质的综合应用
⑴先将化为的形式，再研究的图象和性质；
⑵性质应用：
①周期问题：
I.利用最小正周期公式，函数的最值点、图象的对称性等确定周期；
最值点与函数图象的对称轴相对应，实质上就是由对称性求解周期.
II.确定周期，从而求出；
III.如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.
②对称性问题：
I.求解函数图象的对称中心、对称轴：解方程，求出对称轴；解方程，求出对称中心.
II.判断或是否为对称轴或对称中心：通过检验 的值，进行判断.
③奇偶性问题：
利用三角函数的奇偶性求参数值：若为奇函数，则；若为偶函数取最值.
④单调性问题：
I. 求定义域或指定区间上的单调区间；结合复合函数单调性性质“同增异减”，判断内外函数单调性，将看作一个整体，带入外函数的单调区间解不等式，求出单调区间；或与指定区间求交集.
II.由函数的单调性求：结合函数的单调区间与题干条件，建立不等式.
III.利用单调性比较大小.
2.函数零点（方程根）问题
①零点个数问题：直接法，令，求出方程根即为函数零点；定理法，利用零点存在定理判断函数在区间内的零点，再结合函数的图象与性质确定；数形结合法，转化为判断两个函数图象的交点个数.
②含参数的函数零点问题：直接法，根据单调性写出极值及相关端点值的范围，根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数范围；分离参数法，构造函数求最值.
③函数零点和问题：根据函数图象的对称性，求得函数的零点之和.
3.三角函数实际应用
①已知函数模型：利用三角函数的有关性质解决问题；
②需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题：首先寻找与角有关的信息，确定三角函数模型；其次搜集数据，求出三角函数解析式，再利用三角函数的性质解决有关问题.
【典例精讲】
例6.(2023·江苏省南京市联考) 如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天按逆时针方向做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．则时点距离地面的高度为
例7.(2022·江苏省无锡市月考)（多选）已知向量，，函数，下列命题，说法正确的选项是( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称
D. 的单调增区间为
例8.(2023·重庆市市辖区模拟) 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为( )
A. B. C. D.
例9.(2023·江苏省宿迁市期末) 已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练3-1(2022·安徽省芜湖市模拟) 已知函数，若函数恰有零点，分别为，则的值为
练3-2(2023·湖南省长沙市期末)（多选）已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( )
A.
B. 若，则函数的最小正周期为
C. 关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解
D. 若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为
练3-3(2023·北京市朝阳区一模) 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )
A. 的一个周期为 B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有个零点
1.( 2023·北京市市辖区模拟) 已知函数，若，且函数的部分图象如图所示，则等于( )
A. B. C. D.
2.(2023·浙江省联考) 函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数若关于的方程在内有两个不同的解，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.(2023·山东省日照市模拟) 用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设是眼睛与彩虹中心的连线，是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角若平面为水平面，为彩虹面与水平面的交线，为的中点，米，米，则彩虹的长度约为( )参考数据：，
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米

【答案解析】
1.【人教A版必修一 习题5.6 第5题 P241】
解：函数的图象向左平移个单位，得的图象，
又函数是偶函数，，，，
，
故选C．
2.【人教A版必修一 习题5.6 第7题 P241】
解：因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以，
所以，选项B错误
振幅为筒车的半径，即，所以选项A正确
由题意，时，，即，，
即，选项C正确、选项D错误．
故选：．
例1.解：函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，
得到的图象，
再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
故选：．
例2. 解：根据函数其中，，的图象，
可得，，求得．
再根据五点法作图，可得，求得，
故函数
为了得到的图象，
只需把的图象上所有点向右平移个单位长度，
故选：．
例3. 解：函数，，
则把的图象向左平移个单位长度，
可得 的图象，故A错误；
的图象与的图象相邻的两个交点的横坐标，即的两个相邻的解，则，令，，则相邻交点为，
两个交点间的距离为，故B错误．
令，求得，为最小值，
故图象的一条对称轴为，故C正确；
在区间上，，函数单调递增，
故D正确，
练1-1.解：由题意，可表示，，，，，，共个点．
故选C．由题意知，
因为与的图象关于轴对称，
所以，
可有，则
又，则，则，
此时，
则，
满足题意，所以．
故答案为：．
练1-2.解：的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的纵坐标不变得到
函数的图象；
所以函数的最小正周期为，故 A正确；
令，解得，，
所以函数的单调递增区间为，故B正确；
当时，，故C错误；
当时，，故图象的一条对称轴为直线，故D正确．
故选ABD．
例4.解：由图象可得，，
解得，所以，所以，
又的图象过点，则，
解得，
又，所以，
即
．
故选BD．
例5.解：由题意知函数的最小正周期，由及，得，
所以，
又的图象经过点，所以，
因为，所以，故，
把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到的图象，
再将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
故，是奇函数，选项正确；
函数图象的对称轴为直线，选项错误；
函数的单调递增区间为，选项错误；
函数图象的对称中心为，选项正确．
故选AD．
练2-1.解：因为轴，所以图象的一条对称轴方程为，
所以，则，所以，
又，，且，所以，
故，
因为当时，不等式恒成立，
所以，
因为，则，
所以的最小值为，所以．
故选：．
练2-2.解：由图象可知，的最大值为，又，所以，
因为的面积等于，所以，则，
所以最小正周期，即，得，又，故，
将代入，得，即，
因为，所以，
所以．
故答案为．
例6.解：解法一：依题意，，，，则，且，故，
，．
解法二：，故第时点所在位置与第时点所在位置相同，其高度为
故答案为．
例7.解：向量，，
．
函数，其最小正周期为，A正确；
当时，，
的图象关于点对称，故B正确；
当时，，
的图象不关于直线对称，故C错误；
令，
得，
故的单调递增区间为 ，故D错误；
故选AB．
例8.解：将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
则，
又在上为增函数，
，解得，
所以的最大值为．
例9.解：函数在内有且仅有两个零点，
即在内有且仅有两个零点，
，，
，
故选D．
练4-1.解：令，则．
函数恰有零点，等价于的图像与直线恰有三个交点，
即与直线恰有三个交点，设为，，如下图所示
函数，的图像取得最值有个值，分别为和，
由正弦函数图像的对称性可得，，即．
，即．
则．
故答案为：．
练4-2.解：，，在上单调，
又，，故A正确；
，区间右端点关于的对称点为，
在上单调，根据正弦函数图象特征可知在上单调，
为的最小正周期，即，
又，，若，
则的图象关于直线对称，结合，
得，
即，故，，，故B正确．
，由，得，在区间上最多有个完整的周期，
而在个完整周期内只有个解，
故关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解，故C错误．
，由知，是函数在区间上的第个零点，
而在区间上佮有个零点，则，
结合，得，又，
的取值范围为，故D正确．
练4-3.解：，故A错误；
B.令，则，，
令，则，，即，，
若的最大值为，则有解，
整理得，，
因为，，所以，故上式无解，即B错误；
C.，，
所以，所以的图象不关于直线对称，即C错误；
D.，即，，
即或，解得：
所以函数在区间上有个零点，故D正确
故选：
1.解：由已知得，
据图可知是在一个周期内的三个零点，
且在上先增后减，在上先减后增，
故，所以，
且，得，，
又，故时，即为所求．
故选：．
2.解：函数的图象左平移个单位长度后，
得到的图象
对应的函数是奇函数，
，，即，
又，即
函数，
关于的方程在内有两个不同的解，，
即在内有两个不同的解，，
即在内有两个不同的解，，
即其中，，，为锐角，则，
在内有两个不同的解，，
即方程在内有两个不同的解，．
则有，，
，
，
则，，故选B．
3.解：在中，由勾股定理可得：米，连接，
则在中，米，连接，，，则在中，
，故，，则彩虹的长度约为
，故选A．

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