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专题5.4 三角函数的图象和性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数在区间上的图象
（1）“五点法”作图原理：
在正弦函数的图象上，五个关键点是：．
在余弦函数的图象上，五个关键点是：.
（2）五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
三角函数
图象
定义域
值域
周期
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称轴方程: 对称中心: 对称轴方程: 对称中心: 对称中心:
单调性 单调递增区间： 单调递减区间： 单调递增区间： 单调递减区间： 单调递增区间
最值 当时, 当时, 当时, 当时, 无最值
1.【人教A版必修一 5.4.2 练习5 P207】函数的一个单调递减区间是( )
A. B. C. D.
2.【人教A版必修一 习题5.4 第1题P213】已知函数同
时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；最大值为；；．
求函数的解析式，并利用“五点法”画出在的简图；
求函数在的值域．
【方法储备】
1.三角函数定义域的求法
根据三角函数本身的属性，及求其他函数求定义域的规律，如分母不为零，偶次根式下被开方数大于或等于0，真数大于0等，构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．解三角不等式时要注意周期，且不可以忽略．　
2.求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型
(1)形如或：可利用三角函数的有界性求值域；
(2)形如：可设，利用辅助角公式，转化为
求值域，即由的范围的范围将看作一个整体，求正弦函数的值域将看作一个整体，求一次函数的值域；
注意：常见求值域问题中，要先利用两角和、差的正余弦公式及逆用、二倍角公式等先做变形，再利用辅助角公式将函数转化为 的形式求值域；
(3)形如：可设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，注意换元后的范围；
注意：可先利用二倍角余弦公式升幂，灵活运用，转化为的结构.
(4)形如：可设，
或，转化为关于的二次函数求值域，注意换元后的范围；
补充：
⑴形如：用y表示，利用的有界性求值域，或分离常数，结合不等式性质求值域；
⑵形如：转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值，或将看作借助单位圆上点的坐标，转化为斜率问题解决.
【典例精讲】
例1. (2023·广东省佛山市月考) 函数的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
例2. (2023·广东省中山市期中) 已知函数则的最小值为( )
A. B. C. D.
例3. (2023·北京市市辖区模拟) 函数是( )
A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为
C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为
例4. (2023·浙江省温州市月考)若函数，则 ，的值域为 ．
例5. (2023·四川省成都市模拟) 函数的最大值是 ，最小值是 ．
【拓展提升】
练1-1(2023·广东省揭阳市月考) 已知函数的定义域为，则函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
练1-2(2022·安徽省蚌埠市月考) 如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，矩形的面积最大值为( )
A. B. C. D.
练1-3(2023·福建省泉州市期中)（多选）已知函数在上的值域为，则实数的值可能取
A. B. C. D.
【方法储备】
1. 与三角函数的单调性有关的问题
⑴求函数或的单调区间，将视作整体，代入或相应的单调区间所对应的不等式，
即对于；
对于.
注意：当时，要注意单调区间的变化，或的递增（减）区间，是原函数的递减（增）区间.
⑵当时，可先利用诱导公式将前的系数转化为正数，再求函数的单调区间．
2.比较三角函数值大小的步骤：
⑴异名函数化为同名函数；
⑵利用诱导公式把角化到同一单调区间上；
⑶利用函数的单调性比较大小．
3.已知三角函数的单调区间求参数的取值范围
⑴子集法：求出原函数的相应单调区间，则已知区间是某单调区间的子集，列不等式(组)求解；
⑵导数法：利用导数与单调性的关系求解.
【易错警示】
1.正切函数在定义域上不具有单调性．
2.正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在，…上都是增函数，且单调区间不能写成闭区间.
【典例精讲】
例6. (2023·广东省广州市模拟) 已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
例7. (2023·广东省潮州市模拟) 若在区间上单调递增，则实数的取值范围为
( )
A. B. C. D.
例8. (2023·广东省中山市月考)已知，，，，则( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练2-1(2022·湖北省孝感市模拟) 函数的单调递增区间是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
练2-2(2023·安徽省安庆市模拟)已知函数，，且函数在区间上单调递减，则的最大值为 ．
【方法储备】
三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路：
1.已知奇偶性求参数
若为奇函数，则，则；
若为偶函数，则，则.
2.求三角函数的周期
⑴定义法：对于取定义域内的每一个值时，都有（为非零常数），则为为周期；
⑵公式法：即将函数化为或的形式，则最小正周期；
的最小正周期；
⑶由对称性求周期：相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为，
(4)解析式含绝对值：
如的最小正周期；
的最小正周期；
不是周期函数.
注意：
⑴函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.研究某周期函数的性质，一般只需要研究它在一个周期内的性质.
⑵将函数在某个周期内的性质扩展到整个定义域时，要补上最小正周期的整数倍.
3.三角函数对称轴和对称中心的求解方法
(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心是图象与轴的交点，即函数的零点．
(2)公式法：对于函数，令，则，故对称轴方程为；
令，则，故对称轴中心为；
【典例精讲】
例9. (2023·广东省深圳市期中) 若为奇函数，则___填写符合要求的一个值
例10. (2023·江苏省南通市月考)函数的最小正周期不可能是( )
A. B. C. D.
例11. (2022·江苏省常州市月考)（多选）已知函数，则下列命题正确的有( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点中心对称
C. 的表达式可改写为
D. 若，则
【拓展提升】
练3-1(2023·北京市原创试题)已知函数，那么函数的最小正周期是 ：若函数在上具有单调性，且，则 ．
练3-2(2023·山东省青岛市模拟)若函数，则下列说法正确的是( )
A. 是偶函数 B. 的最小正周期是
C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于直线对称
练3-3(2023·陕西省榆林市联考)已知直线为函数图象的一条对称轴，的图象与直线的交点中，相邻两点间的最小距离为，那么函数( )
A. B. C. D.
1. (2022·北京市市辖区模拟)已知函数若非零实数，，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是 ， 只需写出一组
2. (2023·江苏省南京市模拟)（多选）已知函数，结论正确的有( )
A. 是周期函数 B. 的图象关于原点对称
C. 的值域为 D. 在区间上单调递增
3. (2023·重庆市市辖区月考)（多选）已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是以为周期的周期函数
B. 在上单调递减
C. 的值域为
D. 存在两个不同的实数，使得为偶函数
【答案解析】
1.【人教A版必修一 5.4.2 练习5 P207】
解：函数，在，，上单调递减，即，
当时，；时，；时，，
是的一个单调递减区间．
故答案选：．
2.【人教A版必修一 习题5.4 第1题P213】
解：若函数满足条件，则．
这与，矛盾，故函数只能满足条件．
由条件①，得，又因为，所以；
由条件，得
由条件，得，
又因为，所以
故的解析式为
由“五点法”找出函数在一个周期内的五个关键点，列表如下：
时，，，
故的值域为．
例1.解：由题意得：
，，
解得：，，
故选：．
例2.解：因为
，
且，
所以，
所以，
所以的最小值为．
故选B．
例3.解：由题可知，的定义域为
且，
而，即函数为偶函数
所以，，，又，
即，可得函数最小值为，无最大值．
故选：
例4.解：由题意得，，
又，
令，则，，
因为的开口向上，对称轴，
当时，单调递减，，单调递增，
所以；
所以的值域为．
故答案为：；．
例5.解：令，则．
，，
，，
开口向上，对称轴，
，
．
故函数的最大值与最小值分别为，，
练1-1.解：函数的定义域为，所以，
则，即，因为，
所以，
解得．
函数的定义域是：．
故选B．
练1-2.解：由题意知：在中，，．
在中，，
所以．
设矩形的面积为，则
．
由，得，所以当，即时，．
因此，当时，矩形有最大面积，为．
练1-3.解：
，，
因为，
当时，，，A正确；
当时，，，B正确；
当时，，，C正确；
当时，，，D错误．
故选ABC．
例6.解：函数，
由恒成立，可得，
得，，解得，，
又，则或，
由 ，
所以，
则，
由，，
解得，，
则的单调递增区间是．
故选D．
例7.解：由题意得，，
令，
函数在区间上单调递增，
，，故．
例8.解：当时，则，，
，
由于，则，所以，
又，所以，
又，所以，
所以．
故选A．
练2-1.解：，设，则，
故，
当时，是关于的减函数，
即当时，是关于的减函数，
根据复合函数单调性的法则，函数的单调递增区间是．
故选A．
练2-2.解：因为在区间上单调递减，
所以，所以，
因为，
又，所以，则
又函数在区间上单调递减，
所以
解得，取，
即，
故的最大值为．
故答案为：．
例9.解：函数，
又为奇函数，所以可知为奇函数，只需为零即可，
故，
所以，得，，或，．
故可取．
故答案为：答案不唯一．
例10.解：当时，，最小正周期为，所以A正确
当时，，最小正周期为，所以B正确
当时，，最小正周期为，所以D正确．
排除法，所以选C．
例11.解：由，可得，
所以函数的对称轴为，，则不是函数的对称轴，故A错误；
由，可得，
所以函数的对称中心为，，所以是函数的对称中心，故B正确；
，故C错误；
令，解得，即，
则两个零点的距离为，
故选BD．
练3-1.解：因为函数，
所以，
故函数的最小正周期是；
因为，
则函数的一个对称中心为，即关于点对称，
令，解得，
又因为，故．
当时，，
当时，，
又函数在上单调递减，
故函数在上具有单调性，符合题意．
练3-2.解：因为函数，所以函数的定义域为．
对于因为，
所以函数是奇函数，故A不正确
对于因为，
，所以，故B不正确
对于因为当时，，
所以由得，因此函数在区间上单调递增，故C正确
对于因为，，
所以，因此函数的图象不关于直线对称，故D不正确．
故选C．
练3-3.解：由，得，或，
所以相邻两角的差的绝对值为，或，
所以相邻两点中距离较小的应满足，
又 ，所以．
故
因为直线为图象的一条对称轴，
所以，解得，又，
所以，故
故选D．
1.解：若，则，
当时，，，
故可取，．
故答案为：，答案不唯一．
2.解：对于，因为即为的周期，A正确；
对于，因为，即不关于原点对称，B错误；
对于，因为在单调递增，在上单调递减，令，
又在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，在单调递增，在上单调递减，
由单调性判定选项即可，值域为故C错误．
故答案为：．
3.解：对于，，
，
，故A错误；
对于，当时，，
令，，，
，
函数的对称轴，当时函数单调递增，
函数在递减，
可得在上单调递减，故B正确；
对于，当时，，
，
令，，，
，
在此范围内可得函数值域为；
当时，，
，
令，，，
，
在此范围内可得函数值域为．
综上可得的值域为，故C错误；
对于，
，
若为偶函数，则有，即，，
求得在内有两个实数，故D正确．
故选BD．

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