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专题6.1 数列的概念与表示方法
1．数列的有关概念
⑴数列：按照一定顺序排列的一列数，一般记为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项；
⑵数列的通项：数列中的每一个数；
⑶通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系能用一个式子表示，这个式子叫作数列的通项公式；
⑷递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道首项或前几项，以及递推公式，可以求出数列的每一项.
⑸前n项和：数列中，叫做数列的前n项和.
2.数列的表示方法
⑴列表法：列表格表示与的对应关系；
⑵图象法：把点画在平面直角坐标系中，图象是一些孤立的点；
⑶公式法：通项公式，把数列的通项使用公式表示的方法；递推公式，使用初始值和或，和等表示数列的方法.
3．数列的分类
⑴按项数分类：有穷数列，项数有限；无穷数列，项数无限；
⑵按项与项间的大小关系分类：递增数列，；递减数列，；常数列，；
⑶按其他标准分类：有界数列，存在正数，使；摆动数列，的符号正负相间，如1，－1，1，－1，….
4.数列的函数特性
⑴ 数列与函数的关系：数列是一种特殊的函数.
⑵ 数列的函数特性：
名称 数列 函数
解析式
表示 列表法、图象法、解析式法
图象 一些孤立的点 连续的曲线
定义域 或 使函数有意义的自变量的取值范围
值域 数列中的项组成的集合
单调性 若，则数列递增 若，则数列递减 若, ，函数在区间上递增； ，函数在区间上递减
周期性 若（为非零常数），则数列为周期数列，为数列的一个周期 对于定义域内任一个，存在非零实数，，则函数为周期函数，为函数的一个周期
【重要结论】
在数列中，若最大，则；若最小，则
5.与的关系
若数列的前项和为，通项公式为， ，
则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
1.【人教A版选择性必修一 习题4.1 第6题 P9】某人从年起，每年月日到银行新存入万元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到年月日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为单位：万元( )
参考数据：，，
A. B. C. D.
2.【人教A版选择性必修一习题4.1 第7题 P9】已知函数，数列满足．
求数列的通项公式；
试判断数列的单调性．
【方法储备】
1.给出数列的前几项求通项
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．常用方法：观察规律、比较已知数列、归纳、转化为特殊数列、联想常见数列等方法；
具体策略：
①熟悉一些常见数列的通项公式，如等；
②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；
③若第项和第项正负交错，那么用符号或来适配；
④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；
⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成或，甚至分段形式等.
2. 利用数列的通项公式求某项
数列的通项公式给出了第项与它的位置序号之间的关系，只要用序号代替公式中的，就可以求出数列的相应项．
3. 判断某数值是否为该数列的项
设它是数列中的第项，然后列出关于的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
【典例精讲】
例1.(2022·广东省佛山市月考) 圆周率是无理数，小数部分无限不循环，毫无规律，但数学家们发现可以用一列有规律的数相加得到：若将上式看作数列的各项求和，则的通项公式可以是( )
A. B.
C. D.
例2.(2023·浙江省温州市月考) 已知数列的通项公式为，且，．
求的通项公式；
是否为数列中的项，若是，是第几项？若不是请说明理由．
该数列是递增数列还是递减数列？
【拓展提升】
练1-1(2023·陕西省商洛市期末) 已知数列，则这个数列的第项为( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·贵州省模拟) 已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
练1-3(2022·江苏省镇江市期末)（多选） 南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则( )
A. B.
C. D.
【方法储备】
1.已知求的一般步骤
⑴当时，求；
⑵当时，求；
⑶对于步骤⑵中求出的通项公式，要检验是否满足，若满足则用一个式子表示，如不满足，则用分段的形式表示.
2.由求的一般步骤
⑴利用，将中的替换，转化为的关系式，求出，在利用与的关系求，并且要注意的范围限制；
⑵利用，消去中的，转化为的关系式，再求解，也要注意的范围限制.
【典例精讲】
例3.(2023·山东省泰安市模拟) 已知数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
例4. (2022·江苏省南通市期中) 将数列中的所有项排成如下数阵，其中每一行项数是上一行项数的倍，且从第二行起每一行均构成公比为的等比数列．
，
，，，
，，，，，，，
记数阵中的第列构成的数列为，为数列的前项和，，则 ， ．
【拓展提升】
练2-1(2022·江苏省宿迁市模拟) 已知数列的前项和，且，则 ．
练2-2(2022·河北省石家庄市联考)（多选） 设是数列的前项和，，，则下列说法正确的有( )
A. 数列的前项和为
B. 数列为递增数列
C. 数列的通项公式为
D. 数列的最大项为
【方法储备】
1.累加法：已知，且，
，
；验证.
2.累乘法：已知，且，
，
；验证.
3.构造法：
⑴已知，且，（）
(其中可用待定系数法确定)，构造出以为首项，为公比的等比数列；
当时，数列为等差数列；
当时，数列为等比数列.
⑵已知，且，（）
，令，则，
①若，则构造等差数列；②若，则按第⑴中思路求解；
说明：还可以通过其他变形方式构造数列，如，利用累加法求通项公式；
⑶已知（）
，其中满足，再按第⑴中思路求解；
4.取倒数法： 已知，（为常数）
,
①若，则构造等差数列；②若，则按第⑴中思路求解；
5.取对数法：已知，且
等式两边同时取对数，，转化为型，求解.
6.其他求通项公式的方法
⑴赋值法：已知
，两式相减，得出，再讨论的情况.
⑵分奇偶讨论
①已知，两式相减得，然后按奇、偶分类讨论；
②已知，两式相除得，然后分奇、偶讨论即可.
【典例精讲】
例5.(2023·四川省联考) 已知数列的前项和为，若，，则 ．
例6.(2022·重庆市联考) 已知数列对任意的有成立，若，则等于( )
A. B. C. D.
例7.(2023·广东省中山市月考) 已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足，且，则__________ ．
例8.(2022·安徽省合肥市模拟) 已知数列满足，，若，则数列的通项 ( )
A. B. C. D.
例9.(2022·湖北省黄冈市月考) 已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练3-1(2022·湖北省联考) 在数列中，已知 ，且，则以下结论成立的是( )
A. B. C. D.
练3-2(2023·山东省青岛市模拟) 已知数列满足，数列的前项和为，若________，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题和：
①；
②数列满足：，，且的前项和为；
③．
问题：求数列的通项公式；
数列是首项和公比均为的等比数列，求数列中有多少个小于的项．
【方法储备】
1.数列周期性的应用
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值；还可以依据函数的周期性得出数列的周期性.
2.解决数列单调性问题的三种方法
⑴作差比较法：数列为递增数列；数列为递减数列；
⑵作商比较法：根据 (或)与1的大小关系进行判断；
⑶数形结合法：结合相应函数的图象直观判断，注意数列中的取值为正整数.
3.求数列最大项或最小项的方法
⑴可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式找到数列的最小项．
⑵若数列是递增数列，则最小项为；若数列是递减数列，则最大项为；
⑶将数列看作函数，利用函数求最值，注意数列中的取值为正整数.
【典例精讲】
例10.(2022·重庆市期末) 已知数列满足，且，为数列的前项的积，则 ( )
A. B. C. D.
例11.(2023·安徽省马鞍山市期中)（多选） 已知数列满足若，都有成立，则整数的值可能是( )
A. B. C. D.
例12.(2022·山西省临汾市月考) 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则取最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练4-1(2023·北京市市辖区期中) 已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式 ．
练4-2(2023·湖南省郴州市月考)（多选） 已知数列的前项和为，若是与的等差中项，则下列正确的是( )
A. 当且仅当时，数列是等比数列
B. 数列一定是单调递增数列
C. 数列是单调数列
D.
练4-3(2022·江苏省无锡市模拟) 已知是数列的前项和，且，．
求证：是等差数列；
若中，只有三项满足，求实数的取值范围．
1.(2023·北京市市辖区期末) 角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以再加；如果它是偶数，则将它除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过个步骤变成简称为步“雹程”已知数列满足：为正整数，①若，则使得至少需要 步雹程；②若，则所有可能取值的和为 ．
2.(2023·山东省烟台市模拟)（多选） 在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是( )
A. 对于任意的，都有
B. 对于任意的，数列不可能为常数列
C. 若，则数列为递增数列
D. 若，则当时，
3.(2023·浙江省杭州市月考) 已知是各项均为正整数的数列，且，，对任意，与有且仅有一个成立，则的最小值为 ．
【答案解析】
1.【人教A版选择性必修一 习题4.1 第6题 P9】
解：年月日有元，
年月日本息和为元；
年月日本息和为
元；
年月日本息和为
元；
得到年月日本息和为
．
2.【人教A版选择性必修一习题4.1 第7题 P9】
解：由，可得，
所以，解得．
因为，
所以，所以，
故．
因为
，
所以数列是递增数列．
例1.解：
，
可以看成数列的各项求和，其中
，
数列的通项公式可以是．
故选：．
例2.解：，
又，，
，解得．
因此的通项公式是．
令，即，
，．
故是中的第项．
由于，且随的增大而减小，
因此的值随的增大而减小，故是递减数列．
练1-1.解：根据题意，该数列为，，，，，，
其通项公式，
其第项，
故选：．
练1-2.解：当时，
由，得．
令，在同一个坐标系内作出两函数在区间上的图象，
由图象易知交点为，故得到函数的零点为．
当时，，
，
由，得．
令，在同一个坐标系内作出两函数在区间上的图象，
由图象易知交点为，故得到函数的零点为．
当时，，
，
由，
得令，在同一个坐标系内作出两函数在区间上的图象，
由图象易知交点为，故得到函数的零点为．
依此类推，当，，，时，
构造的两函数图象的交点依次为，，，，
得对应的零点分别为，，．
故所有的零点从小到大依次排列为，，，，．
其对应的数列的通项公式为．
故答案选B．
练1-3.解：由题意可知，，
，
，，
，
故，
所以，故选项A错误；
因为，故选项B正确；
因为，故选项C正确；
因为，
，
所以，故选项D错误．
故选：．
例3.解：，，
两式相减得，即，
，，
，，
，，
，
故选D．
例4.解：由题意，数列的前项和为，
当时，，
当时，，适合上式，所以，
又由数阵中的第列构成的数列为，，，
可得，
因为从第二行起每一行均构成公比为的等比数列，所以，
故答案为：，．
练2-1.解：由，可知，
所以当时，
即，
因此，．
故答案为．
练2-2.解：由，得，
，即，
又，数列为以为首项，以为公差的等差数列，
则，可得，故正确；
当时，，
时，，
数列的最大项为，故错误，正确．
故选．
例5.解：，
，即，
，
，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
．
故答案为．
例6.解：，，
，，，，，
两边同时相加得，
则．
故答案选A．
例7.解：函数是奇函数，
，
，
，
，
为周期函数，且周期为，
，且 ，
，
，
，又，，
．
故答案：．
例8.解：由题意得，，
，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
通过累加法得，
，
．
故选B．
例9.解：因为，
当，，，时，，，
，，．
因为前项和为，
所以，
所以，
当为奇数时，，
所以，，，
累加得，
所以，
所以，，，，，
，，，
因为，所以，
所以．
其中．
练3-1.解：由不动点思想令，
又因为，
所以，
，
两式相除得，
即是公比为的等比数列，
所以，
令，则，
故当，
当，．
故选C．
练3-2.解：选①：
当，
当，
作差有，
则，
又，符合上式，
所以．
选②：
，
又，所以，
所以．
选③：
当时，，又，则，
当时，，
作差：
，
所以，
因为，有，
故数列为等差数列，公差，
所以．
，，
易知为单调递增数列，
又，
所以，
所以数列中有项小于．
例10.解：，，
，
数列是周期为的周期数列，
，
，
故选C．
例11.解：，
，
两式相减得
，
，都有成立，
，恒成立，
即，恒成立，
当时，恒成立，
即恒成立，
，，
当时，恒成立，
即，
，，
综上所述，，
整数的值可能是或．
故选BC．
例12.解：，、、成等比数列，
，
，
得或舍去，
，
，
，
当且仅当时，即时取等号，且取到最小值，
故选A．
练4-1.解：设数列的前项和为，且，，
所以数列是递增数列；
又，说明数列各项为负数，
故数列的通项公式可以是 答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
练4-2.解：因为是与的等差中项，所以，令，得，解得，
所以，解得．
又，所以，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故选项A错误．
由于，所以当时，数列是单调递减数列，所以选项B错误．
因为，所以，当时，数列是单调递减数列；
当时，数列是单调递增数列，故选项C正确．
由于，所以选项D正确．
故选：．
练4-3.解：证明：，，
，
，
，
所以是以为首项，以为公差的等差数列．
解：由可知，，
．
当时，，
也适合，
所以的通项公式为，；
，，，，，．
当时，，即，
数列从第项起是递减数列．
所以实数的取值范围是
1.解：，依题意， ，共步；
若， ， 或，
若，
若，
的集合为 ，其和为；
故答案为：；．
2.解：对于任意的都有，且，
对于，已知对于任意的都有，则，
又，即，得，解得，
下面用数学归纳法证明：对任意的，都有．
①当时，由上可知，即当时成立；
②设且时，成立，
则，即，得，解得，
即时，成立，
由①②得，对任意的，都有，故A正确；
对于，假设对于任意的，数列为常数列，则，
，，解得或舍去，
则当时，数列可能为常数列，故B错误
对于，当时，，
当时，，即，可得可证：对任意，，
则，
对任意，，
则，
则数列为递增数列，故C正确
对于，若，
①当时，，即，又，解得，
，，
，不等式成立；
②设当且时，不等式成立，
即，，又，得，
，，
，，，
当时不等式成立，
由①②得，若，则当时，成立，故D正确．
故选ACD．
3.解：由已知，所以，
若，因为，
所以，故，
所以
若，则，当时，，若，则，与条件矛盾，
当时，，若，则，与条件相矛盾
当时，，若，则可以取，此时
当时，，又，则，
当时，，则．
若，则，则，则．
若，则，则，则．
若，则，则，
所以的最小值为．
故答案为．

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