资源简介

专题6.2 等差数列
1．等差数列的概念
⑴等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.
用递推公式表示为或.
⑵等差中项：如果组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义可知 .
⑶等差数列的通项公式及其变形：
① 等差数列中，
则，
当时，也成立，故；
② ，两式相减可得
2.等差数列与一次函数的关系
由通项公式变形可得：，
⑴当时，等差数列为常数列；
⑵当时，等差数列的图象即为一次函数图象上，均匀排开的一系列的点；
①当时，等差数列为递增数列；
②当时，等差数列为递减数列；
3．等差数列的前项和
⑴倒序相加法求等差数列的前和：
①
②
①+②得：
故
⑵变形：将代入上式
⑶与二次函数的关系：
⑴当时，；
⑵当时， ，关于的式子可看作二次函数. 即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点，且时图象开口向上，时图象开口向下.
4.等差数列的性质
1.等差数列的常用性质：
⑴等差数列中，若公差为，则，当时，；
⑵在等差数列中，若且，则；
⑶在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项，即；
⑷数列是公差为的等差数列，则从数列中抽出项，组成的数列仍是等差数列，公差为.
⑸在等差数列中，若，则；
⑹两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列；
⑺如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
5.等差数列的前和的性质
⑴等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列；
⑵为等差数列，公差为数列公差的一半；
⑶设数列是等差数列，且公差为，
I.若项数为偶数，设共有项，则①； ②；
II.若项数为奇数，设共有项，则① (中间项)；②.
⑷若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
⑸等差数列中，，则.
⑹等差数列中，若，则．
1.已知数列的通项公式是(其中为常数)，则数列一定是等差数列，且公差为.
2.在等差数列中，，则存在最大值；若，则存在最小值.
1.【人教A版选择性必修一 习题4.2 第6题 P25】已知等差数列和正项等比数列满足：，，且是和的等差中项．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．
2.【人教A版选择性必修一 习题4.2 第7题 P25】已知两个等差数列：，，，与：，，，，它们的公共项组成数列，则数列的通项公式 ；若数列和的项数均为，则的项数是 ．
【方法储备】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
1.等差数列的通项公式和前项和公式中涉及5个量：，知三求二，即利用公式列出基本量和的方程组，解出和，体现了用方程的思想来解决问题.
2.若已知条件只有一个，则将已知条件与所求条件都用两个基本量表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
3.运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若且，则，常与求和公式结合使用．
4.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为,方便运算.
【典例精讲】
例1.(2022·河南省九校联考) 已知数列是各项均为正整数的等差数列，记是的前项和．若，，则( )
A. B. C. D.
例2.(2022·广东省湛江市期末) 在等差数列中，若，则的值为( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练1-1(2022·福建省漳州市模拟) 已知为等差数列的前项和，若，则的值为( )
A. B. C. D.
练1-2(2023·安徽省安庆市模拟)（多选） 等差数列的前项和为，已知，，则( )
A. B. 的前项和中最小
C. 的最小值为 D. 的最大值为
【方法储备】
等差数列的判定与证明方法：
1.定义法：证明对任意正整数都有．
2.等差中项法：证明对任意正整数都有.
说明：⑴定义法与等差中项法，用于在解答题中的证明等差数列；
⑵证明等差数列时，注意的式子中，的取值范围，若取不到1，需验证成立.
3.通项公式：(为常数)为等差数列．
4.前项和公式法： (为常数) 数列是等差数列.
说明：⑴通项公式法与前项和法，用于选择、填空题中的判断问题；
⑵若判断一个数列不是等差数列，只需用前几项，验证即可．
【典例精讲】
例3.(2023·江西省九江市模拟) 已知数列满足，且，则等于( )
A. B. C. D.
例4. (2022·福建省福州市月考) 已知数列的前项和为，且满足，，则的最小值为 ．
【拓展提升】
练2-1(2022·山东省青岛市期中)（多选） 已知数列满足：，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 对任意，恒成立
C. 不存在正整数，，使，，成等差数列
D. 数列为等差数列
练2-2(2023·辽宁省大连市联考) 已知数列的前项和满足．
证明：数列为等差数列；
求数列的通项公式．
【方法储备】
1.等差数列的性质应用：
⑴应用性质解题时，要注意性质成立的条件；
⑵要灵活运用等差数列的通项公式和前n项和公式：
，，等．
2．求等差数列前项和的最值：
⑴通项法：
①当，时，有最大值；令，确定的值；
若，则和都为最大值；
②当，时，有最小值；令，确定的值；
若，则和都为最小值；
⑵二次函数法：为二次函数，借助和二次函数的性质，确定的值及的最值；
⑶不等式组法：令，确定的值及的最大值；令，确定的值及的最小值.
3.与等差数列单调性有关的问题
⑴在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列恒成立”．
⑵数列的单调性与的单调性不完全一致．
4.对于含绝对值的数列求和问题
已知等差数列，，求数列的前项和：
⑴首先找出零值或者符号由正变负的项；
⑵在对进行讨论，当时，，当时，.
5.等差数列的实际应用
⑴与等差数列前项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
⑵遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题．
【典例精讲】
例5.(2022·北京市市辖区月考) 等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则( )
A. 有最小值，有最小值 B. 有最大值，有最大值
C. 有最小值，有最大值 D. 有最大值，有最小值
例6.(2023·安徽省合肥市期末)（多选） 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 是递增数列 B.
C. 当或时，取得最大值 D.
例7.(2023·湖南省株洲市月考) 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱某团队耗时个多月做出一长达米、重约公斤，“龙身”共有节“鳞片”的巨龙风筝制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作则所有鳞片中竹质鳞片个数为( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练3-1(2022·江苏省泰州市月考) 已知数列的前项和为，，且满足，若，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练3-2(2023·安徽省安庆市模拟)（多选） 已知数列满足，，，数列的前项和为，且，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 数列为单调递增的等差数列
D. 满足不等式的正整数的最小值为
练3-3(2023·全国卷乙卷文科) 记为等差数列的前项和，已知，
求的通项公式
求数列的前项和
1.(2023·湖南省长沙市联考) 设函数，设是公差为的等差数列，，则( )
A. B. C. D.
2.(2023·安徽省蚌埠市模拟) 若函数的定义域为，且，，则( ) ．
3.(2023·浙江省杭州市月考) 已知数列满足，．
求证：是等差数列
令表示不超过的最大整数提示：当时，，求使得成立的最大正整数的值．

【答案解析】
1.【人教A版选择性必修一 习题4.2 第6题 P25】
解：解：设为数列的公差，为数列的公比，
由题意得，即，
解得或，
数列各项均为正，所以，即，
．
，则，解得，
；
由得：，
所以
，
所以．
2.【人教A版选择性必修一 习题4.2 第7题 P25】
解：由于数列是以为公差的等差数列，
数列是以为公差的等差数列，
所以也是等差数列，且公差为，
又，故，
又，
，
所以由解得，
故的项数为．
故答案为：；．
例1.解：设数列的公差为，
，
，，
，且数列的各项均为正整数，，，
，
．
故选：．
例2.解：因为 ，
由等差数列的性质得 ，
所以，
设等差数列的公差为，
所以．
故选A．
练1-1.解：由是等差数列，得；
又，则，
所以．
故选：．
练1-2.解：等差数列的前项和为，，，
，解得，
，，故A错误；
，故B正确；
，设函数，
则，当时，，
当时，，，
，且，，
的最小值为，故C正确；
，没有最大值，故D错误．
故选：．
例3.解：，
，
数列是以为公差，为首项的等差数列，
，所以．
故选：
例4.解：，．
，
化为：，
数列为公差为，首项为的等差数列，
．
．
，当且仅当时等号成立
故的最小值为．
故答案为．
练2-1.解：因为，
所以，，
所以，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
所以，
故
对于，正确；
对于，显然是单调递减数列，故对任意，恒成立，正确．
对于，当，，时，则
所以存在，，，使得，，成等差数列，故 C错误；
对于，由前面推导知，D正确．
故选ABD．
练2-2.解：证明：当时，由得，
当时，由有，
所以，，
则，
又．
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列．
由知，
所以．
当时，．
当时，也满足．
所以数列的通项公式为．
例5.解：在等差数列中，由，，得，
可得．
，对称轴为，而，
当时，有最小值；
又等差数列的前三项小于，自第四项起大于，且大于，
，，，当时，，
有最大值，为．
故有最小值，有最大值．
故答案选：．
例6.解：当时，，
当时，，
对于也成立，
所以，故A错误，B正确；
当时，，
当时，，
当时，，
所以当或时，取得最大值，故C正确；
因为当时，，
所以，
，故D错误．
故选：．
例7.解：用表示碳质，表示竹制，
所以龙身鳞片的分布规律为：，，，，，，，，，，，，
即每两个碳质鳞片之间的竹制鳞片的数量构成以为首项，为公差的等差数列，
则第个碳质鳞片到第个碳质鳞片之间的鳞片数量为，
当时，，
所以竹质鳞片共有个．
故选B
练3-1.解：因为，所以，
又，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，
所以，
令，解得，
所以，其余各项均大于，
所以．
故选：．
练3-2.解：因为，所以，所以，
则，解得，
，所以，，所以选项正确，选项正确；
因为，
所以，，
所以，，
所以，，前项为，
可见数列明显不是单调递增的等差数列，所以选项不正确；
由上知，
则，
，解得，又，所以正整数的最小值为，所以选项正确．
故选：．
练3-3.解：设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，
当时，，
当时，，，，
，
综上所述，
1.解：，
可令，则其是定义在上的奇函数，
是公差为的等差数列，
，
，，
．
2.解：，令，则，可得，
令，则，可得，
由，可得，，
．
故答案为：．
3.解：证明：因为，
所以
，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
解：由知，，即，
所以，
令函数，所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
注意到：，两边同时取对数，即，
所以当时，，即，
特别地，时，当时，
当时，当时，
当时，，则．
显然使得成立的最大正整数的值大于，
则时，，
所以满足条件的的最大值为．

共15页/第15页

展开更多......

收起↑