资源简介

2023年江西省宜春重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数的相反数等于( )
A. B. C. D.
2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是( )
A. B. C. D.
3. 下列式子正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，点、、在上，，则的半径为( )
A.
B.
C.
D.
5. 孙子算经中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共多少辆车，多少人？若设有辆车，个人根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 近年来，国家林草局全面开展古树名木资源普查，第二次全国古树名木资源普查结果显示，目前我国普查范围内共有古树名木万株，将“万”用科学记数法可表示为______ ．
8. 因式分解：______．
9. 将点向右平移个单位得到，若恰好落在轴上，则点的坐标为______ ．
10. 已知，是一元二次方程的两根，且，则______．
11. 如图，是等边三角形，点为边上一点，，以点为顶点作正方形，且，连接，若将正方形绕点旋转一周，当取最小值时，的长为______．
12. 如图，在中，，是边上的高，图中线段上一动点，若满足，，，则以为边长的正方形面积是______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
计算：；
解不等式组．
14. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
15. 本小题分
某校有，，，三个餐厅，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐．
“两名同学都在同一餐厅用餐”是______ 事件，甲选择餐厅用餐的概率为______ ；
用画树状图或列表的方法求甲、乙两名学生至少有一人在餐厅用餐的概率．
16. 本小题分
如图，在平行四边形中，是的平分线．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹．
在图中，以为腰作一个等腰三角形；
在图中，以为边作平行四边形．
17. 本小题分
如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点的坐标为．
求直线的解析式；
求证∽．
18. 本小题分
如图，在矩形纸片中，，，在上取一点，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
求证：四边形是菱形；
求四边形两条对角线的长．
19. 本小题分
为全面提高江西旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
满意程度 频数人 频率
非常满意
满意
一般
不满意
合计
根据下面统计图表提供的信息，解答下列问题：
______ ， ______ ， ______ ；
求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角的度数；
若本次来江西景区的游客有人，请你估计有多少游客的评价是不满意的．
20. 本小题分
张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头如图，开启前与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上洗手盆及水龙头示意图如图，其相关数据为，，，．
水龙头从闭合到完全开启，求点上升的高度．
求的长结果精确到参考数据：，，，．
21. 本小题分
如图，在四边形中，，，是的直径，平分．
求证：直线与相切；
如图，记中的切点为，为优弧上一点，，．
求的直径；
求的值．
22. 本小题分
如图是小智用软件模拟弹球运动轨迹的部分示意图，以为原点建立平面直角坐标系，已知弹球从轴上的点向右上方弹射出去，沿抛物线运动，落到图示的平台某点处后，又立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与形状相同的抛物线，抛物线的顶点与点的竖直距离为注：球的大小忽略不计
求弹球上升到最高点时，弹球到轴的距离；
已知点求出抛物线的解析式；
已知的边紧贴轴，，，，当弹球沿抛物线下落能击中时，求点的横坐标的最大值与最小值．
23. 本小题分
如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为这边上的“奇特三角形”，这条边称为“奇特边”．
如图，已知是奇特三角形，，且
的奇特边是______；
设，，，求：：；
如图，是的中线，若是边上的奇特三角形，找出与之间的关系．
如图，在四边形中，，，对角线把它分成了两个奇特三角形，且是以为腰的等腰三角形，求等腰三角形的底边长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：实数的相反数是：．
故选：．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：选项A、、均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
选项B不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：．
根据完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方进行计算即可求解．
本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作于点，则，
，
，则，
，，
，
在中，
，
故选：．
根据圆周角定理可得，进而可得，勾股定理即可求解．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设有辆车，个人，
由题意可得：，
化简，得：
故选：．
根据每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，即可得出关于，的二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：观察图象可得：，，，
二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴，
则二次函数的图象可能是．
故选：．
根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出，，的正负，进而利用二次函数图象与性质判断即可．
此题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，以及二次函数的图象，熟练掌握各自图象的性质是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：万．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出即可．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：将点向右平移个单位得到，恰好落在轴上，
，
解得：，
，
点的坐标为，
故答案为：．
先根据平移求得点的坐标，根据轴上的点的横坐标为，求得的值，即可求解．
本题考查了点的平移，坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，，
又，即，
解得：，
的值为．
故答案为：．
利用根与系数的关系，可得出，，结合，即可求出的值．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
过点作于，由已知得出，得出，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当点在延长线上时，，此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由勾股定理即可得出．
【解答】
解：过点作于，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
当点在延长线上时，，
此时取最小值，
在中，，
，
在中，；
故答案为：．
12.【答案】或
【解析】解：在中，，是边上的高，
，
，
在线段的垂直平分线上，设的中点为，
当点在上时，则，重合，
，，
，
以为边长的正方形面积是，
当在上时，如图所示，
，，，
，
，
设，则，，
，
在中，，
即，
解得：，
为边长的正方形面积是，
当点在上时，如图所示，
则，
，
，
在中，，
即，
解得：，
以为边长的正方形面积是．
故答案为：或或．
根据题意，点在线段的垂直平分线上，设的中点为，根据点在，，上，根据勾股定理解三角形，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，分类讨论是解题的关键．
13.【答案】解：
；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组无解．
【解析】根据二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，正确掌握二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
14.【答案】解：
，
当，时，原式．
【解析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
15.【答案】随机
【解析】解：“两名同学都在同一餐厅用餐”是随机，甲选择餐厅用餐的概率为，
故答案为：随机，．
列表如下：
共有种等可能结果，其中符合题意的有种，
则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是为．
根据事件的分类以及概率公式求概率即可求解．
用列表法求概率即可．
本题考查了事件的分类，概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
16.【答案】如图，即为所求．
如图，四边形即为所求．

【解析】延长，，交于点，结合角平分线的定义和平行四边形的性质可得，则，即是以为腰的等腰三角形．
连接，，交于点，再连接并延长，交于点，连接，则四边形即为所求．
本题考查作图复杂作图、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
17.【答案】解：的中点是，点的坐标为，
．
双曲线经过点；
，
．
为直角三角形，
轴，
，两点的纵坐标相等，均为，
．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为；
证明：，点的坐标为，
，，，
，，
，
又，
∽．
【解析】先求点的坐标为，将点坐标代入到双曲线中，即可求出，得到，再求出，代入设直线的解析式为，即可求解．
根据，点的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证．
本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．
18.【答案】证明：，，
，
在中，，
，
平移至，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
解：，，
，
在中，，
在中，，
．
【解析】根据，，得出，勾股定理求得，即，根据平移的性质得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据邻边相等，即可得证；
在，中根据勾股定理分别计算即可求解．
本题考查了菱形的性质与判定，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：，，．
；
人，
答：估计有游客的评价是不满意的．
根据频数与频率的关系即可求解；
根据一般满意的频率乘以，即可求解；
用不满意的频率乘以，即可求解．
本题考查了频数、频率表，扇形统计图，样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20.【答案】解：过点作垂足为，
在中，，
答：点上升的高度；
如图所示，延长交于点，交于点，
，
，
，
，
四边形为矩形，
在中，，
，
在中，，
．
答：的长为．
【解析】过点作垂足为，解，即可求解；
延长交于点，交于点，证明四边形为矩形，在中，求得，在中，得出，进而即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】证明：作于，如图所示：
则，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
直线与相切．
解：作于，连接，交于，做于，如图所示：
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，是的切线，
由得是的切线，
，，
，
，
；
，平分，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】作于，根据证≌，得出，即可得出结论；
作于，连接，则四边形是矩形，得，，则，证、是的切线，由切线长定理得，，则，由勾股定理得，即；
则，证，由圆周角定理得，则，由三角函数定义即可得出答案．
本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理，是解题的关键．
22.【答案】解：
，
，
弹球上升到最高点时，弹球到轴的距离为；
抛物线与抛物线的形状相同，
设：，
抛物线的顶点与点的竖直距离为，
，
的纵坐标为，
将点代入，
解得：或，
，
，
：；
的边紧贴轴，，，，
点的纵坐标为，
击中点时，令，代入，
，
解得：舍去，，
此时，
击中点时，令，即，
解得：舍去，
此时，
点的横坐标的最大值为，最小值为．
【解析】将解析式化为顶点式，即可求解；
设：，根据题意，得出的纵坐标为，将点代入，待定系数法求二次函数解析式即可求解；
根据题意，得出点的纵坐标为，分别令，，求得点的横坐标的最大值与最小值．
本题考查了二次函数综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】较长直角边
设，则，
由勾股定理得，，，
则：：：：；
作于，于，
设，，，
在和中，
≌，
，，
在中，，
在中，，
则，
，
；
作边上的中线，
由得，是“奇特边”，
，
则，，
由勾股定理得，，，
是“奇特三角形”，
当为“奇特边”时，，
解得，，
当为“奇特边”时，，
解得，．
【解析】解：直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，
斜边不是“奇特边”，
较短直角边上的中线大于较长直角边，
较短直角边不是“奇特边”，
较长直角边为奇特边，
故答案为：较长直角边；
见答案
见答案
见答案
根据是“奇特边”的定义、直角三角形的性质判断；
设，根据勾股定理计算；
作于，于，设，，，根据勾股定理计算；
分为“奇特边”、为“奇特边”两种情况，根据的结论计算．
本题考查的是三角形知识的综合运用，掌握“奇特边”的概念、勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑