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2022-2023学年江西省吉安市青原区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 要使有意义，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
3. 下列从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，若的垂直平分线经过点，，则( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在第一个中，，，在上取一点，延长到，使得，得到第二个；在上取一点，延长到，使得；，按此做法进行下去，则第个三角形中，以点为顶点的等腰三角形的底角的度数为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 分解因式：______．
8. 若点和点关于轴对称，则的值是______ ．
9. 一个多边形的内角和是它的外角和的倍，这个多边形的边数是______ ．
10. 如图，，，，若，，则的长为______．
11. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是______ ．
12. 如图，中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
因式分解：；
解方程：．
14. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
15. 本小题分
如图，在 中，点、分别在、上，且求证：四边形是平行四边形．
16. 本小题分
解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
17. 本小题分
如图，四边形为正方形，点在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．
在图中，以为边，在正方形内作一个平行四边形；
在图中，以为边，在正方形内作一个等腰三角形．
18. 本小题分
如图，已知中，垂直平分交于点，交于点，连接若，，求的度数；
若，，求的周长．
19. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直角的三个顶点分别是．
将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
分别连接，后，求四边形的面积．
20. 本小题分
“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多元，用元购买的跳绳个数和用元购买的键子数量相同．
求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
21. 本小题分
如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，交的延长线于点．
求证：；
连接，若，，，求平行四边形的面积．
22. 本小题分
阅读下面的材料，回答问题：如果，求的取值范围．
解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，得或，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为，第二个不等式组的解集为故当或时，．
试利用上述方法，求不等式的解集．
如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，根据图象，请你直接写出关于的不等式的解集．
23. 本小题分
如图，在四边形中，，，延长到，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．
当时，______；
当______时，点运动到的角平分线上；
当时，请用含的代数式表示的面积；
当时，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】
【解析】解：分式有意义，
，
，
故选：．
根据分式有意义的条件进行求解即可．
本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、是多项式相乘，错误；
B、右边不是积的形式；错误；
C、，正确；
D、右边不是积的形式；错误；
故选：．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
4.【答案】
【解析】解：点在的垂直平分线上，
，
，点是的中点，
，
故选：．
先根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用直角三角形斜边上的中线可得，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：延长交于点，如图所示，
平分，，
，，
，
，
，
，
，，
，
的面积为，
的面积为，
故选：．
延长交于点，先根据已知条件可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，，进一步可得的面积．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，是的外角，
，
同理可得，，
，
以点为顶点的等腰三角形的底角为，
，
故选：．
先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：．
直接把公因式提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：与点关于轴对称，
，，
．
故答案为：．
根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求出、的值，再计算的值．
本题考查关于轴对称的点坐标，解题关键是理解关于轴对称的两点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
9.【答案】
【解析】解：设这个多边形是边形，
则这个多边形的内角和是，外角和是，
由题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是．
故答案为：．
由题意知一个多边形的内角和是外角和的倍，可设这个多边形是边形，由多边形的内角和公式得边形的内角和为，多边形的外角和是，从而列出一元一次方程，解出即可．
本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟练运用多边形的性质，本题属于基础题型．
10.【答案】
【解析】解：过作，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，，
，
故答案为．
过作，根据角平分线的定义和平行线的性质易证得是等腰直角三角形，得出，根据角平分线的性质即可证得．
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，求得是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：把点，代入得，
，
，
，
根据图象可知不等式的解集：．
故答案为：．
先把点，代入得出，根据图可知不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线落在直线上方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12.【答案】或或
【解析】解：，，，
．
当时，；
当时，，；
当时，，，，
在中，，
即，
解得．
综上，当为等腰三角形时，或或．
故答案为：或或．
当为等腰三角形时，分三种情况：当时；当时；当时，分别求出的长度，继而可求得的值．
本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
13.【答案】解：原式．
，
方程两边同时乘得，
，
，
．
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解为．
【解析】先提取公因式，再用公式法分解即可．
方程两边同时乘以，再解得，经检验，是方程的根，即可求解．
本题考查因式分解，解分式方程，熟练掌握提公因式，公式法因式分解，分式的化简、分式方程的解法，切勿遗漏分式方程的验根是解题的关键．
14.【答案】解：，
．
当时，原式．
【解析】先计算括号内法分式，然后通过约分化简，代入求值．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
15.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【解析】此题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
根据平行四边形对边平行且相等，即可得，，又由，即可证得，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
16.【答案】解：，
解式，得，
解式，得，
原不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上为：．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
17.【答案】解：如图，四边形即为所求；
如图，三角形即为所求．
【解析】根据正方形的性质对角线垂直且互相平分且相等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可在图中，以为边，在正方形内作一个平行四边形；
结合根据正方形的性质可得≌，可得，即可在图中，以为边，在正方形内作一个等腰三角形．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】解：垂直平分，
，
，
，，
，
，
；
垂直平分，
，
的周长．
【解析】由线段垂直平分线的性质得到，推出，求出，即可得到，因此；
由由垂直平分，得到，因此的周长．
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到．
19.【答案】解：如图，为所作，
四边形的面积．
【解析】利用网格特点，延长到使，延长到使，点的对应点与点重合，则满足条件；
四边形的对角线互相垂直平分，则四边形为菱形，然后利用菱形的面积公式计算即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20.【答案】解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：跳绳的单价为元，毽子的单价为元．
设购买毽子个，则购买跳绳个，
依题意，得：，
解得：，
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值元，
则，
答：当学校购买个跳绳，个毽子时，总费用最少．
【解析】设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，由题意：用元购买的跳绳个数和用元购买的键子数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设购买毽子个，则购买跳绳个，由题意：跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，列出一元一次不等式组，解之得的取值范围，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花元，再由总价单价数量可得出关于的函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
；
解：，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
的面积的面积，
．
【解析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由平行四边形的性质和角平分线得出，即可得出，进而得证；
先证明是等边三角形，得出，，由勾股定理求出，由证明≌，得出的面积的面积，因此平行四边形的面积的面积，即可得出结果．
22.【答案】解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负“，得或，
解不等式组得：，
解不等式组得：，
故不等式的解集是或．
由图象可知，时，；当时，，
当时，，当时，，
根据“两数相乘，同号得正，异号得负“，得或，
解不等式组得：，
解不等式组得：，
故关于的不等式是或．
【解析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，进而可得或，再解两个不等式组即可．
由函数的图象得出时，；当时，，当时，，当时，，再根据阅读材料的方法求解即可．
此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，关键是正确理解例题，找出所用方法．
23.【答案】
【解析】解：动点的运动速度为单位秒，
，
当时，
，
故答案为：．
，，
四边形是平行四边形，
，
，
如图，作的角平分线交于，
，
，
，
，
点运动到的角平分线上时，，
，
当时，点运动到的角平分线上；
故答案为：；
当时，点在上和上，
分两种情况讨论：
当点在上运动时，，
过点作，
，
在中，，
，，
此时，；
当点在上运动时，，
的面积为定值，且等于平行四边形面积的一半，
此时，；
综上，；
当点运动到的角平分线上时，
连接，过点作，，
此时，即点到四边形相邻两边和的距离相等，
，
，
又平分，
，
，
，
解得：，
当点与运动到边上时，过点作，，
在平行四边形中，，，
，
又，
是等边三角形，
，
，即平分，
当时，点在的角平分线上运动，
此时，点到四边形相邻两边和的距离相等．
综上：或时，点到四边形相邻两边距离相等．
根据动点的运动速度，即可表示出的长度，再将代入即可求出的长度；
根据两组对边分别相等可先求证四边形是平行四边形，再根据角平分线的性质得到等腰，从而可以求解；
根据题意分两种情况讨论：当点在上运动时，当点在上运动时，分别用含的代数式表示的面积即可；
当时，点在、边上运动，结合角平分线的性质和等边三角形的判定和性质分析求解．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、等边三角形的判定与性质，一次函数的应用，掌握相关性质定理，分段分析，利用数形结合思想解题是关键．
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