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第3章　勾股定理
单元大概念素养目标
大概念素养目标 对应新课标内容
运用勾股定理及其逆定理解决问题 探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题【P66】
3.1　勾股定理
基础过关全练
知识点1　勾股定理
1.【主题教育·中华优秀传统文化】(2023江苏苏州姑苏期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图2所示的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出(　　)
图1 图2
A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
2.【新独家原创】在Rt△ABC中,∠C=90°,已知AC=24,AB=25,则△ABC的面积为　　　　.
3.如图,已知AB=12,AB⊥BC于B,AB⊥AD于A,AD=5,BC=10.点E是CD的中点,求AE的长.
知识点2　勾股定理的验证
4.(2023江苏苏州月考)如图,四边形ABCD中,BD⊥CD,AE⊥BD于点E,且△ABE≌△BCD.求证:AB2=BE2+AE2.
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5.(2022山东济宁中考,9,★★☆)如图,三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,则AE的长是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.【最短距离问题】(2021广西贵港中考,12,★★☆)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=12,D为AC边上的一个动点,连接BD,E为BD上的一个动点,连接AE,CE,当∠ABD=∠BCE时,线段AE的长的最小值是(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
7.【主题教育·中华优秀传统文化】(2022四川内江中考,16,★★☆)勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S2+S3=　　　　.( )
图① 图②
8.【三垂直模型】(2023江苏南京秦淮月考,12,★★☆)如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5,11,则b的面积为　　　　.
9.(2023江苏泰州姜堰月考,22,★★☆)如图,将一个长为8,宽为4的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合.
(1)求证:AE=AF;
(2)求AE的长.
10.(2021江苏连云港期末,21,★★☆)中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明a2+b2=c2.
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11.【运算能力】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动,设运动时间为t s.
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
答案全解全析
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1.C　设直角三角形的斜边长为c,较长直角边的长为b,较短直角边的长为a,由勾股定理得c2=a2+b2,
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c),
较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b),长=a,
则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c),
∴知道图中阴影部分的面积,则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积.故选C.
2.答案　84
解析　在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=24,
∴BC2=AB2-AC2=252-242=49,∴BC=7,
∴△ABC的面积为AC·BC=×24×7=84.
3.解析　如图,延长AE交BC于F.
∵AB⊥BC,AB⊥AD,
∴AD∥BC,
∴∠D=∠C,∠DAE=∠CFE,
∵点E是CD的中点,
∴DE=CE.
在△AED与△FEC中,
∴△AED≌△FEC(AAS),
∴AE=FE,AD=FC.
∵AD=5,BC=10,
∴BF=5.
在Rt△ABF中,AF2=AB2+BF2=122+52=169,
∴AF=13,
∴AE=AF=6.5.
4.证明　如图,连接AC.
∵AE⊥BD,CD⊥BD,∴AE∥CD.
∵△ABE≌△BCD,
∴AB=BC,AE=BD,BE=CD,∠BAE=∠CBD.
∵∠ABE+∠BAE=90°,
∴∠ABE+∠CBE=90°,
∴∠ABC=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD·AE+BD·CD
=AE·AE+BD·BE=BD·BE.
又∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AB·BC+CD·DE
=AB·AB+BE·DE=BE·DE,
∴BD·BE=BE·DE,
∴AB2=AE2+BD·BE-BE·DE,
∴AB2=AE2+(BD-DE)·BE,即AB2=BE2+AE2.
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5.A　∵沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处,
∴AD=AB=2,∠B=∠ADB.
∵折叠纸片,点C与点D重合,
∴CE=DE,∠C=∠CDE.
∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠C=90°,
∴∠ADB+∠CDE=90°,
∴∠ADE=90°,
∴AD2+DE2=AE2.
设AE=x,则CE=DE=3-x,
∴22+(3-x)2=x2.
解得x=,
∴AE=.故选A.
6.B　如图,取BC的中点T,连接AT,ET.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABD+∠CBD=90°.
∵∠ABD=∠BCE,
∴∠CBD+∠BCE=90°,
∴∠CEB=90°.
∵CT=TB=6,
∴ET=BC=6,AT2=AB2+BT2=82+62=100,
∴AT=10.
∵AE≥AT-ET,
∴AE≥4,
∴AE的长的最小值为4.故选B.
7.答案　48
解析　设八个全等的直角三角形较长的直角边的长为a,较短的直角边的长为b,
则S1=(a+b)2,S3=(a-b)2,a2+b2=EF2=16,
∵S2=42=16,∴S1+S2+S3=(a+b)2+16+(a-b)2=2(a2+b2)+16=2×16+16=48.
8.答案　16
解析　如图,∵∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,
∴∠ACB=∠DEC.
在△ABC和△CDE中,
∴△ABC≌△CDE(AAS),
∴BC=DE.
∵AB2+BC2=AB2+DE2=AC2,
∴b的面积=a的面积+c的面积=5+11=16.
9.解析　(1)证明:由折叠可知,AE=CE,
∠AEF=∠CEF.
又∵AD∥BC,∴∠AFE=∠FEC,
∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF.
(2)由折叠可知,AE=CE,
∴BE=BC-CE=BC-AE=8-AE,
∵∠B=90°,
∴AB2+BE2=AE2,
即42+(8-AE)2=AE2,
∴AE=5.
10.解析　∵大正方形的面积为c2,一个直角三角形的面积为ab,小正方形的面积为(b-a)2,
∴c2=4×ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2,
即a2+b2=c2.
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11.解析　在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
由勾股定理得AC2+BC2=AB2,
∵AB=10 cm,AC=6 cm,∴BC2=102-62=64,∴BC=8 cm.
(1)①当∠APB=90°时,点P与点C重合,
∴t=8÷1=8.
②当∠BAP=90°时,∵BP=t cm,
∴CP=(t-8)cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+PC2=62+(t-8)2,
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,∴102+[62+(t-8)2]=t2,解得t=.
综上所述,t的值为8或.
(2)当AB=AP时,BP=2BC=16 cm,则t=16÷1=16;
当BA=BP=10 cm时,t=10÷1=10;
当PA=PB时,如图,
设BP=PA=x cm,则PC=(8-x)cm,
在Rt△ACP中,由勾股定理,
得PC2+AC2=AP2,即(8-x)2+62=x2,
解得x=,
∴t=÷1=.
综上所述,t的值为16或10或.

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