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3.4　圆心角
第2课时　圆心角定理的逆定理
基础过关全练
知识点　　圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1.【教材变式·P87T2】如图所示的齿轮有16个齿,每相邻两齿之间间隔相等,相邻两齿间的圆心角α的度数为(　　)
A.20°　　　　B.22.5°　　　　
C.25°　　　　D.30°
2.【易错题】下列语句中,正确的有( )(　　)
①相等的圆心角所对的弧相等;②等弦对等弧;③弧相等则所对的圆心角相等;④弧长相等的弧一定是等弧.
A.1个　　　　B.2个　　　　
C.3个　　　　D.4个
3.如图,AB为☉O的直径,,∠BOD=42°,则∠AOC的度数为(　　)
A.90°　　　　B.96°　　　　
C.98°　　　　D.100°
4.如图,AB是☉O的直径,AC、CD、DE、EF、FB都是☉O的弦,且AC=CD=DE=EF=FB,则∠AOC=　　　　°.
5.如图,A、B是半径为2的☉O上的两点,若∠AOB=120°,点C是的中点,则四边形AOBC的周长为　　　　.
6.如图,点A,点B,点C在☉O上,分别连结AB,BC,OC.若AB=BC,
∠B=40°,则∠OCB=　　　　°.
7.如图,在☉O中,M,N分别为弦AB,CD的中点,AB=CD,AB不平行于CD.求证:∠AMN=∠CNM.
能力提升全练
8.如图,AB为☉O的直径,点C是的中点.过点C作CD⊥AB于点G,交☉O于点D,若BE=8,BG=2,则☉O的半径是( )(　　)
A.5　　　　B.6.5　　　　C.7.5　　　　D.8
9.如图,在半径为2的☉O中,弦AB与弦CD相交于点M,如果AB=CD=2,∠AMC=120°,那么OM的长为　　　　.
10.如图,A、B是圆O上的两点,∠AOB=120°,C是的中点.
(1)连结AB,求证:AB平分∠OAC;
(2)延长OA至P,使得AP=OA,连结PC,若圆O的半径为1,求PC的长.
素养探究全练
11.【推理能力】【新独家原创】[情境再现]如图1,AB,AC是☉O的两条弦,AO平分∠BAC.
求证:;
[类比探究]如图2,点A为☉O外一点,AO平分∠DAE,求证:;
[拓展延伸]如图3,在△ABC中,∠B=70°,☉O截三边所得的弦DE=FG=HI,则∠AOC=　　　　度.
　
答案全解全析
基础过关全练
1.B　由相邻两齿之间间隔相等,可知相邻两齿间的圆心角都相等,故α==22.5°,故选B.
2.A　在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故①错误;弦所对的弧有两条,不一定相等,故②错误;等弧所对的圆心角相等,故③正确;能够重合的圆弧为等弧,长度相等的两个弧不一定能够重合,故④错误,故选A.
3.B　∵,∴∠COD=∠BOD=42°,
∵AB为☉O的直径,
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-42°-42°=96°.故选B.
4.答案　36
解析　∵AC=CD=DE=EF=FB,
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠BOF.
∵AB是☉O的直径,∴∠AOB=180°,
∴∠AOC=∠AOB=36°.
5.答案　8
解析　如图,连结OC,
∵C是的中点,∴∠AOC=∠BOC,
∵∠AOB=120°,
∴∠AOC=∠BOC=60°,
又∵OA=OC,OB=OC,
∴△AOC和△BOC都是等边三角形,
∴OA=OB=CA=CB=2,
∴四边形AOBC的周长=2+2+2+2=8.
6.答案　20
解析　如图,连结AO,BO,
∴OA=OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,∠OAB=∠OBA,
∵AB=BC,
∴∠AOB=∠BOC,
∴∠OBA=(180°-∠AOB)=(180°-∠BOC)=∠OBC,
∵∠ABC=40°,
∴∠OBC=20°,∴∠OCB=∠OBC=20°.
7.证明　连结OM,ON,如图所示,
∵M,N分别为AB,CD的中点,
∴OM⊥AB,ON⊥CD,
∵AB=CD,∴OM=ON,
∴∠OMN=∠ONM,
∴∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM,
即∠AMN=∠CNM.
能力提升全练
8.A　如图,连结OD,设☉O的半径为r,
∵CD⊥AB,
∴,CG=DG,
∵点C是的中点,
∴,
∴,
∴,即,
∴CD=BE=8,
∴DG=CD=4,
在Rt△ODG中,∵OG=r-2,OD=r,
∴42+(r-2)2=r2,解得r=5,
即☉O的半径为5.
故选A.
9.答案　
解析　如图,过点O分别作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,连结OA,
则AE=BE=,CF=DF=,
在Rt△AOE中,OE==1,
∵AB=CD,∴OE=OF=1.
∵OE⊥AB,OF⊥CD,OE=OF,
∴∠OME=∠OMF=∠AMC=60°,
在AM上取一点G,使得MG=OM,连结OG,
∴△OMG为等边三角形,
∵OE⊥AB,
∴EM=OM,
在Rt△EOM中,设OM=x,则EM=x,
由勾股定理,得OM2=EM2+OE2,即x2=+12,
解得x=(舍去).∴OM=.
10.解析　(1)证明:连结OC(图略),
∵∠AOB=120°,C是的中点,
∴∠AOC=∠BOC=60°.
∵OA=OC,
∴△ACO是等边三角形,
∴OA=AC,
同理OB=BC,
∴OA=AC=BC=OB,
∴四边形AOBC是菱形,
∴AB平分∠OAC.
(2)由(1)知△OAC是等边三角形,∴∠OAC=60°,
∵OA=AP,OA=AC,
∴AP=AC,∴∠APC=∠OAC=30°,
∴∠PCO=90°,
∴△OPC是直角三角形.
∵PA=AO=OC=1,
∴PC=.
素养探究全练
11.解析　[情境再现]证明:如图,过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,
∵AO平分∠BAC,
∴OD=OE,
∴AB=AC,
∴.
[类比探究]证明:如图,过点O作OM⊥AD于M,ON⊥AE于N,
∵AO平分∠DAE,
∴OM=ON,∴BD=CE,
∴.
[拓展延伸]如图,过点O作OM⊥DE于M,OK⊥FG于K,OP⊥HI于P,
∵DE=FG=HI,
∴OM=OK=OP,
∴AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,
∴∠OAC=∠BAC,∠OCA=∠BCA,
∵∠B=70°,
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=110°,
∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)=×110°=55°,
∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-55°=125°.

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