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参考答案：
1．(1)23千克
(2)102千克
(3)甲菜农的销售额高；高38元
【分析】（1）根据正负数的意义即可得知所代表的蔬菜是最重的一筐；
（2）根据正负数的意义计算出甲菜农售出的蔬菜总质量，然后根据题目条件乙菜农售出的蔬菜质量比甲菜农少20千克即可得到答案；
（3）根据题目条件计算出各自的销售额后比较即可．
【详解】（1）解：
甲菜农售出最重的一筐蔬菜的质量为：（千克）
（2）解：依题意，甲菜农有3筐蔬菜超过20千克，故甲菜农销售的总质量为：（千克）
乙菜农销售的蔬菜总质量为：（千克）
（3）解：依题意，甲菜农的总销售额为：
（元）；
乙菜农的总销售额为：
（元）
故甲菜农的总销售额高，比乙的销售额高：（元）．
【点睛】本题考查对正负数意义，有理数的混合运算的应用，正确理解题意并准确计算是本题的解题关键．
2．任务1：400；任务2：小聪到达塔林的时间是14：48；任务3：见解析
【分析】任务1利用路程除以时间即可；任务2计算车运动的时间加上小聪游玩的时间即可；任务3选择坐17：10分的车返回入口处或坐16：50分的车返回入口处即可．
【详解】解：任务1
解：米/分钟，
故答案为：400
任务2
由图得小聪在草甸玩了40分钟，，共48分．
∴小聪到达塔林的时间是14：48．
任务3
由图可知电车在10分钟时第一次到达古刹，接下来每20分钟到达一次，小聪要在17:30前返回飞瀑处，只需要乘坐17：10分及以前的班次即可，小聪在古刹和塔林的游览时间均不少于50分钟，小聪到达塔林的时间为：14：48，50分钟后能够搭乘的电车分别是15：48，16：08，由于从塔林到古刹的时间2分钟加上游玩时间至少50分钟，总共52分钟，则可搭乘的返回车次分别有16：50，17：10
以下一种符合条件的游览时间方案即可．
方案一：坐17：10分的车返回入口处，小聪在塔林游览的时间为50分至80分都可以．
方案二：坐16：50分的车返回入口处，小聪在塔林游览的时间为50分至60分都可以．
【点睛】本题主要考查行程问题，能够熟练通过公式计算时间和速度是解题关键．
3．任务1：见解析；任务2：函数解析式为：，；任务3：共有种方案，方案一：时间小时时，水位高厘米；方案二：时间小时时，水位高厘米；方案三：时间小时时，水位高厘米．
【分析】（1）根据已知表格数据描点连线即可解答；
（2）利用待定系数法可知，再根据一次函数的性质即可解答；
（3）根据一次函数的性质可知进而即可解答．
【详解】解：（1）如图所示，

（2））由图可知，各点均在同一直线上，设函数解析式为：，
由题意得：，
解得：，
∴函数解析式为：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴，
（3）∵“漏壶”水位高度需满足厘米厘米，
∴，
∵随的增大而增大，
∴，
∵“漏壶”水位高度和计时时长都是整数，
∴或或，
∴共有种方案，
方案一：时间小时时，水位高厘米；
方案二：时间小时时，水位高厘米；
方案三：时间小时时，水位高厘米．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与方案选择问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．(1)82；86
(2)七年级学生的竞赛成绩较好，理由见解析
(3)360人
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得m、n的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数，方差做出判断即可；
（3）用样本估计总体即可求解．
【详解】（1）解：七年级50名同学成绩在组的具体数据从小到大排列，排在中间的两个数都是82，故中位数；
∵七年级50名同学成绩的众数均在组，
∴七年级50名同学成绩出现次数最多的是86，故众数；
故答案为：82；86；
（2）解：七年级学生的竞赛成绩较好，
理由如下：
两个年级的平均数、中位数相同，而七年级的成绩的众数大于八年级，方差小于八年级，
∴七年级学生的竞赛成绩较好；
（3）解：(人)，
故估计该校七年级竞赛成绩在范围内的学生的人数为360人．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差以及用样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、用样本估计总体的计算方法是正确解答的关键．
5．(1)抛物线：；抛物线：
(2)
(3)24mm或28mm
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，分别求出，即可得出结果；
（3）分和进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ 点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴，
∴设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，
∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
∴，
∴抛物线：；抛物线：；
（2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，
在抛物线中：当时，，
∴；
∵
则，
∴
（3）解：当时，由抛物线解析式可得：，，
∴，即：，解得；
则最深度为；
当时，由图象可得：，，
可列方程：，则，解得；
则最深度为．
综上：杯中液体最深度为24mm或28mm．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解即可．
6．任务一、半径为厘米；任务二、点B距离地面的高度为厘米；任务三、（1）；（2）；（答案不唯一）
【分析】任务一、过点A作垂直于地面于点H，根据矩形的性质及勾股定理求解即可；
任务二、过点B作，垂直地面，设，则，利用勾股定理即可得出结果；
任务三、（1）过点F作，过点E作，利用余弦函数得出，，结合题意求解即可；
（2）在（1）的范围内取值计算即可．
【详解】解：任务一、如图所示，过点A作垂直于地面于点H，

根据题意得四边形为矩形，厘米，
∵A，B两点之间距离为厘米
∴厘米，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴半径为厘米；
任务二、过点B作，垂直地面，如图所示：

∴四边形为矩形，
设，则，
根据题意得，即，
解得：，
∴点B距离地面的高度为厘米；
任务三、（1）过点F作，过点E作，如图所示：

∵，
∴，
∴，
设，则，
∵椅背长度小于坐垫长度，
∴即，
在中，
，
在中，
，
∵F点比E点在竖直方向上至少高出12厘米
∴，
解得：，
∴；
（2）取厘米，厘米，
故答案为：；（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形及解三角形的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
7．任务1：70元；任务2：B中甲糖果有4千克，乙糖果有1千克；任务3：①若A型1份，B型10份，则卖出42千克甲糖果，12千克乙糖果．②若A型9份，B型3份，则卖出30千克甲糖果，21千克乙糖果
【分析】（1）由甲乙两种糖果的总价之和可得答案；
（2）设什锦糖B中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克，y千克，根据B型什锦糖，每份重5千克，价格80元，再列方程组即可；
（3）设小温购买m份什锦糖A，n份什锦糖B，可得方程，再利用方程的正整数解可得答案．
【详解】解：（1）什锦糖A价格为元．
（2）设什锦糖B中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克，y千克，由题意可列方程：，解得，
∴B中甲糖果有4千克，乙糖果有1千克．
（3）设小温购买m份什锦糖A，n份什锦糖B，
可得方程，
∵m，n为整数，解得，，
∴①若A型1份，B型10份，则卖出千克甲糖果，千克乙糖果．
②若A型9份，B型3份，则卖出千克甲糖果，千克乙糖果．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
8．（1），，；（2）见解析
【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义即可求解．
（2）从众数，中位数、A等级的百分比、方差进行评论即可．
【详解】解：（1）由表可知：
七年级抽取的班级餐厨垃圾的平均数为：
，即；
八年级抽取的班级餐厨垃圾的质量从小到大排列为：
，，，，，，，，，，
则中位数为：；
八年级的数据中，A等级：的有2个，
∴A等级所占百分比；
（2）七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数．
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的高于八年级各班餐厨质量垃圾质量A等级的
八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数．
②八年级各班餐厨垃圾质量的方差低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差，更稳定．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，关键在于根据图中信息结合统计相关知识的意义进行分析即可．
9．任务1：甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为和；任务2：符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积为或；任务3：矩形纸片的最大面积为
【分析】任务1：证明为等腰直角三角形，得出，设，则，得出，解得：，，得出甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为和；
任务2：分两种情况讨论：当时，当时，先分别求出矩形的边长，再求出矩形的面积即可；
任务3：分两种情况：按照图1方式裁剪时，按照图2方式裁剪时，分别求出能够裁剪出的矩形的最大面积，然后比较即可．
【详解】解：任务1：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，
当时，，
当时，，
即甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为和；
任务2：当时，设，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
当时，设，则，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
综上分析可知，符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积为或．
任务3：当按照图1方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，根据题意得：
，
∴当时，最大，最大值为
即此时矩形的最大面积为；
当按照图2方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，
∴，
根据题意得：，
∴当时，S最大，且最大值为，
即此时矩形的最大面积为；
综上分析可知，矩形纸片的最大面积为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意数形结合，注意分类讨论．
10．；包装商品的售价为元，包装商品的售价元；包装商品的售价为元，包装商品的售价为元
【分析】任务一：探究商品销量：根据题目中包装商品售价每降低元可多卖出件，由此即可求解；
任务二：探究商品售价：设每件包装商品售价降低元（为整数），利润为，可用含的式子表示包装商品的售价和日销售量，设包装商品售价提高元（为整数），利润为，则用含的式子表示包装商品的售价和日销售量，根据题意即可求解；
任务三：确定定价方案：根据任务一、二的信息可得包装商品的售价，销量，包装商品的售价，销量，根据数量关系，列不等式即可求解．
【详解】解：任务一：探究商品销量
每件包装商品的售价是元/件，日销售量为件，设每件包装商品售价降低元（为整数），
∴降价后包装商品的售价为元，
∵包装商品售价每降低元可多卖出件，
∴降价后包装商品的日销售量为件，
故答案为：；
任务二：探究商品售价
由任务一可知，设每件包装商品售价降低元（为整数），则降价后包装商品的售价为元，降价后包装商品的日销售量为件，设包装商品的利润为，
∴包装商品的利润为，
同理，设每件包装商品售价提高元（为整数），则提价后包装商品的售价为元，提价后包装商品的日销售量为件，设包装商品的利润为，
∴包装商品的利润为，
∵每日两种包装商品的总销量为件，
∴，则，即降低的价格等于提高的价格，
∵总利润达到最大，最大总利润为元，
∴，且，
∴，
∴，整理得，，
∴，
∴，即降价元，提价元，
∴包装商品的售价为（元），包装商品的售价为（元），
∴包装商品的售价为元，包装商品的售价元；
任务三：确定定价方案
由任务一可知，包装商品的销售量为件，售价为元/件，
将两种包装商品的总销量减少件，则每日两种包装商品的总销量为件，
假设包装商品销量不变，包装商品销量减少件，则售价增加了元，售价为（元），销量为件，
∴总利润为，解得，，
∴当时，包装商品的售价为（元），包装商品的售价为（元），
∴包装商品的售价为元，包装商品的售价为元．
【点睛】本题主要考查销售与方程的综合运用，理解题目中的数量关系，掌握方程与实际问题的综合运用，解方程的方法等知识的综合是解题的关键．
11．任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角
【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到；
任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可；
任务三：根据题意给出合理的建议即可．
【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，

由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴素材1中的投掷距离为4m；
（2）建立直角坐标系，如图，

设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，
解得，
∴
∴顶点纵坐标为，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)违规，至少要拆除一个楼层
【分析】（1）根据公式最小楼间距进行计算即可求解；
（2）由题意得，，进而求得，然后大厦高，即可求解；
（3）由最小楼间距，可得二期房屋存在违规建设．设应拆除x个楼层，而每个楼层高为，根据题意列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：由公式得，
∴．
（2）由题意得，
∴，
∴，
∴大厦高．

（3）解：由最小楼间距，
∴二期房屋存在违规建设．
设应拆除x个楼层，而每个楼层高为，
则，化简得，
∵x为正整数，
∴x至少为1，所以至少要拆除一个楼层．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，不等式的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
13．任务1：款咖啡的销售单价为元，款咖啡的销售单价为元
任务2：共有种购买方案，购买款咖啡杯，购买款咖啡杯；购买款咖啡杯，购买款咖啡杯；购买款咖啡杯，购买款咖啡杯
【分析】任务1：设款咖啡和款咖啡的销售单价分别为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
任务2：设购买款咖啡杯，购买款咖啡杯，根据题意列出二元一次方程，进而根据整数解求解即可．
【详解】任务1：解：设款咖啡和款咖啡的销售单价分别为元，根据题意得，
解得：
答：款咖啡的销售单价为元，款咖啡的销售单价为元；
任务2：设购买款咖啡杯，购买款咖啡杯，根据题意，得，
整理得，
∵都是正整数，则是的倍数，
∴，，
答：共有种购买方案，分别是：购买款咖啡杯，购买款咖啡杯；购买款咖啡杯，购买款咖啡杯；购买款咖啡杯，购买款咖啡杯；
【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．
14．任务一：；任务二：
【分析】任务一：根据表格中数据的对称性，可设二次函数的顶点式，利用待定系数求解二次函数的解析式即可；
任务二：根据题意，可设调节后的水管喷出抛物线的解析式，再根据题意列不等式求解即可．
【详解】解：任务一：根据表格数据， 该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
故可设该抛物线的解析式为，
将点代入，得，则，
∴该抛物线的解析式为；
任务二：设调节后的水管喷出抛物线的解析式为
，
由题意，当横坐标为时，对应的纵坐标不小于，
∴，
解得：，
∴水管高度至少向上调节米，
∴（米），
答：喷头距离湖面高度的最小值为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、解一元一次不等式，解答的关键是掌握由二次函数图象建立二次函数模型解决问题．
15．任务1：他的说法对，理由见解析；任务2：米
【分析】任务1：过点B作于点G，可证得，据此即可判定；
任务2：设，可得，的高为米，列不等式，即可求解．
【详解】解：任务1：他的说法对，
理由如下：
如图：过点B作于点G，
，
四边形是长方形，
，
，
在与中，
，
，
最高点B到地面的距离就是线段长；
任务2：该指示牌是轴对称图形， 四边形是长方形，
设，则，的高为(米)，
长方形的面积为：(平方米)，
三角形的面积为： (平方米)，
当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
根据题意得：，
解得，
故长度的最大值为米．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键．
16．任务一：弓形所在圆的半径为米；任务二：见解析；任务三：此时弓形所在圆的半径调整为米．
【分析】任务一：如图，设弓形所在圆的半径为，圆心为O，标注各点，再分别求解，，再利用勾股定理建立方程即可；
任务二：如图，过左侧作于，交弓形于，矩形是车辆模型，在上，连接，过作于，再利用勾股定理求解，从而可得结论；
任务三：如图，由题意可得：此时弓形所在的圆的圆心在矩形下方，过作于，是左侧车辆边线的模型线，结合题意可得：，，设，弓形所在圆的半径为，由勾股定理可得：，，再建立方程求解即可．
【详解】解：任务一：如图，设弓形所在圆的半径为，圆心为O，标注各点，
由题意可得：，，，，，
∴，
由勾股定理可得：，
解得：；
任务二：如图，过左侧作于，交弓形于，矩形是车辆模型，在上，连接，过作于，
由题意可得：米，米，（米），
由勾股定理可得：，
∴最小为：（米），
∴（米）．
任务三：如图，由题意可得：此时弓形所在的圆的圆心在矩形下方，
过作于，是左侧车辆边线的模型线，
结合题意可得：，，设，弓形所在圆的半径为，
由勾股定理可得：，
，
∴，
解得：，
∴（米），
答：此时弓形所在圆的半径调整为米．
【点睛】本题考查的是垂径定理的实际应用，勾股定理的应用，矩形的性质，弓形的含义，根据题意建立几何模型是解本题的关键．
17．任务一：；任务二：；任务三：非机动车道宽：，机动车道宽：．
【分析】任务一：过点作，交于点，交于点，连接，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可；
任务二：连接，过点作于点，则：四边形为矩形，得到，在中，利用勾股定理，求出，再利用，得到，即可得解；
任务三：求出当时，的长，利用两个绿化带的长度再除以2即可得到机动车的道宽，利用，即可得到非机动车的道宽．
【详解】任务一：解：过点作，交于点，交于点，连接，设半径为r，则：，，
由题意得：
即：，解得：；
任务二：解：连接，过点作于点，则：四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，
由题意得：，即：，
解得：，
∴，
∴；
任务三：当时，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：绿化带2的宽度为：，
∴机动车道宽：，非机动车道宽：．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
18．任务1：至少需要A型冷链运输车8辆；
任务2：方案一：A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆；方案二：A型冷链运输车7辆，B型冷链运输车5辆；方案三：A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆；
任务3：当a=50时三种方案一样；当时，方案三最少；当时，方案一最少
【分析】任务1：设需A型冷链运输车m辆，列不等式可解得答案；
任务2：设用A型冷链运输车x辆，则B型冷链运输车辆，可列不等式组解得答案；
任务3：设过路费总和为y元，可得，分两种情况讨论即可．
【详解】任务1：
设需A型冷链运输车m辆，
根据题意得，
解得，
∵m是整数，
∴至少需A型冷链运输车8辆；
任务2：
设用A型冷链运输车x辆，则B型冷链运输车辆，
根据题意得：，
解得，
∵x是整数，
∴x可取6，7，8，
∴运输方案有3种：
方案一：用A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆，
方案二：用A型冷链运输车7辆，B型冷链运输车5辆，
方案三：用A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆；
任务3：
设过路费总和为y元，
，
当时, ，三种方案一样；
当，即时，y随x的增大而增大，
∴时，y取最小值，最小值为（元），
即安排A型冷链运输车6辆，B型冷链运输车6辆，过路费总和最少；
当，即时，y随x的增大而减小，
∴时，y取最小值，最小值为元，
即安排A型冷链运输车8辆，B型冷链运输车4辆，过路费总和最少；
答：当a=50时三种方案一样；当时，方案三最少；当时，方案一最少．
【点睛】本题考查一元一次不等式，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式（组）和函数关系式．
19．任务一：右；任务二：①；；②③，见解析；任务三：，见解析；任务四：，见解析
【分析】任务一：画出图形可得结论；
任务二：选择②；③．进行探究即可；
任务三：结论：．设．利用角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可；
任务四：有，如图所示：结论：．
【详解】解：任务一：图形如图所示：点D在点C的右侧．
故答案为：右；
任务二：选择②；③．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
猜想：；
任务三：结论：．
理由：设．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
任务四：有，如图所示：结论：．
理由：设．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查作图－基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
20．；；17，
【分析】（1）根据题意建立直角坐标系，分别得到，，，再根据待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）根据每棵苗木高1.76m，且苗木顶部不触碰大棚得到，即可求出种植点的横坐标的取值范围；
（3）根据（2）的种植点的横坐标的取值范围即可求出数量和出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
【详解】解：（1）如下图所示，
根据题意得，，，，
设二次函数的解析式为，
得，
解方程组得，，
∴；
（2）当时，
得，
∴，
∴；
（2）∵，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，
∴最前排的种植数量为17棵，
∴最左边一棵苗木种植点的横坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出抛物线的解析式．
21．任务1：；任务2：；任务3：
【分析】（1）建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
（2）令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可；
（3）由题意可得：，分别代入，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求得的最小值和最大值．
【详解】解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，把代入得：，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）令，得，解得：，
∴，
∴，
喷灌器OA与围墙的距离为5m；
（3）如图所示：
，
∴，
设，把代入得，解得：，
∴，
当时，，
∴，
设，把代入得，，解得：，
∴，
当时，，
∴，
，即喷水口距离地面高度的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．
22．任务1：剪掉的正方形的边长为．
任务2：当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
【分析】任务1：假设剪掉的正方形的边长为，根据长方形盒子的底面积为，得方程，解所列方程并检验可得；
任务2：侧面积有最大值，设剪掉的正方形边长为，盒子的侧面积为，利用长方形盒子的侧面积为：得出即可．
【详解】解：任务1：设剪掉的正方形的边长为，
则，即，
解得（不合题意，舍去），，
答：剪掉的正方形的边长为．
任务2：侧面积有最大值．
理由如下：
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系为：，
即，
即，
∴时，．
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程和函数关系式是解决问题的关键．
23．任务一：直角坐标系见详解，；任务二：；设计过程一：设计过程二：方法①：纸片上平均秀7个花边，此时花边左端与纸片左边缘的水平距离为；方法②：纸片上平均秀8个花边，此时花边左端与纸片左边缘的水平距离为
【分析】（任务1）以矩形长边中点为原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意可知，最中间过点，代入抛物线即可；
（任务2）设计过程一：将图3中的花边与图2中对比起来，找到对应位置，求出B，C的坐标即可得出结论；设计过程二：根据题意，需要分两种情况，分别求出对应的值即可．
【详解】（任务1）以矩形长边中点为原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，如图，
∴可设抛物线的解析式为：，
由抛物线和矩形的对称性可知：．
将代入上述抛物线可得，．
∴在上述坐标系下，抛物线的解析式为：；
（任务2）设计过程一：根据题意可知，如下图3中的B，C两点分别对应图2中的B，C，
由题意可知，，
∴根据对称性可知：图2中点B的横坐标为，点C的横坐标为2，
∴，即；
设计过程二：若花边高度，
令，解得．
∴，
根据抛物线的对称性可得．
要求每两个相邻花边之间需要有的间隔，新纸片长度的一半是，
需要分两种情况：
①点B在数轴上对应点，点C对应点4，如图，图案呈轴对称，
则，
故此时，能放（个）花边；
此时左端与纸片左边缘的水平距离为：；
②若点B对应的是，点C对应点，图案呈轴对称，
则有，且，
∴此时，能放个花边，
此时左端与纸片左边缘的水平距离为：，
综上：方法①：纸片上平均秀7个花边，此时花边左端与纸片左边缘的水平距离为；方法②：纸片上平均秀8个花边，此时花边左端与纸片左边缘的水平距离为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
24．任务1：①；②；任务2：当网上销售价是每件57元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是8180元；任务3：答案不唯一：当x符合1.5≤≤2.5均可．如网上销售价格为58.5元（或55.5元），总毛利润为8135元等．
【分析】任务1：利用单件利润乘以销量即可求解；
任务2：利用抛物线的图象与性质先确定x的值，再求解；
任务3：令，得到x满足的条件即可求解．
【详解】解：任务1：①
②
任务2：
∵x＝3符合题意，
∴当x＝3，即（元）时，（元）．
∴当网上销售价是每件57元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是8180元．
任务3：令，
∴，
∴答案不唯一：当x符合均可．如网上销售价格为58.5元（或55.5元），总毛利润为8135元等．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用——销售问题，解题关键是读懂题意，能列出相应的表达式，并能根据函数的图象与性质求解．
25．任务1：；任务2：
【分析】任务1：设抛物线的解析式，用待定系数法即可求解；
任务2：设二次函数图象平移后的解析式，根据题意列出不等式，即可得到答案．
【详解】任务1：设抛物线的解析式为：
把代入得：，
解得：，
；
任务2：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为，
当横坐标为时，函数值，
解得：；
即水管高度至少向上调节米，
所以（米），
即喷头离湖面高度最小值为．
【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，关键由二次函数的图象建立二次函数模型．
26．【任务1】见解析；；
【任务2】
【任务3】14个喷头，，
【分析】[任务1]以点O为原点建立如图所示直角坐标系，选择第一象限内的抛物线的解析式进行求解，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论；
[任务2]令上述抛物线，即可得出结论；
[任务3]令上述抛物线，可求出x的值，再根据对称性可分别求出两端的喷头坐标．
【详解】[任务1]
以点O为原点建立如图1所示的坐标系，
若选择第一象限的抛物线表达式进行求解：
根据题意，设，
代入点，求得，
∴．
[任务2]
∵，
代入，，
∴点M的纵坐标为．
[任务3]
如图2，令，
解得，，
∵安装后关于成轴对称分布，石柱直径为1，，＞0.5，
∴，
∴OM左右两侧各安装7个直线型喷头，共14个喷头，，
∴离中心O最远的两个喷头的坐标分别为，．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
27．任务1：；任务2：
【分析】（1），先建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可；
（2），由题意可得：，分别代入，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求得的最小值和最大值．
【详解】解：（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，把代入得：，解得：，
∴抛物线的表达式为.
令，得，解得：，
∴，
∴，
喷灌器OA与围墙的距离为5m；
（2）如图所示：
，
∴，
设，把代入得，解得：，
∴，
当时，，
∴，
设，把代入得，，解得：，
∴，
当时，，
∴，
，即喷水口距离地面高度的最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．
28．任务1：
任务2：悬挂点的纵坐标的最小值是，悬挂点的横坐标的取值范围是
任务3：方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，19盏灯笼，最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是；方案二：从对称轴两侧开始悬挂灯笼，共可挂18盏灯笼，最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．（答出一种方案即可）
【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
任务2：根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，计算悬挂点的纵坐标的最小值是；
任务3：方案一：从顶点处开始悬挂灯笼， 方案二：从对称轴两侧开始悬挂灯笼，分别求解即可．
【详解】解：任务1：
以拱顶为原点，建立直角坐标系，如图，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是
任务2：
∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是
任务3：有两种设计方案（答出一种即可）
方案一：从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂10盏灯笼，则，
若顶点一侧挂9盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂9盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂19盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是；
方案二：从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂10盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂9盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂18盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
29．；喷头距离湖面高度的最小值为米
【分析】任务1：根据表格数据得到抛物线，再直接代值计算即可；
任务2：根据函数解析式求出自变量范围内的最小值判断即可．
【详解】任务1：分析表格数据，可得该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
设该抛物线的解析式为，将点代入，得，则，
∴该抛物线的解析式为
任务2：设调节后的水管喷出抛物线的解析式为，
由题意，当时，，
∴，解得，
喷头至少向上调节米，
∴（米），
答：喷头距离湖面高度的最小值为米．
【点睛】此题考查二次函数的实际应用，解题关键是根据表格数据直接求出函数解析式，再通过函数的图像判断最小值，来解决实际问题．
30．【任务1】；【任务2】（－4.2，1.8）；【任务3】6米
【分析】任务1：以点O为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论；
任务2：令上述抛物线，得，求出，再依据即可得出结论；
任务3：设，根据题意得从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把把代入即可得出结论．
【详解】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵，
∴．
∵水柱距水池中心处到达最高，高度为，
∴左侧抛物线顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
∴即．
任务2：令，得，
解得（舍去），，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G的坐标为．
任务3：
如图2．
设，从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为，
又∵抛物线形状相同，
∴抛物线表达式为，
把代入得，
解得或1.2（舍去），
∴，
把代入得，
∴喷水装置OP的高度为6米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
31．任务一：；任务二：，这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个；任务三：方案1：较大的抛物线段1条，较小抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小抛物线2条
【分析】任务一：用待定系数法求解即可；
任务二：先求出点D的纵坐标，代入解析式求出点C和点D的横坐标，求出开口宽度，然后可求出每边这样的图案最多可以摆放几个；
任务三：设较大的抛物线段m条，较小抛物线n条，可得（m，n为正整数，且），然后讨论即可．
【详解】任务一：由题意得：，点B坐标为，
设抛物线解析式为，将点代入解析式得：
解得，
∴抛物线解析式为
任务二：时，点D的纵坐标为：，
当时，代入，得
解得，，
∴，
∴这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个．
任务三：设较大的抛物线段m条，较小抛物线n条，
由以上条件可知：，．
（m，n为正整数，且），
①，，（不能对称摆放，舍去）
②，（中间摆1个较大的，左右各摆2个较小的，两边各余20米，符合题意）
③，（中间摆2个较大的，左右各摆2个较小的，两边没有空余，符合题意）
④，（中间摆3个较大的，左右各摆1个较小的，两边各余10米，符合题意）
⑤，（不能对称摆放，舍去）
综上可知，方案1：较大的抛物线段1条，较小抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小抛物线2条；
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键．
32．任务1：长为，宽为；任务2：；任务3：（1）；（2）
【分析】任务，根据题意，设计部分的长为，宽为；
任务，由设计的部分也是长方形，且长是宽的倍，得，可解得答案；
任务，
设每个栏目的水平宽度为，每栏竖行两列中间间隔是，根据正方形边长相等可得：，可解得每个栏目的水平宽度为；
列出算式即可求出长方形栏目与栏目之间中缝的间距为．
【详解】解：任务，
根据题意，设计部分的长为，宽为；
任务，
设计的部分也是长方形，且长是宽的倍，
，
解得，
四周宽度是；
任务，
设每个栏目的水平宽度为，每栏竖行两列中间间隔是，则横向中间间隔为，
根据正方形边长相等可得：，
解得，
每个栏目的水平宽度为；
，
长方形栏目与栏目之间中缝的间距为．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
33．；；符合要求的方案有两种，方案一，“漏水壶”水位高度为128mm，计时器计时时长15min，方案二，“漏水壶”水位高度为200mm，计时器计时时长12min
【分析】（1）用待定系数法求解即可．
（2）由题意得出T关于x的函数关系式，把对应x值代入即可．
（3）根据题意求出x和T的取值范围，h和T都是整数，可以得出符合要求的只有两种方案．
【详解】解：[任务1]
把，和，分别代入，
得，
解这个方程组，得，
所以h关于x的函数关系式为．
[任务2]
解：由任务一得h关于x的函数关系式为，
当时，
即，
解得：，
由于，得，
由题意得：T关于x的函数关系式为，
∴当时，．
[任务3]
由题意得：漏水壶水位在，
∴，
解得，
∵，
∴，
∵h和T都是整数，
∴把分别代入和，
当时，，，
当时，，，
∴符合要求的方案有两种，
方案一，“漏水壶”水位高度为128mm，计时器计时时长15min．
方案二，“漏水壶”水位高度为200mm，计时器计时时长12min．
【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的实际应用，灵活运用所学知识是解题关键．
34．任务1：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；任务2：可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本；任务3：文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本（答案不唯一）
【分析】任务1：设笔记本的单价为x元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可；任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据总的花费为400元，列出方程，根据，，且b是10的倍数，求出a、b的值即可；任务3：可以就钢笔和笔记本数量的一种情况进行解答，答案合理即可．
【详解】任务1：
解：设笔记本的单价为x元，根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
这时．
∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：
解：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据题意，得，化简得，
由题意，，，且b是10的倍数，
∴，，，
∴可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本．
任务3：
解：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，根据题意，得
，整理得，
∵，且，y均为正整数，
∴经尝试检验得，
∴文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程．
35．任务：见解析；任务：能完成改造，理由见解析；任务：米
【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为，再利用待定系数法得到函数的解析式；
（2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到的坐标即可得到结论；
（3）根据已知条件表示出的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】解：（1）如图，以为原点，建立如图1所示的坐标系，
∴，，
∴设抛物线解析式为，
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，将代入解析式得，，
∴．
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
∵，
∴为，
∵改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为，
将代入解析式得，
∴，
∴为，为，
∴，
∴共需改造经费，
∴能完成改造．
图2
（3）如图2，设改造后抛物线解析式为，
则为，为，
∴，
由题意可列不等式，，解得，
∵，
∴时，的值最大，为米．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数的性质求对称轴，方案选择问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
36．任务1：；任务2：M的纵坐标为；任务3：左右两侧各安装7个直线型喷头，共14个喷头；中心O最远的两个喷头的坐标分别为，
【分析】任务1：以点O为原点建立如图所示直角坐标系，选择第一象限内的抛物线的解析式进行求解，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论；
任务2：令上述抛物线解析式，求出y的值即可得出结论；
任务3：令上述抛物线解析式，可求出x的值，再根据对称性可分别求出两端的喷头坐标．
【详解】解：任务1：以点O为原点建立如图所示的坐标系，
选择第一象限的抛物线表达式进行求解：
由题意可知该抛物线顶点M坐标为，．
∴可设该抛物线解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
任务2：对于，令，得：，
∴点M的纵坐标为；
任务3：令，
解得，．
∵安装后关于成轴对称分布，石柱直径为1，，，
∴，
∴OM左右两侧各安装7个直线型喷头，共14个喷头．
∵，
∴离中心O最远的两个喷头的坐标分别为，．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
37．任务1：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共元；任务2：；任务3：补进镇流器件
【分析】任务1：根据题意“当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元”列出算式即可求解．
任务2：设镇流器补进x件，根据题意列出代数式即可求解；
任务3：根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元，
答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共元
任务2：设镇流器补进x件，若，刚补进镇流器的单价为（元）
补进灯管的总价为：（元）
故答案为：．
任务3：依题意，
解得：,
∵
∴
答：补进镇流器件
【点睛】本题考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，分情况列出方程．
38．任务一：；任务二：；任务三：方案一约为；方案二约为
【分析】任务一：过点作，先根据平行线的性质可得，再根据即可得；
任务二：作于点，延长交于点，①当时，先解直角三角形求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得的值，②当时，同样的方法可得的值，由此即可得出答案；
任务三：方案一：求出，设电池板之间的最大间距为，则，解方程即可得；方案二：设新电池板的长度，过点作水平线的垂线，交于点，求出，再利用相似三角形的判定与性质可得，然后根据建立方程，解方程即可得．
【详解】解：任务一：如图，过点作，，
，
由题意得：，
，
故答案为：；
任务二：作于点，延长交于点，
①当时,则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
②当时，
同理可得：，
∴；
任务三：方案一：∵在任意时刻均不能落在内，
∴最大，即，
∵要充分利用斜坡，
∴最后一排恰好落在处，
设电池板之间的最大间距为，
则，
解得，
答：电池板之间的最大间距约为；
方案二：如图，设新电池板的长度，
过点作水平线的垂线，交于点，则
∵在任意时刻均不能落在内，
∴最大，即当时，最大，
同任务二可得：，
∵电池板与坡度保持不变，，
，
∴，即，
解得，
由题意得：，
解得，
答：原来长的电池板最大可以定制约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
39．任务1: ;任务2: 万元；任务3: 元或元
【分析】任务设月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为，利用月份游玩某景区的游客人数月份游玩某景区的游客人数该景区游客人数平均每月增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
任务利用景区月份的门票总收入门票单价销售数量，即可求出结论；
任务设丙种门票价格下降元时，景区月份的门票总收入有万元，利用景区月份的门票总收入门票单价销售数量，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：任务设月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长；
任务根据题意得：
元，
元万元．
答：景区月份的门票总收入万元；
任务设丙种门票价格下降元时，景区月份的门票总收入有万元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：丙种门票价格下降元或元时，景区月份的门票总收入有万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
40．任务一：4张，实际消费的最少为 1070元；任务二：A型的消费券6张，B型的消费券1张，则C型的消费券5张；任务三：4张B，5张C使得使用消费券张数最少
【分析】任务一：根据“小明一家在超市使用消费券共减了380元”计算即可；
任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券x-1张，根据题意列方程计算即可；
任务3：根据“小明一家在超市使用消费券共减了380元”列出二元一次方程，求出正整数解即可，注意分类讨论．
【详解】任务一：用C型的消费券数量为：，
至少消费元，
故答案为：；
任务二：
解：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券张，由题意可得
解的：
C型的消费券5张
答：A型的消费券6张，B型的消费券1张，则C型的消费券5张；
任务三：设小明一家共使用A型的消费券a张，B型的消费券b张，C型的消费券张，则都是正整数，
①A、B型：，
∴，
∵a，b都是正整数，
∴无解；
②B、C型：
∴，
∵都是正整数，，
∴或；
③A、C型：，
∴，
∵都是正整数，，
∴
所以综上所述，4张B，5张C使得使用消费券张数最少．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程，求出正整数解．
41．任务1：或；任务2：ABE；任务3：
【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义进行求解即可；
（2）分别算出五个点作为D点时的值即可得到答案；
（3）先求出直线的解析式为，设，则，再分当时， 当时，两种情况求出的最值情况即可得到答案.
【详解】解：任务1：∵，
∴，
∴，
∴，
∴消防站的位置为或；
任务2：当选作为D点时，
∵，，
∴，，
∴；
同理当作为D点时，；
当作为D点时，；
当作为D点时，；
当作为D点时，；
∴当选则或或时最小，
故答案为：ABE；
任务3：设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
当时，，
∴此时当时，有最小值；
当时，，
∴此时，
综上所述，得到最小值．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，正确理解题意是解题的关键．
42．任务1：网上毛利润为元，实体店毛利润为元；任务2：该商品的网上销售价是每件58元或56元；任务3：57
【分析】任务1：根据毛利润=单件毛利润×销售数量求解即可；
任务2：先分别求出两种销售方式的毛利润，再根据总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润求解即可；
任务3：结合任务2的结论，利用完全平方公式变形求解即可．
【详解】（1）网上毛利润为：元
实体店毛利润为：元
（2）设网上销售价下降x元/件，则
网上毛利润为：
实体店毛利润为：
总毛利润为：
根据题意得，
解得，；
∴或56
答：该商品的网上销售价是每件58元或56元
（3）
∵
∴
∴网上销售价每件下降3元，每天销售这种小商品的总毛利润最大
此时销售价为：（元）
故答案为：57
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及完全平方公式的变形求值，一元二次方程的应用，根据题意列出总毛利润的代数式是解答本题的关键．
43．任务1：米；任务2：会被照射到；任务3：
【分析】（1）先过点E作于点I，过点G作于点J，再求出，从而得出。可证，最后利用三角函数即可得出的长度
（2）过点Q作交于点P，因为14点时，此时，通过三角函数即可求出的长度，在作比较即可
（3）过点Q作交于点P，14：00－15：00时，在45°到60°之间，通过三角函数分别求出两种极端情况下的长度，即为的取值范围
【详解】解（1）如图1，过点E作于点I，过点G作于点J．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
在中，（米）．

（2）方法1：
如图2，过点Q作交于点P．
由（1）知，，
∵．
∴在中，，
∴，
∴．
在中，，
在中，，
∵在中，当时，，
∴小明刚好被照射到时离B点的距离为，
∴小明会被照射到．

方法2：
如图2，过点Q作交FH于点P．
与方法1同理得，得，，
∴．
在中，．
∴小明会被照射到．
（3）当时，．
当时，．
∴．
【点睛】本题主要考查真实情景下的三角函数的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键
44．任务1：；
任务2：；
任务3：或，见解析
【分析】（1）任务1，根据平行四边形的面积即可作答；
（2）任务2，作于点H，根据题意得，结合，可得，解得（），设，则，根据，可得，结合，解得，即可得；
（3）根据（2）的结果以及为正整数，可得或，作于点H，如图，当时，可得，设，则，，在中，，即，解方程即可求解；当时，同理可求 ．
【详解】任务1：如图4，∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴；
任务2：作于点H，

由题意，得，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（），
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
又∵，
∴；
任务3：∵，为正整数，
∴或，
作于点H，如图，

当时，
∵，，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得，或（舍去）；
∴平行四边形挂件的周长=cm；
当时，
∵，，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得，或（舍去）.
∴平行四边形挂件的周长．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，一元二次方程在几何中的应用，明确题意，灵活运用平行四边形的性质，是解答本题的关键．
45．任务1：场馆的门票价格为50元，场馆的门票价格为40元；任务2：1210元；任务3：方案①：购买场馆门票10张，场馆门票12张，场馆门票8张；方案②：购买场馆门票10张，场馆门票11张，场馆门票9张
【分析】任务1：设场馆的门票价格为元，场馆的门票价格为元，根据两种购买方案所需金额建立方程组，解方程组即可得；
任务2：设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，从而可得关于的函数关系式，再根据到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数求出的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得；
任务3：设购买场馆门票张，场馆门票张，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，根据预算可得，由此可得，再求出的取值范围，根据为正整数分析求解即可得．
【详解】解：任务1：设场馆的门票价格为元，场馆的门票价格为元，
由题意得：，
解得，
答：场馆的门票价格为50元，场馆的门票价格为40元；
任务2：设到场馆参观的人数为人，此次购买门票所需总金额为元，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，
由题意得：，
要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，
，
解得，
又为正整数，
由一次函数的性质可知，当时，取最小值，最小值为，
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元；
任务3：设购买场馆门票张，场馆门票张，则到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，到场馆参观的人数为人，
购买门票总预算为1100元，
，即，
均为正整数，要让去场馆的人数尽量的多，
，
，即，
又要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，
，即，
解得，
，
①当时，，符合题意，
②当时，，符合题意；
所以有两种购买方案，方案①：购买场馆门票10张，场馆门票12张，场馆门票8张；方案②：购买场馆门票10张，场馆门票11张，场馆门票9张．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和函数关系式是解题关键．
46．任务1：区块Ⅰ的面积：，区块Ⅱ的面积：，区块Ⅲ的面积：；
任务2：或；
任务3：有2个最佳定位点，分别为，．
【分析】任务1：结合图形，根据正方形的面积性质和三角形面积公式即可求出答案．
任务2：由题意知，将区块划分两种区域的有两种情况，根据两种情况即可求出面积或者函数表达式．
任务3：由任务2和任务3的面积取值范围排除面积为200的情况，再根据即可求出值，从而求得最佳定位点的坐标．
【详解】解：任务1：
，
区块Ⅰ的面积：．
，
，
区块Ⅱ的面积：．
区块Ⅲ的面积：．
任务2：①如图1若连接，

，
不可能为等腰三角形，
，
为等腰三角形，
．
②如图2连接，，则为的中点，

．
任务3：
且面积范围为，
结合函数图像得整数解为，这两个E的定位坐标满足题意．
有2个最佳定位点，分别为，．
故答案为：任务1：区块Ⅰ的面积：，区块Ⅱ的面积：，区块Ⅲ的面积：；
任务2：或；
任务3：有2个最佳定位点，分别为，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键在于利用数形结合的思想分析题意，列出函数关系式．
47．任务1：区块Ⅰ的面积：，区块Ⅱ的面积：，区块Ⅲ的面积：；
任务2：或；
任务3：有2个最佳定位点，分别为，．
【分析】任务1：结合图形，根据正方形的面积性质和三角形面积公式即可求出答案．
任务2：由题意知，将区块划分两种区域的有两种情况，根据两种情况即可求出面积或者函数表达式．
任务3：由任务2和任务3的面积取值范围排除面积为50的情况，再根据即可求出值，从而求得最佳定位点的坐标．
【详解】解：任务1：
，
区块Ⅰ的面积：．
，
，
区块Ⅱ的面积：．
区块Ⅲ的面积：．
任务2：①如图1若连接，
，
不可能为等腰三角形，
，
为等腰三角形，
．
②如图2连接，，则为的中点，
．
任务3：
且面积范围为，
结合函数图像得整数解为，这两个E的定位坐标满足题意．
有2个最佳定位点，分别为，．
故答案为：任务1：区块Ⅰ的面积：，区块Ⅱ的面积：，区块Ⅲ的面积：；
任务2：或；
任务3：有2个最佳定位点，分别为，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键在于利用数形结合的思想分析题意，列出函数关系式．
48．（1）（答案不唯一）；
（2）从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，共需2根竹竿，所需竹竿总长度为米．
【分析】（1）以地面作为x轴，点A所在墙体作为y轴，建立直角坐标系，用待定系数法求出解析式即可；
（2）从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，从而得到共需2根竹竿，分别求出两根竹竿长度，相加即可求解．
【详解】解：（1）如图，以地面作为x轴，点A所在墙体作为y轴，建立直角坐标系如图（答案不唯一）：

由题意可得，，顶点的横坐标为，
设大棚横截面所对应的抛物线解析式为，
，
解得，
∴大棚横截面所对应的抛物线解析式为；
（2）符合要求的方案：
从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，
∴共需2根竹竿，
当时，，
当时，，
∴所需竹竿总长度为（米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，方案设计等，解题的关键是读懂题意，根据题意建立合适坐标系，掌握待定系数法求函数解析式．
49．任务一、31；任务二、方案有三种，方案1，生产5辆A型汽车，则生产35辆B型汽车；方案2，生产6辆A型汽车，则生产34辆B型汽车；方案3，生产7辆A型汽车，则生产334辆B型汽车；生产利润最高有375万元．
【分析】任务一、设最多生产x辆B型汽车， 依题意列不等式计算即可求解；
任务二、设生产m辆A型汽车，则生产辆B型汽车，依题意列不等组，即可求解．
【详解】解：任务一、设生产x辆B型汽车，
依题意得，，
解得，
答：最多生产31辆B型汽车．
故答案为：31；
任务二、设生产m辆A型汽车，则生产辆B型汽车，
依题意得，，
解得，
∴方案有三种，
方案1，生产5辆A型汽车，则生产35辆B型汽车，利润有：万元，
方案2，生产6辆A型汽车，则生产34辆B型汽车，利润有：万元，
方案3，生产7辆A型汽车，则生产334辆B型汽车，利润有：万元，
生产利润最高有375万元．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意找到数量关系，正确列出不等式组．
50．（1）；（2）可挂6个，（3）21 m
【分析】（1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，待定系数法求解得．
（2）抛物线，得与横轴交点，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，由，得桥面可挂6个．
（3）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，，勾股定理求得中，（m）．
【详解】解：（1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，抛物线经过，，得
，解得
∴．
（2）抛物线，令，，解得或10
∴点

如题，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，
∵
∴左侧可挂3个，桥面可挂6个．
最右侧位于点上方1m处，即点．
（3）

如图，当水位达到最高时，水位线为，
救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，当时，，，，
中，（m），故至少需21 m．
【点睛】本题考查二次函数待定系数法确定解析，图象性质，勾股定理，掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
51．任务1：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人；任务2：；任务3：当订购套餐15份，订购套餐为16份时，该班订餐总费用最低，订餐总费用最低为740元
【分析】任务1：根据题意可设设这20人中选择套餐的有人，，则选则套餐的有人，，根据“费用合计为565元”列出方程，解方程即可得到答案；
任务2：由当全班选择套餐人数不少于20人时，即，得到，从而得到选择套餐人数为，根据套餐、套餐的优惠方式即可算出总共花费了多少钱；
任务3：分三种情况：①当时，②当时，③选择优惠方案三，分别计算出所花费的费用，进行比较即可得到答案．
【详解】解：任务1：20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足，
设这20人中选择套餐的有人，，
则选则套餐的有人，，
，
，
，
答：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人；
任务2：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐，
当全班选择套餐人数不少于20人时，
即，
，
选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件，
订餐总费用为；
任务3：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐，
①当时，由（2）可知，订餐总费用为，
，
随着的增大而增大，
当时，订餐总费用最小为（元）；
②当时，，，
∴订餐总费用为，
，
随着的增大而增大，
当时，订餐总费用最小为（元）；
③若选择优惠方案三，订餐总费用为，
总费用满850元立减110元，
当时，订餐总费用最小为（元）；
综上所述，当订购套餐15份，订购套餐为16份时，订餐总费用最低为740元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出一元一次方程、一次函数，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键．
52．任务1：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：购买钢笔30支，笔记本20本．
任务3：文具店赠送2张兑换券时，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔记本；文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本；文具店赠送8张兑换券时，其中5张兑换钢笔，3张兑换笔记本．
【分析】任务1：设笔记本的单价为元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可；
任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本，根据总的花费为400元，购买钢笔和笔记本的数量之比为，列出方程，求出、的值即可；
任务3：由任务2可知钢笔和笔记本数量的情况进行解答即可．
【详解】解：任务1：设笔记本的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
这时．
笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本，
根据题意，得：，
解得，
购买钢笔30支，笔记本20本．
任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有张兑换券兑换钢笔，
根据题意，得，
整理得，
，且，均为正整数，
解得：或或，
文具店赠送2张兑换券时，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔记本；文具店赠送5张兑换券时，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本；文具店赠送8张兑换券时，其中5张兑换钢笔，3张兑换笔记本．
【点睛】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程．
53．(1)，足球不能进入球网
(2)能
【分析】（1）由题意知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式的顶点式为，由抛物线过原点即可求出a的值，从而确定抛物线的解析式；求出当时的函数值，与球门高对比即可作出判断；
（2）原点不变，所在直线为x轴，函数解析式不变，求出的长，计算当，对应的函数值并与比较，即可判断足球是否入门．
【详解】（1）解：由题得抛物线顶点坐标为，设
∵抛物线经过点A（0，0），
∴，
∴，
∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为；
当时，，，
∴足球不能进入球网．
（2）解：∵足球运动轨迹抛物线形状不变，此时以点A为原点，所在直线为x轴，
∴抛物线的函数表达式仍为
∵，
∴由勾股定理得：，
当，，
∴能打到远角E处入网．
【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了求二次函数的解析式，求函数值，勾股定理等知识，正确理解题意，把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
54．任务1：；任务2：见解析；
【分析】（1）设，把，代入求解即可得到答案；
（2）根据关系式代入求解即可得到答案；
【详解】任务1：
解：由题意，得ρ是关于h的反比例函数，设，把，代入，得，
∴，
∴．
任务2：
解：由题意可得，
，
∴，标注如图，
；
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据题意设出解析式，找到相关数据代入求解．
55．任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；
任务二：有2种工人的招聘方案：①抽调熟练工名，招聘新工人名；②抽调熟练工名，招聘新工人名；
任务三：2
【分析】任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可；
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可；
任务三：求出方案和方案的成本，然后比较即可解答．
【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
由题意得：，解得：，
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，
由题意得：，
整理得：，
、为正整数，且，
或，
有种工人的招聘方案：
抽调熟练工名，招聘新工人名；
抽调熟练工名，招聘新工人名．
任务三：方案中，发放工资为：元；
方案中，发放工资为：元；
，
为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
56．（1）“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元；（2）“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；（3）当利润最大时，两种奶茶共制作42杯
【分析】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，根据题意列方程求解即可；
（2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为元/杯，根据素材3列方程求解即可；
（3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，根据素材4列方程求解正整数解，再结合获利最大即可求解．
【详解】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，
由题意得：，
解得，
答：“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元，
（2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为元/杯，
则“芝士杨梅”利润为元/杯，
由题意 ，
解得，
经检验满足题意，
芝士杨梅成本：（元/杯），
答：“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；
（3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，
由题意得：，变形得，
∵芝士配料不低于，
∴且m是5的倍数，
∴解得，
∵“芝士杨梅”每杯减4元则每杯利润6元，“满杯杨梅”每杯利润8元，
当时，总利润为266元，
当时，总利润为264元，
∴当利润最大时，两种奶茶共制作42杯．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组及二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
57．(1)证明见解析；
(2)4，9；
(3)四边形ADFE面积的最小值为45．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，通过证明△ACD∽△CBD，得到CD=，再由材料中的结论即可得出等号成立时的条件；
（2）利用完全平方公式可求解；
（3）过点A作AH⊥x轴于点H，根据S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE可知当DH=EH时DE最小，由此可得出结论．
【详解】（1）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CO为AB边上中线，AD=2a，DB=2b，
∴OC=（AD+BD）=a+b，
∵∠ACD+∠A=90°=∠ACD+∠BCD，
∴∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2=AD BD，
∴CD=，
由垂线段最短，可得OC≥CD，
∴a+b≥，
当点D与点O重合时等式成立，即当a=b时，a+b取得最小值2仍然成立；
（2）解：∵a＞2，
∴(－)2≥0，
∴a－2+≥2××=4，
∴当=时，a－2+有最小值为4，
∴a=4时，y=a++3=a－2++5有最小值为9，
故答案为：4，9；
（3）解：如图所示，过点A作AH⊥x轴于点H，
∵S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE=DE |yA|+DE OF
=DE（|yA|+OF），
∴当DH=EH时DE最小，
∵A点的横坐标为2，
∴A点坐标为(2，5)，
∴AH=5，
∴DE最小为10，
∴四边形ADFE面积的最小值=×10×（5+4）=45．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了完全平方公式，反比例函数的性质等知识，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容．在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值，则当且仅当a、b满足a=b时，a+b有最小值2是解答此题的关键．
58．任务1： ，；任务2：劣弧的弓高为米；任务3：遮阳篷点上升高度的最小值为米．
【分析】任务1：由题意得：，，，得到，，进而推出，在中，，得到，在中，，得到，结合，，即可求得，的长；
任务2：已知，得到是直径，取的中点，过点作交于点，即点是圆心，已知，，求得，根据是的中点，求得，已知，得到，结合，得到，进而得到，求得，，得到，结合是直径，点是圆心，得到，结合，，即可得到即为劣弧的弓高，根据，即可求得劣弧的弓高；
任务3：过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与相交于点，与相交于点，
根据，得到，在中，结合，得到
，进而得到，结合，可知点与点重合，连接，过点作，得到 ，在中，得到，设，则，根据，，得到，同理得到，，，
即可证明四边形是矩形，进一步得到，，，
，，结合是半径，得到，
在中，根据勾股定理求出的值，即可求得遮阳篷点上升高度的最小值．
【详解】任务1：
如图所示：
由题意得：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
又∵，，则，
∴，
∴，
即，；
任务2：
如图所示：
∵，
∴是直径，
取的中点，过点作交于点，即点是圆心，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由题意可知：是直径，点是圆心，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴即为劣弧的弓高，
∴，
∴劣弧的弓高为米；
任务3：
如图所示：
过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与相交于点，与相交于点，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴点与点重合，
连接，过点作，
∵，
∴，
在中，，
设，则，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，，
又∵是半径，
∴，
在中，
∵，，，
则，
∴，
解得：（舍），，
∴，
∴遮阳篷点上升高度的最小值为米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
59．规划一：[任务 1]选择点和点；，，，测得图上；[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；规划二：[任务 1]选择点和点．[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；
【分析】规划一：[任务 1]选择点和点,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上
[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解；
[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，
规划二：[任务 1]选择点和点．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上；
[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．根据，，得出，．根据，得出，然后根据，得出，进而即可求解．
[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，即可求解．
【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．
规划一：
[任务 1]选择点和点．
，，，测得图上．
[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，

则，设．
∵，，
∴，．
∵，
∴
解得，
∴．
∵，
∴，
∴．
[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得，解得，
∴发射塔的实际高度为米．
规划二：
[任务 1]选择点和点．
，，，测得图上．
[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．

∵，，
∴，．
∵，
∴，解得，
∴．
∵，∴，
∴．
[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得，解得．
∴发射塔的实际高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
60．素材：；规律总结：49，99，101；综合应用：4356；拓展延伸：64或216
【分析】素材：设未知数，列方程求解即可；
规律总结：根据左边数与右边中间一个数或两个数的平均数的关系求解即可；
综合应用：找出规律，根据规律进行计算即可求解；
拓展延伸：根据题意，验证求解．
【详解】解：素材：设，
解得：，
，
故答案为：；
规律总结：设，
解得：，
当时，，，
故答案为：49，99，101；
综合应用：，
，
，
，
…
，
拓展延伸：当时，，
解得：，
此时，
当时，，
解得，
此时，
故答案为：64或216．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，有理数的加法运算，指数方程，利用方程思想是解题的关键．
61．任务一，该车进入隧道时的速度为；任务二，；任务三，该车超速．
【分析】任务一，设当该车进入隧道时的速度为v，根据题意列出一元一次方程，即可求解；
任务二，设，利用待定系数法求得，计算当时，即可求解；
任务三，设第二次闪光与第一次闪光的时间差为，对应的速度为，利用梯形面积公式求得的值，据此求解即可．
【详解】解：任务一，设当该车进入隧道时的速度为v，
由题意得，
解得；
任务二，设，
把代入，得，
解得，
∴，
∵90千米/小时，
∴当时，；
任务三，设第二次闪光与第一次闪光的时间差为，对应的速度为，
则，
由梯形面积得，
∴或98（舍去），
∴，
∴，
∴该车超速．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解“图形面积的数值与运动距离”以及“用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速”是解题的关键．
62．任务1：；任务2：；任务3：4．
【分析】任务1：根据折叠的性质求解即可；
任务2：根据正方形的性质可求出，再求出，进一步可得出结论；
任务3：根据等腰直角三角形的性质得到，得到，同理得到各角相等，根据等腰直角三角形的性质得到，同理证明各边相等，根据正八边形的定义证明结论．
【详解】解：任务1：∵正方形，且是对角线，
∴
∵是对称轴，
∴
任务2：连结，，
∵正方形，且是对角线，
∴
∵是对称轴，
∴，，垂直平分，
∴
∴
，
∴．
又∵，
∴四边形是正方形．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
任务3：如图，设连接
由折叠的性质可知，
由任务2可得，四边形为正方形，
∴，
由勾股定理得，，
∴
∴
如图，
∵是等腰直角三角形，
同理可得，
∴
同理可得，
∵
∴
同理可得，
∴八边形是正八边形．
所以，将正方形纸片折出正八边形的八个顶点，最少需要4次折叠．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
63．任务一：见解析，；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；；任务三：两种方案，见解析
【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；
任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；
任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解．
【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
64．任务1：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱；任务2： ；任务3：选择活动二更加优惠，理由见解析
【分析】（1）根据晓琳家每三天用一包清风纸巾，180天用60包，每包12袋，即可得出答案，同理即可求出4D溶纸多少箱．
（2）根据题意需要清风纸巾需要，4D纸巾需要，然后根据活动二计算即可得出答案．
（3）根据晓琳家的存货情况半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾，再根据两种活动分别计算，然后比较即可得出答案．
【详解】任务1
解：（包）（袋）
（包） （箱）
答：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱．
任务2
清风纸巾，
4D纸巾，
元，
故答案为：．
任务3
∵清风牌纸巾已有存货1袋，
∴半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾．
参加活动一：返券情况
①满200元送60元券 （元）
还需支付（元）
实付（元）．
②满300元送90元券 （元）
，无需再支付， 实付300（元）．
参加活动二：当时，（元）．
所以，选择活动二更加优惠．
【点睛】本题考查有理数混合运算的应用题，读懂题意，充分理解本店的活动，列出算式是解题的关键．
65．（1）；（2）元；（3）小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为8件，1件．
【分析】（1）根据寄送12千克花费44元列出方程求出m的值，进而求出y关于x的函数关系式即可；
（2）分若单件寄送，若分两件寄送，若分三件寄送，三种情况分别计算出寄费即可得到答案；
（3）设有杨梅需要寄送，设的余数为n，推出当时，采用超过的寄送方式最省钱，当，采用分两件不超过的寄送方式省钱；设小聪购买的杨梅一共分y件不超过的寄送方式，则，求出最大值为9，进而推出最省钱的寄送方式应该是8件不超过的寄送，一件超过的寄送，计算出8件不超过的寄送方式的总花费为元，寄送的总花费为元，寄送的总花费为元，由于，则一件超过的寄送的杨梅数量是，即可得到小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为8件，1件．
【详解】解：（1）由题意得，，
∴，
∴；
（2）当元，
若单件寄送，则需寄费元，
若分两件寄送，则需寄费元，
若分三件寄送，则需寄费元，
∵，
∴寄送杨梅的最省费用为元；
（3）设有杨梅需要寄送，设的余数为n，
当时，，
当时，，
∴当时，采用超过的寄送方式最省钱，当，采用分两件不超过的寄送方式省钱，
设小聪购买的杨梅一共分y件不超过的寄送方式，
由题意得，，
解得，
又∵时正整数，
∴最大值为9，
∴还剩下元，
∵的余数小于5，
∴最省钱的寄送方式应该是8件不超过的寄送，一件超过的寄送，
∵8件不超过的寄送的寄费为元，，，，
∴一件超过的寄送的杨梅数量是，
∴小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为8件，1件．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
66．任务一：作图见解析，；任务二：绳子不能顺利甩过所有队员的头顶，理由见解析；任务三：
【分析】任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，建立直角坐标系，用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；
任务二：求出当时，当时的函数值，在和队友的身高比较即可；
任务三：两路并排，，一排5人，求出时，或，即可得到答案．
【详解】解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，，建立直角坐标系，如图：

由已知可得，，在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
任务二：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
名同学，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的位男同学所在位置横坐标分布是，和，
当时，，
∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，
同理当时，，
∴绳子不能顺利的甩过女队员的头顶；
∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；
任务三：
两路并排，一排人，
当时，，
解得或，
但第一位跳绳队员横坐标需不大于（否则第二、三位队员的间距不够米）
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，建立适当的平面直角坐标系，把二次函数同实际生活结合起来．
67．任务一：；任务二：闸门没有打开；任务三：
【分析】任务一：利用勾股定理求出，从而得解；
任务二：过点E作于F，设，则，利用得到，从而求出，利用求出，从而得到，从而计算出车辆以最高限速行驶到达B点的时间，从而得解；
（3）求出达到B点恰好闸门打开时的长度，从而求出，继而求出此时的值，再根据即的最大范围是，确定的取值范围．
【详解】解：任务一：∵，长，
∴
∴的值为：
任务二：闸门没有打开，理由如下：
过点E作于F，

∵，
∴设，则，
∵，
∴
∴
∴
∴
，
解得：
∴
∴车辆以最高限速行驶到达B点的时间为：秒，
∴闸门没有打开；
任务三：假设达到B点恰好闸门打开，则，
由任务二可知：
∴，
此时
∵即的最大范围是，
∴的取值范围是
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线是解题的关键．
68．米；他的头顶不会碰到遮阳蓬面；米，
【分析】任务1，作于M，解直角三角形即可；任务2，类比任务1的方法，求出的长，和小明身高比较即可；任务3，分别求出12点、14点时，小明所站位置离墙角距离（）即可．
【详解】解：任务1，作于M，
所以，四边形是矩形，
根据题意得，米，
因为米，
所以米，
12点太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值是4，
所以，解得米．
；
任务2，作于F，，交于G，于H，

∵米，米，
∴米，米，
∵米，
∴米，
由辅助线作法可知，四边形是矩形，
∴米，
∴，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴，即，
∴米，
∵，
∴他的头顶不会碰到遮阳蓬面．
任务3，由任务2可得，米，
∴，
∴米，
∵，
∴米，
∵米，小于1米，
设小明在点位置时，头顶刚好碰到遮阳蓬面，
所以米，
米，
∵，
∴米，
米，
的求值范围是米，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形解决问题．
69．任务一：小晨到点的距离为；任务二：画图见解析，证明见解析；任务三：画图见解析，拱桥是否呈抛物线形，计算说明见解析；项目复盘：误差的原因，激光不一定垂直于水平面
【分析】任务一：根据素材一可得，如图所示，设点为圆心，，过点作交于点，连接交于点，连接，设，则，在中，，根据勾股定理求得，在中，，进而即可求解．
任务二：根据题意画出图形，根据相似三角形的性质与判定即可求解；
任务三：根据题意求得抛物线解析式，进而根据公式求得点是否在抛物线上，即可求解．
【详解】解：任务一：如图所示，根据素材一可得，如图所示，设点为圆心，，过点作交于点，连接交于点，连接，

设，则，
在中，
即，
解得：，
即，
∴，
在中，
即
解得：
即
∴小晨到点的距离为；
任务二：如图所示，

∵，
∴，，
∴
∴
依题意，,,，
∴
∴
任务三：如图所示，以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
∵
∴,,,
设抛物线解析式为
将点代入得，
解得：；
∴抛物线解析式为
依题意，，
∴，
∴，
当时，
∴点在抛物线上
即拱桥是否呈抛物线形．
项目复盘：可能造成误差的原因，例如激光不一定垂直于水平面，
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，二次函数的实际应用，相似三角形的实际应用，综合运用以上知识是解题的关键．
70．任务：花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式；任务：花生垄宽范围为大于等于米，小于等于米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米；任务：方案：花生垄，木薯垄，总产量为；，，．
【分析】任务1：用待定系数法可得花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式；
任务2：当时，得，，故要使，需满足，即可得花生垄宽范围为大于等于米，小于等于2米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米；
任务3：设木薯垄垄宽为米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米，结合任务2可知，由，，可知有3种方案，即可得到答案．
【详解】解：任务1：设，把、、代入得，
，解得，
花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式；
任务2：当时，，
解得，，
要使，需满足，
，即花生垄宽范围为大于等于米，小于等于2米，木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米；
任务3：设木薯垄垄宽为米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米，
，
，
，，
共3种方案：
方案一：花生6垄，木薯6垄，此时，解得：，
则，，
此时花生垄宽，单位产量为，
∴总产量为；
方案二：花生5垄，木薯6垄，此时，解得：，
则，，
此时花生垄宽，单位产量为，
∴总产量为；
方案三：花生6垄，木薯5垄，此时，解得：，
则，，
此时花生垄宽，单位产量为，
∴总产量为；
故答案为：5，6，200．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题求解．
71．任务1：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个；任务2：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭 30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个；任务三：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券 10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋
【分析】任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，列分式方程，解方程即可求解；
任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，根提素材2可列方程：，再结合，都不少于20，且是10的倍数，即可作答；
任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋，即：，根据任务二中的购买方案，结合兑换后，米鸭蛋与咸青团个数相等，可以列出二元一次方程，再结合，，，，m、t均为正整数，即可作答．
【详解】解：任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，
根据素材1可列方程；，解得
经检验，是原方程的解，
∴（元/个）
答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个．
任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，
根提素材2可列方程：，
∴，
∵，都不少于20，且是10的倍数，
∴，，．
答：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭 30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个；
任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，
设用其中的t张兑换中小学教育资源及组卷应用平台
项目化试题总汇
一、解答题（78题）
1．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）根据以下素材， 尝试解决问题．
【素材1】甲菜农有6筐蔬菜， 每筐质量在20千克左右，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图．超过20千克的以170元/筐的价格售出，其余三筐以9元/千克销售，全部售出．
【素材2】乙菜农将蔬菜堆放在一起进行销售，售出的蔬菜质量比甲菜农少20千克，
其中80千克以10元/千克销售，剩下的部分按八折全部售出．
【问题解决】
(1)求甲菜农售出最重的一筐蔬菜的质量；
(2)求乙菜农售出的蔬菜的总质量；
(3)甲、乙菜农的蔬菜全部售出后，比较哪一位菜农的销售额更高，高多少元？
2．（2022秋·浙江温州·八年级乐清外国语学校校考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计游览时间方案？
素材1 某风景区内的公路如图1所示．景区内有一班免费的电动汽车匀速在飞瀑和古刹之间不间断的来回载客（上下车时间忽略不计）．
素材2 小聪在景区飞瀑游览完后，14:00乘坐电动汽车前往草甸，小聪和电动汽车离飞瀑的路程s（米）与经过的时间t（分）的函数关系如图2所示．小聪游玩古刹后在17:30前返回飞瀑处，且在古刹和塔林的游览时间均不少于50分钟．
问题解决
任务1 确定车速 电动汽车的平均速度是 米/分．
任务2 探究时间 求小聪到达塔林的时间．
任务3 拟定游览时间方案 请你设计一种符合条件的游览时间方案，并指出小聪在塔林游览的时间及他坐几点的车返回飞瀑处．
3．（2023春·福建福州·八年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何利用“漏壶”探索时间
素材1 “漏壶”是一种古代计时器，数学兴趣小组根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱（圆柱的最大高度是厘米）组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
素材2 实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的部分数据如右表所示： 时间小时……圆柱体容器液面高度（厘米）……
问题解决
任务1 描点连线 在如图2所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
任务2 确定关系 请确定一个合理的与之间函数关系式，并求出自变量的取值范围；
任务3 拟定计时方案 小明想要设计出圆柱体容器液面高度和计时时长都是整数的计时器，且圆柱体容器液面高度需满足厘米厘米，请求出所有符合要求的方案．
4．（2023·河南驻马店·统考三模）杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，某校开展了“亚运知识”的主题知识竞赛活动（百分制）．七八年级学生均参与了此次竞赛．
校团委分别从七，八年级同学的竞赛成绩中各抽查了50名同学的成绩．整理如下：
素材一：七年级50名同学的成绩分布
分数段
频数（人数） 8 12 18 12
素材二：七年级50名同学成绩的统计量
统计量 平均数 中位数 众数 方差
数据 84 m n 126
素材三：八年级50名同学成绩的统计量
统计量 平均数 中位数 众数 方差
数据 84 82 83 230
素材四：七年级在范围内的学生成绩：
80，80，81，81，82，82，83，84，85，85，86，86，86，86，87，88，88，89．
请根据以上信息，解决以下问题：
(1)已知七年级50名学生成绩的众数落在范围内，则______， ______；
(2)据以上所给的数据，你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由；
(3)已知该校七年级共有学生1500名，请估计该校七年级竞赛成绩在范围内的学生的人数．
5．（2023·浙江绍兴·统考一模）某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：
素材 内容
素材1 高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线（实线部分），线段，线段绕y轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）．图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线（虚线部分）绕y轴旋转形成的立体图形．
素材3 已知，图2坐标系中， mm，记为，，，，．
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
(1)求抛物线和抛物线的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为30mm，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？（结果保留）
(3)当杯子水平放置及杯内液体（无泡沫）静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？
6．（2023·浙江温州·校考三模）解答
如何设计摇椅椅背有坐垫长度？
素材一 某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图．其中为椅背，为坐垫，C，D为焊接点，且与平行，支架所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O．设计方案中，要求A，B两点离地面高度均为5厘米，A，B两点之间距离为70厘米．
素材二 经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为厘米，设计时有以下要求：（1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时（如图3），F点比E点在竖直方向上至少高出12厘米．（）
任务一 计算底座半径 根据素材求底座半径．
任务二 探究摇摆规律 计算图3中点B距离地面的高度．
任务三 设计椅背、坐垫长度 （1）求椅背FC的长度范围．（2）在表格中填入一种符合要求的方案．椅背长度坐垫长度____________________
7．（2023春·浙江温州·七年级统考期末）根据以下素材，探索解决任务．
确定什锦糖的销售量
素材1 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克．
素材2 商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示．小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元．
素材3 小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖．
问题解决
任务1 确定A型单价 每份什锦糖A需要多少元？
任务2 确定B型配比 每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？
任务3 确定销售量 本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？
8．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）根据以下素材，探索完成“问题解决”中的任务1和任务2.
让学生了解班级粮食浪费现状，体会浪费粮食的危害
背景 为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．
素材1 从七、八年级中随机抽取了10个班的餐厨垃圾质量，数据如下（单位：）七年级八年级
素材2 餐厨垃圾质量用x表示，分四个等级：A：；B：；C：；D：．（备注：餐厨垃圾质量越小，说明光盘行动落实越到位）
素材3 七八年级抽取的班级餐厨垃圾数据分析表年级平均数中位数众数方差A等级所占百分比七年级a八年级bc
问题解决
任务1 数据处理 （1）求出素材3表格中的a，b，c的值；
任务2 数据分析 （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好，请说明理由（写出一条理由即可）．
9．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）根据以下素材，完成探索任务：
如何故剪出符合要求的矩形纸片？
素材1 如图1，是腰长为的等腰直角三角形卡纸，甲，乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的矩形纸片，并使长方形的四个顶点都在的边上．
素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为的矩形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为的矩形纸片，丙同学想裁出面积最大的矩形纸片．
任务1 计算矩形纸片的边长 请帮甲同学计算此矩形纸片的两边长
任务2 计算矩形纸片的面积 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积
任务3 计算矩形纸片的最大面积 请帮丙同学计算出面积最大的矩形纸片的面积
10．（2023春·浙江温州·八年级苍南县灵溪镇第一中学校考阶段练习）根据以下提供的素材，完成任务．
如何制定商店的销售定价方案
根据以下商店提供的信息，请你设计一个合适的商品定价方案．
素材一：商品成本：元/件，每天进货件，并且全部卖出；商品有两种包装，目前的售价和日销量如下表：
包装 包装
售价（元/件）
日销售量（件）
素材二：
为了增加盈利，该商店准备降低包装商品的售价，同时提高包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，包装商品售价每降低元可多卖出件，包装商品售价每提高元就少卖出件．商店发现若按照当前的总销量销售两种包装商品，最大总利润为元．
素材三：
销售一段时间后，商店发现若减少两种包装商品的总销量，两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将两种包装商品的总销量减少件．
【问题解决】
任务一：探究商品销量
设每件包装商品售价降低元（为整数），用含的代数式表示降价后包装商品每日的总销售量为________件．
任务二：探究商品售价
在每日两种包装商品的总销量为件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时两种包装商品的售价．
任务三：确定定价方案
请设计一种两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过元．（直接写出方案即可）
11．（2023·浙江·统考中考真题）根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
12．（2023·统考二模）根据收集的素材，探索完成任务，展示成果与反思．
素材1：为了了解房屋南北楼间距对采光的影响，经查资料：南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离，按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小间隔距离（即最小楼间距），最小楼间距（表示南面房屋顶部至地面高度，表示北面房屋最底层窗台至地面高度，表示某地冬至日正午时的太阳高度角，，单位为m）．
素材2：温州某小区一期有若干幢大厦，每幢最底层窗台到地面高度均为1.2m．其中有南北两幢大厦，位于南侧的大厦共有15层，每层高为2.8m，小明根据冬至日正午的太阳高度角，算得南北两幢大厦最小楼间距为51m．
素材3：小明住在一期某大厦，因该小区进行二期建房，在她家南向新建了一幢大厦，她在自家离地面32m高的窗台C处测得大厦顶部E的仰角为15.75°和大厦底部A的俯角为30°（如图所示）．

（参考数据：，）
【任务探究】
(1)任务1：该小区冬至日正午时的太阳高度角为，求的值．
(2)任务2：该小区二期新建的大厦高度约为多少m？（结果精确到0.1m）
【成果与反思】
(3)二期新建的大厦共有17层，每层高都相等．按国家规范设计冬至日房子窗户获得不低于1小时满窗日照的标准，请通过计算判断二期建房是否存在违规？如有违规，请提出至少需要拆除几层才能符合国家规范设计．
13．（2023春·吉林·七年级阶段练习）根据下表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接年亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买、两种款式的咖啡作为奖品．
素材 若买杯款咖啡、杯款咖啡，共需元；若买杯款咖啡、杯款咖啡，共需元．
问题解决
任务1 求款咖啡和款咖啡的销售单价各是多少元
任务2 小明购买、两种款式的咖啡两种都要，刚好花元，间有哪几种购买方案
14．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图1，湖中有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下：x（米）0234y（米）121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求y关于x的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
15．（2022秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务.
如何确定箭头形指示牌
素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图.该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线小聪测量了点A到的距离为米，米，米.
素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米元，乙材料的单价为每平方米元.
问题解决
任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由.
任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过元，请你确定长度的最大值.
16．（2022秋·浙江衢州·九年级衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）校考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定隧道的限高？
素材1 从小清家到附近山区的一条双行线公路上有一个隧道，在隧道口有一个限高标志（如图1），表示禁止装载高度（车顶最高处到地面）超过的车辆通行．那么这个限高是如何确定的呢？
素材2 小清通过实地调查和查阅相关资料，获得以下信息：①隧道的横截面成轴对称，由一个矩形和一个弓形构成．②隧道内的总宽度为，双行车道宽度为，隧道圆拱内壁最高处距路面，矩形的高为，车道两侧的人行道宽．③为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少．
问题解决
任务1 计算半径 求图1中弓形所在圆的半径．
任务2 确定限高 如图2，在安全的条件下，的限高是如何确定的？请通过计算说明理由．（参考数据：，结果保留一位小数）
任务3 尝试设计 如果要使高度不超过，宽为的货车能顺利通过这个隧道，且不改变隧道内的总宽度（）和矩形的高（），如何设计隧道的弓形部分（求弓形所在圆的半径至少为多少米？）（参考数据：，结果保留一位小数）
17．（2022秋·九年级统考期中）根据以下素材，探索完成任务
如何设计高架桥的限高及车道宽方案？
素材1 图1高架桥是一段圆弧拱形结构，图2是它的示意图．经测量，拱形跨度24m，拱顶离地面6m．
素材2 如图3，某道路规划部门计划将左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽3m，每条机动车道宽均为m．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员（限高即图中的高度）
素材3 如图4，由于城市道路绿化需求，道路规划部门确定新方案为在非机动车道和机动车道一之间增加一条宽为1m的绿化带，中间绿化带宽度不变，每条机动车道道宽均不小于m且相等，非机动车道最高高度不小于m．
问题解决
任务1 确定桥拱所在圆弧的半径． 在图2中补好图形，标注字母、数据等信息，求出桥拱所在圆弧的半径长．
任务2 探究原计划该高架桥下方机动车道一的限高要求． 在图3中画出图形，标注字母、数据等信息，计算确定机动车道一的限高高度．
任务3 拟定新方案下非机动车道和机动车车道宽度． 给出一对符合新方案要求的非机动车道和机动车道的道宽值．（参考数值：，）
18．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）根据以下素材，探索完成任务
如何运输最省
素材一 为做到“动态清零”，市卫生防疫部门需运输一批疫苗到某县，现有冷链车A 和 B型两种运输车，其中型冷链运输车一次可运输200盒疫苗，型冷链运输车一次可运输150盒疫苗．
素材二 型冷链运输车一次需费用元，型冷链运输车一次需费用元．
问题解决
任务1 若某县需要1500盒疫苗，市卫生防疫部门只安排型冷链运输车，则至少需型冷链运输车多少辆？
任务2 市卫生防疫部门用上述两种冷冻车共12辆运输这批疫苗若运输疫苗不少于2100盒，且总费用小于元请你列出所有的运输方案．
任务3 在任务2的条件下，由于A型和 B型两种运输车，运输时走不同高速路线，A型需a元过路费， B型元过路费，求如何安排两种车型运输的过路费总和最少？
19．（2022秋·八年级统考期中）根据以下素材，探索完成任务．
三角形背景下角的关系探索
素材1 如图，已知等腰中，，在腰的延长线上取点E，连结，作的中垂线交射线于点D，连结．
素材2 研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形．可能需要分类讨论．
素材3 当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法．
问题解决
任务1 补全图形 请根据素材1，把图形补全．你画的点D在点C的 ___________一侧．
任务2 特例猜想 有下列条件：①；②；③；④；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出和的大小，并猜测与的数量关系．
任务3 一般结论 请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出与的数量关系，并说明理由．
任务4 拓展延伸 除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出与的数量关系．
20．（2023·浙江·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．
素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．
问题解决
任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，求抛物线的函数关系式．
任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．
任务3：拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
21．（2023秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的距．
任务3 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
22．（2023秋·浙江衢州·九年级校联考期末）根据以下素材，探索完成任务
如何设计纸盒
素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒．
素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。
问题解决
任务1 初步探究：折一个底面积为无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由
23．（2023春·浙江·九年级校考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计花边绘制的方案？
素材 某中学美工社团计划用一“抛物线型”模具设计花边，图1为模具的形状，其高度为．现将该模具完全放入长、宽分别为，的矩形纸片中（如图2），发现恰好能绘制出一幅有5个连续花边组成的图案．
问题解决
任务1 确定模具形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求出最中间花边的函数表达式．
任务2 设计过程一 如图3，将模具的一部分放入纸片，恰好绘制出一排含有20个连续花边的图案（花边高度一致），求花边高度h的值．
设计过程二 为了环保，将原矩形纸片四等分，得到的矩形纸片，并在该纸片上进行绘制；为了增加美观性，要求绘制时满足以下条件：①花边高度．②每两个相邻花边之间需要有的间隔．③要求在符合条件处均进行绘制，且绘制后的花边图案成轴对称分布．给出一种符合所有绘制条件的花边数量，并求出花边图案的左端与纸片左边缘的水平距离．
24．（2022秋·浙江温州·九年级乐清外国语学校校考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 据调查，该商品的网上销售价为60元/件时，平均每天销售量是200件，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出件．
素材3 该公司在实体店的销售价定为80元/件．据调查，该实体店的销售受网上影响，其销售量为件．
问题解决
任务1 确定函数模型 ①求网上每天销售该商品的毛利润y（元）关于x的函数表达式．②求该公司每天销售该商品的总毛利润W（元）关于x的函数表达式．（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）
任务2 探究函数最值 当该小商品的网上销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大？最大总毛利润是多少？
任务3 拟定价格方案 经综合分析，该公司认为总毛利润在元时，是每天销售这种商品的最佳方案．请给出适合公司最佳方案的一个该商品在网上销售的价格，并指出相应的总毛利润．
25．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图1，湖中有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米，当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下：x（米）0234y（米）121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过．如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求y关于x的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
26．（2022秋·浙江温州·九年级校联考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水池喷头的安装方案？
素材1 图1中有一个直径为的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着一个直径为的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱距水池中心处到达最高，高度为．
素材2 如图3，拟在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头（喷射水柱竖直向上，高度均为）；相邻两个直线型喷头的间距均为，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，任选一条抛物线求函数表达式．
任务2 确定石柱高度 在你所建立的坐标系中，确定水柱汇合点M的纵坐标．
任务3 拟定设计方案 请给出符合所有要求的直线型喷头的安装数量，并根据你所建立的直角坐标系，求出离中心O最远的两个直线型喷头的坐标．
27．（2023·甘肃兰州·统考二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如素材一的图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材2 若准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的距离．
任务2 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
28．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼询问距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
29．（2023·河南信阳·校联考二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图1，某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线。记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下：x（米）0234y（米）121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求y关于x的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
30．（2023春·四川广安·九年级广安二中校考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水装置的高度？
素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为1.8米．
素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置（，并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件：①水柱的最高点与点P的高度差为；②不能碰到图2中的水柱；③落水点G，M的间距满足：．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标．
任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度．
31．（2023·浙江·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务．
如何给桥护栏挂小彩灯
素材1 图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图案，彩灯沿抛物线摆放
素材2 方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离h为0.7米．方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余
任务 问题解决
一 确定抛物线形状 求出模板抛物线的函数解析式
二 确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案 求出其中一条抛物线图案的宽度．每边这样的图案最多可以摆放几个？
三 设计方案三摆放方案 确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案
32．（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计宣传牌？
素材 如图是长方形宣传牌，长，宽，拟在上面书写个字．（1）中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的倍．（2）四周空白部分的宽度相等．
素材 如图，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中逢间距相等．
素材 如图，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为：．
问题解决
任务 分析数量关系 设四周宽度为，用含的代数式分别表示设计部分的长和宽．
任务 确定四周宽度 求出四周宽度的值．
任务 确定栏目大小 （1）求每个栏目的水平宽度．（2）求长方形栏目与栏目之间中缝的间距．
33．（2023·浙江·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务.
如何拟定计时器的计时方案？
问题背景 “漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图1），它是中国古代人民对函数思想的创造性应用.
素材1 为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶”的水位，如图2，若打开出水口B，水位就稳定在位置，随着“受水壶”内的水逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间，小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器.
素材2 实验发现，当打开不同的出水口时，水位可以稳定在相应的高度，从而调节计时时长T（即“受水壶”到达最高位200mm的总时间）.右表是记录“漏水壶”水位高度h（mm）与“受水壶”每分钟上升高度x（mm）的部分数据，已知h关于x的函数表达式为：. h（mm）…72162288…x（mm/min）…101520…
问题解决
任务1 确定函数关系 求h关于x的函数表达式.
任务2 探索计时时长 “漏水壶”水位定在98mm时，求计时器的计时时长T.
任务3 拟定计时方案 小明想要设计出“漏水壶”水位高度和计时时长都是整数的计时器，且“漏水壶”水位需满足112.5mm～220.5mm（含112.5mm，220.5mm）.请求出所有符合要求的方案.
34．（2023春·浙江·七年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
35．（2023·浙江·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图2所示，其中支架，．
素材2 已知大棚共有支架根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），现有改造经费元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出的最大值．
36．（2023·山东德州·统考一模）根据以下素材，探索完成任务：
如何设计喷水池喷头的安装方案？
素材1 图1中有一个直径为20m的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着一个直径为1m的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱距水池中心4m处到达最高，高度为6m．
素材2 如图3，拟在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头（喷射水柱竖直向上，高度均为m）；相邻两个直线型喷头的间距均为1.2m，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于OM成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求出右侧抛物线的表达式．
任务2 确定石柱高度 根据任务1你所建立的坐标系，确定水柱汇合点M的纵坐标．
任务3 拟定设计方案 请给出符合所有要求的直线型喷头的安装数量，并根据你所建立的平面直角坐标系，求出离中心O最远的两个直线型喷头的坐标．
37．（2023春·山东德州·八年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．
素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．
问题解决
任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？
任务2 设镇流器补进x件，若，刚补进镇流器的单价为________元，补进灯管的总价为____________（用含x的代数式表示）；
任务3 若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？
38．（2023·浙江温州·校考二模）根据以下素材，探索完成任务．
项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究．
素材一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，， 参考数据：，，
素材二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面．
问题解决
任务一 计算角度 当等于时，______．
任务二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围（精确到）．
任务三 方案选择（选择其中的一种方案进行研究） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板之间的最大间距为多少（精确到）．方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最大可以定制多长（精确到）．
39．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何估算游客人数和门票收入？
素材 今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数月份为万人，月份为万人．
素材 若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有万、万和万并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降元，将有人原计划购买甲种门票的游客和人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． 购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 和
门票价格 元人 元人 元人
问题解决
任务 确定增长率 求月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几．
任务 预计门票收入 若丙种门票价格下降元，求景区月份的门票总收入．
任务 拟定价格方案 将丙种门票价格下降多少元时，景区月份的门票总收入有万元？
40．（2023春·浙江温州·七年级统考期中）根据以下素材，探索完成任务.
如何合理搭配消费券？
素材一 温州市人民政府决定，发放2023年“春暖瓯越·温享生活”消费券（如图），一人可领取的消费券有：A型消费券（满25减10元）2张，B型消费券（满58减20元）2张，C型消费券（满168减60元）1张.
素材二 在此次活动中，小明一家5人都领到了消费券.某日小明一家在超市使用消费券共减了380元，请完成以下任务.
任务一 若小明一家用了2张A型消费券，6张B型的消费券，则用了 张C型的消费券，此时实际消费的最少为 元.
任务二 若小明一家用12张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用消费券张数最少，并求出此时消费券的搭配方案.
41．（2023·福建莆田·统考二模）根据以下思考，探索完成任务．
曼哈顿距离的思考
问题背景 很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．
素材1 如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为，都有．
素材2 在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）．该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站，其中格点位置四通八达．
任务1 探求消防站位置 若火警高危点，消防站的坐标为，且与点的曼距，请求出消防站的位置；
任务2 选择最适合位置 若火警高危点，，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站的是___________；（写出所有正确的序号）A． B． C． D． E．
任务3 拟定最短曼距方案 如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点．若消防站在原点处，请探究消防站到公路（即射线）上一点的曼距的最小值．
42．（2023春·浙江·八年级期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？
任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大．
43．（2023·广东深圳·深圳市海湾中学校考三模）根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．
素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度）907560453015参考数据：，．
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点Q．
问题解决
任务1 确定影子长度 某一时刻测得米，请求出此时影子的长度．
任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3 探究合理范围 小明打算在这天14：00－15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．
44．（2023·浙江温州·校考二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计四边形挂件方案？
素材1 图1是矩形纸板，，；图2是是矩形纸板，，．
w素材2 图3中的三个四边形挂件形状大小均一样，全部由图1，2矩形纸板重叠部分粘贴组成（如图4），现在将这三个挂件竖放，并依次挂在水平横杠上，已知，安装完成后，三个四边形挂件均可绕中心自由旋转，相邻两挂件之间的最小距离为a（），两侧挂件到相邻竖杠（，）的最小距离均为（）．a不小于，且．
问题解决
任务1 确定四边形挂件边的关系． 求的值．
任务2 探究对角线取值范围． 求四边形挂件的对角线长的取值范围．
任务3 拟定设计方案 若的长为正整数厘米，请给出一种符合要求的四边形挂件的周长．并说明理由．
45．（2023·浙江温州·温州市第四中学校考二模）根据以下素材，探索完成任务
如何设计购买方案？
素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．
素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
问题解决
任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格．
任务2 探究经费的使用 若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去A场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案．购买方案门票类型ABC购买数量
46．（2023·浙江温州·统考二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计打印图纸方案？
素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知，点，分别在和上，且，设．
素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为的定位坐标（为坐标原点），计算机可根据点的定位坐标精准打印出图案．
问题解决
任务1 确定关系 用含x的代数式表示：区块Ⅰ的面积＝_____________、区块Ⅱ的面积＝_____________、区块Ⅲ的面积＝_____________．
任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是以为腰的等腰三角形，求所有方案中区域乙的面积或函数表达式．
任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内的整数时，此时的点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点的坐标．
47．（2023·浙江温州·温州市第二十三中学校考三模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计打印图纸方案？
素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知，点，分别在和上，且，设．
素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案．
问题解决
任务1 确定关系 用x的代数式表示：区域Ⅰ的面积______；区域Ⅱ的面积______．
任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含边的三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式．
任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为范围内（包括两端）的整数时，此时的点为最佳定位点，请写出所有的最佳定位点的坐标．
48．（2023·全国·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务．
如何加固蔬菜大棚？
素材1 农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体A处，另一端固定在距离地面2米的对面墙体B处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点P与A的水平距离为3.5米．
素材2 为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米．
问题解决
任务1 确定大棚形状 结合素材1，在图中建立合适的直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）．
任务2 探索加固方案 请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括：①从何处立第一根竹竿；②共需多少根竹竿；③所需竹竿的总长度（写出计算过程）．
49．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何合理设计生产计划？
素材1 某汽车制造公司计划生产A、B两种新型汽车投放到市场销售．已知A型汽车每辆成本30万元，售价35万元；B型汽车每辆成本40万元，售价50万元．
素材2 若生产成本不超过1550万元．
任务一 若生产了10辆A型汽车，则最多生产__________辆B型汽车．
任务二 若一共生产40辆汽车，总利润不低于365万元，则有哪几种生产方案？生产利润最高多少？
50．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案
素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示．某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
问题解决
任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
51．（2023·浙江温州·校联考三模）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定订餐方案？
素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示：套餐类别套餐单价团体订购优惠方案：米饭套餐30元方案一：套餐满20份及以上打9折；方案二：套餐满12份及以上打8折；方案三：总费用满850元立减110元．：面食套餐25元温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用．
素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？
任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式．
任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
52．（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本的数量．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定兑换方式．
53．（2023·浙江绍兴·统考三模）根据以下素材，探索完成任务
如何调整电梯球、落叶球的发球方向
素材1：如图是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分．

素材2：如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．

(1)求足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式，此时足球能否入网？
(2)小梅改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？（上述（1），（2）中球落在门柱边线视同球入网）
54．（2023春·浙江温州·八年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
制作检测酒精的漂浮吸管
素材1 如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2 小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数与液体密度ρ（）之间的几组数据如下表：h（cm）……ρ（）……
素材3 浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为，）：
问题解决
任务1 求ρ关于h的函数表达式．
任务2 由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到）
55．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）根据以下信息，探索完成任务：
如何设计招聘方案？
素材 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装．
素材 调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车．
素材 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资．
问题解决
任务一分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？
任务三：选取最优方案 在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人______ 名直接写出答案
56．（2023春·浙江温州·七年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）根据以下素材，探索完成任务.
奶茶销售方案制定问题
素材1 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元．
素材2 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅配料芝士/杯茉莉清茶/杯杨梅肉多肉 满杯杨梅配料茉莉清茶/杯杨梅肉多肉
素材3 5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2 确定奶茶的成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（）
任务3 拟定最优方案 为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
57．（2022春·四川成都·九年级专题练习）阅读材料：小敏在学习了完全平方公式（a－b）2=a2+b2－2ab时发现，由于（a－b）2≥0，∴a2+b2－2ab≥0，即a2+b2≥2ab，有且只有当a=b时，a2+b2=2ab，即只有当a=b时，a2+b2有最小值2ab；同时对于任意正实数a、b，仅当a=b时，a+b取得最小值2仍然成立．完成任务：
(1)几何验证：如图1，△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD=2a，DB=2b．请你根据图形帮小敏验证“对于任意正实数a、b，仅当a=b时，a+b取得最小值2仍然成立”；
(2)直接应用：若函数（a＞2），则当a=_____时，函数（a＞2）有最小值为______．
(3)探索应用：如图2，已知A为反比例函数y=的图象上一点，A点的横坐标为2，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，－4）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．
58．（2023·浙江·九年级专题练习）根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．
素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．
素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）．
素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变．
【任务1】如图2，求，的长．
【任务2】如图3，求劣弧的弓高．
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）．
59．（2023·浙江温州·统考中考真题）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．

经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度．
任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．
60．（2023春·安徽宣城·九年级校联考阶段练习）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质．
探索数的神秘性质
素材 尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和． 举例论证：；；；请你按规律写出： ．
规律总结 当m是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为 ； 当m为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为 ．
综合应用 利用上面结论计算：．
拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且m，n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”： 若（且m，n均为不大于7的正整数）的分解中有奇数31，则的值为 ．
61．（2023春·浙江温州·八年级期中）根据以下素材，完成探索任务．
判断车辆是否因超速被罚款？
素材一 我国高速公路上的隧道通常限速80千米/小时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在标识与隧道口之间的途中会有测速仪测速，且测速时有闪光．根据交规，若超速以上未达的，处以200元以内罚款．
素材二 在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，函数图象与横轴以及直线所围成的图形（如图的阴影部分）面积的数值等于物体从到这个时间段的运动距离．
素材三 测速仪安装是在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速．
素材四 速度1米/秒千米/小时，某车以108千米/小时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前500米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道用了20秒，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时间．
问题解决
任务一 求该车进入隧道时的速度？
任务二 当第一次闪光时，车速已经降到了90千米/小时，求时间．
任务三 到第二次闪光时，该车又前进了49米，此次该车是否会因超速而被罚款，请通过计算说明理由．
62．（2023·浙江绍兴·统考一模）根据以下素材，操作探索以下任务：
素材1 六边形就是所求的正六边形．
素材2 如图是一张边长为的正方形纸片，将正方形作如下折叠：①沿对角线折叠，得到折痕．②把折叠，得到折痕，使点落在上，记为点．③沿的中垂线折叠，得到折痕（，分别是该折痕与，的交点）．
根据提供的素材2，解决问题：
任务1： 确定角度 求出的度数．
任务2： 探索比值 求出的值（结果保留根号）．
任务3： 思考方法 根据素材2的方法，，就是正八边形的两个顶点，类似地，我们可以折出正八边形的其余六个顶点．深入思考：请利用正方形的对称性思考，将正方形纸片折出正八边形的八个顶点，最少需要______次折叠．
63．（2022·浙江温州·统考中考真题）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
64．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠
素材1 纸巾区域推出两种活动：活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完．活动二：所有商品打8折．注：两种活动不能同时参加．
素材2 晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．
素材3 晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚．
问题解决
任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为______元（用含x的代数式表示）．
任务3 晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程．
65．（2023·浙江温州·校考三模）根据以下素材．探索完成任务．
杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅．
素材1 某快递公司规定：1．从当地寄送杨梅到A市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克．2．寄送杨梅重量均为整数千克．
素材2 电子存单1托寄物：杨梅 包装服务产品类型：某快递公司计量重量：7千克件数：1 总费用：32元 电子存单2托寄物：杨梅 包装服务产品类型：某快递公司计量重量：12千克件数：1 总费用：44元 电子存单3托寄物：杨梅 包装服务产品类型：某快递公司计量重量：15千克件数：1 总费用：62元
问题解决
任务1 分析变量关系 根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用y（元）关于杨梅重量x（千克）之间的函数关系式．
任务2 计算最省费用 若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用．
任务3 探索最大重量 小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式．
66．（2023·浙江温州·统考三模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计跳长绳方案
素材1 图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳人，摇绳2人，共计人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面米．
素材2 某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高米至米，女生身高米至米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少米．
问题解决
任务1 确定长绳形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2 探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3 拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．
67．（2023·浙江温州·校考三模）根据以下素材，探索完成任务．
探究车牌识别系统的识别角度
素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，出车库地面入口斜坡长．
素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头可以调整可识别角度，可识别角度的最大范围是，在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．(参考数据：)
素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．
问题解决 任务一 确定斜坡坡比；如图1，求的值．
任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明．
项目反思 任务三 能否通过调整摄像头的识别角度，使汽车以最高限速行驶时，可以顺利通过闸口，请计算的取值范围．
68．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）根据以下素材，探索完成任务：
素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摇臂OB绕点O旋转过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整.如图2，，米．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：时刻12点13点14点15点角的正切值421
素材 3：小明身高（头顶到地面的距离）约为 1米，如图2，小明所站的位置离墙角的距离（）为 1.2 米.
问题解决
任务1 确定高度 这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点O到墙角的距离（）的长.
任务2 判断是否碰到蓬面 如图2，为不被阳光照射到，旋转摇臂，B的对应点为，使得离墙壁距离为1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他的头顶是否会碰到遮阳蓬面？
任务3 探究合理范围 如图3，不改变的位置，小明打算在这天12-14点之间在遮阳蓬下休息，为使得全程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距离（）的范围．
69．（2023·浙江温州·统考三模）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定拱桥形状？
问题背景 图是一座拱桥，其形状与抛物线和圆形相似． 为了定量的确定拱桥形状，九年（8）班数学、科学项目化学习小组联合开展了本次活动．
素材一 小晨认为可以在桥下不同的位置，用卷尺测量水面到桥的垂直距离（记为），进而确定形状． 经过测量，数学组绘制了图，并得到水面宽为，拱顶离水面的距离为4． 的地方测得
素材二 科学组发现在船上使用卷尺十分不便，所以决定使用激光三角测距法测量． 其测量流程如下：1．在一个底部挖空的圆柱形薯片盒上安装放大镜（焦距），并在一侧的同一高度放置一枚激光笔．另一端盖上瓶盖（半径）；2．让激光垂直照射拱桥，光线会在拱桥发生漫反射，并经过放大镜光心（即圆心），再在瓶盖上形成一个光斑（记为点）；3．测量光斑中心到瓶盖中心的距离，根据公式计算得到的值．注：薯片盒的高度等于焦距． 忽略测量装置与水面的间距和激光发射点到放大镜边缘的距离．
问题解决
任务一 若拱桥呈圆形，且小晨测得，求他到点的距离．
任务二 请在测量示意图（图）中，画出光的传播路径，并直接写出公式的获得原理．
任务三 若小豪在距离点，的地方测得，请在图中建立平面直角坐标系，通过计算判断拱桥是否呈抛物线形．
项目复盘
科学组在实际操作时发现，激光三角测距法相比直接测量的方法有一定的缺点． 请结合生活经验及相关科学知识，写出一条可能造成误差的原因．
70．（2023·浙江温州·统考二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何制定大棚间作方案？
素材 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量如图是一个长米，宽米的大棚，如图，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为：，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚．
素材 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在，花生的单位产量（）与垄宽（）有近似的二次函数关系如图所示，种植时，要求花生单位产量不低于．
问题解决
任务 确定函数关系 求花生单位产量关于花生垄宽的函数表达式．
任务 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围．
任务 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和．花生垄个数：______；木薯垄个数：______；产量之和：______．评价标准优秀方案：；良好方案：；合格方案：．注意：Q（）为产量之和!
71．（2023春·浙江·七年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务
设计购买欲兑换方案
素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买成青团的数量少了4个．”
素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数．
素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同
问题解决
任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价
任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式
72．（2023·浙江温州·校考三模）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定酒精喷雾机的有效杀菌距离
素材1 图1是一款电动酒精喷雾机、其上下喷孔相距、L是一竖直放置的平面．喷雾机正对平面喷雾时（如图2）、平面上会形成两个半径为的圆形痕迹（如图3），喷酒后酒精均匀分布、当点与平面的水平距离时，（取3）
素材2 不考虑喷洒过程中酒精在空气中的损耗，喷雾机两孔一次共可喷出酒精．查询资料可知，杀菌百分比和喷洒密度的关系如图4所示．
素材3 经过一次喷洒，当被喷洒平面的杀菌百分比达到70%及以上时，杀菌有效
问题解决
任务1 当被喷洒平面经过点时，确定此时的值．
任务2 ①当被喷洒平面上痕迹未有重叠部分时，为保证杀菌有效，请确定的范围②当被喷洒平面上痕迹有重叠部分时，重叠部分密度是未重叠部分的2倍、为了使有效杀菌面积最大，______．
73．（2023·浙江温州·统考二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何制定大棚间作方案？
素材1 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量.如图1是一个长米，宽米的大棚，如图2，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚．
素材2 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在素，花生的单位产量y（）与垄宽x（m）有近似的二次函数关系如图3所示. 种植时，要求花生单位产量不低于．
问题解决
任务1 确定函数关系 求花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式．
任务2 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围．
任务3 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和．花生垄个数： ；木薯垄个数： ；产量之和： ．
74．（2023·江苏苏州·苏州市胥江实验中学校校考二模）根据以下素材，探索完成任务．
运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
素材 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
问题解决
任务1 确定心形叶片的形状 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任务2 研究心形叶片的尺寸 如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E，是叶片上的一对对称点，交直线与点G．求叶片此处的宽度．
任务3 探究幼苗叶片的生长 小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线与水平线的夹角为．三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上(如图5所示)．求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．
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试卷第1页，共3页

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