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第2章 对称图形——圆素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2022江苏盐城阜宁期中)下列说法错误的是(　　)
A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
2.(2022山东枣庄中考)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上,点A,B的读数分别为86°,30°,则∠ACB的度数是(　　)
A.28°　　B.30°　　
C.36°　　D.56°
3.(2022山东泰安中考)如图,AB是☉O的直径,∠ACD=
∠CAB,AD=2,AC=4,则☉O的半径为 (　　)
A.2　　C.2
4.【跨学科·艺术】(2022河北中考)某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9 cm,∠P=40°,则的长是(M930207)(　　)
图1　　　　图2
A.11π cm　　B.π cm　　
C.7π cm　　D.π cm
5.(2022内蒙古包头中考)如图,AB,CD是☉O的两条直径,E是劣弧的中点,连接BC,DE.若∠ABC=22°,则∠CDE的度数为 (　　)
A.22°　　B.32°　　
C.34°　　D.44°
6.(2022江苏南京溧水期中)已知☉O的半径为4,直线l上有一点M.若OM=4,则直线l与☉O的位置关系是(　　)
A.相交　　
B.相离或相交
C.相离或相切　　
D.相交或相切
7.(2022安徽中考)已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP=(　　)
A.　　B.4　　
C.　　D.5
8.【教材变式·P91T6】(2022重庆中考A卷)如图,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,过点C的切线与AB的延长线交于点P,若AC=PC=3,则PB的长为 (　　)
A.　　D.3
9.(2022四川德阳中考)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆☉O相交于点D,与BC相交于点G,则下列结论:
①∠BAD=∠CAD;②若∠BAC=60°,则∠BEC=120°;③若点G为BC的中点,则∠BGD=90°;④BD=DE.其中一定正确的个数是(　　)
A.1　　B.2　　
C.3　　D.4
10.(2022江苏苏州模拟)如图,点A,C,N的坐标分别为(-2,0),(2,0),(4,3),以点C为圆心、2为半径画☉C,点P在☉C上运动,连接AP,交☉C于点Q,点M为线段QP的中点,连接MN,则线段MN的最小值为 (　　)
A.　　B.3
C.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2022湖北襄阳中考)已知☉O的直径AB等于2,弦AC长为,那么弦AC所对的圆周角的度数等于　　　　　　.
12.(2022广西玉林中考)如图,在5×7的网格中,各小正方形边长均为1,点O,A,B,C,D,E均在格点上,点O是△ABC的外心,在不添加其他字母的情况下,除△ABC外,你认为外心也是O的三角形有　　 　　　　(写出所有符合条件的三角形).
13.【数学文化】(2022湖南株洲中考)中国元代数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》中记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段,一角圆池占之.”意思是说:“一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切).”
问题:如图,正方形一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方),若AB的长度为10,☉O的半径为2,则BN的长度为　　　　.　
14.(2022湖北荆州中考)如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20 cm,底面圆直径BC=12 cm,球的最高点到瓶底面的距离为
32 cm,则球的半径为　　　　cm(玻璃瓶厚度忽略不计).
15.(2022江苏泰州兴化月考)如图,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为　　　　.(M930206)
16.(2022重庆中考A卷)如图,菱形ABCD中,分别以点A,C为圆心,AD,CB长为半径画弧,分别交对角线AC于点E,F.若AB=2,
∠BAD=60°,则图中阴影部分的面积为　　　　.(结果不取近似值)
17.(2022山东聊城中考)若一个圆锥的底面积是其表面积的,则其侧面展开图圆心角的度数为　　　　.
18.(2022江苏淮安淮阴模拟)如图,☉O是正方形ABCD的外接圆,AB=2,点E是劣弧AD上任意一点,CF⊥BE于F.点E从点A出发按顺时针方向运动到点D的过程中,AF的取值范围是　　　　　　.
三、解答题(共46分)
19.【数学文化】(2022江苏盐城亭湖期末)(10分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的公式:弧田面积=(弦×矢+矢2).如图,弧田由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角
∠AOB为120°,弦长AB=2 m的弧田.
(1)计算弧田的实际面积;
(2)按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米 (取π近似值为3,近似值为1.7)
20.【跨学科·历史】(2022甘肃兰州中考)(10分)综合与实践
问题情境:我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法,如侯马铸铜遗址出土车軎(wèi)范、芯组成的铸型(如图1),它的端面是圆形.图2是用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法:将“矩”的直角尖端A沿圆周移动,直到AB=AC,在圆上标记A,B,C三点;将“矩”向右旋转,使它左侧边落在A,B点上,“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点,这样就用“矩”确定了圆上等距离的A,B,C,D四点,连接AD,BC相交于点O,即O为圆心.
图1 图2
(1)问题解决:请你根据“问题情境”中提供的方法,用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O.如图3,点A,B,C在☉O上,AB⊥AC,且AB=AC,请作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)类比迁移:小梅受此问题的启发,在研究了用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法后发现,如果AB和AC不相等,用三角板也可以确定圆心O.如图4,点A,B,C在☉O上,AB⊥AC,请作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)
(3)拓展探究:小梅进一步研究,发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差,用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差.如图5,点A,B,C是☉O上任意三点,请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O.(保留作图痕迹,不写作法)请写出你确定圆心的理由:　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
21.(2022山东济南中考)(12分)已知:如图,AB为☉O的直径,CD与☉O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,CE平分∠ACB交☉O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F.
(1)求证:CA=CD;
(2)若AB=12,求线段BF的长.
22.(14分)有这样一道习题:如图1,已知OA和OB是☉O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交☉O于Q,过Q点作☉O的切线交OA的延长线于R.求证:RP=RQ.
请探究下列变化:
变化一:交换题设与结论.
已知:如图1,OA和OB是☉O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交☉O于Q,R是OA的延长线上一点,且RP=RQ.求证:RQ为☉O的切线.
变化二:运动探究:
(1)如图2,若OA向上平移,变化一中的结论还成立吗 (不需要证明)
(2)如图3,如果P在OA的延长线上,BP交☉O于Q,过点Q作☉O的切线交OA的延长线于R,原题中的结论还成立吗 为什么
(3)若OA所在的直线向上平移且与☉O无公共点,请你根据原题中的条件完成图4,并判断结论是否还成立.(不需要证明)
图1 图2 图3 图4
答案全解全析
1.B　A.直径是圆中最长的弦,所以本选项的说法正确,不符合题意;B.在同圆或等圆中,长度相等的两条弧是等弧,所以本选项的说法错误,符合题意;C.面积相等的两个圆的半径相等,则它们是等圆,所以本选项的说法正确,不符合题意;D.半径相等的两个半圆是等弧,所以本选项的说法正确,不符合题意.故选B.
2.A　连接OA,OB(图略).
由题意得,∠AOB=86°-30°=56°,
∴∠ACB=∠AOB=28°,故选A.
3.D　方法一:如图1,连接CO并延长交☉O于点E,连接AE,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∵∠ACD=∠CAB,∴∠ACD=∠ACO,∴AE=AD=2,
∵CE是直径,∴∠EAC=90°,
在Rt△EAC中,AE=2,AC=4,
∴EC=,∴☉O的半径为.
图1 图2
方法二:如图2,连接BC,
∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∵∠ACD=∠CAB,∴,∴BC=AD=2,
在Rt△ABC中,AB=,
∴☉O的半径为.
故选D.
4.A　作OA⊥PA,OB⊥PB,OA,OB交于点O,如图,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∵∠P=40°,∴∠AOB=140°,
∴优弧AMB对应的圆心角为360°-140°=220°,
∴优弧AMB的长是=11π(cm),故选A.
5.C　连接OE,∵OC=OB,∠ABC=22°,∴∠OCB=∠ABC=22°,
∴∠BOC=180°-22°×2=136°,∵E是劣弧的中点,∴,
∴∠COE=×136°=68°,∴∠CDE=∠COE=×68°=34°,故选C.
6.D　当OM垂直于直线l,即圆心O到直线l的距离为4时,☉O与直线l相切;当OM不垂直于直线l,即圆心O到直线l的距离小于4时,☉O与直线l相交.
故直线l与☉O的位置关系是相切或相交.故选D.
7.D　如图,过点O作OC⊥AB于点C,连接OB,
则OB=7,
∵PA=4,PB=6,
∴AB=PA+PB=10,
∵OC⊥AB,∴AC=BC=5,
∴PC=PB-BC=1,
在Rt△OBC中,根据勾股定理得OC2=OB2-BC2=72-52=24,在Rt△OPC中,根据勾股定理得OP==5,故选D.
8.D　如图,连接OC,
∵PC是☉O的切线,∴∠PCO=90°,
∵OC=OA,∴∠A=∠OCA,∵AC=PC,∴∠P=∠A,
设∠A=∠OCA=∠P=x°,
在△APC中,∠A+∠P+∠PCA=180°,
∴x+x+90+x=180,∴x=30,∴∠P=30°,
∴OP=2OC,设☉O的半径为r,
在Rt△POC中,OP2=OC2+PC2,
∴4r2=r2+(3)2,∴r=3,
∴PB=OP-OB=2r-r=r=3.故选D.
9.D　∵E是△ABC的内心,∴AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,故①正确;
如图,连接BE,CE,
∵E是△ABC的内心,
∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,
∵∠BAC=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-(∠ABC+∠ACB)=120°,故②正确;
连接OD,∵∠BAD=∠CAD,∴,∴OD⊥BC,
∵点G为BC的中点,∴G一定在OD上,
∴∠BGD=90°,故③正确;
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,
∵∠DBC=∠DAC=∠BAD,
∴∠DBC+∠EBC=∠EBA+∠EAB,
∴∠DBE=∠DEB,∴BD=DE,故④正确.
∴一定正确的是①②③④,共4个.故选D.
10.B　如图1,连接CM,OM,
图1
∵A(-2,0),C(2,0),∴AC=4,O是AC的中点,
∵M是QP的中点,∴CM⊥QP,∴∠AMC=90°,
∴OM=AC=2,
∴点M在以O为圆心,2为半径的☉O上,
如图2,当O、M、N三点共线时,MN有最小值,
图2
∵N(4,3),∴ON==5,
∵OM=2,∴MN=ON-OM=5-2=3,
∴线段MN的最小值为3,故选B.
11.答案 45°或135°
解析　如图,
∵OA=OC=1,AC=,∴OA2+OC2=AC2,
∴∠AOC=90°,∴∠ADC=45°,∴∠AD'C=135°,
故答案为45°或135°.
12.答案 △ABD,△ACD,△BCD
解析　由题图可知,OA=,OB=, OC=,OD=,OE=,
∴OA=OB=OC=OD≠OE,
∴△ABD,△ACD,△BCD的外心都是点O,
故答案为△ABD,△ACD,△BCD.
13.答案 8-2
解析　如图,设正方形的一边与☉O的切点为C,连接OC,则OC⊥AC,
∵四边形是正方形,AB是对角线,∴∠OAC=45°,
∴△AOC为等腰直角三角形,
∴OA=,
∴BN=AB-AN=10-2.
14.答案 7.5
解析　如图,连接AD,设球心为O,过O作OM⊥AD于M,连接OA,
设球的半径为r cm,
由题意得AD=12 cm,OM=32-20-r=(12-r)cm,
由垂径定理得AM=DM=AD=6 cm,
在Rt△OAM中,由勾股定理得AM2+OM2=OA2,
即62+(12-r)2=r2,解得r=7.5,
即球的半径为7.5 cm,故答案为7.5.
15.答案 14
解析　设AE的长为x,正方形ABCD的边长为a,
∵CE与半圆O相切于点F,∴AE=EF,BC=CF,
∵EF+FC+CD+ED=12,∴AE+ED+CD+BC=12,
∵AD=CD=BC=AB,
∴正方形ABCD的边长为4.
在Rt△CDE中,ED2+CD2=CE2,
即(4-x)2+42=(4+x)2,解得x=1,
∴AE+EF+FC+BC+AB=14,
∴直角梯形ABCE的周长为14.
16.
解析　如图,连接BD交AC于点O,则AC⊥BD,
∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴∠BAC=∠DAC=30°,AB=BC=CD=DA=2,
∴在Rt△AOB中,BO=AB=1,AO=,
∴AC=2OA=2,BD=2BO=2,
∴S菱形ABCD=,
∴S阴影=S菱形ABCD-2S扇形ADE=2.
17.答案 120°
解析　设底面圆的半径为r,侧面展开图扇形的半径为R,扇形的圆心角为n°.
由题意得底面积=πr2,底面周长=2πr,
∵这个圆锥的底面积是其表面积的,
∴S扇形=3πr2,扇形弧长=2πr.
∵S扇形=×2πr·R,∴3πr2=×2πr·R,∴R=3r.
∵扇形弧长=,∴2πr=,解得n=120.
故答案为120°.
18.-1≤AF≤2
解析　如图,
∵CF⊥BE,∴∠CFB=90°,
∴点F的运动轨迹是以BC为直径的☉O',连接AO'交☉O'于M.
在Rt△ABO'中,AO'=,∴AM=-1,
∴点E从点A出发按顺时针方向运动到点D的过程中,AF的最小值为-1,最大值为2,
∴-1≤AF≤2.
19.解析　(1)∵OD⊥AB,OD为半径,
∴AC=(m),
∠AOC=∠AOB=×120°=60°,
∴∠OAC=30°,
设OC=x m,则AO=2x m,
在Rt△ACO中,OC2+AC2=OA2,
即x2+()2=(2x)2,解得x=1(舍负),∴OA=2 m,
∴弧田的实际面积=S扇形AOB-S△OAB
=m2.
(2)∵圆心到弦的距离等于1,∴矢长为1,
∴弧田面积=×(2×1+12)=m2,
∴两者之差为≈=0.1(m2).
20.解析　(1)如图,O即为圆心.
(2)如图,O即为所求作的圆心.
(3)如图,O即为所求作的圆心,理由是垂直平分弦的直线经过圆心.
21.解析　(1)证明:连接OC,
∵CD与☉O相切于点C,∴∠OCD=90°,
∵∠D=30°,∴∠COD=90°-∠D=60°,
∴∠A=∠COD=30°,∴∠A=∠D,∴CA=CD.
(2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵∠A=30°,AB=12,∴BC=AB=6,
∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACB=45°,
∵BF⊥CE,∴∠BFC=90°,∴BF2+CF2=BC2,
∴2BF2=36,∴BF=3.
22.解析　证明:连接OQ(图略),
∵RQ为☉O的切线,
∴∠OQR=∠OQB+∠PQR=90°,
又∵OB=OQ,OA⊥OB,
∴∠OQB=∠OBQ,∠OBQ+∠BPO=90°,
∴∠PQR=∠BPO,∴∠PQR=∠QPR,∴RP=RQ.
变化一:
证明:连接OQ(图略),
∵RP=RQ,∴∠PQR=∠QPR=∠BPO,
又∵OB=OQ,OA⊥OB,
∴∠OQB=∠OBQ,∠OBQ+∠BPO=90°,
∴∠OQB+∠PQR=90°,即∠OQR=90°,
∴RQ为☉O的切线.
变化二:
(1)变化一中的结论还成立.
(2)原题中的结论还成立.
理由:连接OQ,
∵RQ为☉O的切线,
∴∠OQR=90°,∠BQO+∠RQP=90°,
又∵OB=OQ,OP⊥OB,
∴∠OQB=∠OBQ,∠OBQ+∠BPO=90°,
∴∠RQP=∠BPO,∴RP=RQ.
(3)原题中的结论还成立,如图.

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