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第7章　锐角三角函数
7.3　特殊角的三角函数
7.4　由三角函数值求锐角
基础过关全练
知识点1　特殊角的三角函数值
1.(2022天津中考)tan 45°的值等于(　　)
A.2　　B.1　　C.
2.【教材变式·P106习题T1】计算:
(1)2sin 30°+3cos 60°-4tan 45°;
(2)+tan260°.
知识点2　特殊角的三角函数值的应用
3.(2022江苏常州金坛月考)已知锐角α满足tan(α+10°)=1,则锐角α的度数为(　　)
A.20°　　B.35°　　C.45°　　D.50°
4.【新独家原创】已知α,β均为锐角,且=0,则tan(2α-β)=　　　　.
知识点3　由锐角三角函数值确定锐角的度数
5.已知sin A=0.56,用计算器求∠A的大小,选项中按键顺序正确的是(　　)
A.2ndFsin0.56=
B.2ndF0.56sin=
C.sin2ndF0.56=
D.sin0.562ndF=
6.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边.
(1)求证:tan A=;
(2)若sin2A-(-1)sin A·cos A-cos 2A=0,求∠A的度数.
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7.(2021山东东营中考,5,★☆☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=42°,BC=8,若用科学计算器求AC的长,则下列按键顺序正确的是(　　)
A.8 ÷ sin 4 2 =
B.8 ÷ cos 4 2 =
C.8 ÷ tan 4 2 =
D.8 × tan 4 2 =
8.(2023江苏苏州振华中学校期中,6,★☆☆)在△ABC中,(2cos A-)2+|1-tan B|=0,则△ABC一定是(　　)
A.直角三角形　　B.等腰三角形
C.等边三角形　　D.等腰直角三角形
9.(2022黑龙江绥化中考,18,★★☆)定义一种运算:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=,则sin 15°的值为　　　　.
10.(2019江苏宿迁中考,17,★★☆)如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,则当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是　　　　　　　.
11.(2022浙江金华中考,17,★☆☆)计算:
(-2 022)0-2tan 45°+|-2|+.
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12.【推理能力】(2018江苏扬州中考)问题呈现
如图①,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N和D,M,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.
问题解决
(1)图①中tan∠CPN的值为　　　　;
(2)如图②,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值;
思维拓展
(3)如图③,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.
答案全解全析
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1.B　tan 45°的值等于1,故选B.
2.解析　(1)原式=2×.
(2)原式=+()2=.
3.B　∵tan(α+10°)=1,tan 45°=1,∴α+10°=45°,∴α=35°,故选B.
4.
解析　∵=0,∴sin α-=0,cos β-=0,∴sin α=,cos β=,∴α=45°,β=30°,∴2α-β=90°-30°=60°,∴tan 60°=.
5.A　已知sin A=0.56,用计算器求锐角A的大小,按键顺序为2ndFsin0.56=.故选A.
6.解析　(1)证明:∵∠ACB=90°,∴tan A=,sin A=,cos A=,∴=tan A.
(2)将sin2A-(-1)sin A·cos A-cos2A=0两边同时除以cos2A,得tan2A-(-1)tan A-=0,解得tan A=或tan A=-1(不合题意,舍去),∴∠A=60°.
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7.D　∵在△ABC中,∠C=90°,∴tan B=,
∵∠B=42°,BC=8,
∴AC=BC·tan B=8×tan 42°.故选D.
8.D　由(2cos A-)2+|1-tan B|=0,得2cos A-=0,1-tan B=0,∴cos A=,tan B=1,∴∠A=45°,∠B=45°,∴∠C=180°-45°-45°=90°,则△ABC一定是等腰直角三角形,故选D.
9.答案
解析　sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°·sin 30°=.
10.
解析　如图,过点B作BC1⊥AN,垂足为C1,BC2⊥AM,交AN于点C2,
在Rt△ABC1中,AB=2,∠A=60°,∴BC1=AB·sin 60°=,在Rt△ABC2中,AB=2,∠A=60°,∴BC2=AB·tan 60°=2,
当△ABC是锐角三角形时,点C在C1、C2之间移动(不与C1,C2重合),此时.
11.解析　原式=1-2×1+2+3=1-2+2+3=4.
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12.解析　(1)2.
(2)如图1,取格点D,连接CD,DM,则CD∥AN,
∴∠CPN=∠DCM,易知△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=∠CDM=45°,∴cos∠CPN=cos∠DCM=.
图1
(3)构造网格,如图2,取格点D,连接AD,DN,则PC∥DN,∴∠CPN=∠AND,易知AD=DN,∠ADN=90°,∴∠AND=∠DAN=45°,∴∠CPN=45°.
图2

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