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二次根式的乘除
【典例归纳】
【知识点1 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：；
②积的算术平方根：；
③二次根式的除法法则：；
④商的算术平方根：.
【知识点2 最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母（分母中不含根式）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【知识点3 分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．
【典例归纳】
【题型1 求字母的取值范围】
【例1】使成立的x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≥2且x≠3 D．x≥3
【训练1-1】若等式成立，则实数k的取值范围是（　　）
A．k B．k＞3或k C．k＞3 D．k≥3
【训练1-2】根据二次根式的性质，若 ，则a的取值范围是（　　）
A．a≤5 B．a≥0 C．0≤a≤5 D．a≥5
【训练1-3】若等式成立，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣2 B．m≥2 C．﹣2≤m≤2 D．m≥4
【题型2 二次根式乘除的运算】
【例2】计算：．
【训练2-1】计算：．
【训练2-2】计算：．
【训练2-3】计算： （）（a＞0）．
【题型3 二次根式的符号化简】
【例3】把x根号外的因式移到根号内，得（　　）
A． B． C． D．
【训练3-1】把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（　　）
A． B． C． D．
【训练3-2】已知xy＜0，把代数式中的x移到根号内，那么这个代数式等于（　　）
A． B． C． D．
【题型4 最简二次根式的概念】
【例4】在下列根式：5，，，中，最简二次根式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【训练4-1】二次根式：，2，，，，，，，是最简二次根式的有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【训练4-2】我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如1是型无理数，则是（　　）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
【题型5 分母有理化】
【例5】若，，则（　　）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
【训练5-1】实数的整数部分a＝　 　，小数部分b＝　 ．
【训练5-2】比较大小：　 　（用＞，＜或＝填空）．
【训练5-3】分母有理化：
【题型6 分母有理化的应用】
【例6】观察下列等式
等式一：1；
等式二：；
等式三：；
……；
解决下列问题：
（1）化简：；
（2）若有理数a、b满足，求a+b的值．
【训练6-1】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
【训练6-2】像2；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．
（1）；
（2）．
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
（3）化简：．
解：设x，易知，∴x＞0．
由：x2＝32．解得x．
即．
请你解决下列问题：
（1）2的有理化因式是　 　；
（2）化简：；
（3）化简：．
【训练6-3】阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：，．
因为，所以．
再例如：求y的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y．
当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较34和2的大小；
（2）求y的最大值．
参考答案
【例1】
【解答】解：根据题意得：，解得：x＞3，故选：B．
【训练1-1】
【解答】解：等式成立，
则，解得：k＞3．故选：C．
【训练1-2】
【解答】解：由题意得，a≥0，5﹣a≥0，
解得，0≤a≤5，故选：C．
【训练1-3】
【解答】解：∵等式成立，
∴，解得：m≥2．故选：B．
【例2】
【解答】解：原式2＝1．
【训练2-1】
【解答】解：
＝（14）＝（1）＝10．
【训练2-2】
【解答】解：原式＝8x2×3＝24x2＝24y2．
【训练2-3】
【解答】解：原式 ．
【例3】
【解答】解：∵有意义，∴﹣x≥0，
∴x≤0，∴原式．
故选：D．
【训练3-1】
【解答】解：a根号外的因式移到根号内，化简的结果是，故选：D．
【训练3-2】
【解答】解：∵0，xy＜0，∴y＜0，x＞0，
∴．故选：B．
【例4】
【解答】解：在5，，，中，最简二次根式有5和，共2个．
故选：B．
【训练4-1】
【解答】解：的被开方数中含有分母，所以不是最简二次根式；
2，，，符合最简二次根式的定义，所以它们是最简二次根式；
，，二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数和因式，所以它们不是最简二次根式；
分母中含有二次根式，所以不是最简二次根式；
综上所述，上述二次根式中，属于最简二次根式的个数是4个．
故选：C．
【训练4-2】
【解答】解：（）2＝3﹣26＝9﹣2＝9﹣2×3＝9﹣6，
故选：A．
【例5】
【解答】解：a，
b，
∵2，，
∴，
∴a＜b，
故选：C．
【训练5-1】
【解答】解：，
∵4＜7＜9，∴23，
∴3，即实数的整数部分a＝2，
则小数部分为2．
【训练5-2】
【解答】解：∵，
，
，∴．故答案为：＜．
【训练5-3】
【解答】解：原式
【例6】
【解答】解：（1）化简：，
观察已知等式可知：原式；
（2）因为，
所以a（1）+b（1）＝21，
（a+b）﹣（a﹣b）＝21，
所以a+b＝2，a﹣b＝1，
答：a+b的值为2．
【训练6-1】
【解答】解：（1）
．
（2）原式．
【训练6-2】
【解答】解：（1）23的有理化因式是23；
故答案为：23；
（2）原式1+23；
（3）设x，可得，即x＜0，
由题意得：x2＝6﹣36+3212﹣6＝6，
解得：x，则原式．
【训练6-3】
【解答】解：（1）∵34，
2，
而32，4，
∴34＞2，
∴34＜2；
（2）由1+x≥0，x≥0得x≥0，
而y，
∵x＝0时，有最小值1，
∴y的最大值为1．

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