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2022-2023学年广东省广州市海珠区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一组数据，，，，，，的众数是( )
A. B. C. D.
2. 若二次根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 如图，是的中位线，若，则( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知点在一次函数的图象上，则等于( )
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，一架靠墙摆放的梯子长米，底端离墙脚的距离为米，则梯子顶端离地面的距离为米．( )
A.
B.
C.
D.
7. 在中，，，，点是的中点，则．( )
A. B. C. D.
8. 已知数据，，，，的平均数为，则的值是( )
A. B. C. D.
9. 已知点，在一次函数的图象上，若，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
10. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 某班将从甲、乙两位学生中选派一人参加学校的环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是分，方差分别是，，你认为成绩更稳定的选手是______ 填“甲”或“乙”
12. 命题“如果，那么”的逆命题是______．
13. 一组数据，，，，，，的中位数是______ ．
14. 若菱形的两条对角线的长分别为和，则此菱形的面积是______ ．
15. 若，则式子的值为______ ．
16. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
．
18. 本小题分
如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且，求证：四边形是平行四边形．
19. 本小题分
已知正比例函数．
该直线向下平移个单位，平移后所得直线的解析式为______ ；
在图中画出平移后的直线．
20. 本小题分
为了提高节能意识，某中学对全校的耗电情况进行了抽样调查，并记录了天的耗电量情况，数据如表：
度数度
天数
表格中的 ______ ；
求出这天的平均耗电量；
若每度电的定价是元，根据所获得的数据，请估计该中学每月应付电费多少元？每月按天计
21. 本小题分
如图，在中，，，，平分交于点．
求的面积；
求的长．
22. 本小题分
如图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点，．
请你从以下条件；；平分；中，选择一个使得四边形是菱形的条件______ 填序号；
根据中所选择的条件，求证：四边形是菱形．
23. 本小题分
某动物园在周年庆来临之际，推出、两种纪念章已知每个种纪念章的进价比每个种纪念章的进价多元；购进件种纪念章和购进件种纪念章的费用相同，且种纪念章售价为元个，种纪念章售价为元个．
每个种纪念章和每个种纪念章的进价分别是多少元？
根据网上预约的情况，该园计划用不超过元的资金购进、两种纪念章共个，这个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
24. 本小题分
如图，已知直线：和直线：相交于点，直线与轴相交于点，与轴相交于点．
求点的坐标；
点在直线上，在直线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
直线：经过一定点，与轴相交于点，若直线把的面积分成：两部分，求定点的坐标和的值．
25. 本小题分
已知在正方形中，
如图，点、分别为、边上的动点，且，连接、交于点，点为正方形对角线的交点．
猜想线段与之间有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想，不需证明；
下列结论：甲同学认为的值不变；乙同学认为的值不变，其中只有一个结论正确，请选择正确的结论并求其值；
如图，是等腰直角三角形，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在数据，，，，，，中，出现了次，出现的次数最多，
则这组数据的众数为．
故选：．
根据众数的定义可得答案．
本题考查了众数的定义，能熟记众数的定义是解此题的关键．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
2.【答案】
【解析】解：二次根式有意义，
，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，根据题意列出关于的不等式是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：是的中位线，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：点在一次函数的图象上，
，
解得：，
的值为．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】
【解析】解：梯子顶端离地面的距离，
故选：．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理即可得到结论．
7.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
点是的中点，
，
故选：．
由勾股定理的逆定理可求，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：数据，，，，的平均数为，
，
解得，
故选：．
根据平均数的计算方法列方程求解即可．
本题考查算术平均数，掌握算术平均数的计算方法是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
随的增大而减小，
又点，在一次函数的图象上，且，
．
故选：．
根据一次函数的性质即可判断．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
四边形是菱形，的坐标为，
，
在中，，，
，，
点的坐标是，
故选：．
利用菱形的性质和点的坐标先求出的长，根据含角的直角三角形进行计算求出、，可以求出点的坐标．
本题主要考查菱形性质、坐标与图形性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的四条边都相等和含角的直角三角形的性质是解决问题的关键．
11.【答案】乙
【解析】解：甲、乙两人的平均成绩都是分，
方差，，
，
乙的成绩更稳定，
故答案为：乙．
两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，据此即可判断．
本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．
12.【答案】如果，那么
【解析】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，
故答案为：如果，那么．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13.【答案】
【解析】解：将这个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是，因此中位数是，
故答案为：．
根据中位数的定义进行解答即可．
本题考查中位数，理解中位数的定义，掌握中位数的计算方法是解决前提的关键．
14.【答案】
【解析】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：．
故答案为：．
根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．
15.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
把代数式化为的形式，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：根据题意得且，
解得．
故答案为：．
根据一次函数图象与系数的关系得到且，然后求出两部等式的公共部分即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
先算乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【解析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得，，又由，即可证得，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握定理与性质是解决问题的关键．
19.【答案】
【解析】解：直线向下平移个单位，平移后所得直线的解析式为：．
故答案为：；
当时，；当时，，
直线与坐标轴的交点为，，
函数图象如图．
根据“上加下减”的法则进行解答即可；
求出直线与坐标轴的交点，画出函数图象即可．
本题考查一次函数的图象与几何变换，正比例的性质，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：由题意得，，
故答案为：；
度，
答：这天的平均耗电量为度；
元，
答：估计该中学每月应付电费大约为元．
用分别减去其他天数可得的值；
利用加权平均数公式计算即可；
用样本估计总体，根据“总价单价数量”可得答案．
本题考查了加权平均数及利用样本估计总体．解题的关键是掌握加权平均数的计算公式．
21.【答案】解：在中，，，，
，
的面积；
过作于，
平分，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
解得．
【解析】根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积；过作于，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：使得四边形是菱形的条件为，
故答案为：；
证明：，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形；
四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形；
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形．
根据题意和菱形的判定进行选择即可；
先证≌，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
23.【答案】解：设每个种纪念章的进价是元，每个种纪念章的进价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个种纪念章的进价是元，每个种纪念章的进价是元；
设购进个种纪念章，则购进个种纪念章，
根据题意得：，
解得：．
设这个纪念章全部售出后，该园获得的总利润为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进个种纪念品，个种纪念品时，该园获利最大，最大利润是元．
【解析】设每个种纪念章的进价是元，每个种纪念章的进价是元，根据“每个种纪念章的进价比每个种纪念章的进价多元；购进件种纪念章和购进件种纪念章的费用相同”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进个种纪念章，则购进个种纪念章，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设这个纪念章全部售出后，该园获得的总利润为元，利用总利润每个的销售利润销售数量购进数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
24.【答案】解：联立，
解得，
；
在直线上存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
在中，令得，
，
设，，
又，
当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
；
当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
；
当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
；
综上所述，的坐标为或或；
，
当时，的值与无关，都为，
；
设直线交直线于，
由得，
，
当：：时，如图：
：：，
，
；
，
，
解得，
经检验，是方程的解，符合题意，
的值为；
当：：时，如图：
：：，
，
；
，
，
解得，
经检验，是方程的解，符合题意，
的值为；
综上所述，的值为或．
【解析】联立，解得；
求出，设，，分三种情况：当，为对角线时，，的中点重合，当，为对角线时，，的中点重合，当，为对角线时，，的中点重合，分别列方程组可解得答案；
由，知当时，的值与无关，都为，故G；设直线交直线于，可得，分两种情况：当：：时，；可得，当：：时，；，解方程可得答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标特征，平行四边形，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
25.【答案】解：四边形是正方形，
，，
又，
≌，
，，
又，
，
，
，
综上，，；
如图，分别在边、上取点、，使，交点分别为、、、，连接，
由可得：，，
同理可证：，，，，，，
四边形是矩形，
，，，
≌，
，，
同理可得：，，
，
矩形为正方形，
点为正方形对角线的交点，
为正方形对角线交点，
，
，
，
，
即；
证明：如图，将绕点逆时针旋转至，连接，
则是等腰直角三角形，
，，
由旋转可知：，
又，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【解析】根据正方形的性质和已知条件推出判定≌的条件，然后根据全等三角形的性质即可推出线段与之间的数量和位置关系；
分别在线段、上截取，根据中结论可知，同理证得四边形的几个内角都是直角，判定四边形是矩形，然后判定≌，推出，判定矩形是正方形，再根据正方形的性质可以推出的值不变；
将绕点逆时针旋转至，根据旋转的性质推出，再推出后判定四边形为平行四边形，推出，最后根据是等腰直角三角形即可得证．
本题是四边形综合题，主要考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
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