资源简介

1.2空间向量基本定理
1、了解空间向量基本定理及其意义.
2、会用基底表示空间向量
3、掌握空间向量的正交分解．
4、掌握用基向量解决立体几何中简单问题的通法
重点：掌握空间向量基本定理
难点：用空间向量基本定理解决有关问题.
阅读课本内容，自主完成下列内容。
【问题】观察如图所示的平行六面体，已知＝a，＝b，＝c，请运用空间向量的线性运算知识，用a，b，c表示向量，表示唯一吗？此时这三个向量a，b，c共面吗？
知识点一 空间向量基本定理
(1)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
(2)基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc, x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
【探究1】空间中怎样的向量能构成基底？
【探究2】基底与基向量的概念有什么不同？
【探究3】空间的基底唯一吗？
【探究4】为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？
1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
2.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(　　)
(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.(　　)
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若, , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(　　)
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(　　)
知识点二 空间向量的正交分解
知识点2 正交分解
【思考】如图，正方体的棱长为3，向量e1、e2、e3分别为棱AB、AD、AD1上的单位向量，{e1，e2，e3}能不能作为空间的一个基底？你能用向量e1、e2、e3表示向量吗？
(1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)正交分解：把一个空间向量分解为 的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
知识点三 用空间向量基本定理解决相关的几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
考点一 空间向量基底的概念
例1 （2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
1.判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．
2．求一向量在不同基底下的表示式，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式，转化为在原基底下的表示式，对比系数.
【对点演练】1、（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2.（2023·高二校考课时练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·辽宁·高二校联考期末）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
考点二 空间向量基底的运用
例2（2023·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
【对点演练】1、（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2、（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3、（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4、（2022·江苏连云港·高二期中）在正方体中，，则（ ）
A． B． C． D．
考点三 空间向量的正交分解
例3．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.
【对点演练】1、（2023·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的表示为
2．（2021·江苏镇江·高二期中）若是一个单位正交基底，且向量，，______．
（2023·高二课时练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
考点四 用空间向量基本定理解决相关的几何问题
例4（2023·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，，
(1)求（用向量表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
【对点演练1】（2023·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
【对点演练1】（2023·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.
(1)求证EG⊥AB；
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
一、选择题
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.（2023·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习）若是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2023·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ）

A． B．
C． D．
4．（2023·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
5.（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（多选）（2023·高二课时练习）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7、（多选）（2022·福建福州·高二期中）如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ）
A． B．
C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面
8．（多选）（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．（多选）（2022·浙江宁波·高二期末）若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（ ）
A．的取值范围是
B．能构成空间的一个基底
C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件
D．
二、填空题
10．（2022·全国·高二课时练习）正方体中，点是上底面的中心，若，则___________.
11．（2022·全国·高二课时练习）四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则___________.
三、解答题
12．（2022·全国·高二课时练习）已知A B C三点不共线，O为平面ABC外一点.
(1)若，判断 三个向量是否共面，以及M是否在平面ABC上；
(2)若，判断M是否在平面ABC上；
(3)请给出空间某点在某一平面上的一个充要条件（不必证明）.
13.（2023·高二课时练习）如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．
(1)证明：、、、四点共面．
(2)若，求．
14.．（2023·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
【答案】不共面的三个向量
【答案】基底是指一组向量，即{a，b，c}，而基向量是指基底中某个向量，即a，b，c都叫做基向量。
【答案】不唯一，不共面的任意三个向量都可以作为基底
【答案】x，y，z可转化为向量模的比值关系
【答案】（1）两两垂直 1 （2）三个两两垂直
【答案】A
【解析】
【分析】
由空间向量基底的定义即可得出答案.
【详解】
选项A：令，则，，A正确；
选项B：因为，所以不能构成基底；
选项C：因为，所以不能构成基底；
选项D：因为，所以不能构成基底．
故选：A.
【答案】C
【解析】
【分析】
由不共面的三个向量能构成一组基底判断.
【详解】
A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底；
D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
故选：C
【答案】D
【解析】∵，，∴与共面，故A，B错误；
∵，∴与共面，故C错误；
∵是基底，∴不存在使成立，
∴与不共面，故可以与构成空间的一组基底，故D正确.
故选：D.
【答案】C
【解析】因为，
，
，
所以向量，，均与向量，共面．
故选：C
【答案】C
【解析】

如图所示，，
故选：C
【答案】D
【详解】由已知，
所以，，
故选：D.
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以
，
所以A错误
因为，所以，
所以
,
故选：D
【答案】D
【解析】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，
因此
.
故选：D.
【答案】A
【分析】
根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.
【详解】
因为，
而，
所以有，
故选：A
【答案】
【解析】
【分析】
设，由空间向量分解的唯一性，，列出方程组求解即可
【详解】
由题意，不妨设
由空间向量分解的唯一性：
故，解得
则
故答案为：
【答案】
【解析】设
，
所以，解得，
所以
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，，利用向量的数量积的运算性质可得答案.
【详解】
由是一个单位正交基底，则，
故答案为：
3.
【答案】C
【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为.
故选：C.
【解析】（1）∵
∴
（2）连接
∵分别是的中点，∴.
又∵，∴，
∴，则四点共面.
【解析】（1）由题知，
∴，
即，
∴共面.
（2）由（1）知，共面且基线过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
【解析】（1）证明：连接DE，
因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，
所以，
故，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）由题意得：均为等边三角形且边长为1，
所以
，，
所以
，
设异面直线AG和CE所成角为，
则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据四点共面结论：若四点共面，则且，
【详解】
若，，，四点共面，则，则
故选：D．
【答案】D
【解析】对A选项，，故三向量共面，A错误；
对B选项，若共面，则，解得，故三向量共面，B错误，
对C选项，，故三向量共面，C错误，
对D选项，若向量共面，则无解,
故向量不共面，故D正确,
故选：D
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，即，
又，
所以.
故选：D

【答案】C
【解析】可设向量，，，由此把向量，，分别用坐标表示，列方程组解出x，y，z，即可得到的坐标．不妨设向量，，；
则向量，，．
设，
即，
∴解得
即在，，下的坐标为．
故选：C．
【答案】C
【解析】
【分析】
以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．
【详解】
如图，作平行六面体，，，，
则，，，，
由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，
因此可以作为空间的基底的有3组．
故选：C．
【答案】AC
【解析】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；
对于A，因为，所以可以得出，，，四点共面；
对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；
对于C，，则，，为共面向量，所以与,，一定共面；
对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．
故选：AC．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据空间向量运算判断AB选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD选项的正确性.
【详解】
，A选项错误.
，B选项正确.
则是的中点，
，
，
则不存在实数使，所以C选项错误.
，
由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.
故选：BD
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.
【详解】
因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，
所以由平面向量基本定理可知：
，
化简得：，显然有，
而，所以有，
当，时，，所以选项A不可能；
当，时，，所以选项B不可能；
当，时，，所以选项C可能；
当，时，，所以选项D可能，
故选：CD
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据给定条件结合空间向量相关知识逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】
因，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则三棱锥是侧棱长为1的正三棱锥，如图，
作平面于点，连接，则，
，，中，由余弦定理得，
于是得，A不正确；
因，，是不共面的，由空间向量基底的意义知，B正确；
假定P，A，B，C四点共面，依题意，存在唯一实数对使得，即，
而，由空间向量基本定理知，此方程组无解，则有P，A，B，C四点不共面，
“”是“P，A，B，C四点共面”的不充分不必要条件，C不正确；
，D正确.
故选：BD
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量线性运算，利用表示出，由此可得的值.
【详解】
，
，，，.
故答案为：.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
取定空间的一个基底，用基底表示，，再计算空间向量数量积作答.
【详解】
四面体OABC的所有棱长都等于，则此四面体是正四面体，不共面，
，因E，F，G分别为OA，OC，BC中点，
则，，
所以.
故答案为：
【答案】(1)向量 共面，M在平面ABC上
(2)M在平面ABC上
(3)存在实数x y z，满足，且
【解析】
【分析】
（1）利用向量四点共面的表达式，，则可判断是否空面；
（2）利用向量四点共面的表达式，且，判断点在面内问题；
（3）且可采用向量的四点共面的证明方式证明.
(1)
因为，所以，
所以，
所以，所以向量 共面.
而它们有共同的起点M，所以M A B C共面，即M在平面ABC上；
(2)
因为，所以，
所以，
所以，所以向量 共面.
而它们有共同的起点M，所以M A B C共面，即M在平面ABC上；
(3)
若O为平面ABC外的一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：“存在实数x y z，满足，且.”
证明：必要性，由，且，
则，
所以，
即，说明点P在平面ABC上
充分性，若点P在平面ABC上，O为平面ABC外的一点
则，
所以，
则，
令，则，且.
【解析】（1）证明：在上取一点，使得，连接、，
在平行六面体中，，，，
且，且，
所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
所以，且，
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
、、、四点共面．
（2）因为
，
即，，，
．
【解析】（1）．
（2）证明：，，
，共面．
（3）当，，
证明：设，
底面为菱形，则当时，，
，，
，
，
．

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