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新教材 湘教版2019版数学必修第一册
第1章知识点清单
目录
第1章　集合与逻辑
1.1　集合
1. 1. 1　集合
1. 1. 2　子集和补集
1. 1. 3　集合的交与并
1.2　常用逻辑用语
1. 2. 1　命题
1. 2. 2　充分条件和必要条件
1. 2. 3　全称量词和存在量词
1. 1　集合
1. 1. 1　集合
一、集合与元素
1. 集合与元素
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合或集.
这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素.
2. 集合具有的基本属性
(1)互异性：同一集合中的元素是互不相同的.
(2)确定性：集合中的元素是确定的.
(3)无序性：集合中的元素没有顺序.
3. 元素与集合的关系
关系 语言表达 符号表示 读法
属于 a是集合S的一个元素 a∈S a属于S
不属于 a不是集合S的元素 a S(或a S) a不属于S
(1)a∈S与a S取决于a是不是集合S中的元素，在a∈S与a S这两种情况中，必有一种且只有一种成立.
(2)符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的归属关系.
二、常用数集与集合的分类
1. 常用数集及其记法
常用的数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N Z Q R
通常用R+表示全体正实数组成的集合；类似的有R-，Z+，N+，Q-，…
2. 集合的分类
(1)有限集：元素个数有限的集合.
(2)无限集：元素无限多的集合.
注意：没有元素的集合叫空集，记作 ；空集也是有限集.
三、表示集合的方法
1. 列举法
把集合中的元素一一列举出来的方法叫作列举法. 列举法表示的集合的结构如下：
2. 描述法
　　把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合的方法叫作描述法. 描述法表示的集合的一般结构如下：
四、区间的概念及表示
1. 设a，b是两个实数，a名称 符号 数轴表示
闭区间 [a，b]
开区间 (a，b)
左闭右开区间 [a，b)
左开右闭区间 (a，b]
2. 实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，满足条件x≥a，x>a，x≤b，x五、集合中元素的特性及应用
1. 确定性. 它是确定一些对象能否构成集合的重要依据，构成集合的元素需有明确
的标准，不能模棱两可.
2. 互异性. 它是决定集合中元素互不相同的依据，意味着集合中不能有重复元素.
在含参数的集合问题中，尤其要注意应用互异性检验所求得的参数的值是否合理.
3. 无序性. 集合中的元素可以交换顺序，解题过程中仅改变元素顺序并没有改变集
合.
4. 由集合中元素的特性求解参数的值的步骤：
六、集合的表示方法
集合的表示方法有列举法和描述法，它们各有优缺点，应根据具体问题进行选择，一般遵循最简原则.
1. 列举法的适用范围
(1)元素个数少时，一般可全部列举出来，如{1，2，3，4}.
(2)元素个数多且有限时，若可以将元素按某种规律排列，则可采用列举部分元素，
中间用省略号表示的方法，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1000}
(3)元素个数无限但有规律时，也可以结合省略号采用列举法，如自然数集N可以
表示为{0，1，2，3，…}.
2. 用描述法表示集合时的注意点
(1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等.
(2)说明该集合中元素所具有的共同特征.
(3)不能出现未经说明的字母.
(4)所有描述的内容都要写在大括号内，语言要力求简洁、准确.
(5)“{}”有“所有”“全体”的含义，如{x|x为自然数}即代表自然数集N，不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}.
七、与方程有关的集合问题
1. 与方程有关的集合问题中，往往用集合表示方程的解，集合中的元素就是方程的实数根.
(1)当方程中含有参数时，一般需对参数进行分类讨论，如在研究方程ax2+bx+c=0
(a，b不同时为0)的解时，需分a=0和a≠0两种情况讨论.
(2)在根据方程根的情况确定参数的值或取值范围时，还需要对集合中元素的互异性进行检验.
1. 1. 2　子集和补集
一、子集、集合相等、真子集
二、全集与补集
1. 全集
　　如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定
把集合U叫作全集(或基本集).
2. 补集
自然语言 若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集，记作 UA
符号语言 UA={x|x∈U，且x A}
图形语言
运算性质 UU= ， U =U， U( UA)=A
(1)研究一个集合A的补集须有两个前提条件：一是全集U是确定的，二是A U. 不能脱离这两个条件研究补集.
(2)补集不仅体现了集合间的关系，还是集合的一种基本运算. 有些数学问题，当正
面解决比较困难时，可以考虑先解决其对立情形，再反过来便可解决原问题，即
“正难则反”，这种思想就是补集思想.
三、集合间的关系
1. 判定两集合间基本关系的方法和关键

四、探究已知集合的子集个数
1. 若集合A中含有n(n∈N+)个元素，则：
(1)A的子集个数是2n；
(2)A的非空子集个数是2n-1；
(3)A的真子集个数是2n-1；
(4)A的非空真子集个数是2n-2.
2. 若有限集合A，B中分别含有m个，n个元素(m，n∈N+，m≤n)，且A C B，则符合条件的有限集C的个数为2n-m.
3. 写出给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写，以免重复或遗漏.
(2)要注意空集和集合本身也是该集合的子集.
五、已知集合间的关系求参数
1. 根据集合间的关系求参数的值或取值范围的方法
(1)若集合是用列举法表示的，则根据集合间元素的关系，列方程(组)求解，同时注
意考虑集合中元素的互异性；若集合是结合不等式描述的，则利用数轴列不等式
(组)求解，同时还要注意验证端点值的取舍.
(2)涉及“A B”或“A B”的问题，若集合A中含有参数，通常要分A= 和A≠ 两种情况进行讨论，其中A= 的情况容易被忽略，应引起足够的重视.
六、“补集思想”的运用
“正难则反”策略在集合中运用的就是补集思想，即已知全集U，求其子集A时，若直接求A较困难，则可先求 UA，再利用 U( UA)=A求A.
1. 运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、问题较复杂时，或含有至多、至少、存在唯一、不存在等词的问题中.
2. 用补集思想解含参问题的步骤：
(1)确定问题的反面；
(2)求问题的反面对应的参数的取值集合；
(3)取问题的反面对应的参数取值集合的补集，此时应特别注意全集的范围.
1. 1. 3　集合的交与并
一、交集
在数学里，把所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B={x|x∈A且x∈B}. 用韦恩图表示为：
二、并集
把集合A，B中的元素放在一起组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B={x|x∈A或x∈B}. 用韦恩图表示为：
三、交集与并集的运算性质
交集的运算性质 并集的运算性质
A∩A=A A∪A=A
A∩ = A∪ =A
A∩B=B∩A A∪B=B∪A
四、集合的综合运算
1. 解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，那么可先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解. 在解答过程中常常借助于韦恩图.
(2)如果所给集合是无限集，那么常借助于数轴，把已知集合均表示在数轴上，然后
进行交集、并集、补集的运算. 解答过程中要注意端点值的取舍.
2. 德·摩根定律
　　德·摩根定律包含集合运算中的两个重要等式.
(1) U(A∩B)=( UA)∪( UB).
(2) U(A∪B)=( UA)∩( UB).
五、集合中元素的个数问题
　　我们将有限集合A所含元素的个数用card(A)表示，并规定card( )=0. 一般地，
对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
对任意三个有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A
∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).

六、利用集合的运算性质求参数的值或取值范围
1. 利用解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或取值范围时，需注意两点：
(1)涉及A∪B=A或A∩B=B的问题，可利用集合的运算性质，转化为集合之间的包
含关系求解，此时要注意空集的特殊性.
(2)在求解参数的取值范围时，要特别注意取值范围的边界值能否取到.
1. 2　常用逻辑用语
1. 2. 1　命题
一、命题
定义 一般说来，命题就是一个陈述句. 这些陈述句的共同特征是作出了判断，这种判断可能成立，也可能不成立，两者必居其一且仅居其一
分类 真命题：成立的命题
假命题：不成立的命题
命题的否定 如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，
叫作p的否定，记作 p，读作“非p”
命题的结构 在数学中，命题都可以写成“若p，则q”的形式，
其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论
逆命题 将命题的条件和结论互换位置后，称其中一个命题是另一个命题的逆命题
二、命题真假的判断
1. 真命题：判断一个命题为真命题时，必须经过严格科学的推理论证，才能得出结
论，常会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等.
2. 假命题：判断一个命题为假命题时，只要举出一个反例即可.

三、命题的否定
　　对于命题的否定，要注意一些常见否定词语的使用，下面是常用的正面叙述
词语及对应的否定词语.
原词语 等于(=) 小于(<) 有 是 都是
否定词语 不等于(≠) 不小于(≥) 没有 不是 不都是
原词语 至少有一个 至多有一个 至多有n个
否定词语 一个也没有 至少有两个 至少有(n+1)个
1. 2. 2　充分条件和必要条件
一、充分条件和必要条件
　当“若p，则q”成立，即p q时，把p叫作q的充分条件，q叫作p的必要条件.
　若pq，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件.
(1)p q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是充分的；反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是必要的.
(2)五种等价表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.
二、充要条件
　　如果既有p q，又有q p，就记作p q. 即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件. 当然，此时q也是p的充分必要条件.
　　换句话说，如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件.
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件.
三、充分条件、必要条件和充要条件的判断
1. 充分条件、必要条件和充要条件判断的常用方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断. 若设p对应的集合为A，q对应的集合为B，则：
记法 A={x|p(x)}，B={x|q(x)}
关系 A B B A A=B A B且B A
图示
结论 p是q的充分而不必要条件 p是q的必要而不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分又不必要条件
四、充分条件、必要条件的证明与探究
1. 充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件时，既要证明命题“p q”为真，又要证明命题“q p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性. (注意与“p的充要条件是q”的区别)
(2)证明充要条件也可以利用等价转化法，即把条件和结论进行等价转化，注意转
化过程中必须保证前后是能互相推出的.
2. 探求充分条件、必要条件的注意点
(1)分清条件和结论，明确探求的方向.
(2)分析题目中的已知条件和隐含条件，进行等价转化，得到使结论成立的充要条件.
(3)利用集合之间的包含关系，探求使结论成立的必要而不充分条件或充分而不必要条件等.
五、利用充分条件、必要条件确定参数的值(取值范围)
　　应用充分条件、必要条件求解参数问题时，一般结合充分条件、必要条件将问题转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的方程(组)或不等式(组)求解即可. 最后确定范围时为避免漏解或多解，要注意对解集端点值进行检验.
1. 2. 3　全称量词和存在量词
一、全称量词与全称命题
全称量词 “任意”“所有”“每一个”等在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“ ”表示
全称命题 语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”叫作全称命题，用符号简记为 x∈M，p(x)
二、存在量词与特称命题
存在量词 “存在某个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“ ”表示
特称命题 语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”叫作特称命题，用符号简记为 x∈M，p(x)
　　注意：涉及量词的命题必须指出量词的作用范围.
三、含量词命题的否定
命题的类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型
全称命题 x∈I，p(x) x∈I， p(x) 特称命题
特称命题 x∈I，p(x) x∈I， p(x) 全称命题
四、全称命题与特称命题真假判定的技巧

五、含量词命题的否定及其真假判断
1. 全称(特称)命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词)，并把结论否定，即“改量词，否结论”.
2. 命题与命题的否定的真假相反. 当命题的否定的真假不易判断时，可以通过判断
原命题的真假来得出命题的否定的真假.
六、全称命题和特称命题及其否定中的求参问题
1. 全称命题的求参问题常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般为“恒成立”问题. 解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合思想求参数的取值范围，也可用分离参数法求参数的取值范围.
2. 特称命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围. 若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立. 解决有关特称命题的参数的取值范围问题时，一般转化为“有解”问题，求解时应尽量分离参数. 有以下常见结论：
(1) x∈R，y=0等价于方程y=0有实数根；
(2) x∈R，y>0就是不等式y>0恒成立，等价于ymin>0；
(3) x∈R，y>0就是不等式y>0有解，等价于ymax>0；
(4) x∈R，y<0就是不等式y<0恒成立，等价于ymax<0；
(5) x∈R，y<0就是不等式y<0有解，等价于ymin<0.

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