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3.3.1 抛物线及其标准方程
课程标准 学科素养
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点) 1、直观想象 2、数学运算 3、逻辑推理
【自主学习】
一．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ．
思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？
二．抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) F x＝－
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0) F y＝－
x2＝－2py(p>0)
思考2：抛物线方程中p(p＞0)的几何意义是什么？
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线的方程都是二次函数．(　 　)
(2)抛物线的焦点到准线的距离是p.(　 )
(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(4)y＝4x2的焦点坐标为(1,0)．(　　)
(5)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y．(　　)
2.已知动点P到定点(0，2)的距离和它到直线l：y＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
【经典例题】
题型一 求抛物线的标准方程
点拨：求抛物线标准方程的方法
1.定义法: 根据定义求p，最后写标准方程;
2. 待定系数法：设标准方程，列有关的方程组求系数；
3. 直接法：建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程.
例1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.
【跟踪训练】1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)经过点(－3，－1)；
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
题型二 与抛物线有关的轨迹问题
点拨：抛物线的轨迹问题
既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．
例2　已知直线和圆．若圆与直线相切，与圆外切，求圆的圆心的轨迹方程．
【跟踪训练】2 若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
题型三 抛物线最值问题
点拨：解决最值问题
在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.
例3　如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．
【跟踪训练】3已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　)
A. B. C．2 D.－1
题型四 抛物线的实际应用
点拨：利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：
(1)建系：建立适当的坐标系．
(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．
(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求解：求出需要求出的量．
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
例4某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
【跟踪训练】4 如图是抛物线形拱桥，当水面在l处时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米．
【当堂达标】
1.(多选)对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（ ）
A．焦点坐标为(0，1) B．焦点坐标为
C．准线方程为y=- D．准线方程为y=-1
2.准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－2x　　 B．y2＝2x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
3.已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(1,0) B. C. D．(0,1)
4.若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
5.抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．
6.已知定点，曲线上的任一点都有．求曲线的方程.
【参考答案】
【自主学习】
相等 焦点 准线
思考1：点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
F x＝ F y＝
思考2：p的几何意义是焦点到准线的距离．
【小试牛刀】
1.× √ × ×　 √
2．x2＝8y
【经典例题】
例1 解：(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
【跟踪训练】1 解：(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.
故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.
(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
例2 解：设圆为半径为，圆的圆心为，半径为，则，
由题意可知，圆心到直线的距离为，
所以，圆心到直线的距离和它到点的距离相等，
故圆心的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
设该抛物线的标准方程为，则，可得，
因此，圆心的轨迹方程为.
【跟踪训练】2 解：由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，
其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，所以y2＝2x（x≠0）。
例3 解：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为.即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2,2)．
【跟踪训练】3 D 解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
设点P到直线l的距离为d，
由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，
所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.
易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d＋|PF|的最小值为＝，
所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
例4 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
【跟踪训练】4 2 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝my，
将A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2．
∴x2＝－2y．将B(x0，－3)代入x2＝－2y，得x0＝或－(舍去)，故水面宽为2米．
【当堂达标】
1.BC解析：由y=4x2，得，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为.
故选：BC
2.B 解析：由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.
3.C解析：由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝y，
则焦点坐标为，故选C.
4. 2　x＝－1 解析：∵抛物线y2＝2px的焦点坐标为，
∴＝1，∴p＝2.∴抛物线的准线方程为x＝－＝－1.
5. 解：设焦点为F，M点到准线的距离为d，
则d＝|MF|＝10，即9＋＝10，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.
∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
6.解：设，由，得，
，
，化简整理得.

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