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陕西省咸阳市2022-2023学年高二下学期7月期末考试数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知复数，则（）
A.5 B. C.2 D.1
2、已知集合，，，则（）
A. B. C. D.
3、已知为奇函数，则的值为( )
A. B.1 C. D.
4、中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏 小满，六月有芒种 夏至，七月有小暑 大暑.现从五月 六月 七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为（）
A. B. C. D.
5、棱长为1的正方体的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
6、设O为原点，点P在圆上，若直线OP与圆C相切，则（）
A.2 B. C. D.
7、下列函数中最小值为4的是（）
A. B. C. D.
8、已知是边长为1的等边三角形，，则（）
A.6 B.3 C. D.
9、已知函数在区间单调递增，则a的最小值为( )
A. B.e C. D.
10、若实数x，y满足约束条件则的最大值为（）
A.2 B.0 C.16 D.14
11、甲 乙两人组队去参加乒乓球比赛，每轮比赛甲 乙各比赛一场，已知每轮比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，在每轮比赛中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲 乙两人在两轮比赛中共胜三次的概率为（）
A. B. C. D.
12、已知函数的定义域为R，函数的导函数，若在处取得极大值，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题
13、的展开式中的系数为__________.
14、在中，，，，则中最小的边长为__________.
15、中国空间站的主体结构包括天和核心舱 问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲 乙等4名航天员开展实验，每名航天员只去一个舱，每个舱至少安排一人，则甲乙不在同一个舱的种数是__________.
16、已知F是双曲线的左焦点，点，直线PF与双曲线C有且只有一个公共点，则双曲线C的离心率为__________.
三、解答题
17、已知数列是等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前5项和.
18、已知函数，.
（1）求的最小正周期；
（2）求在闭区间上的最小值以及对应x的值.
19、汽车尾气中含有污染物，且汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物浓度会出现增大的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术 排放检验状况，对达到报废标准的机动车实行强制报废.某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：
不了解 了解 合计
女性 20 30 50
男性 10 40 50
合计 30 70 100
（1）是否有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？
（2）该环保组织查得某型号汽车的使用年数t与排放的尾气中CO浓度的数据如下表：
t 2 4 6 8 10
y 0.3 0.3 0.5 0.7 0.8
若该型号汽车的使用年数不超过12年，可近似认为y与t线性相关.试确定y关于t的线性回归方程.
参考公式：，其中.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
在线性回归方程中，，.
20、如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为梯形，，，.
（1）证明：平面PCD；
（2）若平面ABCD，，求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值.
21、已知椭圆过点，且椭圆的离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率存在的直线l过点，且与椭圆相交于C、D两点，椭圆的右顶点为B，试判断是否能为直角.若能为直角，求出直线l的方程，若不能，请说明理由.
22、已知函数，.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）记，若当时，恒成立，求正实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：
2、答案：C
解析：
由题设有，
故，故选:C.
3、答案：A
解析：因为为定义在R上的奇函数，所以，所以，
所以.
故.
故选A.
4、答案：A
解析：由题意，基本事件由（立夏，小满），（立夏，芒种），(立夏，夏至)，（立夏，小暑），(立夏，大暑），(小满，芒种），(小满，夏至)，(小满，小暑)，(小满，大暑），(芒种，夏至)，(芒种，小暑)，(芒种，大暑），(夏至，小暑），(夏至，大暑），(小暑，大暑)共15个，其中两个节气在同一个月的有(立夏，小满），(芒种，夏至)，(小暑，大暑）共3个，所以两个节气恰在同一个月的概率为.
故选:A.
5、答案：B
解析：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，
则，故，所以.
故选:B.
6、答案：A
解析：由圆C的方程可得，故
，
O为原点，P在圆
上，OP与圆C相切，
则.
7、答案：B
解析：当x为负数时，不满足;
B:由，仅当时等号成立，满足;
C:由，仅当时等号成立，显然等号无法成立，故不满足;
D:当为负值时，不满足.
8、答案：D
解析：因为，所以
故
故选:D.
9、答案：C
解析：因为函数，所以.因为函数在单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，易知，则在恒成立.设，则.当时，，单调递增，所以在上，，所以，即，故选C.
10、答案：D
解析：
11、答案：B
解析：甲乙共胜3次有如下两种情况：
甲胜1次，乙胜2次，其概率为，
甲胜2次，乙胜1次，其概率为，
故甲乙两人在两轮比赛中共胜三次的概率为.
12、答案：D
解析：函数的导函数，令，可得，得或，
当时，时，，单调递增;
或时，，单调递减;所以在处取得极大值，符合题意;
当时，
当时，时，，单调递减;
或时，，单调递增;
所以在处取得极小值，不符合题意，舍去;
当时，时，，单调递减;
或时，，单调递增;
所以在处取得极大值，符合题意.
实数a的取值范围为.
故选：D
13、答案：40
解析：因为的展开式的通项为
，
令，得到，
所以项的系数为40.
14、答案：
解析：
15、答案：30
解析：当甲乙单独各在一个舱时，有种方法，
当甲乙各自所在的舱中其中有一个舱中有两个人时，有种方法，
所以由分类加法原理可知共有种方法.
故答案为:30.
16、答案：
解析：双曲线的渐近线方程为，
又已知是双曲线
的左焦点，，
直线PF与双曲线C有且只有一个公共点，所以直线PF与双曲线C的渐近线平行，
则，即，即，
即，
即
即，即，
则双曲线C的离心率为.
17、答案：（1）
（2）682
解析：（1）设等差数列的公差为d，
由，，可得
解得：，，
.
（2）由（1）知，
由，可得，
数列是首项为2，公比为4的等比数列，
数列的前5项和.
18、答案：（1）
（2）当时，
解析：（1），
，
即函数的最小正周期为.
（2）由（1）可知，
，，
由的图像可知，当，即时，有，
故当时，.
19、答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）计算，
故有的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”.
（2），，
故，
，
所以所求线性回归方程为.
20、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：，，
由余弦定理得，，
，则，
平面平面ABCD，且平面平面，
平面PCD.
（2）如图，以CB，CD，CP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面PAD的法向量为，
由得取，得，，
，
易得平面PCD的一个法向量为，
，
平面PAD与平面PCD夹角的余弦值为.
21、答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）椭圆过点，，
椭圆的离心率，，
，，
椭圆的标准方程为：.
（2）由题可设直线，其中，
联立消去y可得，
设，，则有，
由（1）可知，椭圆右顶点B的坐标为，
，，
若能为直角，则，
即
，
解得，不符合题意.
故不能为直角.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1），，
又，
曲线在点处的切线方程为，
即.
（2），
，
，
在上单调递增，.
当时，，，
在上单调递增，，
在上单调递减，，
符合题意；
当时，存在实数，
使时，，
即，
在上单调递减，
，在上单调递增，
时，，
不符合题意.
综上，正实数a的取值范围为.

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