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新教材 湘教版2019版数学选择性必修第一册
第4章知识点清单
目录
第4章　计数原理
4. 1　两个计数原理
4. 2　排列
4. 3 组合
4. 4 二项式定理
第4章　计数原理
4. 1　两个计数原理
一、两个计数原理的理解
计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 两个计数原理都可以用来计算完成某件事的方法种数，最终的目的都是完成某件事
不同点 1. 完成一件事有n类办法，这n类
办法之间是彼此独立的. 2. 每一类中的每一种方法都能独立完成这件事. 3. 把各类办法中的方法数相加就是完成这件事的所有方法数 1. 完成一件事需要若干个步骤，完成每个步骤又有若干种方法. 2. 只有每个步骤都完成了才算完成这件事，每个步骤缺一不可. 3. 把完成每个步骤的方法数相乘就是完成这件事的所有方法数
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
二、两个计数原理的选择与应用
1. 合理选择两个计数原理
当完成一件事可以分为相互排斥的几类时，选择分类加法计数原理；
当完成一件事可以分为几个相互关联的步骤时，选择分步乘法计数原理. 在求解过程中要注意列举法、树状图法、间接法等的灵活应用.
2. 类中有步，步中有类问题

　　从A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5种方法.

　　从A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)种方法.
“类”用“+”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”则缺一不可.
三、涂色问题
1. 涂色问题的两种解决方案
(1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，应用分步乘法计数原理进行计算；
(2)先根据涂色时所用颜色种数进行分类处理，再在每一类的涂色方法数的计算中应用分步乘法计数原理，最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和，即得到最终的涂色方法数.
4. 2　排列 4. 3 组合
一、排列与组合概念的理解
1. 排列的定义包含两个过程：(1)取出元素：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素(可分成m步，一步取一个、不放回地取)；(2)按序排列：把这m个不同的元素按照一定的顺序排成一列. 因此，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同.
2. 组合是从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，不论次序地构成一组. 两个
组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同.
二、排列数公式与组合数公式
1. 排列数公式
(1)=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(常用来求值)；
(2)=(常用来化简或证明).
2. 组合数公式
(1)==；
(2)=；
(3)=（反映对称性，当m>时，通常将转化为）；
(4)=+.
三、 与排列数、组合数有关的计算
1. 求解此类问题时要注意对公式的选择与灵活应用.
2. 解有关排列数、组合数的方程或不等式的步骤
四、有限制条件的排列问题
1. “在”与“不在”问题
　　解决此类问题，常用的方法是特殊位置(元素)分析法，遵循的原则是优先排特殊位置(元素)，即需先满足特殊位置(元素)的要求，再处理其他位置(元素)，如果有两个及以上的约束条件，那么在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件；当直接求解困难时，可考虑用间接法解题.
2. “相邻”与“不相邻”问题
(1)当元素被要求相邻时，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体并与其他元素进行排列.
(2)当元素被要求不相邻时，通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素形成的空中.
3. “定序”问题
　在排列问题中，某些元素已排定了顺序，对这些元素进行排列时，不再考虑其顺序. 在具体的计算过程中，可采用“除阶乘法”解决，即n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素的顺序固定，则满足题意的排法有种.
五、分组与分配问题
1. 分组问题的求解策略
(1)非均匀不编号分组：将n个不同元素分成m(m≤n)组，每组元素数目均不相等，依
次记为m1，m2，…，mm，不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数N=··
·…·.
(2)均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m(m≤n)组，假定其中r组元素个
数相等，不管是否分尽，其分法种数为(其中N为非均匀不编号分组中的分法种
数). 若再有k组均匀分组，则应再除以.
(3)非均匀编号分组：将n个不同元素分成m(m≤n)组，各组元素数目均不相等，且考
虑各组间的顺序，其分法种数为N·(其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).
(4)均匀编号分组：将n个不同元素分成m(m≤n)组，其中r组元素个数相等且考虑各
组间的顺序，其分法种数为·(其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).
2. 相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，那么可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”. 每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称为隔板法. 隔板法专门用于解决相同元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有种方法. 可理解为(n-1)个
空中插入(m-1)块板.
六、排列、组合的综合问题
1. 解决排列、组合问题首先要区分是排列问题还是组合问题，有序则用排列知识求解，无序则用组合知识求解，要遵循两个原则：
(1)按元素(或位置)的性质进行分类；
(2)按事情发生的过程进行分步.
4. 4 二项式定理
一、二项式定理及相关概念
1. 公式(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn称为二项式定理.
(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N+)叫作二项式系数，在定理中，令a=1，b=x，
则得到公式(1+x)n=+x+x2+…+xr+…+xn.
2. 二项展开式的通项为Tr+1=an-rbr，它是(a+b)n展开式的第(r+1)项.
二、二项式系数的有关性质
1. 对称性
　　在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即=.
2. 单调性和最大值
二项式系数从两端向中间逐渐增大，
当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值.
3. 各二项式系数的和
(1)++…+=2n；
(2)+++…=+++…=2n-1.
三、求二项展开式中的特定项(项的系数)
1. 对于常数项，隐含的条件是字母的指数为0.
2. 对于有理项，一般先写出展开式的通项，然后令其所有的字母的指数都等于整数. 求解时必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解.
3. 对于整式项，其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
四、三项展开式问题
1. 求三项式中特定项的方法
(1)因式分解法：先通过因式分解将三项式变成两个二项式，然后用二项式定理分别展开.
(2)逐层展开法：先将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的展开.
(3)利用组合知识：把三项式(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后把各个同类项合并.
五、赋值法求展开式中的系数和
1. 赋值法是解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方法. 要根据所求，灵活地对字母赋值，通常赋的值为0，-1或1.
(1)对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a，b，c∈R，m，n∈N+)的式子，常令x=1；
对形如(ax+by)n(a，b∈R，n∈N+)的式子，常令x=y=1.
(2)一般地，令f(x)=(ax+b)n，即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，
则(ax+b)n的展开式中各项系数之和为f(1)；
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=；
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
六、二项式系数的性质及应用
1. 求展开式中二项式系数最大的项时，可直接根据性质求解.
2. 求二项展开式中系数的最值问题有两种思路：(1)看成关于n的函数，结合函数的单调性判断系数的增减性，从而求出系数的最值；(2)在系数均为正值的前提下，求它们的最大值只需比较相邻两个系数的大小，根据其展开式的通项列出不等式(组)即可.
3. 根据二项式系数的性质求参数时，关键是正确列出与参数有关的式子，然后解此关系式即可. 必要时，需检验所求参数是否符合题目要求.
七、杨辉三角问题
1. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

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