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呼和浩特市重点中学2022-2023学年高一下学期期末考试
数学
第I卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1.小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，如果他想把时钟调整到和北京时间一致，他需要将时钟的时针旋转（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A.的虚部为
B.的共轭复数为
C.
D.在复平面内对应的虚在第二象限
3.以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体.
A.①②④⑥ B.②③④⑤ C.①②③⑥ D.①②⑤⑥
4.已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动个单位长度
5.圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲平教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为米，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A.20米 B.30米 C.米 D.米
6.上、下底面面积分别为和，母线长为的圆台，其两底面之间的距离为（ ）
A. B.4 C. D.
7.若，则（ ）
A.或1 B.或-1 C. D.-1
8.设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有.则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大邀共4小题，每小题5分，共20分.）
9.已知向量，下列结论中正确的是（ ）
A若，则
B.与共线的单位向量一定为
C.当时，在上的投影的数量为
D.当时，与的夹角为锐角
10.的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则是钝角三角形
B.若，则符合条件的有两个
C.若，则角的大小为
D.若为斜三角形（锐角或钝角），则
11.已知，且的图象的对称中心与对称轴的最小距离为则下列说法正确的是（ ）
A.
B.的图象关于直线对称
C.把图象向左平移单位，所得图象关于轴对称
D.保持图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左平移个单位，得到函数的图象
12.如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放入一个球状物体，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则（ ）
A.此圆锥的侧面积为
B.球的表面积为
C.原玻璃杯中溶液的体积为
D.溢出溶液的体积为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为__________.
14.已知同一平面上的不共线向量两两所成的角相等，并且，则向量的长度为__________.
15.已知为锐角，则__________.
16.已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为__________.
四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，18-22小题每题12分，共70分.）
17.已知，求：
（1）与的夹角；
（2）与的夹角的余弦值.
18.已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高.
（1）求正三棱锥的表面积；
（2）求正三棱锥的体积.
19.已知，函数.
（1）求图象的对称中心坐标及其在内的单调递增区间；
（2）若函数，计算的值.
20.在中，设角的对边长分别为，已知.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
21.如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点分别是线段的中点.
（1）求证：平面
（2）是线段的中点，证明：平面平面.
22.已知中，为边上的点.
（1）若为的中点，且，求线段的长；
（2）若平分
①若，求线段的长：
②求线段长的取值范围.
呼和浩特市重点中学2022-2023学年高一下学期期末考试
答案和解析
1-4BBCD 5-8DBCA
9.AC 10.AD 11.ABD 12.ABD
1.【答案】B
由时钟经过12小时转了，可求时钟经过1小时转了，即可得解.本题主要考查了任意角的概念及弧度制的应用，属于基础题.故选：B.
3.【答案】C
①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确；
②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；
③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确；
④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；
⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误；
⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确.
故选：
4.【答案】D
根据函数的部分图象，结合五点法作图可得.为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可.故选：D.
7.【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，或-1，当时，，分母为0不合题意，故舍.
故选：C
8.【答案】A
【解析】法一：基底表示
把用同一组基底表示，设：，所以：
所以：
所以是关于的二次函数，根据可知上式当时取得最小值，所以上式二次函数的对称轴满足：
化简为，所以.
法二：坐标法
以线段中点建立直角坐标系，设，如图：
设，根据题意可得对于任意的，不等式恒成立，即：
以上不等式恒成立，利用图象或参数分离可得：.所以.
法三：根据极化恒等式：设中点为，则
，即：
设中点为，则，选
法四：利用数量积的几何意义
对于选项，设中点为，如图：
当点在线段上，；
当点在线段上，在中点处取得最小值，所以正确.
对于选项，不妨设，如图：
此时，点在线段上，，所以错误；对于选项C：，
如图：
根据数量积的几何意义：
这并不能保证是最小的，如果点在线段上，，所以错误；对于选项，如图：
根据数量积的几何意义：
根据注意到对于任意的点为定值，所以当点在中点时，取得最小值，所以错误.
9.【答案】AC
对于：若，则，
即，解得，故正确；
对于：设与共线的单位向量为，
所以，解得，
所以与共线的单位向量为或，故不正确；
对于：当时，在上的投影为，
在上的投影向量为故正确；
对于，
当时，，
所以与的夹角为锐角或零度角，故不正确.
故选：.
10.【答案】AD
.因为，则，所以，所以，则是钝角三角形，故正确；
.因为，所以，
，则，则符合条件的有一个，故错误；
.因为，由正弦定理得，即，所以，即，又，则，故错误；
.因为，则，
，所以，故正确；
故选：
11.【答案】ABD
的图象的对称中心与对称轴的最小距离为，则，
，故正确；
令，可得，是最小值，
故的图象关于直线对称，故正确；
把图象向左平移单位，可得的图象，
则所得函数为非奇非偶函数，
故所得函数的图象不关于轴对称，故错误；
保持图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
可得的图象，然后把所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，故正确，
故选：.
12.【答案】ABD
如图，
球心为圆锥轴截面三角形的中心，设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，球的半径为，则由题意得，
对于，圆锥的侧面积为，故正确；
原玻璃杯中溶液的体积等于圆锥的体积为，故错误.
对于圆锥轴截面为正三角形，且边长为4，
则球的半径为，
球的表面积为，溢出溶液的体积等于球的体积为，故正确.
故选：.
15. 16.9
16.【解析】函数，且为的零点，为图象的对称轴，
，且相减可得，
即，即为奇数，在上单调，
，
，故有奇数的最大值为11，
当时，，
此时在上不单调，不满足题意；
当时，，
，此时在上单调递减，满足题意；
故的最大值为9.故答案为9.

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