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第二章　直角三角形的边角关系
2　30°,45°,60°角的三角函数值
基础过关全练
知识点1　30°,45°,60°角的三角函数值
1.(2023山东烟台牟平期中)计算4cos230°的值为(　　)
A.3　　　　B.1　　　　C.
2.若锐角α满足cos α<,且tan α<1,则α的取值范围是(　　)
A.30°<α<45°　　　　　　　　B.45°<α<60°
C.60°<α<90°　　　　　　　　D.30°<α<60°
3.(2021山东烟台龙口期中)已知α为锐角,下列结论:①sin α+cos α=1;②如果α>45°,那么sin α>cos α;③如果cos α>,那么α<60°;
④=1-sin α,其中正确的有 (　　)
A.1个　　　　　　　　B.2个
C.3个　　　　　　　　D.4个
4.(2022山东东营利津期中改编)若0°<α<80°,tan(α+10°)=,则α的度数是　　　　.
5.(2020甘肃天水中考)如图所示,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则sin∠AOB的值是　　　　.
6.(2021甘肃武威中考)如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一点,
∠AED=90°,∠EAD=30°,F是AD边的中点,EF=4 cm,
则BE=　　　　cm.
7.【分类讨论思想】(2020黑龙江哈尔滨中考)在△ABC中,
∠ABC=60°,AD为BC边上的高,AD=6,CD=1,则BC的长为　　　　.
8.(2023山东泰安东平期中)计算:
(1)2cos 30°-tan 60°+tan 45°-sin 60°;
(2)-2cos 60°+sin245°+2-1.
知识点2　30°,45°,60°角的三角函数值的应用
9.(2021湖南株洲中考)某限高曲臂道路闸口如图所示,AB⊥地面l1于点A,BE与水平线l2的夹角为α(0°≤α≤90°),EF∥l1∥l2,若AB=1.4米,BE=2米,车辆的高度为h(单位:米),不考虑闸口与车辆的宽度.
①当α=90°时,h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口;
②当α=45°时,h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口;
③当α=60°时,h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.
则正确说法的个数为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
10.【教材变式·P31例2】【新独家原创】小月在花园里荡秋千,秋千的起始位置为A,OA与地面垂直,如图所示的是小月荡的一个不均衡的来回,此时∠BOC=90°,∠BOD=30°,点B到OA的距离BD=2米,则点C到OA的距离CE为　　　　米.
11.(2022内蒙古通辽中考)某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据计算AB的长度(结果保留一位小数,≈1.7).
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12.【非负性】(2022山东烟台栖霞期中,5,★☆☆)在△ABC中,
(2sin A-1)2+=0,则△ABC是 (　　)
A.等边三角形　　　　　　　　B.等腰三角形
C.直角三角形　　　　　　　　D.无法确定
13.【新情境·阳光入窗问题】(2022山东泰安中考,16,★★☆)如图,某一时刻太阳光从窗户射入房间内,与地面的夹角∠DPC=30°,已知窗户的高度AF=2 m,窗台的高度CF=1 m,窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8 m,则CP的长度为　　　　(结果精确到0.1 m).
14.(2023山东淄博淄川期中,16,★★☆)
(1)计算:2cos 45°-tan 30°cos 30°+sin260°;
(2)计算:(sin 30°)-1×(sin 60°-cos 45°)-;
(3)已知三角函数有如下的公式:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,利用该公式求sin 75°的值.
15.(2022山东淄博高青期中,21,★★☆)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与AB,BC分别交于点E和点D,且BD=2AC.
(1)求∠B的度数;
(2)求tan∠BAC的值.(结果保留根号)
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16.【抽象能力】【模型观念】(2020广西北部湾经济区中考)如图,一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向,距离小岛40 n mile的点A处,它沿着点A的南偏东15°的方向航行.
(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)
(2)渔船到达距离小岛B最近点后,按原航向继续航行20 n mile到点C处时突然发生事故,渔船马上向小岛B上的救援队求救,则救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短 最短航程是多少(结果保留根号)
答案全解全析
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1.A　4cos230°=4×=3,故选A.
2.A　∵cos α<,∴α>30°.∵tan α<1,
∴α<45°.∴30°<α<45°.故选A.
3.C　①如图,sin α=,cos α=,则sin α+cos α=>1,故原结论错误.
②因为sin 45°=cos 45°=,且在锐角范围内,正弦值随角度的增大而增大,余弦值随角度的增大而减小,所以α>45°时,sin α>,cos α<,所以sin α>cos α,故原结论正确.
③因为cos 60°=,且在锐角范围内,余弦值随角度的增大而减小,所以cos α>时,α<60°,故原结论正确.
④因为在锐角范围内,sin α<1,所以=1-sin α,故原结论正确.故选C.
4.50°
解析　∵tan(α+10°)=,∴α+10°=60°.∴α=50°.
5.
解析　如图,连接AB.
易知△AOB是等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°.
∴sin∠AOB=.
6.6
解析　∵∠AED=90°,F是AD边的中点,EF=4 cm,
∴AD=2EF=8 cm.
∵∠EAD=30°,∴AE=AD·cos 30°=8× cm.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠B=90°.
∴∠BEA=∠DAE=30°.
在Rt△ABE中,BE=AE·cos∠BEA=4=6 cm.故填6.
7.7或5
解析　①当△ABC为锐角三角形时,如图1,∠ABC=60°,AD⊥BC,AD=6,
∴BD==6,∴BC=BD+CD=6+1=7;
图1
图2
②当△ABC为钝角三角形时,如图2,
由①得BD=6,又CD=1,∴BC=BD-CD=5.
综上,BC的长为7或5.
8.解析　(1)2cos 30°-tan 60°+tan 45°-sin 60°
=2×.
(2)-2cos 60°+sin245°+2-1
=2
=2.
9.C　①当α=90°时,限高曲臂道路闸口的高度为1.4+2=3.4米,所以h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口,故①正确.②当α=45°时,限高曲臂道路闸口的高度为1.4+2×≈2.814米,所以h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口,故②正确.③当α=60°时,限高曲臂道路闸口的高度为1.4+2×≈3.132米,所以h等于3.1米的车辆可以通过该闸口,故③不正确.故选C.
10.2
解析　在Rt△OBD中,∠BOD=30°,∠BDO=90°,BD=2米,
所以OB=2BD=4米.所以OC=OB=4米.
在Rt△COE中,∠EOC=∠BOC-∠BOD=90°-30°=60°,
∠OEC=90°,OC=4米,
所以CE=OC·sin∠EOC=4·sin 60°=2(米).故填2.
11.解析　如图,
易知∠BDE=90°-45°=45°,∴在Rt△BDE中,DE=BE=14 m.
易知四边形CEBM为矩形,∴CM=BE=14 m.
在Rt△ACM中,∠ACM=60°,
∴AM=CM·tan 60°=14(m),
∴AB=BM-AM=CE-AM=20+14-14≈10.2(m).
答:AB的长度约为10.2 m.
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12.C　∵(2sin A-1)2+=0,∴2sin A-1=0,cos B-
,cos B=.∴∠A=30°,∠B=60°.∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形.故选C.
13.4.4 m
解析　由题意可知AD∥CP.∵∠DPC =30°,∴∠ADB=30°,
∴AB=AD·tan∠ADB=0.8× m.∵AC=AF+CF=3 m,
∴BC=AC-AB=m.在Rt△BCP中,∠BPC=30°,
∴CP=≈4.4(m).
14.解析　(1)原式=2×
=.
(2)原式=
=2×-(-1)=.
(3)sin 75°=sin(30°+45°)
=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°
=.
15.解析　(1)连接AD,如图.
∵AB的垂直平分线与AB,BC分别交于点E和点D,
∴AD=BD.∴∠B=∠DAB.
∵BD=2AC,∴AD=2AC.
又∠C=90°,∴sin∠ADC=.
∴∠ADC=30°.
∵∠ADC=∠B+∠DAB,∴∠B=15°.
(2)设AC=m,则AD=BD=2m.在Rt△ACD中,CD=m.
∴BC=(2+)m.
在Rt△ABC中,tan∠BAC=,即tan∠BAC=2+.
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16.解析　(1)如图,过B作BM⊥AC于M.
由题意可得∠BAM=30°+15°=45°,∴∠ABM=45°.
在Rt△ABM中,∵∠BAM=45°,AB=40 n mile,
∴AM=AB·cos∠BAM=40×cos 45°=20(n mile).
∴渔船航行20 n mile距离小岛B最近.
(2)∵BM=AM=20 n mile,MC=20 n mile,
∴tan∠MBC=.∴∠MBC=60°.
∴∠CBG=180°-60°-45°-30°=45°.
在Rt△BCM中,∵∠CBM=60°,CM=20 n mile,
∴BC=(n mile).∴救援队从B处出发沿东南方向航行到达事故地点航程最短,最短航程是40 n mile.

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