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第二章 匀速圆周运动
第4节　圆周运动与人类文明(选学)
素养拓展课(二)　圆周运动问题
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随堂达标 训练
章末强化练(二)
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米第4节　圆周运动与人类文明(选学)　略
素养拓展课(二)　圆周运动问题
学习目标 1．巩固圆周运动相关的物理概念、物理规律．2．能建立圆周运动模型，分析水平面内和竖直面内的圆周运动问题．3．掌握圆周运动问题的分析方法．
[对应学生用书P36]
1．v＝＝rω，ω＝＝，T＝＝＝.
2．F＝m＝mrω2，a＝＝rω2＝vω.
(多选)甲、乙两名溜冰运动员，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的溜冰表演，如图所示，两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为24 N．不计一切摩擦，下列判断正确的是(　　)
A．两人的线速度相同，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，均为1 rad/s
C．两人的运动半径相同，均为0.45 m
D．两人的运动半径不同，甲的为0.3 m，乙的为0.6 m
BD　[甲、乙两人绕共同的圆心做匀速圆周运动，他们间的拉力互为向心力，他们的角速度相同，半径之和为两人的距离．设甲、乙两人所需向心力为F向，角速度为ω，半径分别为r甲、r乙，则F向＝m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙＝24 N，r甲＋r乙＝0.9 m，解得r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m，ω＝1 rad/s，故B、D正确．由v＝ωr可知两人的线速度不相等，故A错误．]
[训练1]　如图所示，在光滑水平面上，两个相同的小球A、B固定在同一杆上，以O点为圆心做匀速圆周运动．A、B两球在运动过程中，下列物理量时刻相等的是(　　)
A．角速度　　　　　　　　 B．线速度
C．向心加速度 D．向心力
A　[A、B两球共轴转动，角速度相等，故A正确；由v＝ωr可知，角速度相等，半径不等，则线速度不等，故B错误；由a＝ω2r可知，角速度相等，半径不等，则向心加速度不等，故C错误；由F＝mω2r可知，角速度相等，半径不等，则向心力不等，故D错误．]
1．静摩擦力产生的临界情况
在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化，当f静达到最大值时，对应有临界角速度和临界线速度．解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围、方向可以改变”这一特点．
2．弹簧连接物体的临界情况
用弹簧连接的物体做圆周运动，当运动状况发生改变时，往往伴随着运动半径的改变，从而导致弹簧弹力发生变化．处理该类问题的关键是分析弹力的大小和方向的改变，特别是有摩擦力参与的问题更需要和静摩擦力的特点相结合，明确运动半径是否改变、什么情况下改变、弹簧是伸长还是缩短等．
如图所示，有一个水平放置的圆盘，上面放有一根劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧的一端固定于圆心O点，另一端拴一个质量为m的物体，物体与盘面间的最大静摩擦力为其重力的μ倍，开始时弹簧处于自然长度，长为R.
(1)圆盘的转速n0为多大时，物体开始滑动？
(2)当转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多大？(结果用μ、m、R、k、g表示)
解析　(1)当圆盘开始转动时，物体随圆盘一起转动，当未滑动时，由静摩擦力提供向心力，设最大静摩擦力对应的角速度为ω0，则
μmg＝mRω
又ω0＝2πn0
所以物体开始滑动时的转速n0＝ .
(2)转速增大到2n0时，由最大静摩擦力和弹簧弹力的合力提供向心力
由牛顿第二定律有μmg＋kΔx＝mω2r
此时r＝R＋Δx，ω＝4πn0
由以上各式解得Δx＝.
答案　(1) 　(2)
[训练2]　随着北京三环东路快速路的正式通车，城北到城南的通行时间将大幅缩减，大大提升出行效率．该段公路有一个大圆弧形弯道，公路外侧路基比内侧路基高．当汽车以理论时速vc行驶时，汽车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势．则(　　)
A．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
B．要求汽车在转弯过程中不打滑，车速不能大于vc
C．当路面结冰时与未结冰时相比，vc的值变小
D．当路面结冰时与未结冰时相比，vc的值不变
D　[车速低于vc，所需的向心力减小，此时车辆有向内侧滑动的趋势，摩擦力可以指向外侧，车辆不会向内侧滑动，故A错误．车速高于vc，所需的向心力增加，此时车辆有向外侧滑动的趋势，摩擦力可以指向内侧，车辆不一定会打滑，故B错误．当路面结冰时与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，路面的倾角不变，由mg tan θ＝m eq \f(v,r) 可知vc的值不变，故C错误，D正确．]
物理情境 示意图 在最高点的临界特征 做圆周运动的条件
细绳拉着小球在竖直平面内做圆周运动 T＝0mg＝m v＝ 在最高点时速度应不小于
小球在竖直放置的光滑圆环内侧做圆周运动 N＝0mg＝m v＝ 在最高点时速度应不小于
小球固定在轻杆上，在竖直平面内做圆周运动 v＝0F向＝0 N＝mg 在最高点时速度应大于或等于零
小球在竖直放置的光滑管中做圆周运动 v＝0F向＝0 N＝mg 在最高点时速度应大于或等于零
如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和球B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点．外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，则球B在最高点时(　　)
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
C　[球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得v＝，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，rA＝rB，则球A的速度大小v′＝，故B错误；球B到最高点时，对杆无弹力，此时球A由其所受的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得F＝1.5mg，故C正确，D错误．]
[训练3]　模拟过山车的实验装置如图所示，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的最小角速度为(　　)
A．　　　　　　　 B．2
C． D．
C　[小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，故C正确．]
[对应学生用书P38]
1．(描述圆周运动的物理量)如图所示，风力发电机叶片上有a和b两点，在叶片转动时，a、b的角速度分别为ωa、ωb，线速度大小为va、vb，则(　　)
A．ωa<ωb，va＝vB　　　　　 B．ωa>ωb，va＝vb
C．ωa＝ωb，vavb
D　[a和b两点都随叶片的转动而做角速度相同的圆周运动，a点的半径较大，由v＝ωr可知，a点的线速度较大，故D正确．]
2．(水平面内的圆周运动)有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点固定一根长为l的细绳，绳上系有质量为m的小球．要使小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，则A点到水平面的高度h最大为(　　)
A．　　　　B．ω2g　　　　C．　　　　D．
A　[以小球为研究对象，小球受三个力的作用，即重力mg、水平面支持力N、绳子拉力F，在竖直方向上合力为零，在水平方向上所需向心力为mω2R，设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有：R＝h tan θ，那么F cos θ＋N＝mg，F sin θ＝mω2h tan θ；当球即将离开水平面时，N＝0，此时F cos θ＝mg，F sin θ＝mg tan θ＝mω2h tan θ，即h＝.故A正确．]
3．(竖直面内的圆周运动)(2020·全国卷Ⅰ)一名同学在荡秋千，已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg.绳的质量忽略不计．当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为 8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
B　[取该同学与踏板为研究对象，到达最低点时，受力如图所示，设每根绳子平均受力为F.由牛顿第二定律有2F－mg＝，代入数据解得F＝405 N，故B正确．]
4．(圆周运动实际问题)(多选)在我国某些地方的群众现在还要依靠滑铁索过江(如图甲所示)，可把滑铁索过江简化成图乙的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，AB间的距离为L＝80 m，铁索的最低点离AB间的垂直距离为h＝8 m．若把铁索看作是圆弧，已知一个质量m＝52 kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10 m/s(g取10 m/s2)，那么(　　)
甲　　　　　　乙
A．人在整个铁索上的运动可看成匀速圆周运动
B．可求得铁索的圆弧半径为104 m
C．人在滑到最低点时对铁索的压力为570 N
D．在滑到最低点时人处于失重状态
BC　[根据题意，R2＝()2＋(R－h)2，解得R＝104 m．在最低点有F－mg＝m，解得F＝570 N，此时人处于超重状态，故B、C正确．]
章末强化练(二)　匀速圆周运动
[对应学生用书P115]
(时间：90分钟　满分：100分)
一、选择题(本题共12小题，共48分，1～7题为单选题，每小题4分，8～12题为多选题，全都选对的得4分，有选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分)
1．一质点做圆周运动，在时间t内转过n周．已知圆周半径为R，则该质点的线速度大小为(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
B　[质点做圆周运动的周期T＝，由公式v＝得v＝＝，故B正确．]
2．如图所示，质量相等的汽车甲和汽车乙以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是(　　)
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
A　[汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f＝F向＝m，由于r甲>r乙，则f甲3．如图所示，在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了．把这套系统放在电子秤上做实验，玩具车静止在拱形桥顶端时电子秤的示数为m，下列说法正确的是(　　)
A．玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数小于m
B．玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数等于m
C．玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态
D．玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱形桥)，示数越小
D　[当玩具车静止在拱形桥顶端时，台秤的示数等于整套系统的重力；玩具车运动通过拱形桥的顶端时加速度方向向下，处于失重状态，台秤的示数(N′＝N＝mg－)变小，且速度越大，示数越小．]
4. 如图所示，当一辆汽车通过拱形桥顶点的速度为10 m/s时，桥对汽车的支持力为汽车重力的.若要使该辆汽车能安全地通过此拱形桥(不脱离桥面)，则汽车通过桥顶的最大速度必须小于(　　)
A．15 m/s B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
B　[当汽车通过拱形桥顶点的速度是10 m/s时，由牛顿第二定律得mg－mg＝m，解得r＝40 m．当汽车通过拱形桥顶点对桥恰无压力时，由mg＝m eq \f(v,r) 得v1＝＝20 m/s，故B正确．]
5. 如图所示，在高速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随桶一起转动，在保证衣服不滑动的情况下(　　)
A．桶转速增大时，衣服对桶壁的压力不变
B．桶转速增大时，衣服对桶壁的压力减小
C．桶转速足够大时，衣服上的水滴将做离心运动
D．桶转速足够大时，衣服上的水滴将做向心运动
C　[衣服随桶一起转动，所需向心力由桶壁的支持力提供，转速越大，支持力越大，衣服对桶壁的压力也越大，故A、B均错误；当水滴的附着力不足以提供向心力时，水滴做离心运动，故C正确，D错误．]
6．(2021·广东卷)由于高度限制，车库出入口采用如图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ连接而成，P、Q为横杆的两个端点．在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平．杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点在竖直方向做匀速运动
D．Q点在水平方向做匀速运动
A　[由题意知杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P点绕O点做匀速圆周运动，P点的加速度方向时刻指向O点，则P点的线速度大小不变，故A正确，B错误；Q点在竖直方向的运动与P点相同，相对于O点在竖直方向的位置y关于时间t的关系为
y＝lOP·sin (＋ωt)
则可看出Q点在竖直方向不是匀速运动，故C错误；Q点相对于O点在水平方向的位置x关于时间t的关系为
x＝lOP·cos (＋ωt)＋lPQ
则可看出Q点在水平方向也不是匀速运动，故D错误．]
7．如图所示是两种不同的过山车过最高点时的情形，图甲情形中，乘客经过轨道最高点时头朝上，图乙情形中，乘客经过轨道最高点时头朝下．假设两种圆轨道的半径均为R，下列说法正确的是(　　)
A．图甲中，乘客经过轨道最高点时，若v＜，则座椅对乘客的作用力方向竖直向下
B．图甲中，乘客经过轨道最高点时，若v＜，则座椅对乘客的作用力方向竖直向上
C．图乙中，乘客经过轨道最高点时，若v＝，则座椅对乘客的作用力方向竖直向下
D．图乙中，乘客经过轨道最高点时，若v＞，则座椅对乘客的作用力方向竖直向上
B　[题图甲中，若乘客过最高点时只有重力提供向心力，则mg＝m，得速度为v＝，若v＜，则合力小于重力，所以人受到座椅施加向上的支持力，故A错误，B正确．题图乙中，乘客经过轨道最高点时，若只有重力提供向心力，则mg＝m，得速度为v＝，此时座椅对人没有作用力，故C错误；若v＞，则合力大于重力，所以人受到座椅施加的向下的压力，故D错误．]
8．(2021·河北卷)如图所示，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止．若ω′＞ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时(　　)
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
BD　[对小球受力分析，设弹力为T，弹簧与水平方向的夹角为θ，则小球在竖直方向上有
T sin θ＝mg
而T＝k(－l0)
可知θ为定值，T不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，故A错误，B正确；
水平方向当转速较小时，杆对小球的弹力FN背离转轴，则
T cos θ－FN＝mω2r
即FN＝T cos θ－mω2r
当转速较大时，FN指向转轴
T cos θ＋F＝mω′2r
即F＝mω′2r－T cos θ
则因ω′＞ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大，故C错误；
根据F合＝mω2r
可知，因角速度变大，则小球受合外力变大，故D正确．]
9．(2022·山东卷)无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3 m的半圆弧BC与长8 m的直线路径AB相切于B点，与半径为4 m的半圆弧CD相切于C点．小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过BC和CD.为保证安全，小车的速率最大为4 m/s，在ABC段的加速度最大为2 m/s2，CD段的加速度最大为1 m/s2.小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为(　　)
A．t＝(2＋)s，l＝8 m
B．t＝(＋)s，l＝5 m
C．t＝(2＋＋)s，l＝5.5 m
D．t＝[2＋＋]s，l＝5.5 m
B　[依题意知小车在BC段运动的最大速率为v1＝＝ m/s，在CD段运动的最大速率为v2＝＝2 m/s，所以经过BC段和CD段的最大速率为v2＝2 m/s，因此在BC段和CD段运动的最短时间t3＝ s＝ s，在B点的速率最大为v2＝2 m/s，设在AB段小车以最大加速度减速的距离为x，则根据匀变速直线运动规律得v＝v－2a1x，解得x＝3 m，t2＝＝1 s，所以匀速运动的最大距离l＝8 m－x＝5 m，运动时间t1＝ s，最短时间t＝t1＋t2＋t3＝(＋) s，B正确．]
10．如图甲所示，在光滑水平转台上放一木块A，用细绳的一端系住木块A，另一端穿过转台中心的光滑小孔O悬挂另一木块B.当转台以角速度ω匀速转动时，A恰能随转台一起做匀速圆周运动，图乙为其俯视图，则(　　)
A．当转台的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的 a方向运动
B．当转台的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的 b方向运动
C．当转台的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的 b方向运动
D．当转台的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的 c方向运动
BD　[木块A以角速度ω做匀速圆周运动时的向心力由细绳的拉力提供，大小等于木块B所受的重力，而木块B所受重力不变，所以转台角速度增大时，木块A需要的向心力大于木块B所受的重力，A做离心运动，故B正确；转台角速度减小时，木块A需要的向心力小于木块B所受的重力，A做向心运动，故D正确．]
11．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间的弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN v2图像如图乙所示，则(　　)
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．当v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上
D．当v2＝2b时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a
A　[由题图乙可知，当小球运动到最高点时，若v2＝b，则FN＝0，轻杆既不向上推小球也不向下拉小球，这时由小球受到的重力提供向心力，即mg＝，得v2＝gR＝b，故g＝，B错误；当v2>b时，轻杆向下拉小球，C错误；当v2＝0时，轻杆对小球的弹力等于小球的重力，即a＝mg，将g＝代入式中得小球的质量m＝，故A正确；当v2＝2b时，由牛顿第二定律得F＋mg＝，得杆的拉力大小F＝mg，即F＝a，故D错误．]
12．如图所示，水平杆两端有挡板，质量为m的小木块A穿在水平杆上，轻质弹簧一端与水平杆左侧挡板连接，另一端与A连接．初始时弹簧处于伸长状态，弹力恰好等于A与杆间的最大静摩擦力，A与杆间的动摩擦因数为μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A到竖直轴OO′的距离为L.现使杆绕竖直轴OO′由静止缓慢加速转动，角速度为ω.若A不与挡板接触，则下列说法正确的是(　　)
A．弹簧伸长量先保持不变后逐渐增大
B．弹簧伸长量保持不变
C．当ω＝ 时，摩擦力为零
D．当ω＝ 时，弹簧弹力为零
AC　[初始时，弹簧弹力大小为μmg.ω较小时，摩擦力f背离竖直轴OO′，μmg－f＝mLω2，ω越大，f越小；当ω＝ 时，f为零；ω较大时，摩擦力f指向竖直轴OO′，μmg＋f＝mLω2，当ω> 时，A将沿远离OO′方向移动，弹簧弹力增大，伸长量增大．综上分析可知，B、D错误，A、C正确．]
二、非选择题(本题共4小题，共52分)
13．(10分)我们可以用如图所示的实验装置来探究影响向心力大小的因素．长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等．转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动．横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值．
(1)当传动皮带套在两轮塔半径不同的轮盘上时，轮塔边缘处的________(选填“线速度”或“角速度”)相等．
(2)探究向心力和角速度的关系时，应将传动皮带套在两轮塔半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板________和挡板________处．(均选填“A”“B”或“C”)
解析　(1)当传动皮带套在两轮塔半径不同的轮盘上时，它们是皮带传动，轮塔边缘处的线速度大小相等．
(2) 探究向心力和角速度的关系时，利用控制变量法，根据F＝mω2r可知控制质量相同和半径相同，所以将质量相同的小球分别放在挡板A和挡板C处．
答案　(1)线速度　(2)A　C
14．(10分)如图所示为发动机的曲轴，发动机的曲轴每分钟转3 600周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)曲轴上距转轴r＝0.1 m的点的线速度大小．
解析　(1)由于曲轴每秒钟转＝60(周)，周期T＝ s，因此曲轴转动的角速度为
ω＝＝2π×60 rad/s＝120π rad/s
(2)已知r＝0.1 m，因此这一点的线速度为
v＝ωr＝120π×0.1 m/s＝12π m/s
答案　(1) s　120π rad/s　(2)12π m/s
15．(16分)有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m.
(1)计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，计算路基倾斜角度θ的正切值．(g取10 m/s2)
解析　(1)火车速度v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有
N＝m＝1×105× N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N.
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力，如图所示，则
mg tan θ＝m
由此可得tan θ＝＝0.1.
答案　(1)1×105 N　(2)0.1
16．(16分)如图所示，用长L＝0.6 m的绳系着装有m＝0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，称为“水流星”．(g取10 m/s2)
(1)在最高点水不流出的最小速度为多少？
(2)若过最高点时速度为3 m/s，则此时水对桶底的压力为多大？
解析　(1)水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力．这时的最小速度即为过最高点的临界速度v0.
以水为研究对象，则有mg＝m eq \f(v,L) ，
解得v0＝＝ m/s＝ m/s.
(2)由前面v0的解答知v＝3 m/s＞v0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供．
设桶底对水的压力为F，则有：mg＋F＝m，
解得F＝m－mg＝0.5×(－10)N＝2.5 N.
根据牛顿第三定律知F′＝F，
所以水对桶底的压力为2.5 N.
答案　(1) m/s　(2)2.5 N第4节　圆周运动与人类文明(选学)　略
素养拓展课(二)　圆周运动问题
学习目标 1．巩固圆周运动相关的物理概念、物理规律．2．能建立圆周运动模型，分析水平面内和竖直面内的圆周运动问题．3．掌握圆周运动问题的分析方法．
1．v＝＝rω，ω＝＝，T＝＝＝.
2．F＝m＝mrω2，a＝＝rω2＝vω.
(多选)甲、乙两名溜冰运动员，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的溜冰表演，如图所示，两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为24 N．不计一切摩擦，下列判断正确的是(　　)
A．两人的线速度相同，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，均为1 rad/s
C．两人的运动半径相同，均为0.45 m
D．两人的运动半径不同，甲的为0.3 m，乙的为0.6 m
　
　如图所示，在光滑水平面上，两个相同的小球A、B固定在同一杆上，以O点为圆心做匀速圆周运动．A、B两球在运动过程中，下列物理量时刻相等的是(　　)
A．角速度　　　　　　　　 B．线速度
C．向心加速度 D．向心力
　
1．静摩擦力产生的临界情况
在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化，当f静达到最大值时，对应有临界角速度和临界线速度．解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围、方向可以改变”这一特点．
2．弹簧连接物体的临界情况
用弹簧连接的物体做圆周运动，当运动状况发生改变时，往往伴随着运动半径的改变，从而导致弹簧弹力发生变化．处理该类问题的关键是分析弹力的大小和方向的改变，特别是有摩擦力参与的问题更需要和静摩擦力的特点相结合，明确运动半径是否改变、什么情况下改变、弹簧是伸长还是缩短等．
如图所示，有一个水平放置的圆盘，上面放有一根劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧的一端固定于圆心O点，另一端拴一个质量为m的物体，物体与盘面间的最大静摩擦力为其重力的μ倍，开始时弹簧处于自然长度，长为R.
(1)圆盘的转速n0为多大时，物体开始滑动？
(2)当转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多大？(结果用μ、m、R、k、g表示)
　随着北京三环东路快速路的正式通车，城北到城南的通行时间将大幅缩减，大大提升出行效率．该段公路有一个大圆弧形弯道，公路外侧路基比内侧路基高．当汽车以理论时速vc行驶时，汽车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势．则(　　)
A．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
B．要求汽车在转弯过程中不打滑，车速不能大于vc
C．当路面结冰时与未结冰时相比，vc的值变小
D．当路面结冰时与未结冰时相比，vc的值不变
　
物理情境 示意图 在最高点的临界特征 做圆周运动的条件
细绳拉着小球在竖直平面内做圆周运动 T＝0mg＝m v＝ 在最高点时速度应不小于
小球在竖直放置的光滑圆环内侧做圆周运动 N＝0mg＝m v＝ 在最高点时速度应不小于
小球固定在轻杆上，在竖直平面内做圆周运动 v＝0F向＝0 N＝mg 在最高点时速度应大于或等于零
小球在竖直放置的光滑管中做圆周运动 v＝0F向＝0 N＝mg 在最高点时速度应大于或等于零
如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和球B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点．外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，则球B在最高点时(　　)
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
　
　模拟过山车的实验装置如图所示，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的最小角速度为(　　)
A．　　　　　　　 B．2
C． D．
　
1．(描述圆周运动的物理量)如图所示，风力发电机叶片上有a和b两点，在叶片转动时，a、b的角速度分别为ωa、ωb，线速度大小为va、vb，则(　　)
A．ωa<ωb，va＝vB　　　　　 B．ωa>ωb，va＝vb
C．ωa＝ωb，vavb
　
2．(水平面内的圆周运动)有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点固定一根长为l的细绳，绳上系有质量为m的小球．要使小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，则A点到水平面的高度h最大为(　　)
A．　　　　B．ω2g　　　　C．　　　　D．
　
3．(竖直面内的圆周运动)(2020·全国卷Ⅰ)一名同学在荡秋千，已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg.绳的质量忽略不计．当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为 8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
　
4．(圆周运动实际问题)(多选)在我国某些地方的群众现在还要依靠滑铁索过江(如图甲所示)，可把滑铁索过江简化成图乙的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，AB间的距离为L＝80 m，铁索的最低点离AB间的垂直距离为h＝8 m．若把铁索看作是圆弧，已知一个质量m＝52 kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10 m/s(g取10 m/s2)，那么(　　)
甲　　　　　　乙
A．人在整个铁索上的运动可看成匀速圆周运动
B．可求得铁索的圆弧半径为104 m
C．人在滑到最低点时对铁索的压力为570 N
D．在滑到最低点时人处于失重状态
　
章末强化练(二)　匀速圆周运动
(时间：90分钟　满分：100分)
一、选择题(本题共12小题，共48分，1～7题为单选题，每小题4分，8～12题为多选题，全都选对的得4分，有选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分)
1．一质点做圆周运动，在时间t内转过n周．已知圆周半径为R，则该质点的线速度大小为(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
　
2．如图所示，质量相等的汽车甲和汽车乙以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是(　　)
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
　
3．如图所示，在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了．把这套系统放在电子秤上做实验，玩具车静止在拱形桥顶端时电子秤的示数为m，下列说法正确的是(　　)
A．玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数小于m
B．玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数等于m
C．玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态
D．玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱形桥)，示数越小
　
4. 如图所示，当一辆汽车通过拱形桥顶点的速度为10 m/s时，桥对汽车的支持力为汽车重力的.若要使该辆汽车能安全地通过此拱形桥(不脱离桥面)，则汽车通过桥顶的最大速度必须小于(　　)
A．15 m/s B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
　
5. 如图所示，在高速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随桶一起转动，在保证衣服不滑动的情况下(　　)
A．桶转速增大时，衣服对桶壁的压力不变
B．桶转速增大时，衣服对桶壁的压力减小
C．桶转速足够大时，衣服上的水滴将做离心运动
D．桶转速足够大时，衣服上的水滴将做向心运动
　
6．(2021·广东卷)由于高度限制，车库出入口采用如图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ连接而成，P、Q为横杆的两个端点．在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平．杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点在竖直方向做匀速运动
D．Q点在水平方向做匀速运动
　
7．如图所示是两种不同的过山车过最高点时的情形，图甲情形中，乘客经过轨道最高点时头朝上，图乙情形中，乘客经过轨道最高点时头朝下．假设两种圆轨道的半径均为R，下列说法正确的是(　　)
A．图甲中，乘客经过轨道最高点时，若v＜，则座椅对乘客的作用力方向竖直向下
B．图甲中，乘客经过轨道最高点时，若v＜，则座椅对乘客的作用力方向竖直向上
C．图乙中，乘客经过轨道最高点时，若v＝，则座椅对乘客的作用力方向竖直向下
D．图乙中，乘客经过轨道最高点时，若v＞，则座椅对乘客的作用力方向竖直向上
　
8．(2021·河北卷)如图所示，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止．若ω′＞ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时(　　)
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
　
9．(2022·山东卷)无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3 m的半圆弧BC与长8 m的直线路径AB相切于B点，与半径为4 m的半圆弧CD相切于C点．小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过BC和CD.为保证安全，小车的速率最大为4 m/s，在ABC段的加速度最大为2 m/s2，CD段的加速度最大为1 m/s2.小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为(　　)
A．t＝(2＋)s，l＝8 m
B．t＝(＋)s，l＝5 m
C．t＝(2＋＋)s，l＝5.5 m
D．t＝s，l＝5.5 m
　
10．如图甲所示，在光滑水平转台上放一木块A，用细绳的一端系住木块A，另一端穿过转台中心的光滑小孔O悬挂另一木块B.当转台以角速度ω匀速转动时，A恰能随转台一起做匀速圆周运动，图乙为其俯视图，则(　　)
A．当转台的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的 a方向运动
B．当转台的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的 b方向运动
C．当转台的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的 b方向运动
D．当转台的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的 c方向运动
　
11．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间的弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN v2图像如图乙所示，则(　　)
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．当v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上
D．当v2＝2b时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a
　
12．如图所示，水平杆两端有挡板，质量为m的小木块A穿在水平杆上，轻质弹簧一端与水平杆左侧挡板连接，另一端与A连接．初始时弹簧处于伸长状态，弹力恰好等于A与杆间的最大静摩擦力，A与杆间的动摩擦因数为μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A到竖直轴OO′的距离为L.现使杆绕竖直轴OO′由静止缓慢加速转动，角速度为ω.若A不与挡板接触，则下列说法正确的是(　　)
A．弹簧伸长量先保持不变后逐渐增大
B．弹簧伸长量保持不变
C．当ω＝ 时，摩擦力为零
D．当ω＝ 时，弹簧弹力为零
　
二、非选择题(本题共4小题，共52分)
13．(10分)我们可以用如图所示的实验装置来探究影响向心力大小的因素．长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等．转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动．横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值．
(1)当传动皮带套在两轮塔半径不同的轮盘上时，轮塔边缘处的________(选填“线速度”或“角速度”)相等．
(2)探究向心力和角速度的关系时，应将传动皮带套在两轮塔半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板________和挡板________处．(均选填“A”“B”或“C”)
14．(10分)如图所示为发动机的曲轴，发动机的曲轴每分钟转3 600周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)曲轴上距转轴r＝0.1 m的点的线速度大小．
15．(16分)有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m.
(1)计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，计算路基倾斜角度θ的正切值．(g取10 m/s2)
16．(16分)如图所示，用长L＝0.6 m的绳系着装有m＝0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，称为“水流星”．(g取10 m/s2)
(1)在最高点水不流出的最小速度为多少？
(2)若过最高点时速度为3 m/s，则此时水对桶底的压力为多大？

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