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第三章 万有引力定律
第5节　太空探索(选学)
素养拓展课(三)　万有引力定律的应用
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知识方法 探究
随堂达标 训练
知识方法 探究
随堂达标 训练
章末强化练(三)
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米第5节　太空探索(选学)　略
素养拓展课(三)　万有引力定律的应用
学习目标 1．进一步加深对万有引力定律的理解．2．掌握万有引力定律在天体、人造卫星、航天技术等各方面的应用．3．熟练应用万有引力定律计算天体质量、密度，分析人造卫星的运动规律等．
[对应学生用书P53]
1．建立质点模型
天体有自然天体(如地球、月球)和人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)两种，无论是哪种天体，不管它的体积有多大，在分析天体问题时，应把研究对象看成质点，通常把人造天体直接看成一个质点，把自然天体看成位于球心位置的一个质点．
2．建立匀速圆周运动模型
行星与卫星实际的绕行轨道大都是椭圆，但用圆周运动的知识处理近圆的椭圆轨道问题时，误差不大并且处理方便，因此通常把天体的运动抽象为质点之间相互绕转的匀速圆周运动．其动力学方程为：G＝m＝mrω2＝mr.
(多选)天文学家发现某恒星附近有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和周期，由此可推算出(　　)
A．行星的质量　　　　　　 B．行星的运行速率
C．恒星的质量 D．恒星的平均密度
BC　[恒星作为中心天体(视为静止)，行星绕其运转，中心天体对环绕天体的万有引力提供向心力．本题中行星(设质量为m)绕恒星(设质量为M)做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G＝m＝mr，可得M＝和v＝，故B、C正确；行星是环绕天体，在列式分析时质量会约去，故无法求出行星的质量，A错误；因恒星半径未知，故不可以求得恒星的密度，D错误．]
[训练1]　利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　)
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
D　[由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有G＝mg，故可得M＝，故A不符合题意；由万有引力提供人造卫星的向心力，有G＝m1，v＝，联立得M＝，故B不符合题意；由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有G＝m2()2r，故可得M＝，故C不符合题意；同理，根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离，可求出太阳的质量，但不可求出地球的质量，故选D.]
1．双星模型
在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力的作用下，绕两星连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动．
2．三星模型
如图所示，三颗质量相等的恒星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做匀速圆周运动，每颗恒星运行所需向心力都由其余两颗恒星对其万有引力的合力来提供，有×2×cos 30°＝ma，其中L＝2r cos 30°.
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于正三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则(　　)
A．每颗星体做匀速圆周运动的线速度为
B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度为
C．每颗星体做匀速圆周运动的周期为2π
D．每颗星体做匀速圆周运动的加速度与它们的质量无关
ABC　[由题图可知，每颗星体做匀速圆周运动的半径r＝＝R.由万有引力提供向心力得·2cos 30°＝m＝mω2r＝mr＝ma，解得v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，a＝，故A、B、C正确，D错误．]
[训练2]　引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测.1974年发现了脉冲双星间的距离在减小，这就间接地证明了引力波的存在．将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动．由于双星间的距离减小，则(　　)
A．两星的运动周期均逐渐减小
B．两星的运动角速度均逐渐减小
C．两星的向心加速度均逐渐减小
D．两星的运动线速度均逐渐减小
A　[双星做匀速圆周运动的角速度相同，靠相互间的万有引力提供向心力．根据G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，得m1r1＝m2r2，知轨道半径比等于质量之反比，由r1＋r2＝L可得r1＝L，r2＝L，双星间的距离减小，则双星的轨道半径都变小，根据上面公式可知角速度变大，则周期变小，故A正确，B错误；根据G＝m1a1＝m2a2知，L变小，则两星的向心加速度均增大，故C错误；根据G＝m1 eq \f(v,r1) ，解得v1＝ ＝ eq \r(\f(Gm,L（m1＋m2）)) ，则线速度增大，故D错误．]
1．人造地球卫星绕地心做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，G＝m＝mr＝mω2r.此式可用来分析卫星运行的绕行速度、周期、角速度随轨道半径的变化规律．
2．对于同步卫星问题，要理解“同步”的物理意义，即卫星在赤道上方一定高度的轨道上运行时，周期、角速度和地球赤道上的物体的周期、角速度相同，要善于将“同步卫星”、一般卫星和赤道上物体的运动进行对比．
假设有一艘载人宇宙飞船在距地面高度为4 200 km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6 400 km，地球同步卫星距地面高为36 000 km.宇宙飞船和一颗地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为(　　)
A．4次　　　　　　　　　 B．6次
C．7次 D．8次
C　[根据圆周运动的规律，分析一昼夜同步卫星与宇宙飞船相距最近的次数，即卫星发射信号的次数，也为接收站接收到信号的次数．设宇宙飞船的运行周期为T，由＝mr，得T＝2π
则＝()3，解得T＝3 h
设两者由相隔最远至第一次相隔最近的时间为t1，同步卫星的运行周期为T0，有
(－)·t1＝π，解得t1＝ h
再设两者两次相距最近的时间间隔为t2，有
(－)·t2＝2π，解得t2＝ h
由n＝＝6.5，知接收站接收到信号的次数为7次．]
[训练3]　(多选)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是(　　)
A．甲的周期大于乙的周期
B．乙的速度大于第一宇宙速度
C．甲的加速度小于乙的加速度
D．甲在运行时能经过北极的正上方
AC　[地球卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，则G＝m，得T＝2π.r甲>r乙，故T甲>T乙，A正确；贴近地球表面运行的卫星的速度称为第一宇宙速度，由G＝知v＝，r乙>R地，故v乙比第一宇宙速度小，B错误；由G＝ma知a＝，r甲>r乙，故a甲1．卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示．
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．
(2)在A点启动发动机加速，由于速度变大，万有引力不足以提供所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次启动发动机加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．三个运行轨道上物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为卫星在A点只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同；同理，经过B点加速度也相同．
(3)周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行的周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)
A．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同加速度
B　[从轨道1变轨到轨道2，需要在P点加速，故A错误；根据公式G＝ma可得a＝，故只要半径相同，加速度大小都相同，由于卫星在轨道1做椭圆运动，运动半径在变化，所以运动的加速度在变化，故B正确，C错误；卫星在轨道2做匀速圆周运动，加速度方向时刻在变化，故D错误．]
[训练4]　如图所示，我国“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室顺利完成交会对接．假设“天宫二号”与“天舟一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　)
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
C　[为了实现飞船与空间实验室的对接，可使飞船在较低的轨道上加速做离心运动，逐渐靠近空间实验室，在两者速度接近时实现对接，选项C正确．]
[对应学生用书P56]
1．(同步卫星的运行特点)下列关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通信卫星的说法，正确的是(　　)
A．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍
B．它在北京上空运行
C．它以第一宇宙速度运行
D．它运行的角速度与地球自转角速度相同
D　[由G＝m得r＝，则轨道半径与卫星质量无关，A错误；同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B错误；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而地球同步卫星是在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C错误；所谓“同步”就是卫星保持与地面位置相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故D正确．]
2．(天体运动模型的构建)我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5×102 km的预定轨道．“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动．已知地球半径R＝6.4×103 km.下列说法正确的是(地球同步卫星距地面3.6×104 km)(　　)
A．“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小
B．“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小
C．“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小
D．“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小
C　[地球同步卫星距地表3.6×104 km，由v＝可知，“悟空”的线速度要大，A错误；由ω＝可知，“悟空”的角速度要大，即周期要小，B错误，C正确；由an＝可知，“悟空”的向心加速度要大，D错误．]
3．某宇宙飞船在月球上空以速度v绕月球做圆周运动．如图所示，为了使飞船安全地落在月球上的B点，在轨道A点点燃火箭发动机做短时间的启动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为(　　)
A．与v的方向相反 B．与v的方向一致
C．垂直v的方向向右 D．垂直v的方向向左
B　[要使飞船降落，必须使飞船做近心运动，即减速，所以喷气方向应该与v方向相同，因此B正确．]
4．(宇宙多星模型)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是(　　)
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为
D．四颗星的周期均为2πa
B　[四星系统中任一颗星体均在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向正方形对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得＋ cos 45°＝m·，解得T＝2πa，故D正确．]
章末强化练(三)　万有引力定律
[对应学生用书P128]
(时间：90分钟　满分：100分)
一、选择题(本题共12小题，共48分，1～7题为单选题，每小题4分，8～12题为多选题，全都选对的得4分，有选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分)
1．关于万有引力定律F＝G，下列说法正确的是(　　)
A．开普勒通过研究行星运动的规律发现了万有引力定律
B．牛顿通过地月引力计算首先推算出了引力常量
C．万有引力定律中引力常量G的单位是N·m2/kg2
D．研究微观粒子之间的相互作用时万有引力不能忽略
C　[万有引力定律是牛顿发现的，故A错误；引力常量由卡文迪许首先通过实验较准确测得，故B错误；根据万有引力定律F＝G得，引力常量G＝，可知引力常量G的单位是N·m2/kg2，故C正确；研究微观粒子之间的相互作用时万有引力常常忽略不计，故D错误．]
2．两颗人造地球卫星质量之比是1∶2，轨道半径之比是3∶1，则下列说法正确的是(　　)
A．它们的周期之比是3∶1
B．它们的线速度之比是3∶1
C．它们的向心加速度之比是1∶9
D．它们的向心力之比是1∶9
C　[人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，有F＝G＝mr＝m＝ma，根据G＝mr知T＝2π，则＝ eq \r(\f(r,r)) ＝，故A错误；根据G＝m知v＝ ，则＝＝，故B错误；根据G＝ma知a＝，则＝ eq \f(r,r) ＝＝，故C正确；根据F＝G知＝· eq \f(r,r) ＝×＝，故D错误．]
3．人造地球卫星与地面的距离为地球半径的1.5倍，卫星正以角速度ω做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，R、ω、g这三个物理量之间的关系是(　　)
A．ω＝ 　　　　　　　 B．ω＝
C．ω＝ D．ω＝
A　[由G＝mrω2得ω＝ ，其中r＝2.5R，再根据g＝可得ω＝ ，故A正确．]
4．星球上的物体在星球表面附近绕星球做匀速圆周运动所必须具备的速度v1叫作第一宇宙速度，物体脱离星球引力所需要的最小发射速度v2叫作第二宇宙速度，v2与v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的.若不计其他星球的影响，则该星球的(　　 )
A．v1＝，v2＝
B．v1＝，v2＝
C．v1＝，v2＝
D．v1＝，v2＝
B　[对贴着星球表面的卫星有mg′＝m eq \f(v,r) ，解得v1＝＝，又由v2＝v1，可求出v2＝ .]
5．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(　　)
A．距地面的高度变大
B．向心加速度变大
C．线速度变大
D．角速度变大
A　[卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝mr()2，得r＝ ，地球同步卫星的周期等于地球的自转周期，当地球自转变慢(自转周期变大)时，同步卫星做圆周运动的半径会变大，离地面的高度变大，故A正确；由G＝ma得a＝，半径变大，向心加速度变小，故B错误；由G＝m得v＝，半径变大，线速度变小，故C错误；由ω＝可知，同步卫星的周期变大，角速度变小，故D错误．]
6．如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动．经P点时，启动推进器短时间内向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道．则飞行器(　　)
A．变轨后将沿轨道2运动
B．相对于变轨前运行周期变长
C．变轨前、后在两轨道上经P点的速度大小相等
D．变轨前、后在两轨道上经P点的加速度大小相等
D　[推进器短时间向前喷气，飞行器将被减速，故C错误；此时有G>m，所以飞行器将做向心运动，即变轨后将沿较低轨道3运动，故A错误；根据开普勒第三定律可知，公转周期将变短，故B错误；由于变轨前、后在两轨道上经P点时，所受万有引力不变，因此加速度大小不变，故D正确．]
7．(2022·山东卷)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星．如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直．卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈．已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面的高度为(　　)
A．()－R　　　　　　 B．()
C．()－R D．()
C　[依题意可知卫星的绕行周期T0＝，对卫星根据牛顿第二定律可得G＝m(R＋h)· eq \f(4π2,T) ，根据黄金代换式gR2＝GM，联立解得h＝()－R，C正确．]
8．(2021·湖南卷)2021年4月29日，中国空间站“天和”核心舱发射升空，准确进入预定轨道．根据任务安排，后续将发射“问天”实验舱和“梦天”实验舱．核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的.下列说法正确的是(　　)
A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的
B．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s
C．核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h
D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
AC　[根据万有引力定律有
F＝G
核心舱进入轨道后的万有引力与地面上万有引力之比为
＝＝()2
故A正确；
核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9 km/s，因为第一宇宙速度是最大的环绕速度，所以B错误；
根据T＝2π 可知轨道半径越大周期越大，则其周期比同步卫星的周期小，小于24 h，故C正确；
卫星做圆周运动时万有引力提供向心力有
G＝m
解得v＝
则卫星的环绕速度与卫星的质量无关，所以变轨时需要点火减速或者点火加速，增加质量不会改变轨道半径，D错误．]
9．如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、v、S分别表示卫星的轨道半径、周期、速度、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有(　　)
A．TA>TB B．vA>vB
C．SA＝SB D． eq \f(R,T) ＝ eq \f(R,T)
AD　[卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝m＝mR()2，得v＝ ，T＝2π，由RA>RB可知，TA>TB，vA10．有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v绕行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得(　　 )
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．无法求出该行星的质量
D．该行星表面的重力加速度为
AB　[由T＝可得R＝，故A正确；由＝m可得M＝，故C错误；由M＝πR3ρ得ρ＝，故B正确；由G＝mg得g＝，故D错误．]
11．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，它们的质量之比约为7∶1，已知它们绕连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的(　　)
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的
D．向心力大小约为卡戎的7倍
AC　[冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，所以冥王星和卡戎的周期相等，角速度也相等，故B错误；它们之间的万有引力提供各自的向心力，得mω2r＝Mω2R，冥王星与卡戎的质量之比约为7∶1，所以冥王星绕O点运动的轨道半径约为卡戎的，故A正确；根据v＝ωr得冥王星的线速度大小约为卡戎的，故C正确．它们之间的万有引力是相互作用力，大小相等，故D错误．]
12．如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R.下列说法正确的是(　　 )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
BC　[地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，故A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，故C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，故D错误．]
二、非选择题(本题共4小题，共52分)
13．(12分)在某火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T.火星可视为半径为r0的均匀球体．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0.求：
(1)火星表面的重力加速度；
(2)它第二次落到火星表面时速度的大小．(不计火星大气阻力)
解析　(1)设火星的卫星的质量为m，有
G＝mr
设火星表面的物体的质量为m0，有
G eq \f(Mm0,r) ＝m0g，
则g＝ eq \f(4π2r3,T2r) .
(2)设落到火星表面时竖直方向速度为v1，
则有v＝2gh.
又v2＝v＋v，
所以，v＝ eq \r(\f(8π2hr3,T2r)＋v) .
答案　(1) eq \f(4π2r3,T2r) 　(2) eq \r(\f(8π2hr3,T2r)＋v)
14．(12分)某载人飞船中有一体重计，体重计上放一物体，火箭点火前，宇航员观察到体重计的示数为F0.在载人飞船随火箭竖直向上匀加速升空的过程中，当飞船离地面高度为H时，宇航员观察到体重计显示对物体的弹力为F.设地球半径为R，第一宇宙速度为v，求：
(1)该物体的质量；
(2)火箭上升的加速度．
解析　(1)设地面附近重力加速度为g0，由火箭点火前体重计示数为F0可知，物体质量为m＝ ①
由第一宇宙速度公式v＝
可得地球表面附近的重力加速度g0＝ ②
联立①②式解得该物体的质量为m＝ ③
(2)当飞船离地面高度为H时，物体所受万有引力为
F′＝G ④
而g0＝ ⑤
对物体应用牛顿第二定律得F－F′＝ma ⑥
联立②③④⑤⑥式得火箭上升的加速度
a＝－.
答案　(1)　(2)－
15．(13分)在某个半径为R＝105 m的行星表面，用弹簧测力计称量质量m＝1 kg的砝码，其重力的大小G＝1.6 N.
(1)求该星球的第一宇宙速度v1；
(2)求该星球的平均密度．(球体体积公式V＝πR3，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留2位有效数字)
解析　(1)行星表面的重力加速度g＝＝1.6 m/s2，则m′g＝m′ eq \f(v,R) ，
解得该星球的第一宇宙速度
v1＝＝400 m/s.
(2)由mg＝G得M＝，
又V＝πR3，
所以ρ＝＝，
代入数据解得ρ≈5.7×104 kg/m3.
答案　(1)400 m/s　(2)5.7×104 kg/m3
16．(15分)某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示．已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R.求：
(1)飞船在近地点A的加速度aA；
(2)远地点B距地面的高度h2.
解析　(1)设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点飞船受到的地球引力为F＝G，
地球表面的重力加速度g＝G
由牛顿第二定律得
aA＝＝＝.
(2)飞船在预定圆轨道飞行的周期T＝
由牛顿第二定律得
G＝m(R＋h2)
解得h2＝ －R.
答案　(1)　(2) －R第5节　太空探索(选学)　略
素养拓展课(三)　万有引力定律的应用
学习目标 1．进一步加深对万有引力定律的理解．2．掌握万有引力定律在天体、人造卫星、航天技术等各方面的应用．3．熟练应用万有引力定律计算天体质量、密度，分析人造卫星的运动规律等．
1．建立质点模型
天体有自然天体(如地球、月球)和人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)两种，无论是哪种天体，不管它的体积有多大，在分析天体问题时，应把研究对象看成质点，通常把人造天体直接看成一个质点，把自然天体看成位于球心位置的一个质点．
2．建立匀速圆周运动模型
行星与卫星实际的绕行轨道大都是椭圆，但用圆周运动的知识处理近圆的椭圆轨道问题时，误差不大并且处理方便，因此通常把天体的运动抽象为质点之间相互绕转的匀速圆周运动．其动力学方程为：G＝m＝mrω2＝mr.
(多选)天文学家发现某恒星附近有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和周期，由此可推算出(　　)
A．行星的质量　　　　　　 B．行星的运行速率
C．恒星的质量 D．恒星的平均密度
　
　利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　)
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
　
1．双星模型
在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力的作用下，绕两星连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动．
2．三星模型
如图所示，三颗质量相等的恒星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做匀速圆周运动，每颗恒星运行所需向心力都由其余两颗恒星对其万有引力的合力来提供，有×2×cos 30°＝ma，其中L＝2r cos 30°.
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于正三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则(　　)
A．每颗星体做匀速圆周运动的线速度为
B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度为
C．每颗星体做匀速圆周运动的周期为2π
D．每颗星体做匀速圆周运动的加速度与它们的质量无关
　
　引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测.1974年发现了脉冲双星间的距离在减小，这就间接地证明了引力波的存在．将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动．由于双星间的距离减小，则(　　)
A．两星的运动周期均逐渐减小
B．两星的运动角速度均逐渐减小
C．两星的向心加速度均逐渐减小
D．两星的运动线速度均逐渐减小
　
1．人造地球卫星绕地心做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，G＝m＝mr＝mω2r.此式可用来分析卫星运行的绕行速度、周期、角速度随轨道半径的变化规律．
2．对于同步卫星问题，要理解“同步”的物理意义，即卫星在赤道上方一定高度的轨道上运行时，周期、角速度和地球赤道上的物体的周期、角速度相同，要善于将“同步卫星”、一般卫星和赤道上物体的运动进行对比．
假设有一艘载人宇宙飞船在距地面高度为4 200 km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6 400 km，地球同步卫星距地面高为36 000 km.宇宙飞船和一颗地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为(　　)
A．4次　　　　　　　　　 B．6次
C．7次 D．8次
　
　(多选)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是(　　)
A．甲的周期大于乙的周期
B．乙的速度大于第一宇宙速度
C．甲的加速度小于乙的加速度
D．甲在运行时能经过北极的正上方
　
1．卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示．
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．
(2)在A点启动发动机加速，由于速度变大，万有引力不足以提供所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次启动发动机加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．三个运行轨道上物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为卫星在A点只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同；同理，经过B点加速度也相同．
(3)周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行的周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)
A．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同加速度
　
　如图所示，我国“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室顺利完成交会对接．假设“天宫二号”与“天舟一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　)
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
　
1．(同步卫星的运行特点)下列关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通信卫星的说法，正确的是(　　)
A．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍
B．它在北京上空运行
C．它以第一宇宙速度运行
D．它运行的角速度与地球自转角速度相同
　
2．(天体运动模型的构建)我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5×102 km的预定轨道．“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动．已知地球半径R＝6.4×103 km.下列说法正确的是(地球同步卫星距地面3.6×104 km)(　　)
A．“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小
B．“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小
C．“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小
D．“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小
　
3．某宇宙飞船在月球上空以速度v绕月球做圆周运动．如图所示，为了使飞船安全地落在月球上的B点，在轨道A点点燃火箭发动机做短时间的启动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为(　　)
A．与v的方向相反 B．与v的方向一致
C．垂直v的方向向右 D．垂直v的方向向左
　
4．(宇宙多星模型)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是(　　)
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为
D．四颗星的周期均为2πa
　
章末强化练(三)　万有引力定律
(时间：90分钟　满分：100分)
一、选择题(本题共12小题，共48分，1～7题为单选题，每小题4分，8～12题为多选题，全都选对的得4分，有选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分)
1．关于万有引力定律F＝G，下列说法正确的是(　　)
A．开普勒通过研究行星运动的规律发现了万有引力定律
B．牛顿通过地月引力计算首先推算出了引力常量
C．万有引力定律中引力常量G的单位是N·m2/kg2
D．研究微观粒子之间的相互作用时万有引力不能忽略
　
2．两颗人造地球卫星质量之比是1∶2，轨道半径之比是3∶1，则下列说法正确的是(　　)
A．它们的周期之比是3∶1
B．它们的线速度之比是3∶1
C．它们的向心加速度之比是1∶9
D．它们的向心力之比是1∶9
　
3．人造地球卫星与地面的距离为地球半径的1.5倍，卫星正以角速度ω做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，R、ω、g这三个物理量之间的关系是(　　)
A．ω＝ 　　　　　　　 B．ω＝
C．ω＝ D．ω＝
　
4．星球上的物体在星球表面附近绕星球做匀速圆周运动所必须具备的速度v1叫作第一宇宙速度，物体脱离星球引力所需要的最小发射速度v2叫作第二宇宙速度，v2与v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的.若不计其他星球的影响，则该星球的(　　 )
A．v1＝，v2＝
B．v1＝，v2＝
C．v1＝，v2＝
D．v1＝，v2＝
　
5．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(　　)
A．距地面的高度变大
B．向心加速度变大
C．线速度变大
D．角速度变大
　
6．如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动．经P点时，启动推进器短时间内向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道．则飞行器(　　)
A．变轨后将沿轨道2运动
B．相对于变轨前运行周期变长
C．变轨前、后在两轨道上经P点的速度大小相等
D．变轨前、后在两轨道上经P点的加速度大小相等
　
7．(2022·山东卷)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星．如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直．卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈．已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面的高度为(　　)
A．()－R　　　　　　 B．()
C．()－R D．()
　
8．(2021·湖南卷)2021年4月29日，中国空间站“天和”核心舱发射升空，准确进入预定轨道．根据任务安排，后续将发射“问天”实验舱和“梦天”实验舱．核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的.下列说法正确的是(　　)
A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的
B．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s
C．核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h
D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
　
9．如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、v、S分别表示卫星的轨道半径、周期、速度、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有(　　)
A．TA>TB B．vA>vB
C．SA＝SB D． eq \f(R,T) ＝ eq \f(R,T)
　
10．有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v绕行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得(　　 )
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．无法求出该行星的质量
D．该行星表面的重力加速度为
　
11．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，它们的质量之比约为7∶1，已知它们绕连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的(　　)
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的
D．向心力大小约为卡戎的7倍
　
12．如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R.下列说法正确的是(　　 )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
　
二、非选择题(本题共4小题，共52分)
13．(12分)在某火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T.火星可视为半径为r0的均匀球体．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0.求：
(1)火星表面的重力加速度；
(2)它第二次落到火星表面时速度的大小．(不计火星大气阻力)
14．(12分)某载人飞船中有一体重计，体重计上放一物体，火箭点火前，宇航员观察到体重计的示数为F0.在载人飞船随火箭竖直向上匀加速升空的过程中，当飞船离地面高度为H时，宇航员观察到体重计显示对物体的弹力为F.设地球半径为R，第一宇宙速度为v，求：
(1)该物体的质量；
(2)火箭上升的加速度．
15．(13分)在某个半径为R＝105 m的行星表面，用弹簧测力计称量质量m＝1 kg的砝码，其重力的大小G＝1.6 N.
(1)求该星球的第一宇宙速度v1；
(2)求该星球的平均密度．(球体体积公式V＝πR3，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留2位有效数字)
16．(15分)某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示．已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R.求：
(1)飞船在近地点A的加速度aA；
(2)远地点B距地面的高度h2.

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