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第四章 机械能及其守恒定律
素养拓展课(四)　动能定理和机械能守恒定律的应用
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章末强化练(四)
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米素养拓展课(四)　动能定理和机械能守恒定律的应用
学习目标 1．掌握动能定理的应用．2．掌握机械能守恒定律的条件和应用．3．学会应用动能定理和机械能守恒定律分析、解决实际问题．
[对应学生用书P87]
遇到动能定理与圆周运动、平抛运动、直线运动等知识相结合的综合题时，注意分析物体的运动过程，分析整个过程中外力做的功及过程初、末物体的动能．若整个运动过程由几个运动性质不同的分过程组成，可分段考虑，若不涉及中间过程量也可对整个过程分析．
(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如通过分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量．
(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：
①有支撑效果的圆周运动，如物体在光滑管中做圆周运动，物体能过最高点的临界条件为物体在最高点处的最小速度vmin＝0.
②没有支撑效果的圆周运动，如物体在光滑圆环内侧做圆周运动，物体能过最高点的临界条件为物体在最高点处的最小速度vmin＝.
如图所示，质量为m的小球从高为h的地方由静止释放，如果恰好对光滑管道(内径不计)上的A点无挤压，求h的值；如果恰好对管道的B点(圆弧的最高点)无挤压，求h的值．(图中两虚线夹角为60°，圆弧曲率半径为R)
解析　若小球恰好对A点无挤压，则在A点，根据牛顿第二定律有mg cos 30°＝m eq \f(v,R) ①
小球从开始运动至到达A点，根据动能定理有
mgh＝mv②
联立①②式，得h＝R
若小球恰好对B点无挤压，则在B点，根据牛顿第二定律有mg＝m eq \f(v,R) ③
小球从开始运动至到达B点，根据动能定理，有
mg[h－R(1－cos 30°)]＝mv④
联立③④式，得h＝R.
答案　R　R
[训练1]　(2021·全国乙卷)一个篮球的质量为m＝0.60 kg，一运动员使其从距地面高度为h1＝1.8 m处由静止自由落下，反弹高度为h2＝1.2 m．若使篮球从距地面h3＝1.5 m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也为1.5 m．假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为t＝0.20 s；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变．重力加速度大小取g＝10 m/s2，不计空气阻力．求：
(1)运动员拍球过程中对篮球所做的功；
(2)运动员拍球时对篮球的作用力的大小．
解析　(1)第一次篮球下落的过程中由动能定理可得
E1＝mgh1
篮球反弹后向上运动的过程由动能定理可得
0－E2＝－mgh2
第二次从1.5 m的高度静止下落，同时向下拍球，在篮球反弹上升的过程中，由动能定理可得
0－E4＝0－mgh4
第二次从1.5 m的高度静止下落，同时向下拍球，篮球下落过程中，由动能定理可得
W＋mgh3＝E3
因篮球每次和地面撞击的前后动能的比值不变，则有比例关系
＝
代入数据可得
W＝4.5 J
(2)因作用力是恒力，在恒力作用下篮球向下做匀加速直线运动，因此由牛顿第二定律可得
F＋mg＝ma
在拍球时间内运动的位移为
x＝at2
做的功为
W＝Fx
联立可得
F＝9 N或F＝－15 N(舍去)
答案　(1)4.5 J　(2)9 N
机械能守恒定律多与其他知识相结合，一般为多过程问题，难度较大．解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，必要时还需要综合应用其他物理规律求解．
(2020·江苏卷)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动．在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R.在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物．重物由静止下落，带动鼓形轮转动．重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω.绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g.求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h.
解析　(1)线速度v＝ωr
得v＝2ωR
(2)向心力F向＝2mω2R
设F与水平方向的夹角为α，则
F cos α＝F向；F sin α＝mg
解得F＝
(3)落地时，重物的速度v′＝ωR
由机械能守恒得Mv′2＋4×mv2＝Mgh
解得h＝(ωR)2
答案　(1)2ωR　(2)　
(3)(ωR)2
[训练2]　如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆弧轨道经过最高点C，重力加速度为g.求：
(1)小球在AB段运动的加速度的大小；
(2)小球从D点运动到A点所用的时间．
解析　(1)小球在BCD段运动时，受到重力mg、轨道的正压力N作用，受力分析如图所示．由题意知N≥0，且小球在最高点C所受轨道的正压力为零．小球在C点的速度大小记为vC，根据牛顿第二定律有mg＝m eq \f(v,R) ，小球从B点运动到C点的过程中，机械能守恒．小球在B点的速度大小记为vB，则有mv＝mv＋2mgR.小球在AB段由静止开始做匀加速运动，加速度大小记为a，由运动学公式得v＝2aR联立以上各式解得a＝g.
(2)小球在D点的速度大小记为vD，下落到A点时的速度大小记为v，根据机械能守恒定律，小球从B点运动到D点的过程中，有
mv＝mv＋mgR
小球从B点运动到A点的过程中，有
mv＝mv2
设小球从D点运动到A点所用的时间为t，根据运动学公式有gt＝v－vD
联立解得t＝(－) .
答案　(1)g　(2)(－)
[对应学生用书P89]
1．(应用动能定理分析问题) 如图所示，固定斜面的倾角为θ，整个斜面分为AB、BC两段，且1.5AB＝BC.小物块P(可视为质点)与AB、BC两段斜面之间的动摩擦因数分别为μ1、μ2.已知P从A点由静止释放，恰好能滑动到C点而停下．那么θ、μ1、μ2间应满足的关系式是(　　)
A．tan θ＝　　　　　 B．tan θ＝
C．tan θ＝2μ1－μ2 D．tan θ＝2μ2－μ1
A　[P被释放后受重力、支持力、滑动摩擦力，设斜面AC长为L，P由A点静止释放，恰好能滑动到C点而停下，由动能定理得mgL sin θ－μ1mg cos θ×L－μ2mg cos θ×L＝0，解得tan θ＝.A正确．]
2．(应用机械能守恒定律分析问题)一个小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2.圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m.若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过最高点A处时对轨道的压力为(　　)
A．2mg　　　B．3mg　　　C．4mg　　　D．5mg
C　[小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝ eq \f(mv,1.8R) .小球在轨道1上经过最高点A处时，有F＋mg＝ eq \f(mv,R) ，根据机械能守恒定律，有1.6mgR＝mv－mv，解得F＝4mg，C正确．]
3．(动能定理的综合应用)如图所示，与水平面夹角θ＝37°的斜面和半径R＝0.4 m 的光滑圆轨道相切于B点，且固定于竖直平面内．滑块从斜面上的A点由静止释放，经B点后沿圆轨道运动，通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零．已知滑块与斜面间动摩擦因数μ＝0.25，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)滑块在C点的速度大小vC；
(2)滑块在B点的速度大小vB；
(3)A、B两点间的高度差h.
解析　(1)在C点滑块竖直方向所受合力提供向心力，则mg＝ eq \f(mv,R)
解得vC＝＝2 m/s.
(2)对B→C过程，滑块机械能守恒，则
mv＝mv＋mgR(1＋cos 37°)
解得vB＝ eq \r(v＋2gR（1＋cos 37°）) ≈4.29 m/s.
(3)对A→B过程，由动能定理可得
mgh－μmg cos 37°·＝mv－0
代入数据解得h≈1.38 m.
答案　(1)2 m/s　(2)4.29 m/s　(3)1.38 m
4．(机械能守恒定律的综合应用)如图所示，竖直平面内固定着由两个半径均为R的圆弧构成的细管道ABC，圆心连线O1O2水平．轻质弹簧左端固定在竖直挡板上，右端靠着质量为m的小球(小球的直径略小于管道内径)，长为R的薄板DE置于水平面上，薄板的左端D到管道右端C的水平距离为R.开始时弹簧处于锁定状态，具有一定的弹性势能．解除弹簧锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从C点抛出(不计一切摩擦)，小球经C点时对轨道外侧的弹力的大小为mg.重力加速度为g.
(1)求弹簧锁定时具有的弹性势能Ep；
(2)试通过计算判断小球能否落在薄板DE上．
解析　(1)从解除弹簧锁定到小球运动到C点的过程，弹簧和小球组成的系统机械能守恒．设小球到达C点的速度大小为v1，根据机械能守恒定律可得Ep＝2mgR＋mv
由题意知，小球经C点时所受的弹力的大小为mg，方向竖直向下，可得mg＋mg＝ eq \f(mv,R)
解得v1＝，Ep＝3mgR.
(2)小球离开C点后做平抛运动．设从抛出到落到水平面上的时间为t，水平位移为x，根据平抛运动规律有
2R＝gt2，x＝v1t
解得x＝2R>2R
所以小球不能落在薄板DE上．
答案　(1)3mgR　(2)小球不能落在薄板DE上
章末强化练(四)　机械能及其守恒定律
[对应学生用书P149]
(时间：90分钟　满分：100分)
一、选择题(本题共12小题，共48分，1～7题为单选题，每小题4分，8～12题为多选题，全都选对的得4分，有选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分)
1．如图所示实例中均不考虑空气阻力，系统机械能守恒的是(　　)
D　[人上楼、跳绳过程中机械能不守恒，从能量转化角度看都是消耗人体的化学能；水滴石穿，水滴的机械能减少的部分转变为内能；弓箭射出过程中是弹性势能与动能、重力势能的相互转化，射出后箭只受重力作用，机械能守恒．]
2．一名小孩从公园中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其能量的变化情况是(　　)
A．重力势能减少，动能不变，机械能减少
B．重力势能减少，动能增加，机械能减少
C．重力势能减少，动能增加，机械能增加
D．重力势能减少，动能增加，机械能守恒
B　[小孩在下滑过程中重力势能减少，由于小孩做加速运动，故动能增加．又因为小孩下滑过程中克服摩擦力做功，故机械能减少，B正确．]
3．在平直公路上以一定速率(约为5 m/s)行驶的自行车所受阻力为车和人总重量的，则骑车人的功率最接近于(车和人的总质量约为100 kg)(　　)
A．0.1 kW　　　　　　　　 B．1×103 kW
C．1 kW D．10 kW
A　[因为车速v＝5 m/s，骑车时的牵引力F＝f＝0.02×100×10 N＝20 N，所以功率P＝Fv＝20×5 W＝100 W＝0.1 kW，故A正确．]
4．某物体做自由落体运动，其相对于地面的重力势能Ep与下落速度v的关系图像正确的是(　　 )
C　[设物体原来具有的重力势能为Ep0，下落过程中有Ep＝Ep0－mv2，故C正确．]
5．如图所示，半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高．一个质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg.重力加速度大小为g，质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(　　)
A．mgR B．mgR
C．mgR D．mgR
B　[在Q点，质点在竖直方向上受支持力和重力的作用，这两个力的合力提供向心力；由牛顿第二定律可得F－mg＝m，解得v＝.对质点自P滑到Q的过程中，由动能定理可得mgR－W克＝mv2，解得W克＝mgR，故B正确．]
6．(2021·湖南卷)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，则动车组能达到的最大速度为vm.下列说法正确的是(　　)
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mv－Pt
C　[对动车，由牛顿第二定律有
F－F阻＝ma
若动车组在匀加速启动，即加速度a恒定，但F阻＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而变大，故A错误；
若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有
－kv＝ma
可知加速启动的过程中牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；
若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶时加速度为零，有
＝kv
而以额定功率匀速行驶时，有
＝kvm
联立解得v＝vm，故C正确；
若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，由动能定理可知
4Pt－WF阻＝mv－0
可得动车组克服阻力做的功为
WF阻＝4Pt－mv
故D错误．]
7．(2022·全国甲卷)2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h.要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于(　　)
A． B．
C． D．
D　[运动员由a运动到c的过程中，设到c点时的速度为v，由机械能守恒定律有mgh＝mv2，设c点处这一段圆弧雪道的最小半径为R，则在经过c点时，有kmg－mg＝m，解得R＝，D项正确．]
8．如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线．已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2，则(　　)
A．v1＝v2 B．t1>t2
C．t1AB　[管道内壁光滑，小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，故v1＝v2＝v0；小球沿管道MPN运动过程中任意时刻速率小于初速度v0，而沿管道MQN运动过程中任意时刻速率大于初速度v0，即小球沿MPN运动的平均速率小于沿MQN运动的平均速率，因为路程相等，所以t1>t2.]
9．如图所示为某汽车在平直公路上启动时发动机功率P随时间t变化的图像，P0为发动机的额定功率．已知在t2时刻汽车的速度已经达到最大vm，汽车所受阻力大小与速度大小成正比．由此可得(　　)
A．在t3时刻，汽车速度一定等于vm
B．在t1～t2时间内，汽车一定做匀速运动
C．在t2～t3时间内，汽车一定做匀速运动
D．在发动机功率达到额定功率前，汽车一定做匀加速运动
AC　[已知在t2时刻汽车的速度已经达到最大vm，此后汽车做匀速直线运动，速度不变，则在t3时刻汽车速度一定等于vm，故A正确；汽车的功率在t1时刻达到额定功率，根据P＝Fv，速度继续增大，牵引力减小，阻力增大，则加速度减小，则在t1～t2时间内汽车做加速度减小的加速运动，故B错误；在t2～t3时间内，汽车已达到最大速度，且功率保持不变，汽车一定做匀速直线运动，故C正确；在0～t1时间内，假设汽车做匀加速运动，汽车发动机的功率均匀增加，速度也均匀增大，由F＝可知牵引力为恒力，但阻力随着速度的增大而增大，故汽车在这一过程受到的合外力不可能为恒力，由F＝ma可知汽车不可能做匀加速直线运动，故D错误．]
10．将质量为m的物体从地面上方H高处无初速度释放，落到地面后出现一个深为h的坑，如图所示，在此过程中(　　 )
A．重力对物体做功mgH
B．物体重力势能减少mg(H＋h)
C．合力对物体做的总功为零
D．地面对物体的平均阻力为
BC　[重力做功为mg(H＋h)，A错误；重力势能减少mg(H＋h)，B正确；由动能定理W总＝ΔEk＝0，C正确；又mg(H＋h)－·h＝0，故＝，D错误．]
11．物体沿直线运动的v t图像如图所示，已知在第1 s内合力对物体做功为W，则(　　 )
A．从第1秒末到第3 s末合力做功为4W
B．从第3秒末到第5 s末合力做功为－2W
C．从第5秒末到第7 s末合力做功为W
D．从第3秒末到第4 s末合力做功为－0.75W
CD　[由题中图像可知物体速度变化情况，根据动能定理得第1 s内：W＝mv2，
第1 s末到第3 s末：W1＝mv2－mv2＝0，A错误；
第3 s末到第5 s末：W2＝0－mv2＝－W，故B错误；
第5 s末到第7 s末：W3＝m(－v)2－0＝W，故C正确；
第3 s末到第4 s末：W4＝m()2－mv2＝－0.75W，故D正确．]
12．(2020·全国卷Ⅰ)一个物块在高3.0 m、长 0.5 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.则(　　)
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
AB　[由E s图像知，物块动能与重力势能的和减少，机械能不守恒，故A正确．由E s图像知，整个下滑过程中，物块机械能减少量ΔE＝30 J－10 J＝20 J，而ΔE＝μmg cos α·s，mgh＝30 J，其中cos α＝0.8，h＝3.0 m，g＝10 m/s2，则动摩擦因数μ＝0.5，故B正确．物块下滑时的加速度a＝g sin α－μg cos α＝2 m/s2，故C错误．物块下滑2.0 m时损失的机械能ΔE′＝μmg cos α·s′＝8 J，故D错误．]
二、非选择题(本题共4小题，共52分)
13．(12分)(2021·河北卷)某同学利用图甲中的实验装置探究机械能变化量与力做功的关系，所用器材有：一端带滑轮的长木板、轻细绳、50 g的钩码若干、光电门2个、数字计时器、带遮光条的滑块(质量为200 g，其上可放钩码)、刻度尺，当地重力加速度为9.80 m/s2，实验操作步骤如下：
甲
①安装器材，调整两个光电门距离为50.00 cm，轻细绳下端悬挂4个钩码，如图甲所示；
②接通电源，释放滑块，分别记录遮光条通过两个光电门的时间，并计算出滑块通过两个光电门的速度；
③保持最下端悬挂4个钩码不变，在滑块上依次增加一个钩码，记录滑块上所载钩码的质量，重复上述步骤；
④完成5次测量后，计算出每次实验中滑块及所载钩码的总质量M、系统(包含滑块、滑块所载钩码和轻细绳悬挂钩码)总动能的增加量ΔEk及系统总机械能的减少量ΔE，结果如下表所示：
M/kg 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
ΔEk/J 0.582 0.490 0.392 0.294 0.195
ΔE/J 0.393 0.490 0.686 0.785
回答下列问题．
(1)实验中轻细绳所悬挂钩码重力势能的减少量为________J(保留3位有效数字).
(2)步骤④中的数据所缺数据为________．
(3)以M为横轴，ΔE为纵轴，选择合适的标度，在图乙中绘出ΔE M图像．
乙
(4)若系统总机械能的减少量等于克服摩擦力做的功，则滑块与木板之间的动摩擦因数为________(保留2位有效数字).
解析　(1)四个钩码重力势能的减少量为
ΔEp＝4mgL＝4×0.05×9.8×0.5 J＝0.980 J
(2)对滑块和钩码构成的系统，由能量守恒定律可知
4mgL－Wf＝(4m＋M)v－(4m＋M)v
其中系统减少的重力势能为
ΔEp＝4mgL
系统增加的动能为
ΔEk＝(4m＋M)v－(4m＋M)v
系统减少的机械能为ΔE＝Wf，则代入数据可得表格中减少的机械能为
ΔE4＝0.98 J－0.392 J＝0.588 J
(3)根据表格数据描点，ΔE M图像如下图所示．
(4)根据功能关系可知
ΔE＝μMgL
则ΔE M图像的斜率为
k＝＝μgL
由所作ΔE M图像可知其斜率为
k＝＝1.96
解得动摩擦因数μ＝0.40 (0.38～0.42均可)
答案　(1)0.980　(2)0.588　(3)见解析图
(4)0.40(0.38～0.42均可)
14．(12分)如图所示，露天娱乐场空中列车由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L>2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)
解析　当列车进入圆形轨道后．动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M，圆形轨道上那部分列车的质量为
M′＝·2πR
由机械能守恒定律可得
Mv＝Mv2＋M′gR
又因圆形轨道顶部车厢应满足mg≤m
解得v0≥ .
答案　
15．(13分)一个小孩荡秋千，已知小孩的质量为40 kg，秋千底板质量为20 kg，每根系秋千的绳子长为4 m，每根绳能承受的最大张力是450 N．如图，当秋千底板摆到最低点时，速度为3 m/s.(g取10 m/s2，小孩当作质点处理，绳的质量不计)
(1)在最低点时，小孩对秋千板的压力是多少？每根绳子受到拉力T是多少？
(2)为了安全，小孩摆起的高度(相对最低点)不能超过多少米？
解析　(1)对孩子，设秋千板对孩子的支持力为N，根据向心力公式得，
在最低点：N－Mg＝M，
代入数据解得：N＝490 N，
由牛顿第三定律得：孩子对秋千板的压力为490 N，方向竖直向下；
对孩子和秋千板，根据牛顿第二定律有
2T－(M＋m)g＝(M＋m)，
代入数据解得：T＝367.5 N.
(2)当绳子拉力达到最大值时，在最低点有
2Tm－(M＋m)g＝(M＋m) eq \f(v,l) ，
解得：vm＝ m/s，
设最大高度为hm，根据机械能守恒定律得
(M＋m)ghm＝(M＋m)v
代入数据解得hm＝1 m.
答案　(1)490 N　367.5 N　(2)1 m
16．(15分)如图所示是质量可忽略不计的秋千，悬点O离地面高度H＝2 m.质量m＝5 kg的小猴(可视为质点)趴在秋千上，它到悬点O的距离l1＝1.6 m．饲养员在图中左侧推秋千，每次做功都为W＝5 J．秋千首次从最低点被推动，以后每次推动都是在秋千荡回左侧速度为零时进行．若不计空气阻力，则：(g取10 m/s2)
(1)经1次推动，小猴荡起的最高点比最低点高多少？
(2)经多少次推动，小猴经过最低点的速度v＝4 m/s
(3)某次小猴向右经过最低点时，一个挂在秋千绳上C点的金属小饰物恰好脱落，并落在地上D点．D到C的小平距离x＝0.96 m，C到O的距离l2＝1.28 m，则小猴此次经过最低点时对秋千的作用力多大？
解析　(1)推动一次，
W＝mgh
解得h＝0.1 m.
(2)推动n次后，回到最低点，由动能定理有
nW＝mv2
解得n＝8.
(3)小饰物下落过程有
H－l2＝gt2，
解得t＝ s
饰物飞出时的速度为
v1＝＝ m/s
设小猴经过最低点时速度为v2
＝
解得v2＝ m/s
对小猴受力分析，有
F－mg＝ eq \f(mv,l1)
解得F＝81.25 N
由牛顿第三定律得，小猴对秋千的作用力为81.25 N.
答案　(1)0.1 m　(2)8次　(3)81.25 N素养拓展课(四)　动能定理和机械能守恒定律的应用
学习目标 1．掌握动能定理的应用．2．掌握机械能守恒定律的条件和应用．3．学会应用动能定理和机械能守恒定律分析、解决实际问题．
遇到动能定理与圆周运动、平抛运动、直线运动等知识相结合的综合题时，注意分析物体的运动过程，分析整个过程中外力做的功及过程初、末物体的动能．若整个运动过程由几个运动性质不同的分过程组成，可分段考虑，若不涉及中间过程量也可对整个过程分析．
(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如通过分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量．
(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：
①有支撑效果的圆周运动，如物体在光滑管中做圆周运动，物体能过最高点的临界条件为物体在最高点处的最小速度vmin＝0.
②没有支撑效果的圆周运动，如物体在光滑圆环内侧做圆周运动，物体能过最高点的临界条件为物体在最高点处的最小速度vmin＝.
如图所示，质量为m的小球从高为h的地方由静止释放，如果恰好对光滑管道(内径不计)上的A点无挤压，求h的值；如果恰好对管道的B点(圆弧的最高点)无挤压，求h的值．(图中两虚线夹角为60°，圆弧曲率半径为R)
　(2021·全国乙卷)一个篮球的质量为m＝0.60 kg，一运动员使其从距地面高度为h1＝1.8 m处由静止自由落下，反弹高度为h2＝1.2 m．若使篮球从距地面h3＝1.5 m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也为1.5 m．假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为t＝0.20 s；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变．重力加速度大小取g＝10 m/s2，不计空气阻力．求：
(1)运动员拍球过程中对篮球所做的功；
(2)运动员拍球时对篮球的作用力的大小．
机械能守恒定律多与其他知识相结合，一般为多过程问题，难度较大．解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，必要时还需要综合应用其他物理规律求解．
(2020·江苏卷)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动．在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R.在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物．重物由静止下落，带动鼓形轮转动．重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω.绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g.求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h.
　如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆弧轨道经过最高点C，重力加速度为g.求：
(1)小球在AB段运动的加速度的大小；
(2)小球从D点运动到A点所用的时间．
1．(应用动能定理分析问题) 如图所示，固定斜面的倾角为θ，整个斜面分为AB、BC两段，且1.5AB＝BC.小物块P(可视为质点)与AB、BC两段斜面之间的动摩擦因数分别为μ1、μ2.已知P从A点由静止释放，恰好能滑动到C点而停下．那么θ、μ1、μ2间应满足的关系式是(　　)
A．tan θ＝　　　　　 B．tan θ＝
C．tan θ＝2μ1－μ2 D．tan θ＝2μ2－μ1
　
2．(应用机械能守恒定律分析问题)一个小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2.圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m.若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过最高点A处时对轨道的压力为(　　)
A．2mg　　　B．3mg　　　C．4mg　　　D．5mg
　
3．(动能定理的综合应用)如图所示，与水平面夹角θ＝37°的斜面和半径R＝0.4 m 的光滑圆轨道相切于B点，且固定于竖直平面内．滑块从斜面上的A点由静止释放，经B点后沿圆轨道运动，通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零．已知滑块与斜面间动摩擦因数μ＝0.25，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)滑块在C点的速度大小vC；
(2)滑块在B点的速度大小vB；
(3)A、B两点间的高度差h.
4．(机械能守恒定律的综合应用)如图所示，竖直平面内固定着由两个半径均为R的圆弧构成的细管道ABC，圆心连线O1O2水平．轻质弹簧左端固定在竖直挡板上，右端靠着质量为m的小球(小球的直径略小于管道内径)，长为R的薄板DE置于水平面上，薄板的左端D到管道右端C的水平距离为R.开始时弹簧处于锁定状态，具有一定的弹性势能．解除弹簧锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从C点抛出(不计一切摩擦)，小球经C点时对轨道外侧的弹力的大小为mg.重力加速度为g.
(1)求弹簧锁定时具有的弹性势能Ep；
(2)试通过计算判断小球能否落在薄板DE上．
章末强化练(四)　机械能及其守恒定律
(时间：90分钟　满分：100分)
一、选择题(本题共12小题，共48分，1～7题为单选题，每小题4分，8～12题为多选题，全都选对的得4分，有选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分)
1．如图所示实例中均不考虑空气阻力，系统机械能守恒的是(　　)
　
2．一名小孩从公园中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其能量的变化情况是(　　)
A．重力势能减少，动能不变，机械能减少
B．重力势能减少，动能增加，机械能减少
C．重力势能减少，动能增加，机械能增加
D．重力势能减少，动能增加，机械能守恒
　
3．在平直公路上以一定速率(约为5 m/s)行驶的自行车所受阻力为车和人总重量的，则骑车人的功率最接近于(车和人的总质量约为100 kg)(　　)
A．0.1 kW　　　　　　　　 B．1×103 kW
C．1 kW D．10 kW
　
4．某物体做自由落体运动，其相对于地面的重力势能Ep与下落速度v的关系图像正确的是(　　 )
　
5．如图所示，半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高．一个质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg.重力加速度大小为g，质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(　　)
A．mgR B．mgR
C．mgR D．mgR
　
6．(2021·湖南卷)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，则动车组能达到的最大速度为vm.下列说法正确的是(　　)
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mv－Pt
　
7．(2022·全国甲卷)2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h.要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于(　　)
A． B．
C． D．
　
8．如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线．已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2，则(　　)
A．v1＝v2 B．t1>t2
C．t1　
9．如图所示为某汽车在平直公路上启动时发动机功率P随时间t变化的图像，P0为发动机的额定功率．已知在t2时刻汽车的速度已经达到最大vm，汽车所受阻力大小与速度大小成正比．由此可得(　　)
A．在t3时刻，汽车速度一定等于vm
B．在t1～t2时间内，汽车一定做匀速运动
C．在t2～t3时间内，汽车一定做匀速运动
D．在发动机功率达到额定功率前，汽车一定做匀加速运动
　
10．将质量为m的物体从地面上方H高处无初速度释放，落到地面后出现一个深为h的坑，如图所示，在此过程中(　　 )
A．重力对物体做功mgH
B．物体重力势能减少mg(H＋h)
C．合力对物体做的总功为零
D．地面对物体的平均阻力为
　
11．物体沿直线运动的v t图像如图所示，已知在第1 s内合力对物体做功为W，则(　　 )
A．从第1秒末到第3 s末合力做功为4W
B．从第3秒末到第5 s末合力做功为－2W
C．从第5秒末到第7 s末合力做功为W
D．从第3秒末到第4 s末合力做功为－0.75W
　
12．(2020·全国卷Ⅰ)一个物块在高3.0 m、长 0.5 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.则(　　)
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
　
二、非选择题(本题共4小题，共52分)
13．(12分)(2021·河北卷)某同学利用图甲中的实验装置探究机械能变化量与力做功的关系，所用器材有：一端带滑轮的长木板、轻细绳、50 g的钩码若干、光电门2个、数字计时器、带遮光条的滑块(质量为200 g，其上可放钩码)、刻度尺，当地重力加速度为9.80 m/s2，实验操作步骤如下：
甲
①安装器材，调整两个光电门距离为50.00 cm，轻细绳下端悬挂4个钩码，如图甲所示；
②接通电源，释放滑块，分别记录遮光条通过两个光电门的时间，并计算出滑块通过两个光电门的速度；
③保持最下端悬挂4个钩码不变，在滑块上依次增加一个钩码，记录滑块上所载钩码的质量，重复上述步骤；
④完成5次测量后，计算出每次实验中滑块及所载钩码的总质量M、系统(包含滑块、滑块所载钩码和轻细绳悬挂钩码)总动能的增加量ΔEk及系统总机械能的减少量ΔE，结果如下表所示：
M/kg 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
ΔEk/J 0.582 0.490 0.392 0.294 0.195
ΔE/J 0.393 0.490 0.686 0.785
回答下列问题．
(1)实验中轻细绳所悬挂钩码重力势能的减少量为________J(保留3位有效数字).
(2)步骤④中的数据所缺数据为________．
(3)以M为横轴，ΔE为纵轴，选择合适的标度，在图乙中绘出ΔE M图像．
乙
(4)若系统总机械能的减少量等于克服摩擦力做的功，则滑块与木板之间的动摩擦因数为________(保留2位有效数字).
14．(12分)如图所示，露天娱乐场空中列车由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L>2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)
15．(13分)一个小孩荡秋千，已知小孩的质量为40 kg，秋千底板质量为20 kg，每根系秋千的绳子长为4 m，每根绳能承受的最大张力是450 N．如图，当秋千底板摆到最低点时，速度为3 m/s.(g取10 m/s2，小孩当作质点处理，绳的质量不计)
(1)在最低点时，小孩对秋千板的压力是多少？每根绳子受到拉力T是多少？
(2)为了安全，小孩摆起的高度(相对最低点)不能超过多少米？
16．(15分)如图所示是质量可忽略不计的秋千，悬点O离地面高度H＝2 m.质量m＝5 kg的小猴(可视为质点)趴在秋千上，它到悬点O的距离l1＝1.6 m．饲养员在图中左侧推秋千，每次做功都为W＝5 J．秋千首次从最低点被推动，以后每次推动都是在秋千荡回左侧速度为零时进行．若不计空气阻力，则：(g取10 m/s2)
(1)经1次推动，小猴荡起的最高点比最低点高多少？
(2)经多少次推动，小猴经过最低点的速度v＝4 m/s
(3)某次小猴向右经过最低点时，一个挂在秋千绳上C点的金属小饰物恰好脱落，并落在地上D点．D到C的小平距离x＝0.96 m，C到O的距离l2＝1.28 m，则小猴此次经过最低点时对秋千的作用力多大？

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