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第二十七章素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列关系式中,y是x的反比例函数的是 (　　)
A.y=
C.y=　　　　D.-2xy=1
2.(2022贵州贵阳中考)如图,在平面直角坐标系中有P,Q,M,N四个点,其中恰有三点在反比例函数y=(k>0)的图像上.根据图中四点的位置,判断这四个点中不在函数y=的图像上的点是 (　　)
A.点P　　　　B.点Q　　　　C.点M　　　　D.点N
3.【新独家原创】科学研究显示,骑自行车是最佳的有氧运动之一.小李长期坚持户外骑行,小李骑车从甲地去乙地,他以平均25千米/小时的速度用了2个小时到达乙地,当他按原路匀速返回时,骑行的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系式是 (　　)
A.v=50t　　　　B.v=
C.v=25t　　　　D.v=
4.(2022湖北襄阳中考)若点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数y=的图像上,则y1,y2的大小关系是 (　　)
A.y1y2　　　　D.不能确定
5.(2022湖南怀化中考)如图,直线AB交x轴于点C,交反比例函数y=(a>1)的图像于A、B两点,过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,若S△BCD=5,则a的值为 (　　)
A.8　　　　B.9　　　　C.10　　　　D.11
6.【跨学科·物理】(2022浙江丽水中考)已知电灯电路两端的电压U为220 V,通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为R(Ω),下列说法正确的是 (　　)
A.R至少2 000 Ω　　　　B.R至多2 000 Ω
C.R至少24.2 Ω　　　 　D.R至多24.2 Ω
7.(2023河北石家庄二十三中月考)对于反比例函数y=,下列说法错误的是 (　　)
A.函数图像位于第一、三象限
B.函数值y随x的增大而减小
C.若A(-1,y1)、B(1,y2)、C(2,y3)是图像上三个点,则y1D.P为图像上任意一点,过P作PQ⊥y轴于Q,则△OPQ的面积是定值
8.(2023河北阜平调研)两位同学在描述同一反比例函数的图像时,甲同学说:这个反比例函数的图像上任意一点到两坐标轴的距离的积都是3;乙同学说:这个反比例函数的图像与直线y=x有两个交点.你认为这两位同学所描述的反比例函数的解析式是 (　　)
A.y=
C.y=-
9.(2022山东滨州中考)在同一平面直角坐标系中,函数y=kx+1与y=-(k为常数且k≠0)的图像大致是 (　　)
　　　　　　　　　　　　
A B C D
10.(2021内蒙古通辽中考)定义:一次函数y=ax+b的特征数为[a,b],若一次函数y=-2x+m的图像向上平移3个单位长度后与反比例函数y=-的图像交于A,B两点,且点A,B关于原点对称,则一次函数y=-2x+m的特征数是 (　　)
A.[2,3]　　　　 B.[2,-3]
C.[-2,3]　　　　 D.[-2,-3]
11.(2022湖北十堰中考)如图,正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=(k1>0)和y=(k2>0)的图像上.若BD∥y轴,点D的横坐标为3,则k1+k2= (　　)
A.36　　　　B.18　　　　
C.12　　　　D.9
12.(2022湖南娄底中考)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点P(m,1)、Q(1,m)(m>0且m≠1),过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点,连接OP、OQ,则下列结论中成立的有 (　　)
①点P、Q在反比例函数y=的图像上;
②△AOB为等腰直角三角形;
③0°<∠POQ<90°;
④∠POQ的值随m的增大而增大.
A.②③④　　　　B.①③④ C.①②④　　　　D.①②③
二、填空题(每空4分,共20分)
13.(2022黑龙江哈尔滨中考)已知反比例函数y=-的图像经过点(4,a),则a的值为　　　　.
14.已知直线y=mx与双曲线y=的一个交点坐标为(3,4),则它们的另一个交点坐标是　　　　.
15.(2022陕西中考)已知点A(-2,m)在一个反比例函数的图像上,点A'与点A关于y轴对称.若点A'在正比例函数y=x的图像上,则这个反比例函数的表达式为　　　　.
16.(2022河北雄县一模)如图所示的是某种电子理疗设备工作温度随时间变化的示意图,其开始工作时的温度是20 ℃,然后按照一次函数图像一直增加到70 ℃,这样有利于打通病灶部位的血液循环,在此温度下再沿反比例函数图像缓慢下降至35 ℃,然后在此基础上又沿着一次函数图像一直将温度升至70 ℃,再在此温度下沿着反比例函数图像缓慢下降至35 ℃,如此循环下去.
(1)t的值为　　　　;
(2)如果在0~t分钟内温度大于或等于50 ℃时,治疗效果最好,则治疗效果最好的时间可以持续　　　　分钟.
三、解答题(共44分)
17.(2022浙江温州中考)(10分)已知反比例函数y=(k≠0)的图像的一支如图所示,它经过点(3,-2).
(1)求这个反比例函数的表达式,并补画该函数图像的另一支;
(2)求当y≤5,且y≠0时自变量x的取值范围.
18.【跨学科·物理】(2022浙江台州中考)(10分)如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
19.(2022河北石家庄二十三中期末)(12分)反比例函数y=(x<0,k<0)和y=(x<0)的图像如图所示,点P(m,0)是x轴上一动点,过点P作直线AB⊥x轴,分别交两图像于A、B两点.
(1)当m=-1,线段AB=9时,求点A、B的坐标及k的值.
(2)雯雯同学提出一个大胆的猜想:当k一定时,△OAB的面积随m的值的增大而增大.你认为她的猜想对吗 说明理由.
20.(2022四川资阳中考)(12分)如图,一次函数y1=kx+b的图像与反比例函数y2=的图像交于点A(1,m)和点B(n,-2).
(1)求一次函数的表达式;
(2)结合图像,写出当x>0时,满足y1>y2的x的取值范围;
(3)【开放型试题】将一次函数的图像平移,使其经过坐标原点,直接写出一个反比例函数表达式,使它的图像与平移后的一次函数图像无交点.
答案全解全析
一、选择题
1.D　利用反比例函数的定义分别判断.
2.C　反比例函数的图像是双曲线,当k>0时,在第一象限内y随x的增大而减小,结合以上两点可知点M不在图像上.
3.B　由题意得vt=25×2,则v=.
4.C　∵点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数y=的图像上,
∴y1==-1,y2==-2,∴y1>y2,故选C.
5.D　设点B的坐标为,∵S△BCD=5,且a>1,
∴=5,解得a=11.
6.A　∵电压U一定时,电流强度I(A)与灯泡的电阻R(Ω)成反比例,
∴I=.∵已知电灯电路两端的电压U为220 V,∴I=.
∵通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11 A,
∴≤0.11,∴R≥2 000.
7.B　∵k2+1>0,∴反比例函数图像分布在第一、三象限,故A选项说法正确;∵它的图像分布在第一、三象限,∴在每一象限内y随x的增大而减小,故B选项说法错误;∵x1=-1<0,∴y1<0,∵x2=1>0,x3=2>0,1<2,
∴y2>y3>0,∴y18.A　设反比例函数的解析式为y=(k≠0),根据甲同学说的可知k=±3,根据乙同学说的可知k>0,综合可得k=3,所以y=.
9.A　当k>0时,-k<0,一次函数y=kx+1的图像经过第一、二、三象限,反比例函数y=-的图像在第二、四象限;当k<0时,-k>0,一次函数y=kx+1的图像经过第一、二、四象限,反比例函数y=-的图像在第一、三象限.故选A.
10.D　由定义可知,一次函数y=-2x+m的特征数是[-2,m],故排除A,B.∵反比例函数y=-的图像是中心对称图形,对称中心是原点,一次函数y=-2x+m的图像向上平移3个单位长度后与反比例函数y=-的图像的交点关于原点对称,∴一次函数y=-2x+m的图像向上平移3个单位长度后经过原点,∴m+3=0,即m=-3,∴一次函数y=-2x+m的特征数为[-2,-3].
11.B　连接AC交BD于E,延长BD交x轴于F,连接OD、OB,如图:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,AE=BE=CE=DE,
设AE=BE=CE=DE=m,D(3,a),
∵BD∥y轴,∴B(3,a+2m),A(3+m,a+m),
∵A,B都在反比例函数y=(k1>0)的图像上,
∴k1=3(a+2m)=(3+m)(a+m),
∵m≠0,∴m=3-a,
∴B(3,6-a),
∵B(3,6-a)在反比例函数y=(k1>0)的图像上,D(3,a)在y=(k2>0)的图像上,
∴k1=3(6-a)=18-3a,k2=3a,∴k1+k2=18-3a+3a=18.
12.D　∵点P(m,1)、Q(1,m)(m>0且m≠1),m·1=1·m=m,
∴点P、Q在反比例函数y=的图像上,故①正确;
设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0),则∴直线PQ的解析式为y=-x+m+1,当y=0时,x=m+1;当x=0时,y=m+1,
∴OA=OB=m+1,∵∠AOB=90°,∴△AOB为等腰直角三角形,故②正确;
∵点P(m,1)、Q(1,m)(m>0且m≠1),
∴点P、Q都在第一象限,∴0°<∠POQ<90°,故③正确;
∵直线OP的解析式为y=x,直线OQ的解析式为y=mx,
∴当01时,∠POQ的值随m的增大而增大,故④错误.故选D.
二、填空题
13.答案　-
解析　将点(4,a)代入反比例函数y=-,
得a=-.
14.答案　(-3,-4)
解析　因为直线y=mx过原点,双曲线y=的两个分支关于原点对称,所以其交点坐标关于原点对称,一个交点坐标为(3,4),则另一个交点的坐标为(-3,-4).
15.答案　y=-
解析　∵点A'与点A关于y轴对称,点A(-2,m),∴点A'(2,m),
∵点A'在正比例函数y=x的图像上,∴m=×2=1,∴A(-2,1),
∵点A(-2,1)在一个反比例函数的图像上,
∴反比例函数的表达式为y=-.
16.答案　(1)50　(2)20
解析　(1)当25≤x≤t时,设第一次循环过程中反比例函数表达式为y=(m≠0),由题意得70=,解得m=1 750,∴y=,∴当y=35时,t=50.
(2)当0≤x≤25时,设第一次循环过程中一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0),将(0,20),(25,70)代入得∴一次函数表达式为y=2x+20,若y=50,则2x+20=50,解得x=15.当25≤x≤50时,若y=50,则=50,解得x=35.在0~t分钟内温度大于或等于50 ℃时,治疗效果最好,则治疗效果最好的时间可以持续35-15=20(分钟).
三、解答题
17.解析　(1)把点(3,-2)代入y=(k≠0),-2=,解得k=-6,
∴反比例函数的表达式为y=-,
补充其函数图像如下:
(2)当y=5时,-=5,解得x=-,
∴当y≤5,且y≠0时,x≤-或x>0.
18.解析　(1)由题意设y=(k≠0),
把x=6,y=2代入,得k=6×2=12,
∴y关于x的函数解析式为y=.
(2)把y=3代入y=,得x=4,
∴小孔到蜡烛的距离为4 cm.
19.解析　(1)把x=-1代入y=,得y=-3,
∴B(-1,-3),又AB=9,A在第二象限,∴A(-1,6).
把A(-1,6)代入y=,得k=-6.
(2)雯雯同学的猜想不对.理由如下:
把x=m代入y=,得y=,∴B,
把x=m代入y=,得y=,∴A,
∴AB=.
又OP=|m|=-m,
∴S△OAB=×(-m)=,
即△OAB的面积与m的值无关,所以雯雯同学的猜想不对.
20.解析　(1)由题意得m==6,-2=,
∴m=6,n=-3,
∴A(1,6),B(-3,-2),
由题意得
∴一次函数的表达式为y=2x+4.
(2)由(1)知A(1,6),故由题图可知当x>0时,满足y1>y2的x的取值范围为x>1.
(3)一次函数y=2x+4的图像平移后为y=2x,
函数图像经过第一、三象限,
要使正比例函数y=2x的图像与反比例函数的图像没有交点,则反比例函数的图像在第二、四象限,故反比例函数的比例系数小于0,
∴当比例系数等于-1时,满足条件,
∴反比例函数的解析式为y=-(答案不唯一).

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