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第二十四章　一元二次方程
大概念素养目标 对应新课标内容
理解一元二次方程的意义,能根据具体问题列出方程;理解方程的解的意义 能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程;理解方程解的意义,经历估计方程解的过程【P56】
会配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程,并能根据方程特点灵活运用 理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程【P56】
会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等【P56】
了解一元二次方程的根与系数的关系 了解一元二次方程的根与系数的关系【P56】
会用一元二次方程解决实际问题,并能根据实际意义判断解的合理性 能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性【P56】
24.1　一元二次方程
基础过关全练
知识点1　一元二次方程的概念
1.(2023河北唐山丰南月考)下列方程中,一元二次方程共有 (　　)
①x2-2x-1=0;　　　 ②ax2+bx+c=0;
③+3x-5=0;　　　 ④-x2=0;
⑤(x-1)2+y2=2;　　　⑥(x-1)(x-3)=x2.
A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个
2.(2023河北邢台期中)若方程kx2+3x=x2+5是关于x的一元二次方程,则k的取值范围是 (　　)
A.k≠0　　　　B.k≠-1　　　　C.k≠1　　　　D.k≠±1
3.【易错题】(2023江西南昌月考)若关于x的方程(k-1)x|k-3|+2x=3是一元二次方程,则k的值为　　　　.
知识点2　一元二次方程的一般形式
4.(2023河北南皮月考)将一元二次方程(2+x)·(3x-4)=5化为一般形式为　　　　　　.
5.把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)2x2=1-3x;　 (2)5x(x-2)=4x2-3x.
知识点3　一元二次方程的解
6.下列一元二次方程的一个根是3的是 (　　)
A.x2+2x-3=0　　　　B.x2+2x+3=0
C.x2-2x-3=0　　　　D.x2-2x+3=0
7.(2023河北威县月考)已知关于x的一元二次方程x2-bx-2=0的一个解是x=1,则b的值是 (　　)
A.1　　　　 B.-1　　　　
C.±1　　　　D.2
8.【整体思想】(2022四川资阳中考)若a是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根,则2a2+4a的值是　　　　.
知识点4　根据实际问题列一元二次方程
9.(2023河北石家庄十六中质检)某中学有一块长30 m,宽20 m的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种花,小禹同学的设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为x m,则可列方程为 (　　)
A.(30-x)(20-x)=×20×30
B.30x+2×20x=×20×30
C.(30-2x)(20-x)=×20×30
D.(30-2x)(20-x)=×20×30
　　
10.【教材变式·P34做一做】如图所示,在建筑工地上,为了支撑一堵墙,用一根长为5 m的木材,顶端撑在墙上,底端撑在地面上,BO=4 m.现为了增加支撑效果,底端离墙的距离OB减少了1.5 m,问:顶端需上移多少米 设顶端上移x m,则可列方程为　　　　　　　　,化为一般形式是　　　　　　.
能力提升全练
11.【降次法】(2022四川遂宁中考,9,★★☆)已知m为方程x2+3x-2 022=0的根,那么m3+2m2-2 025m+2 022的值为 (　　)
A.-2 022　　　　B.0　　　　
C.2 022　　　　D.4 044
12.(2022青海中考,19,★★☆)如图,小明同学用一张长11 cm,宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒,他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形,将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm,则可列出关于x的方程为　　　　　　　.
13.(2021河北唐山丰润期中,23,★★☆)已知m是方程x2-3x+1=0的一个根,则(m-3)2+(m+2)(m-2)的值为　　　　.
素养探究全练
14.【运算能力】【新独家原创】已知关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0满足4a+2b+c=0,则方程必有一根为 (　　)
A.-4　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.4
15.【推理能力】(2023北京朝阳期中)求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,无论m取何值,该方程都是一元二次方程.
答案全解全析
基础过关全练
1.B　根据一元二次方程的概念判断,只有①④是一元二次方程.
②ax2+bx+c=0,当a=0时,该方程不是一元二次方程;
③+3x-5=0不是整式方程,故不是一元二次方程;
⑤(x-1)2+y2=2,方程中含有两个未知数,不是一元二次方程;
⑥(x-1)(x-3)=x2,方程整理后,未知数的最高次数是1,不是一元二次方程.
2.C　方程kx2+3x=x2+5移项,得(k-1)x2+3x-5=0,
若方程kx2+3x=x2+5是关于x的一元二次方程,
则k-1≠0,解得k≠1.
3.答案　5
解析　本题易忽略二次项系数不为0而致错.
由题意得|k-3|=2,且k-1≠0,解得k=5.
4.答案　3x2+2x-13=0
解析　方程左边整理,得6x-8+3x2-4x=5,
移项、合并同类项,得3x2+2x-13=0.
5.解析　(1)2x2=1-3x的一般形式为2x2+3x-1=0,二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-1.
(2)5x(x-2)=4x2-3x的一般形式为x2-7x=0,二次项系数为1,一次项系数为-7,常数项为0.
6.C　把x=3分别代入各方程,若方程左右两边相等,则方程的一个根是3.故选C.
7.B　把x=1代入方程x2-bx-2=0得1-b-2=0,解得b=-1.
8.答案　6
解析　∵a是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根,
∴a2+2a-3=0,∴a2+2a=3,∴2a2+4a=2(a2+2a)=2×3=6.
9.C　根据“空白区域的面积=矩形空地的面积”得方程(30-2x)(20-x)=×20×30.
10.答案　(x+3)2+(4-1.5)2=52;x2+6x-9.75=0
解析　根据勾股定理得OA==3(m),再根据勾股定理列方程,得(x+3)2+(4-1.5)2=52,化为一般形式是x2+6x-9.75=0.
能力提升全练
11.B　∵m为方程x2+3x-2 022=0的根,
∴m2+3m-2 022=0,∴m2+3m=2 022,
∴原式=m3+3m2-m2-3m-2 022m+2 022=m(m2+3m)-(m2+3m)-2 022m+
2 022=2 022m-2 022-2 022m+2 022=0.
12.答案　(11-2x)(7-2x)=21
解析　由题意可知,裁剪后底面矩形的长是(11-2x)cm,宽为(7-2x)cm,
再根据“长方形的面积=长×宽”列方程,得(11-2x)(7-2x)=21.
13.答案　3
解析　∵m是方程x2-3x+1=0的一个根,
∴m2-3m+1=0,即m2-3m=-1,
∴原式=m2-6m+9+m2-4=2(m2-3m)+5=2×(-1)+5=3.
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14.B　把x=-2代入原方程,方程左边为4a+2b+c,
根据4a+2b+c=0,可知原方程必有一根为-2.
15.证明　(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,
∵m2-8m+17=(m-4)2+1≥1,
∴无论m取何值,该方程都是一元二次方程.

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