资源简介

圆周运动
专题 竖直平面内圆周运动的绳、杆两种典型模型
[学习目标]
1、理解分析竖直平面内圆周运动绳（不计重力）模型。
2、理解分析竖直平面内圆周运动杆（不计重力）模型。
3、理解两类问题相似的题型运动特点。
4、学会用绳杆圆周运动解决生活相似问题，体会科学知识的应用价值。
专题一：理解分析竖直平面内圆周运动绳（不计重力）模型
理解分析绳（不计重力）模型
问题1:小球m在轻绳牵引作用下，要让小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最高点的受力特点和相应速度大小？
解：要让小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点只受重力，
即：????????=???????????????????? ?????????=????????
?
问题2:小球m在轻绳牵引作用下，且在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最低点的受力和相应速度大小？
最高点：????????=???????????????????? ?????????=????????
最低点：?????????????=????????低???????? ????低=???????????? ????=???? ????????
?????????????????=????????????????低?????????????????????????????
?
绳
????????
?
m
理解分析绳（不计重力）模型
问题3:小球m在轻绳牵引作用下，且在竖直平面内能做完整的圆周运动，则小球在最低点和最高点的受力之差？
最高点：????????+????????=????????????????????
在顶点速度????????越大，拉力越大
最低点：?????????????????=????????????????????
?????????????????=?????????????????????????????????????????????????
?????=?????????????????
解的： ?????=???? ???????? 与速度无关
?
m
绳
????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
理解分析绳（不计重力）模型
问题4:画出小球在最高点时绳上拉力与此时球在最高点速度平方的关系，即????????????? 图？
?
绳
????????
?
m
F
????????
?
0
gL
表达式????=?????????????????????????
?
理解分析绳（不计重力）模型
问题5:小球m在轻绳牵引作用下，若小球在竖直平面内不能做完整的圆周运动，则小球结束圆周运动时受力特点是？
解：若小球在竖直平面内不能做完整的圆周运动，则小球结束圆周运动时重力沿径向分力刚好提供向心力，
即：????????????????????????=????????分???????? ?????分=????????????????????????
?
绳
????????
?
m
????
?
????
?
????????、????????
?
理解分析绳（不计重力）模型
问题6:小球m在绳长L和2L作用下，在同一高度由静止释放小球（如图所示），小球在最低点受力????????????????有什么特点？
?
整个过程机械能守恒:
在绳长L情况下：
最低点：?????????????????=???????????????????? ?????????????=????????????????????????
解的： ????????=????????????
在绳长2L情况下：
最低点：?????????????????=???????????????????????? ?????????????????=????????????????????????
解的： ????????=???????????? 与绳长无关
?
m
绳长L、2L
理解分析绳（不计重力）模型
问题7:小球在某一高度由静止释放，在绳长L伸直前做什么运动(????已知)？绳绷直一瞬间发生有何特点（如图所示）？
?
解：绳长L伸直前小球做自由落体运动，末速度为???? : ?????????????????????????????????=????????????????????
绳绷直瞬间：平行于半径速度????????瞬间为零，垂直于半径方向即切线方向????????=????????????????????
随后小球以????????做圆周运动，小球从此刻到达最低点过程机械能守恒：
最低点：?????????????????=????????’????????
?????????????(?????????????????????)=????????????????’????
?
????
?
????
?
L
自由落体
????
?
L
????
?
????’
?
????????
?
????????
?
理解分析绳（不计重力）模型
问题8:小球1质量m,带电量+q在半圆弧磁场中由A点静止释放，另一相同小球2在电场中由C点静止释放，
①比较第一次到达最低点时二者速度大小、对轨道的压力以及这个过程的时间。
②两个小球是否都能到达对面B或者D点（如图所示）？
解：由能量守恒可知：
①第一次到达最低点????????>????????
对轨道压力????????>????????
用时????????>????????
②小球1能到达对面B点，
小球2不能到达对面D点
?
+q,m
A
B
+q,m
C
D
B
E
理解分析绳（不计重力）模型
与绳模型相似的题型
（1） （2）
（3）
1.如图所示，轻绳一端固定在O点，另一端拴有质量为m的球。在最低点给小球一水平初速度，使其在竖直平面内做圆周运动。小球运动到某一位置时，轻绳与竖直方向成????角。关于轻绳的拉力T和????角的关系式你可能不知道，但是利用你所学过的知识可以确定下列哪个表达式是正确的（　　）
?
A．T=a+3mgsinθ（a为常数）
B．T=a+????????????????????????????（a为常数）
C．T=a+3mgcosθ（a为常数）
D．T=a+????????????????????????????（a为常数）
?
[小试锋芒]
C
2.如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T-v2图像如图乙所示，则（ 　　）
A．轻质绳长为????????????
B．当地的重力加速度为????????
C．当v2=c时，轻质绳最高点拉力大小为?????????????????
D．若小球在最低点时的速度????????????=????，小球运动到最低点时绳的拉力为6a
?
ABC
专题二：理解分析竖直平面内圆周运动杆（不计重力）模型
理解分析杆（不计重力）模型
问题1:小球m在轻杆牵引作用下，要让小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最高点的受力特点和相应速度大小？
解：要让小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点合力为零，
即：????????=????????；????????=0????????
?
问题2:小球m在轻杆牵引作用下，且在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最低点的受力特点和相应速度大小？
最高点：????????=????????；????????=0 ????????
最低点：?????????????=????????低???????? ????低=????????????
?????????????????=????????????????低????????????????????????????? ????=???? ????????
?
杆
????????
?
m
理解分析杆（不计重力）模型
问题3:小球m在轻杆牵引作用下，且在竖直平面内能做完整的圆周运动，则小球在最低点和最高点的受力之差？
当小球在最高点速度为????≤????≤???????? 时，此时杆给小球向上支持力????支:
最高点：?????????????支=????????????????????
在顶点速度????????越大，支持力越小
最低点：?????????????????=????????????????????
?????????????????=?????????????????????????????????????????????????
?????=?????????????支
解的： ?????=????????????????????+4mg 与速度有关
?
m
杆
????????
?
????????
?
????支
?
????????
?
理解分析杆（不计重力）模型
问题3:小球m在轻杆牵引作用下，且在竖直平面内能做完整的圆周运动，则小球在最低点和最高点的受力之差？
当小球在最高点速度为????≥???????? 时，此时杆给小球向下拉力????拉:
最高点：????????+????拉=????????????????????
在顶点速度????????越大，拉力越大
最低点：?????????????????=????????????????????
?????????????????=?????????????????????????????????????????????????
?????=?????????????拉
解的： ?????=???? ???????? 与速度无关
?
m
杆
????????
?
????????
?
????拉
?
????????
?
理解分析杆（不计重力）模型
问题4:画出小球在最高点时杆上拉力与此时球在最高点速度平方的关系，即????????????? 图？
?
杆
????????
?
m
F
????????
?
0
gL
拉力
支持力
-mg
表达式????=?????????????????????????
?
理解分析杆（不计重力）模型
问题5:小球m在轻杆牵引作用下，若小球在竖直平面内不能做完整的圆周运动，则小球结束圆周运动时受力特点是？
解：若小球在竖直平面内不能做完整的圆周运动，则小球结束圆周运动时速度减小为零，沿径向方向合力为0，即向心力为零。
杆
????????
?
m
????
?
????
?
????????、????????
?
理解分析杆（不计重力）模型
问题6:小球m在杆长L和2L作用下，在同一高度由静止释放小球（如图所示），小球在最低点受力????????、????????有什么特点？
?
整个过程机械能守恒:
在杆长L情况下：
最低点：?????????????????=???????????????????? ?????????????=????????????????????????
解的： ????????=????????????
在杆长2L情况下：
最低点：?????????????????=???????????????????????? ?????????????????=????????????????????????
解的： ????????=???????????? 与杆长无关
?
m
杆L、2L
理解分析杆（不计重力）模型
问题7:两个相同小球甲、乙在杆长L和2L作用下，由静止释放（圆心等高），求运动到最低点时动能之比，和两个过程时间之比（如图所示）？
解:整个过程机械能守恒：
?????????????(????+????????????????)=????????甲
?????????????????(????+????????????????)=????????乙
????????甲 : ????????乙=???? : ????
因为路程之比为???? : ????
所以两个过程时间之比
为???? : ????
?
杆L
m
????
?
杆2L
m
????
?
????甲
?
????乙
?
理解分析杆（不计重力）模型
与杆模型相似的题型
（1）
（2）
A与B刚脱离接触的瞬间，杆对A的作用力等于零，A的速度方向垂直于杆，水平方向的分速度等于B的速度。
3.如图所示,长为L,的轻杆,一端固定一个质量为m的小球,另一端固定在水平转轴O上,现让杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动,角速度为????,某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直,则此时杆与水平面的夹角????满足( )
?
A. ????????????????=????????????????
?

B. ????????????????=????????????????
?
D. ????????????????=????????????????
?
C. ????????????????=????????????????
?
C
4.如图所示，两个????????圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，A轨道由金属凹槽制成， B轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道。在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用????????和????????表示，则下列说法正确的（　　）
?
A．若????????=????????≥????????，则两小球都能
沿轨道运动到最高点
B．若????????=????????=????????????，两个小球沿轨道上
升的最大高度均为????????????
C．适当调整????????可使B小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口
D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A小球的最小高度为????????????，B小球在????????>????????的任何高度均可
?
CD
A. B轨道是双轨模型，若????????≥???????? 时，B球能沿轨道运动到最高点，若A小球恰好运动到最高点，则有????????????=???????????????????????? , ?????????????????????????????=???????????????????????????? ,解得????????=????.???? ????
可知，若小球A能够到达最高点，需要????????≥????.???? ????
B. B轨道是双轨模型，若????????=???????? ????,B小球沿轨道上升的最大高度为???????? ????，根据上述可知，若????????=???????? ????C. B小球从轨道最高点飞出后,恰好落在轨道右端口,则有????=???????????????????? ????=????????,对B球有?????????????????????????????=????????????????????????解得????????=???????? ????
D. B轨道是双轨模型，若????????>???? ????,B小球沿轨道运动并且从最高点飞出，根据上述，若A小球恰好运动到最高点，则????????=????.???? ???? ,可知，若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A小球的最小高度为???????? ????
?
5.如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球（视为质点），现让小球绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为????,，此时轻杆对小球的作用力大小为????????,（设竖直向上为正）与速度的平方????????的关系如图乙所示。取重力加速度大小????=???????? ????????????，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
?
A．小球的质量为0.1 kg
B．轻杆的长度为0.2 m
C．当轻杆水平时，小球的
加速度大小为 10 ????????????
D．当小球运动到最低点时，轻杆对小球的弹力大小可能小于1N
?
A
6.如图所示，一质量为m的小球置于半径为R的光滑竖直圆轨道最低点A处，B为轨道最高点，弹簧一端固定于圆心O点，另一端与小球拴接。已知弹簧的劲度系数????=????????????，原长
L=2R，弹簧始终处于弹性限度内，若给小球一水平初速度v0，已知重力加速度为g，则( )
?
A．当v0较小时，小球可能会离开圆轨道B．若????????????在B、D间脱离圆轨道C．只要????????>????????????，小球就能做完整
的圆周运动D．只要小球能做完整的圆周运动，则小球与轨道间最大压力与最小压力之差与v0无关
?
CD
7.如图所示，一长为3L的轻杆两端固定质量均为m的小球A、B，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为????的匀速圆周运动，????=????????????，O、A之间距离为L，O、B之间距离为2L，重力加速度为g，当小球A运动到最高点、小球B运动到最低点时，此时（　　）
?
A．小球A、B的线速度大小之比为2：1
B．小球A、B的向心力大小之比为2：1C．小球A对杆的作用力大小为mg
D．小球A对杆的作用力方向竖直向上
CD
1．如图所示,在O点处固定一力传感器，细绳一端系上质量为m的小球,另一端连接力传感器，使小球绕O点在竖直平面内做半径为r的圆周运动。????????时刻小球通过最低点时力传感器的示数为????????????????,经过半个圆周，在????????时刻通过最高点时力传感器的示数为????????????。已知运动过程中小球受到的空气阻力随小球速度的减小而减小,重力加速度为g,
下列说法正确的是（　　）
?
A．????????时刻小球到达最高点时的速度大小为????????????
B．从????????时刻到????????时刻的运动过程中，小球克服空气阻力做的功为????????????????????
C．小球再次经过最低点时，力传感器的示数等于????????????
D．小球再次经过最低点时，力传感器的示数大于????????????
?
AD
CD．设由最高点到最低点，小球克服空气阻力做的功为????????，由动能定理有?????????????????????=?????????????????????????????????????????????由于阻力做功的原因，小球在后半个圆周运动过程的平均速率小于前半个圆周运动过程的平均速率，则后半个圆周运动过程的平均阻力小，可得????????????????????小球再次经过最低点时，由牛顿第二定律有?????????????????=????????????????????可得????????>????????????
?
本章小结
1.掌握竖直平面内圆周运动绳（不计重力）模型的几个相应问题及解决方法。
2.掌握竖直平面内圆周运动杆（不计重力）模型的几个相应问题及解决方法。
[衔接高考]
1.如图,一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力（　）
A．一直不做功B．一直做正功C．始终指向大圆环圆心D．始终背离大圆环圆心
A
2．如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的3/4圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度为g．求：
（1）小球在AB段运动的加速度的大小；（2）小球从D点运动到A点所用的时间．
【答案】（1）???????????? （2）?????????????????
?
3．如图所示，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m=1.0kg的小球．现将小球拉到A点（保持绳绷直）由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L=1.0m，B点离地高度H=1.0m，A、B两点的高度差h=0.5m，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力影响，求：
（1）地面上DC两点间的距离s；（2）轻绳所受的最大拉力大小．
【答案】（1）????.???????? ???? （2）20 N
?
4．晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离d后落地，如图所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为????????????，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
?
【答案】(1)????????=???????????? ????????=???????????????? (2)????=????????????????????
(3)当????=????????时，x有极大值????????????????=????????????????
?
5.如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，????????????????=????????，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；（2）小球到达A点时动量的大小；（3）小球从C点落至水平轨道所用的时间。
?
【答案】（1）????????=???????????????? , ????????????????
（2）???????????????????????? （3）????????????????????
?
谢谢

展开更多......

收起↑