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专题十四 三角函数的概念与诱导公式
知识归纳
一、三角函数基本概念
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(4)象限角的集合表示方法：
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度制和弧度制的互化：,,．
(3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
【口诀】三角函数值在各象限的符号规律:一全二正弦，三切四余弦．
4．三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
三角函数线 INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-2.TIF" \* MERGEFORMATINET 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
5．特殊角的弧度数与三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360°
角α的弧度数 0 π 2π
sin α 0 1 0 －1 0
cos α 1 0 － － －1 0 1
tan α 0 1 － － 0 0
二、同角三角函数基本关系
1．平方关系：．2．商数关系：；
三、三角函数诱导公式
诱导公式一
诱导公式二
诱导公式三
诱导公式四
口诀 函数名不变，符号看象限
诱导公式五
诱导公式六
诱导公式七
诱导公式八
口诀 函数名改变，符号看象限
【口诀】奇变偶不变，符号看象限
说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；
无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
方法技巧与总结
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．
3. 同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 解读 适合题型
切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cos θ)2 2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化
和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
4.0<α<时，sinα<α典例分析
题型一、终边相同的角的集合的表示与区别
例1-1．与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例1-2．若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
例1-3．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
例1-4．（多选题）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（ ）
A． B． C． D．
例1-5．（多选题）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
例1-6．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（1）终边落在射线上；
（2）终边落在直线上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
题型二、等分角的象限问题
例2-1．若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
例2-2．角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2-3．θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（ ）
A．sin B．cos C．sin 2θ D．cos 2θ
例2-4．已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
题型三、弧长与扇形面积公式的计算
例3-1．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
例3-2．掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：，）（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
例3-3．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧及其所对弦围成的图形．若弧田的弦长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧长为_______，弧田的面积为_________．
例3-4．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
例3-5．“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.
例3-6．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
例3-7．电影《流浪地球》中描述了使用发动机推动地球运动的场景．某科学兴趣小组提出了一套新装置：使用一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周，一端连接强力发动机P绷紧绳索，为地球提供动力．若绳索比地球赤道长2 cm，则发动机距地面的高度约为（取地球半径为6 400 km；当很小时，，．）（ ）
A．9 cm B．11 cm C．9 m D．11 m
例3-8．圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若，，则扇形OAC的面积为___．
题型四、三角函数定义题
例4-1．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
例4-2．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
例4-3．已知角的终边在直线上，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
题型五、象限符号与坐标轴角的三角函数值
例5-1．如果，且，则的化简为_____.
例5-2．若角满足，，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例5-3．若，则下列三角函数值为正值的是（ ）
A． B． C． D．
例5-4．若角的终边不在坐标轴上，且，则( )
A． B． C． D．
例5-5．若是第二象限角，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
例5-6．如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置为（0，1），此时圆上一点的位置为（0，0），该圆沿轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点的坐标为______.
题型六、同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的
例6-1．若，则的值为___________.
例6-2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
例6-3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
例6-4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
例6-5．化简得（ ）
A． B．
C． D．
题型七：诱导求值与变形
例7-1．已知，则（ ）
A．2 B．—2 C． D．
例7-2．化简的结果为______.
例7-3．若，则（ ）
A． B． C． D．
例7-4．已知角终边上一点，则（ ）
A． B． C．3 D．5
例7-5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
例7-6．已知，且，则________.
例7-7．若，则（ ）
A． B． C． D．
例7-8．若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
例7-9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
例7-10．设，．若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为____________．
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专题十四 三角函数的概念与诱导公式
知识归纳
一、三角函数基本概念
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(4)象限角的集合表示方法：
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度制和弧度制的互化：,,．
(3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
【口诀】三角函数值在各象限的符号规律:一全二正弦，三切四余弦．
4．三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
三角函数线 INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\4-2.TIF" \* MERGEFORMATINET 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
5．特殊角的弧度数与三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360°
角α的弧度数 0 π 2π
sin α 0 1 0 －1 0
cos α 1 0 － － －1 0 1
tan α 0 1 － － 0 0
二、同角三角函数基本关系
1．平方关系：．2．商数关系：；
三、三角函数诱导公式
诱导公式一
诱导公式二
诱导公式三
诱导公式四
口诀 函数名不变，符号看象限
诱导公式五
诱导公式六
诱导公式七
诱导公式八
口诀 函数名改变，符号看象限
【口诀】奇变偶不变，符号看象限
说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；
无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
方法技巧与总结
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．
3. 同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 解读 适合题型
切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cos θ)2 2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化
和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
4.0<α<时，sinα<α典例分析
题型一、终边相同的角的集合的表示与区别
例1-1．与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C【详解】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；
又与的终边相同的角可以写成， 所以正确．
例1-2．若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】由图知，角的取值集合为:
故选：D.
例1-3．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】. 表示终边在直线上的角，
表示终边在直线上的角，
而 表示终边在四条射线上的角，
四条射线分别是射线 ，
它们构成直线、直线，故.
例1-4．（多选题）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为角与角的终边相同，故，其中，
同理，其中，
故，其中，
当或时，或，故AC正确，
令，此方程无整数解；
令即，此方程无整数解；
故BD错误.
例1-5．（多选题）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】根据和的终边关于轴对称时可知，
选项B中，符合题意；选项D中，符合题意；
选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称.
【方法技巧与总结】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
例1-6．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（1）终边落在射线上；
（2）终边落在直线上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）终边落在射线上的角的集合为；
（2）终边落在直线上的角的集合为；
（3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为，
终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为，
因此，终边落在阴影区域内的角的集合为
.
题型二、等分角的象限问题
例2-1．若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A【详解】因为，所以
当时，，其终边在第三象限；
当时，，其终边在第一象限.
综上，的终边在第一、三象限.
例2-2．角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D【详解】∵角的终边在第一象限，∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，
例2-3．θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（ ）
A．sin B．cos C．sin 2θ D．cos 2θ
【答案】C【详解】因为θ是第二象限角，所以，则，
所以2θ为第三或第四象限角或终边在轴负半轴上，，所以sin 2θ<0.
而，是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．
例2-4．已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C【详解】因为角第二象限角,所以，
所以，
当是偶数时，设，则，此时为第一象限角；
当是奇数时，设，则，此时为第三象限角.；
综上所述：为第一象限角或第三象限角，
因为，所以，所以为第三象限角．
题型三、弧长与扇形面积公式的计算
例3-1．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
【答案】B
【解析】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，
此时∠BOP=∠AOP=π-β， 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+．
例3-2．掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：，）（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】A
【解析】根据题意作图如下，
由题意知：的长为，为的中点，，
，即所求距离约为米.
例3-3．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧及其所对弦围成的图形．若弧田的弦长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧长为_______，弧田的面积为_________．
【答案】 ; .【详解】由题意可知：，
所以弧长，弧田的面积
例3-4．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，连接，因为是的中点，所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
例3-5．“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.
【答案】##
【详解】由题意可知，圆的半径为，即，又，所以为正三角形，∴，
所以扇形的面积是.
例3-6．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】记扇形的圆心角为，扇形的面积为，扇环形的面积为，圆的面积为，
由题意可得，，，，所以，
因为剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，
所以，则，
所以.
例3-7．电影《流浪地球》中描述了使用发动机推动地球运动的场景．某科学兴趣小组提出了一套新装置：使用一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周，一端连接强力发动机P绷紧绳索，为地球提供动力．若绳索比地球赤道长2 cm，则发动机距地面的高度约为（取地球半径为6 400 km；当很小时，，．）（ ）
A．9 cm B．11 cm C．9 m D．11 m
【答案】C
【解析】如右图．记地球半径为R，绳索比地球赤道长2x=0.02，则
由题述近似可得所以．
例3-8．圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若，，则扇形OAC的面积为___．
【答案】
【详解】如图，过点作，设所在圆的半径为，
则，
在中，，，
所以，，
所以，.
在中，有，
即，整理可得，.
因为，所以，
所以，扇形OAC的面积为.
题型四、三角函数定义题
例4-1．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为角的终边过点，由任意三角形的定义知：，
.
例4-2．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C【详解】因为角的终边上一点，
所以，又，所以为第四象限角，
所以，又因，所以.
例4-3．已知角的终边在直线上，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C【解析】由题知：
设角的终边上一点，则.
当时，，，，
.
当时，，，，
.故选：C
题型五、象限符号与坐标轴角的三角函数值
例5-1．如果，且，则的化简为_____.
【答案】
【详解】∵，且，∴是第二象限角，
∴．
例5-2．若角满足，，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】，是第二或第四象限角；
当是第二象限角时，，，满足；
当是第四象限角时，，，则，不合题意；
综上所述：是第二象限角.
例5-3．若，则下列三角函数值为正值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，所以C选项正确.
当时，，所以ABD选项错误.
例5-4．若角的终边不在坐标轴上，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】或，
∵的终边不在坐标轴上，∴，∴，∴．
例5-5．若是第二象限角，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A：因为，所以，
所以是第三象限角，所以，故选项A不正确；
对于B：因为，所以，
当时，，此时是第一象限角，
当时，，此时是第三象限角，
所以是第一或第三象限角，所以，故选项B正确；
对于C：因为，所以，
所以是第三或第四象限角或终边落在轴非正半轴，所以，故选项C不正确；
对于D：因为，所以，
所以是第三象限角，所以，故选项D不正确；
例5-6．如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置为（0，1），此时圆上一点的位置为（0，0），该圆沿轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点的坐标为______.
【答案】
【详解】如图，作轴，，为垂足.
根据题意得劣弧，则，于是在中，，
，，
可得点的横坐标为，点的纵坐标为，
所以点的坐标为.
题型六、同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的
例6-1．若，则的值为___________.
【答案】
【详解】.
4．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则__________．
【答案】##0.75
【详解】设大正方形和小正方形的边长分别为和a，则，所以．
所以，即，
解得或（舍去），又，
所以，所以.
例6-2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以同号，即，
，，从而，
，所以，
．
例6-3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，，，，
，所以.
例6-4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由及，解得，或，.
因为，所以，，
所以，，所以，
例6-5．化简得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，
，
题型七：诱导求值与变形
例7-1．已知，则（ ）
A．2 B．—2 C． D．
【答案】C
【详解】由已知得，，∴.
例7-2．化简的结果为______.
【答案】
【详解】
.
例7-3．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
例7-4．已知角终边上一点，则（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】C【详解】因为角终边上一点，所以，
又，
例7-5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为，所以，所以
.
例7-6．已知，且，则________.
【答案】
【详解】，，又，，，
，
.
例7-7．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得：
例7-8．若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
【答案】（满足即可）
【解析】与关于轴对称，
即关于轴对称， ，则，
当时，可取的一个值为．
例7-9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，且，
所以，
所以，
所以．
例7-10．设，．若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为____________．
【答案】
【详解】对任意实数都有，
与的最值和最小正周期相同，
，，即，，
①当，时，，，
又，或，则或；
②当，时，，；
又，或，则或；
③当，时，，，
又，或，则或；
④当，时，，；
又，或，则或；
综上所述：满足条件的有序实数组共有组.
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