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专题十五 三角恒等变换
知识归纳
一、两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
二、二倍角公式
①；
②；
③；
三、降次（幂）公式
四、半角公式
五、辅助角公式
（其中）．
方法技巧与总结
1、两角和与差正切公式变形
；
．
2、降幂公式与升幂公式
；
．
3、其他常用变式
．
4、拆分角问题
①；；②；
③；
④；⑤．
注意 特殊的角也看成已知角，如．
典例分析
题型一、两角和与差公式的证明
例1-1．已知以下四个式子的值都等于同一个常数
；
；
；
.
（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.
（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.
例1-2．如图，考虑点，，，，从这个图出发.
（1）推导公式：；
（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值.
题型二、给式求值
例2-1、化简：___________．
例2-2、已知，，，则___________.
例2-3、已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
例2-4、已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例2-5、已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
例2-6、已知、均为锐角，且，，则_____________.
例2-7、（多选题）设，则（ ）
A． B． C． D．
例2-8、已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例2-9、若时，取得最大值，则______．
题型三、给值求值
例3-1、若，且，则（ ）
A． B． C．2 D．2
例3-2、已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
例3-3、已知，则_______.
例3-4、若，则（ ）
A．5 B． C．2 D．4
例3-5、已知，则__________.
例3-6、若，则_______．
例3-7、（多选题）已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型四、给值求角
例4-1、已知且，则=（ ）
A． B．
C． D．或
例4-2、已知，，则______．
例4-3、（多选题）已知满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
例4-4、已知，且，求的值为_____．
例4-5、已知角，，则______.
例4-6、若，且，则的值为___________.
例4-7、已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型五、求非特殊角的三角函数值
例5-1.求值：
（1）； （2）.
例5-2．式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
例5-3．求值：（ ）
A．1 B． C． D．
例5-4．___________.
例5-5.求值_________．
例5-6．若，则α的一个可能角度值为__________.
例5-7、通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即．记，则______．
题型六、正切恒等式
例6-1、若角的终边经过点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
例6-2、设角，的终边均不在坐标轴上，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例6-3、已知，则（ ）
A． B． C． D．
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专题十五 三角恒等变换
知识归纳
一、两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
二、二倍角公式
①； ②； ③；
三、降次（幂）公式
四、半角公式
五、辅助角公式
（其中）．
方法技巧与总结
1、两角和与差正切公式变形
；
．
2、降幂公式与升幂公式
；
．
3、其他常用变式
．
4、拆分角问题
①；；②；③；
④；⑤．
注意 特殊的角也看成已知角，如．
典例分析
题型一、两角和与差公式的证明
例1-1、已知以下四个式子的值都等于同一个常数
；
；
；
.
（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.
（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.
【答案】（1）选第四个式子，；（2）证明见解析.
【详解】（1）由第四个式子：
（2）证明：
例1-2、如图，考虑点，，，，从这个图出发.
（1）推导公式：；
（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值.
【答案】（1）推导见解析；（2）证明见解析，
【详解】（1）因为，
根据图象，可得，即，
即.
即.
（2）由（1）可得， ①
②
由①+②可得：
所以，
所以
题型二、给式求值
例2-1、化简：___________．
【答案】2
【解析】 ．
例2-2、已知，，，则___________.
【答案】
【详解】因为，且，所以.又因为，
解得，则，
故.
例2-3、已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
例2-4、已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，∴，
则， ，
∴
25．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
即，所以，
所以，解得或，
因为，所以，
所以.
例2-5、已知、均为锐角，且，，则_____________.
【答案】
【详解】因为，，即，
所以，
又，即，则，
又、均为锐角，所以，，所以，，
所以.
例2-6、（多选题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】依题意，，
，，
，，
代入，，
化简得，
两边除以，，
，解得或.
例2-7、已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，
，
即，所以，
因为，，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，取得最大值.
例2-8、若时，取得最大值，则______．
【答案】
【详解】
（其中，），
当取最大值时，，∴
，
∴．
题型三、给值求值
例3-1、若，且，则（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】D
【详解】，故，
可解得或，又，故，故，
例3-2、已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以又，所以，所以
所以
例3-3、已知，则_______.
【答案】
【详解】因为，故可得，
则
故答案为：.
例3-4、若，则（ ）
A．5 B． C．2 D．4
【答案】A
【详解】，
所以，则，
所以
故选：A
例3-5、已知，则__________.
【答案】
【解析】因为
，
，
，
因为，所以，所以，
故
例3-6、若，则_______．
【答案】
【解析】
，
，，
原式.
例3-7、（多选题）已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】①因为，所以，
又，故有，，
解出，故A错误；
②，
由①知：，所以，所以，故B正确；
③由①知：，而，所以，
又，所以，解得，
所以
又因为，，
所以，有，故C正确；
④由，
由③知，，
两式联立得：，故D错误．
题型四、给值求角
例4-1、已知且，则=（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【详解】因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，所以.
例4-2、已知，，则______．
【答案】
【详解】由题知，
则，即，
即，即，
则或，．
因为，所以，所以，解得．
例4-3、（多选题）已知满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】因为，且，所以，，
则，所以，故A错误；
由，得，，
所以，则，故B正确；
由，，得，，
，所以，故C正确；
因为，
所以，
故，故D正确.故选：BCD.
例4-4、已知，且，求的值为_____．
【答案】
【详解】，则，注意到，
于是，
不妨记，于是，
而，于是（负值舍去），
又，则（正值舍去），于是计算可得：
，而，于是.
例4-5、已知角，，则______.
【答案】
【详解】，，
，
，
，
，，，则.
例4-6、若，且，则的值为___________.
【答案】或
【详解】由题意知，则，
即，
当时，，即，由，得；
当时，，所以，即，
由，得，所以，得.
例4-7、已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，则，
所以，，
因为、都是锐角，由题意可得，所以，，
所以，，
因为、都是锐角，则且，则，
所以，，因此，.
题型五、求非特殊角的三角函数值
例5-1、求值：
（1）； （2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式
.
（2）因为
所以原式
例5-2、式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】原式
.
例5-3、求值：（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】原式
，
例5-4、___________.
【答案】
【详解】
.
例5-5、求值_________．
【答案】
【解析】 .
例5-6、若，则α的一个可能角度值为__________.
【答案】等答案较多
【详解】
则，故，或
故答案为：等均符合题意.
例5-7、通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即．记，则______．
【答案】
【解析】，
.
题型六、正切恒等式
例6-1、若角的终边经过点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，，∴，
故，，又，
即，∴．
例6-2、设角，的终边均不在坐标轴上，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，，
∵，，∴，.A.B不恒成立；
又，∴.
例6-3、已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以
.
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