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专题十六 三角函数的图像与性质
知识归纳
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是；
正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；
三、与的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设.
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心.
假设.
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5）单调性.
假设.
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
方法技巧与总结
一、与三角函数的奇偶性有关的问题
由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
(1)若为奇函数，则；
(2)若为偶函数，则；
(3)若为奇函数，则；
(4)若为偶函数，则；
若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数.
二、求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型
(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域
(2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)；
对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；
例如①（特别的可先用和差角公式展开化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;
②即逆用倍角公式化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。
总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制；
对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。
(4)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。
(5)形如分式型：等
三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。
①基本类型一:、型
方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法．
②基本类型二：型．
转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值；
典例分析
题型一、五点作图法
例1-1．已知函数，，.若，，且的最小值为，，求解下列问题.
(1)化简的表达式并求的单调递增区间；
(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间上的最值.
【解析】(1)若，，即是的最大值点，是的零点，
且的最小值为，设的最小正周期为，则，即，解得：.
由可得：，即有，
或，又，，综上所述：；
令，解得：，
的单调递增区间为.
(2)根据“五点作图法”的要求先完成表格：令.
0
由图可知：当时，取到最大值；当时，取到最小值.
例1-2．设函数（）的最小正周期为，且
(1)求和的值；
(2)填下表并在给定坐标系中作出函数在上的图象；
x
【解析】(1)由题意知：，解得，又，又，解得.
(2)由（1）知：，列表如下
x
1 0 0
图像如图：.
题型二、函数的奇偶性
例2-1．若为偶函数，则___________.（填写符合要求的一个值）
【答案】，填写符合Z的一个即可
【详解】
，只要，就为偶函数，，
Z，填写一个即可，如.
例2-2．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象对应函数为奇函数，则m的最小值是___________.
【答案】【详解】由，向左平移个单位，
得到的图象，∴函数为奇函数，
∴ 所以，即，
所以的最小值是．
例2-3．已知函数（、为常数，R）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数，且图象关于点对称 B．偶函数，且图象关于点对称
C．奇函数，且图象关于点对称 D．奇函数，且图象关于点对称
【答案】D【详解】，若在处取得最小值，
则，，，
，
可得函数是奇函数，且图象关于点对称．
例2-4．已知函数,在区间上的最大值为最小值为则_____.
【答案】【详解】.
令 ,且
为奇函数,设其最大值为,则其最小值为,
∴函数的最大值为,最小值为则 .
例2-5．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】B【详解】因为，
所以，所以，
所以为偶函数，故A错误，B正确；又，
所以函数为非奇非偶函数函数，故C、D错误.
题型三、函数的周期性
例3-1．已知函数与直线的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是___________.
【答案】且【详解】根据正弦型函数的周期性，当，则：
若，最近的另一个值为，所以，而，可得.
故此函数的最小正周期是，则函数的周期为且.
例3-2．设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值为　　．
【答案】3【解答】函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到的图象，由于得到的函数的图象与原图象重合，故，，
所以，，当时，的最小值为3．
例3-3．下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】①的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
但不是周期函数，排除①；
②的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
最小正周期是，②正确；
③的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
最小正周期为，③正确；
④的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期为，排除④.故选：B.
例3-4．函数的最小正周期和最小值分别为（ ）
A．，1 B．， C．，1 D．，1
【答案】C
【详解】由题设，，，
所以的部分图象如下：
所以最小正周期和最小值分别为，1.
例3-5．函数，，若在区间，是单调函数，且，则的值为（ ）
A． B．1 C．2或 D．或2
【答案】D【详解】在区间，是有单调性，且，，；
，函数关于对称，离最近对称轴的距离为；
又，有对称中心为，；若与，为不是同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．则，可得，．若与，为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．则，可得，．
例3-6．已知函数在上单调，且，则的可能取值（ ）
A．只有1个 B．只有2个
C．只有3个 D．有无数个
【答案】C【详解】设的最小正周期为T，则由函数在上单调，可得，即．因为，所以.由在上单调，且，得的一个零点为，即为的一个对称中心.因为，所以为的一条对称轴.因为，所以有以下三种情况：
①，则；②当时，则，符合题意；
③，则，符合题意．因为，不可能满足其他情况.
故的可能取值只有3个．
题型四、函数的单调性
例4-1．（多选）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC【详解】对于A，，A错误;
对于B，，由于函数在上单调递增，故，B正确；
对于C，，
，故，C正确；
对于D,函数在上是增函数，而，所以，D不正确；
例4-2．已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递减区间为　　
A． B．
C． D．
【答案】A【解答】解：函数，，，
的最小值为，．
，，，故．
令，求得，
则的单调递减区间为，，，
例4-3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】，
令解得：Z，
故f（x）的单调递减区间为
例4-4．设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】据题意可以得出直线和点分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，
所以，即（），
所以；又由得，即（），
，所以，所以；
由得的单调减区间为（），
所以在上的单调减区间是.
例4-5．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求使成立的实数x的取值集合.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)解：因为
，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，；
(2)解：由（1）知，由，得，
所以，，所以，，
所以x的取值集合为.
题型五、函数的对称性（对称轴、对称中心）
例5-1．已知函数，其中，，函数的周期为，且时，取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数在单调递增 D．函数图象关于点对称
【答案】D【详解】对于A，函数，其中，，
因为函数的周期为，所以，故A不正确；
对于B，时，取得极值，所以为函数的对称轴方程，但是不能确定是取得极大值还是极小值，所以，故B不正确；对于C，因为不能确定是函数的极大值还是极小值，
所以无法确定函数的单调性，故C不正确；对于D，因为为函数的对称轴方程，
则，解得，所以，
所以，所以函数图象关于点对称，故D正确.
例5-2．若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B【详解】由于函数的图象关于直线对称，所以，
即，两边平方整理得，解得，则.
例5-3．已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
，
即，由其最小正周期为，即，解得，所以，
将其图象沿轴向左平移（）个单位，所得图象对应函数为，其图象关于对称，所以，所以 ，由，实数的最小值为.
例5-4．已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】∵的最大值为，
∴，又，∴，∴，又x＝m是的一条对称轴，∴，即，∴的最小值为.
例5-5已知定义在上的函数满足：为偶函数，且；函数，则当时，函数的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因为为偶函数，所以关于对称，
所以当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，……函数为的图象向左平移个单位，的图象如下图所示，均关于对称，有14个交点，所以函数的所有零点之和为：.故选：A.
题型六、函数的定义域、值域（最值）
例6-1．函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】当时，，当时，
即 时，取最大值1，当，
即 时，取最小值大于 ，故值域为
例6-2．若函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】由题意，得，则．
例6-3．函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】由函数式知：，∴，即.
例6-4．函数在上的最小值是______.
【答案】
【详解】函数，其中锐角由确定，
而，即有，显然在上单调递增，
所以当时，.
例6-5．设当时，函数取得最大值，则__________.
【答案】【详解】，则，
则
例6-6．当时，函数取得最大值，则__________.
【答案】【详解】利用辅助角公式，其中
当时，函数取得最大值，则，所以，
所以
又，所以
例6-7．已知不等式对恒成立，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为不等式对恒成立，
所以不等式对恒成立，
令，因为，所以，
则，所以，所以，解得，所以m的最小值为，
例6-8．若函数的最大值为1，则常数______．
【答案】或【详解】
（其中）
所以函数的最大值为，即解得
又因为,所以或.
例6-9．若函数的最大值为1，则常数的一个取值为_____．
【答案】（答案不唯一，取，均可）【详解】函数的最大值为1，可取与同时取到最大值1，又时，，
时，也取到1，，
不妨取，此时的最大值为1，符合题意，
故常数的一个取值为，
例6-10．函数的最大值是__________．
【答案】【详解】=，
所以当 时，有最大值．
例6-11．）函数的最大值为（ ）
A． B．3
C． D．4
【答案】C【详解】根据题意，设，则，
则原函数可化为，，
所以当时，函数取最大值.
例6-12．已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】设函数的最小正周期为，由题意可得，则，所以，
所以，则．令，则，，即，
又，所以，所以．
因为函数在上的最大值为1，且，如图.
当时，，所以，以．
例6-13．函数的最大值为___________.
【答案】
【详解】,
令,可得,当时,y取得最大值为
例6-14．函数的值域 .
【答案】【详解】因为==，
当时取得最大值，当时取得最小值，
又因为， 所以的值域为.
例6-15．函数的值域是　　
A．， B． C． D．，
【答案】A【解答】函数的定义域为，且，
即，所以是偶函数；
当时，，
所以当时，；又为定义域上的偶函数，所以的值域是，．
例6-16．已知函数，则的最大值为　　
A． B． C．0 D．1
【答案】D【解答】解：，令，，，则，
由对勾函数的性质可知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，时，，所以函数的最大值为1．
例6-17．设函数．
①的最小正周期为；
②的最大值为；
③在区间上单调递减；
④，都有成立；
⑤的一个对称中心为．
其中真命题有 　　（请填写真命题的编号）．
【答案】③④【解答】解：，，的最小正周期不是，即①错；
，
当，即，时，单调递增；
当，即，时，单调递减；
在区间上单调递减，故③对，，故②错；
由单调性知，不可能是函数的对称中心，故⑤错；
令，则，
故在上为增函数，故，即，故④对；
例6-18．求函数的最大值及最小值．
【解答】解析式表示过，的直线的斜率，由几何意义，
即过定点与单位圆相切时的切线斜率为最值，
所以设切线得斜率为，则直线方程为，即，，解得或，
所以函数的最大值为，最小值为0．
例6-19．已知函数，则的最小值是　　．
【答案】．【解答】解：由题意可得是的一个周期，
故只需考虑在，上的值域，
先来求该函数在，上的极值点，
求导数可得，
令可解得或，可得此时，或；
的最小值只能在点，或和边界点中取到，
计算可得，，，，函数的最小值为
例6-20．如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇形弧上的一点（不包含端点），过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平行线，交于点．
(1)若，求；
(2)设，求四边形的面积的最大值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意可知关于对称，连接，记与的交点分别为，
则，故，
则，故.
（2）连接，记与的交点分别为，，
则，
，，
，所以四边形的面积
，
因为，，
所以当，即时，取到最大值1，故.
例6-21．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．
(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【解析】(1)连结并延长交于，则⊥，所以=10．
过作⊥于，则∥，所以，
故，，
则矩形的面积为，
的面积为．
过作⊥，分别交圆弧和的延长线于和，则．
令，则，．
当时，才能作出满足条件的矩形，所以的取值范围是．
答：矩形的面积为平方米，的面积为
，的取值范围是．
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，
则年总产值为
，．设，，
则．
令，得，当时，，所以为增函数；
当时，，所以为减函数，因此，当时，取到最大值．
答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
题型七、根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式.
例7-1．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递减
【答案】C【详解】由图象可知，即，又，所以，
又，可得，又因为所以，
所以，故A错误；当时，.故B错误；
当时，，故C正确；
当时，则，函数不单调递减.故D错误．
例7-2．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
B．
C． D．
【答案】D
【详解】由图象可得，可得，，可得，由于函数在附近单调递减，且，，
由图象可知，函数的最小正周期满足，可得，
，则，
所以，解得，
，所以，，因此.
故选：D.
例7-3．如图是函数（，，）的图象的一部分，则函数的解析式为__________________．
【答案】
【详解】由图象知，，，则，，
由，得.又，∴.
.
例7-4．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2【解析】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；所以．
因为，；
所以由可得或；
因为，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，可得的最小正整数为2．
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，
符合题意，可得的最小正整数为2．
例7-5．已知函数的部分图像如图，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】令，由图易得，所以，
，得，当时，由五点作图可得，解得，，不满足，故舍去，所以，结合得，此时应满足，结合，解得，故的解析式为，
例7-6．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】根据题意设，，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，
所以，该摩天轮最低点距离地面高度为，所以，解得，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要，
所以，，解得，因为时，，故，即，解得.所以，
例7-7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆），以筒车转轮的中心为原点，过点的水平直线为轴建立如图直角坐标系. 已知一个半径为1.6m的筒车按逆时针方向每30s匀速旋转一周，到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（时的位置）时开始计算时间，且设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：s），且此时点距离水面的高度为（单位：m）（在水面下则为负数），则关于的函数关系式为___________，在水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度不低于1.6m的时长为___________s.
【答案】 10
【详解】依题意，点到x轴距离为0.8m，而，则，
从点经s运动到点所转过的角为，因此，以Ox为始边，OP为终边的角为，
点P的纵坐标为，于是得点距离水面的高度，
由得：，而，即，解得，对于k的每个取值，，
所以关于的函数关系式为，
水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度不低于1.6m的时长为10s.
例7-8．海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度(船底与水面距离)为4米，安全间隙(船底与海底距离)为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以0.3米/时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择y＝Asin(ωx＋φ)＋K(A＞0，ω＞0)拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的最晚时间大概控制在(要考虑船只驶出港口需要一定时间)(　C　)
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
A.5：00至5：30 B．5：30至6：00 C．6：00至6：30 D．6：30至7：00
解析：由表格可得T＝12，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，
∴T＝12＝，A＋K＝7.5，－A＋K＝2.5，解得ω＝，A＝2.5，K＝5，∴y＝f(x)＝2.5sin＋5.
当x＝3时，y＝7.5，∴×3＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ，k∈Z，∴y＝f(x)＝2.5sinx＋5，0≤x≤24.
∵该船吃水深度(船底与水面距离)为4米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以0.3米/时的速度减少，
∴货船的吃水深度y与时间x的函数关系式为y＝g(x)＝4－0.3(x－2)＝－0.3x＋4.6.
∵该船的安全间隙为1.5米，∴f(x)－g(x)≥1.5，即f(x)≥g(x)＋1.5.
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝g(x)＋1.5的图像，如图所示．
考虑到sin＝sin＝＜×＝0.3，
∴f(6.5)－g(6.5)－1.5＝2.5sin＋5＋0.3×6.5－6.1＝2.5＝2.5>0，f(7)－g(7)－1.5＝2.5sin＋5＋0.3×7－6.1＝－2.5sin＋1＝－2.5×＋1＝－0.25<0，∴两函数图像在x∈(6.5，7)内有一个交点．
故该船必须停止卸货驶离港口的最晚时间大概控制在6：00－6：30之间．故选C.
方向二、知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定）
例7-9．已知函数，①函数的图象关于直线对称，②当时，函数的取值范围是，则同时满足条件①②的函数的一个解析式为________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】由题意，设，由的最小值为-2，得A=2，
若为半个周期长度，则，则，
由①，不妨令，解得，
所以，经检验，符合①②条件，
例7-10．已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定.
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值.
条件①：的最小正周期为；
条件②：；
条件③：图象的一条对称轴为.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)条件选择见解析，；(2).
【解析】(1)选择条件①②：由条件①及已知得，所以.
由条件②，即，解得.
因为，所以，所以，经检验符合题意.
选择条件①③：
由条件①及已知得，所以．由条件③得，解得，因为，所以，所以．若选择②③：由条件②，即，解得，
因为，所以，由条件③得，∴，则的解析式不唯一，不合题意.(2)由题意得，
化简得
因为，所以，所以当，即时，的最大值为.
题型八、三角函数图像变换
例8-1．函数的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的；②向左平移个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】由题意，④纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，故④变换前为；③向上平移一个单位长度，故③变换前为；②向左平移个单位长度，故②变换前为；①横坐标变为原来的，故①变换前为，故的解析式为
例8-2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A【详解】由题意，由于函数，
观察发现可由函数向左平移个单位长度，得到函数的图象，
例8-3．了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】B【详解】，
设平移了个单位，得到，则，解得：，
即向右平移了个单位.
例8-4．已知点是函数图象的一个对称中心，其中，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由题意知，所以，所以，又，所以，即，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，即．故选:D．
例8-5．已知函数，将的图象上所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到图象，若在有个不同的解，则__________.
【答案】【解析】根据题意可知，，由得，由，可得，所以函数关于对称，因为，所以由可得，因此．故答案为：．
例8-6．已知函数的部分图象如图所示，且．将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图象．若，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】设的最小正周期为T，则由图可知，得，则，所以，又由题图可知图象的一个对称中心为点，故，，故，，因为，所以，所以.又因为，故，所以；将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图象；因为，所以 同时令取得最大值3，由，可得，，又，要求的最大值，故令，得；
令，得，所以的最大值为，故选：C.
例8-7．(多选题)将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，设为以上两个函数图像不共线的三个交点，则的面积可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC【解析】由题意得，
在同一坐标系内作出图像，如下图所示
令，解得，
不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，
所以
若C点位于时，的面积，故C正确
当C点位于时，的面积，
当C点位于时，的面积，故B正确，
因为，此时为面积的2倍，
以此类推，当C位于不同位置时，的面积应为的整数倍，故A正确，D错误，
题型九、三角函数性质的综合
例9-1.（多选）已知函数，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】BD【解析】，故A错误；
函数的最小正周期为，故B正确；
时，，故在上单调递增，故C错误；
时，，故在上单调递增，故D正确．故选：．
例9-2．（多选）已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是奇函数，则下列判断正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为 B．函数f（x）的图像关于点（，0）对称
C．函数f（x）在上单调递增 D．函数f（x）的图像关于直线对称
【答案】ABD【详解】因为函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，则，
又， 又函数是偶函数，因为，
所以，即，又，，则.
函数最小正周期，故选项A正确；
函数图像对称点的横坐标为：，即，
令时，，故选项B正确；又由：，得到
所以函数的单调增区间为：，
令时，得到一个增区间为：，故选项C错误；函数图像的对称所在直线方程为；，令时，，故选项D正确.
例9-3．（多选题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线
【答案】AD【解析】由题意得：，所以，，
即，又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，
解得或，从而得：或，
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
例9-4．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③函数的最大值为M，最小值为m，则；
④若，则函数在上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】A【详解】由，可知为偶函数，①对.
由，得关于对称；
由，得的周期为；当时，
其中且；
作出在上的图象，并根据的对称性及周期性作出的大致图象.
由图可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，②错；
的最大值，最小值，故，③错；
若，则在上有4个零点，④对，
例9-5．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是
C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称
【答案】C【详解】A选项，定义域为R，且，
所以是奇函数，A错误；
当时，画出图象，
显然的最小正周期是，B错误；
在区间上单调递增，选项C正确；
直线不是的对称轴，D错误；
例9-6．（多选题）已知函数，则（ ）
A．是周期函数 B．是偶函数
C．是上的增函数 D．的最小值为
【答案】BC【详解】解：因为，令，则，
对于A，因为是周期为的周期函数，关于轴对称，不是周期函数，
所以不是周期函数，则也不是周期函数，故A错误；
对于B，的定义域为，且，
所以为偶函数，则，故为偶函数，故B正确；
对于C，当时，，
，所以单调递减，则单调递增，故C正确；
对于D，当时，，则
故的最小值不为，故D错误．
例9-7．声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A．的最大值为 B．2π为的一个周期
C．为曲线的对称轴 D．为曲线的对称中心
【答案】B【详解】A：因为，而，
所以一定有且，当时，有，此时
，，所以本选项说法不正确；
B：因为，
所以2π为的一个周期，因此本选项说法正确；C：因为，，
所以，因此不是曲线的对称轴，所以本选项说法不正确；
D：因为，，所以，因此不是曲线的对称中心，所以本选项说法不正确
例9-8．已知函数，给出下列四个结论：
①是偶函数；
②有4个零点；
③的最小值为；
④的解集为.
其中，所有正确结论的序号为___________.
【答案】①②【解析】对于①：因为函数的定义域为，且，所以是偶函数.故①正确；
对于②：在，令，解得：，，，.所以有4个零点.故②正确；
对于③：因为是偶函数，所以只需研究的情况. 如图示，作出（）和的图像如图所示：在上，有，所以，即的最小值大于.故③错误；对于④：当时，可化为：当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为.故④不正确.
故答案为：①②
例9-9．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线为函数图象的一条对称轴
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递增
D．，
【答案】AC【详解】依题意，，故A正确；易知，故为函数的一个周期；当时，，
故，在上单调递减，即在上单调递减，
由对称性可知，函数在上单调递增，故B错误，C正确；
，所以为偶函数.
，
结合单调性以及函数的奇偶性可知，
函数的最大值为，故D错误．
例9-10．（多选题）已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论，其中错误的结论是（ ）
A．的一个周期是 B．是偶函数
C．在区间上单调递减 D．的最大值大于
【答案】BC【详解】对于A选项，，
所以，函数的一个周期为，A选项正确；
对于B选项，，
，
，，所以，函数不是偶函数，B选项错误；
对于C选项，当时，，，则，
则，所以，函数在是常函数，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
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专题十六 三角函数的图像与性质
知识归纳
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是；
正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；
三、与的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设.
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心.
假设.
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5）单调性.
假设.
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
方法技巧与总结
一、与三角函数的奇偶性有关的问题
由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
(1)若为奇函数，则；
(2)若为偶函数，则；
(3)若为奇函数，则；
(4)若为偶函数，则；
若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数.
二、求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型
(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域
(2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)；
对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；
例如①（特别的可先用和差角公式展开化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;
②即逆用倍角公式化为y＝asinω x＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。
总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制；
对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。
(4)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。
(5)形如分式型：等
三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。
①基本类型一:、型
方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法．
②基本类型二：型．
转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值；
典例分析
题型一、五点作图法
例1-1．已知函数，，.若，，且的最小值为，，求解下列问题.
(1)化简的表达式并求的单调递增区间；
(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间上的最值.
例1-2．设函数（）的最小正周期为，且
(1)求和的值；
(2)填下表并在给定坐标系中作出函数在上的图象；
x
题型二、函数的奇偶性
例2-1．若为偶函数，则___________.（填写符合要求的一个值）
例2-2．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象对应函数为奇函数，则m的最小值是___________.
例2-3．已知函数（、为常数，R）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数，且图象关于点对称 B．偶函数，且图象关于点对称
C．奇函数，且图象关于点对称 D．奇函数，且图象关于点对称
例2-4．已知函数,在区间上的最大值为最小值为则_____.
例2-5．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
题型三、函数的周期性
例3-1．已知函数与直线的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是___________.
例3-2．设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值为　　．
例3-3．下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（ ）
A． B． C． D．
例3-4．函数的最小正周期和最小值分别为（ ）
A．，1 B．， C．，1 D．，1
例3-5．函数，，若在区间，是单调函数，且，则的值为（ ）
A． B．1 C．2或 D．或2
例3-6．已知函数在上单调，且，则的可能取值（ ）
A．只有1个 B．只有2个
C．只有3个 D．有无数个
题型四、函数的单调性
例4-1．（多选）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例4-2．已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递减区间为　　
A． B．
C． D．
例4-3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
例4-4．设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
例4-5．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求使成立的实数x的取值集合.
题型五、函数的对称性（对称轴、对称中心）
例5-1．已知函数，其中，，函数的周期为，且时，取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数在单调递增 D．函数图象关于点对称
例5-2．若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C． D．
例5-3．已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例5-4．已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例5-5已知定义在上的函数满足：为偶函数，且；函数，则当时，函数的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
题型六、函数的定义域、值域（最值）
例6-1．函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
例6-2．若函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
例6-3．函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
例6-4．函数在上的最小值是______.
例6-5．设当时，函数取得最大值，则__________.
例6-6．当时，函数取得最大值，则__________.
例6-7．已知不等式对恒成立，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例6-8．若函数的最大值为1，则常数______．
例6-9．若函数的最大值为1，则常数的一个取值为_____．
例6-10．函数的最大值是__________．
例6-11．）函数的最大值为（ ）
A． B．3
C． D．4
例6-12．已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例6-13．函数的最大值为___________.
例6-14．函数的值域 .
例6-15．函数的值域是　　
A．， B． C． D．，
例6-16．已知函数，则的最大值为　　
A． B． C．0 D．1
例6-17．设函数．
①的最小正周期为；
②的最大值为；
③在区间上单调递减；
④，都有成立；
⑤的一个对称中心为．
其中真命题有 　　（请填写真命题的编号）．
例6-18．求函数的最大值及最小值．
例6-19．已知函数，则的最小值是　　．
例6-20．如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇形弧上的一点（不包含端点），过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平行线，交于点．
(1)若，求；
(2)设，求四边形的面积的最大值．
例6-21．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．
(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
题型七、根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式.
例7-1．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递减
例7-2．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
B．
C． D．
例7-3．如图是函数（，，）的图象的一部分，则函数的解析式为__________________．
例7-4．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
例7-5．已知函数的部分图像如图，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
例7-6．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
例7-7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆），以筒车转轮的中心为原点，过点的水平直线为轴建立如图直角坐标系. 已知一个半径为1.6m的筒车按逆时针方向每30s匀速旋转一周，到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（时的位置）时开始计算时间，且设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：s），且此时点距离水面的高度为（单位：m）（在水面下则为负数），则关于的函数关系式为___________，在水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度不低于1.6m的时长为___________s.
例7-8．海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度(船底与水面距离)为4米，安全间隙(船底与海底距离)为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以0.3米/时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择y＝Asin(ωx＋φ)＋K(A＞0，ω＞0)拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的最晚时间大概控制在(要考虑船只驶出港口需要一定时间)(　C　)
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
A.5：00至5：30 B．5：30至6：00 C．6：00至6：30 D．6：30至7：00
方向二、知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定）
例7-9．已知函数，①函数的图象关于直线对称，②当时，函数的取值范围是，则同时满足条件①②的函数的一个解析式为________.
例7-10．已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定.
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值.
条件①：的最小正周期为；
条件②：；
条件③：图象的一条对称轴为.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
题型八、三角函数图像变换
例8-1．函数的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的；②向左平移个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
例8-2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
例8-3．了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
例8-4．已知点是函数图象的一个对称中心，其中，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
例8-5．已知函数，将的图象上所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到图象，若在有个不同的解，则__________.
例8-6．已知函数的部分图象如图所示，且．将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图象．若，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例8-7．(多选题)将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，设为以上两个函数图像不共线的三个交点，则的面积可能为（ ）
A． B． C． D．
题型九、三角函数性质的综合
例9-1.（多选）已知函数，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．在上单调递减 D．在上单调递增
例9-2．（多选）已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是奇函数，则下列判断正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为 B．函数f（x）的图像关于点（，0）对称
C．函数f（x）在上单调递增 D．函数f（x）的图像关于直线对称
例9-3．（多选题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线
例9-4．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③函数的最大值为M，最小值为m，则；
④若，则函数在上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
例9-5．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是
C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称
例9-6．（多选题）已知函数，则（ ）
A．是周期函数 B．是偶函数
C．是上的增函数 D．的最小值为
例9-7．声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A．的最大值为 B．2π为的一个周期
C．为曲线的对称轴 D．为曲线的对称中心
例9-8．已知函数，给出下列四个结论：
①是偶函数；
②有4个零点；
③的最小值为；
④的解集为.
其中，所有正确结论的序号为___________.
例9-9．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线为函数图象的一条对称轴
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递增
D．，
例9-10．（多选题）已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论，其中错误的结论是（ ）
A．的一个周期是 B．是偶函数
C．在区间上单调递减 D．的最大值大于
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