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专题十七 解三角形
知识归纳
一、基本定理公式
1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ；；.
常见变形 (1)，，；(2)，，； ；；.
二、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状
设a是三角形中最长的边，则
（1）若，则是锐角三角形；
（2）若，则是直角三角形；
（3）若，则是钝角三角形；
或（1）若 ,则是锐角三角形；
若 ,则是直角三角形；
若 ,则是钝角三角形；
三、面积公式：
(1)
(2)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
(3)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长.
(4)其中
四、相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）内角和定理：
①
同理有：，.
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列.
五、实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
方法技巧与总结
1.方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
典例分析
题型一、正弦定理的应用
例1-1．在中，，，则外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A【详解】设R为外接圆的半径，故，解得．
例1-2．在中，角的对边分别为，且，，则 _________.
【答案】【详解】由正弦定理得，
即，
，∵，∴，
，，，∴，
由正弦定理得，
所以 .
例1-3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，角C为钝角，.
(1)求的值；
(2)求边c的长.
【答案】(1)(2)【解析】(1)因为C为钝角，由，则，
则， C为钝角可得为锐角，
所以，，可得.
(2)由（1）可知：，则，，
则，正弦定理：，，
可得：.
例1-4．在中，内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，求的值；
(2)若，的面积为，求边，的值．
【答案】(1)(2)，或，【解析】(1)因为，
由正弦定理得，即，
因为，所以，由为三角形内角得；
由，则，所以，
，
；
(2)因为的面积，所以，
由余弦定理 得,则，
由解得，或，.
题型二、余弦定理的应用
例2-1．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若a，b，c成等比数列，且，则A的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由已知得，由，得，所以，得，由余弦定理得，又，所以．
例2-2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D【详解】因为，由正弦定理可知，
在中，由余弦定理可得：，
解得， ，故
例2-3．设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若的面积为S，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B【详解】∵，
代入，即，
∵，∴，即
，
例2-4．在中，，M是的中点，，则___________，___________.
【答案】
【解析】由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案为：；.
例2-5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________．
【答案】【详解】因为，即，由正弦定理可得，
又，即，即，
由余弦定理，即，
所以，所以；
例2-6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；(2)由正弦定理得：，则，则，.
题型三、三角形解的个数
例3-1．（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（ ）
A．，，，有两解 B．，，，有两解
C．，，，只有一解 D．，，，只有一解
【答案】CD【详解】对于A，因为，，则，由正弦定理，
得，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；
对于B，，，，由正弦定理得，无解，B错误；
对于C，，，，有，则，由正弦定理得，有唯一解，C正确；对于D，，，，有，则，此时，有唯一解，D正确.故选：CD
例3-2．设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由正弦定理，即，所以，
因为不唯一，即有两解，所以且，即，
所以，所以，即；
例3-3．（多选题）在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ABD【详解】作出外接圆如图所示，因为，
所以的外接圆半径为
因为，所以，，
所以当时，最大为3，此时是唯一的，所以B正确，A正确，
当时，由圆的对称性可知，此时，
所以C错误，D正确，
题型四、判断三角形的形状
例4-1．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】A【详解】由，得，
所以由余弦定理得，因为，所以，
因为，所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，所以,所以为等腰直角三角形，
例4-2．设的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形B． C为直角的直角三角形
C．C为顶角的等腰三角形 D．A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形
【答案】D
【详解】，，
即，
合并得：，
，
，
，，
，或，
所以为以为顶角的等腰三角形或为顶角的等腰三角形；
例4-3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B【详解】由，可得，所以，所以.在中，，故，
因为，所以，因为，所以，
例4-4．设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B【详解】因的三个内角，而，则，
又，由正弦定理得：，由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，所以是等边三角形.
例4-5．在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B【详解】因为，所以，所以
即，所以，因为，
所以，因为，所以，即是直角三角形.
题型五、正、余弦定理与的综合
例5-1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】C【详解】∵，
∴，
∴，①当时，，为直角三角形．
∵，，∴；
②当时，则有，由正弦定理得，
由余弦定理得，即，解得，
综上，或．故选：C．
例5-2．在中，角、、所对的边分别为、、，若，为的角平分线，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】因为，由正弦定理可得，
所以，，
由余弦定理可得，因为，所以，，
因为，由可得，
即，解得，，
由余弦定理可得，因此，.故选：B.
例5-3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B【解析】，化简得．
由正弦定理、余弦定理，得，化简得，
由，展开整理得，
则，即，所以，故选：B．
例5-4．（多选）在中，在边上，且，，若，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．为锐角三角形
C．的外接圆半径为 D．的内切圆半径为
【答案】ACD【详解】设，则，
由，，可得，
在中，由正弦定理可得，故A正确；
在中，由余弦定理，有：，
即：，解得，故
在中，，，
故
，所以，又，
由，可知为钝角三角形，故B错误；
设的外接圆半径，由正弦定理可得，，故C正确；
设的内切圆半径为，则，
解得，故D正确．
例5-5．如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，．
(1)证明：；
(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积．
①； ②．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】(1)因为，
所以，故；
(2)选①．因为，
所以
在中，由余弦定理可得，
由正弦定理可得所以，故，
在中，因为，所以，
又．
选②，
设，则，在中，，
由（1）得，
解得，即
在中，则,，所以，
所以．所以.
例5-6．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，，，且______.
(1)证明：；
(2)若，求四边形ABCD的面积.
【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】(1)方案一：选条件①.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，因为，所以，
因为，所以.因为，
，
所以，
即，
所以，所以.
方案二：选条件②.在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，因为，所以.
因为，所以.因为，
，所以，
即，
所以，所以.
方案三：选条件③.因为，，且，，所以
在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，
因为，所以，因为，所以，
因为，所以.因为，
，
所以，
即，
所以，所以.
(2)选择①②③，答案均相同，由（1）可设，则，
在中，由余弦定理得，，
在中，由余弦定理得，，
因为，
所以，解得或（舍去），所以，
所以，
所以四边形ABCD的面积.
例5-7．△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.
(1)证明：；
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)由题设，，又，
所以，由正弦定理可得，
所以，又，
所以，即.
(2)由（1）及题设，，且，
所以，则，故，
又，可得，
若，则，而，故不合题设；
所以，
所以.
例5-8．在中，内角的对边分别为，．
(1)求角；
(2)是边上的点，若，，求的值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由得：，
由正弦定理得：，
，又，，
；有意义，，，即，
又，.
(2)，，
设，则，
在中，由正弦定理得：，
即；
在中，由余弦定理得：；
，解得：，
即，又，.
例5-9．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【解析】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，，②。由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，即，
而，即，故有，从而．由，即，即，即，
故，即，又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．因为，
所以，整理得．又因为，所以，即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．以向量为基底，有．
所以，即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，所以④
联立③④，得．所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，由余弦定理得．
题型六、解三角形的实际应用
例6-1.我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何 这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行米绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B【解析】依题意可得如下图形：
则，，，所以，
所以
，
所以，所以，
所以绳索长为米.故选：B
例6-2.我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且，，三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】依题意分析可知，当伞完全张开时，，
因为为的中点，所以，
当伞完全收拢时，，所以，
在中，，
所以.故选： A
例6-3．沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．
【答案】②③
【解析】对于①，由正弦定理可得，则，
若且为锐角，则，此时有两解，则也有两解，此时也有两解；对于②，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；
对于③，若已知、、，由余弦定理可得，
则唯一确定；对于④，若已知、、，则不确定.故答案为：②③.
例6-4．如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得.现有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，设，，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km.
(1)求A、B两点间的距离；
(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.
【答案】(1)5千米；(2)选择方案②，在点正西方千米处，理由见解析.【解析】(1)由，若千米，则，可得，所以千米.
(2)方案①：铺设费用为万元；
方案②：，，
铺设费用为，
令，则，
当，时，当，时，所以在上递减，上递增，则，
故铺设费用最小为万元万元，综上，选择方案②，在点正西方千米处.
例6-5．在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.
(1)求的值；
(2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.
【答案】(1)(2)能够拦截成功拦截，时间为2小时
【解析】(1)由题意，直线的倾斜角为，
若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，
如图所示，则轴，，且关于y轴对称，
所以，所以.
(2)若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，则，，，，
因为
可得
整理得，解得或（舍去），
所以能够拦截成功拦截时间为2小时.
例6-6．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.
【答案】(1)海里(2)游船应该沿北偏东的方向航行.
【解析】(1)在中，
，根据余弦定理得：.
.所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.
(2)根据正弦定理得：
解得
在中，为锐角
.
由得游船应该沿北偏东的方向航行
答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.
例6-7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，.在点测得塔顶的仰角为50.5°.
(1)求与两点间的距离（结果精确到）；
(2)求塔高（结果精确到）.
参考数据：取，，.
【答案】(1)324m (2)669m
【解析】(1)在中，，
由正弦定理得，
则
(2)由正弦定理得，
则.
故塔高
例6-8．如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的，位于该市的某大学与市中心的距离km，且. 现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学，其中，，km.
(1)求大学与站的距离；
(2)求铁路段的长.
【答案】(1)km
(2)km
【分析】（1）在中运用余弦定理即可；
（2）首先利用正弦定理求得，根据同角三角函数的关系求得和的值，再在中利用正弦定理即可求得的长.
【详解】（1）在中，，，且，，
由余弦定理，得
，
所以，所以大学与站的距离为km；
（2）因为，且为锐角，所以，
在中，由正弦定理得，即，解得，
由题意知为锐角，所以，所以，
因为，，且为锐角，所以，，
所以 ，又，所以，
在中，由正弦定理，得，即，解得，
所以铁路段的长为km .
题型七：三角形中的面积与周长问题
例7-1．已知在非 中，，，且，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】，，
又不是直角三角形，，，即，
又，，解得，
，即，，，
例7-2．在中，角所对的边分别为，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题设，
，又，故，解得.
（2）若，由（1）知：，解得，
又，故，即，所以，
所以是以为顶角的等腰三角形，，所以的面积为.
例7-3．记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析 (2)14
【解析】(1)证明：因为，
所以，
所以，即，
所以；
(2)解：因为，由（1）得，
由余弦定理可得， 则，所以，
故，所以，所以的周长为.
例7-4.在中，角的对边分别为已知，，
（1）证明：
（2）若求的周长.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1），
所以由正弦定理得，
即，所以，所以由正弦定理得，
（2）由，可得，
由正弦定理得，即，
所以，化简得，
因为，所以化简得，
因为，所以，所以，所以，
所以，所以，，，为直角三角形，
因为，所以由正弦定理得，
所以，，所以的周长为.
例7-5.在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．
已知中，内角所对的边分别为，且________．
（1）求的值;
（2）若，求的周长与面积．
【答案】（1）；（2）周长为11，面积为
【解析】（1）若选①:由正弦定理得，故，
而在中，，故，
又，所以，则，
则，故．
若选②:由，化简得，
代入中，整理得，即，
因为，所以，所以，则，
故．若选③:因为，
所以，即，则．
因为，所以，则，
故．
（2）因为，且，所以．
由（1）得，
则，
由正弦定理得，则．
故的周长为，的面积为．
题型八、利用正余弦定理解多三角形问题
例8-1．中，，，，为边上一点，且，则的面积等于________.
【答案】
【详解】在中，，，，由余弦定理得：
，即有，而，解得，
由正弦定理得：，显然为锐角，则，
EMBED Equation.DSMT4 ，因为D为BC边上一点，且，则，
所以的面积.
例8-2．如图，在平面四边形中，，，，，三角形的面积为，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B【详解】在中，，
由正弦定理有：，即，解得.
由三角形的面积公式有：，则.
在中，由余弦定理有：.
则.故选：B
例8-3．在中，已知的平分线，则的面积为_____________.
【答案】【详解】如图：因为是的平分线，所以，
不妨设，，由题意得，
由余弦定理得：，，
所以，解得，负值舍去，
所以．
所以，可得，
所以．
例8-4．已知A、B、C、D四点共圆，且AB＝1，CD＝2，AD＝4，BC＝5，则PA的长度为______．
【答案】
【解析】法一：连接，由四点共圆，可得∠PAB＝∠BCD，∠PBA＝∠ADC，
由，，
且∠BAD+∠BCD＝180°，可得cos∠BAD＝﹣cos∠BCD，
则1+16﹣2×1×4cos∠BAD＝25+4﹣2×5×2×cos∠BCD，
化为17+8cos∠BCD＝29﹣20cos∠BCD，
解得，即，则，
又，，
且∠ABC+∠ADC＝180°，可得cos∠ABC＝﹣cos∠ADC，
则1+25﹣2×1×5cos∠ABC＝16+4﹣2×4×2×cos∠ADC，化为26+10cos∠ADC＝20﹣16cos∠ADC，
解得，即，则，
则＝sin（∠PAB+∠PBA）＝sin∠PABcos∠PBA+cos∠PABsin∠PBA
，在△PAB中，由，可得，解得．
法二：由A，B，C，D四点共圆，可得∠PAB＝∠PCD，∠PBA＝∠PDC，
则△PAB∽△PCD，即有，设PA＝x，PB＝y，可得，即有2x＝5+y，即y＝2x﹣5，2y＝4+x，即有2（2x﹣5）＝4+x，
解得，即.
例8-5.在中，角，，对边分别为，，，且，.
（1）求；
（2）若，边上中线，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理有，
因为，有，
因为，故，；
（2）法一：在和中，，
因为，，则，
因为，所以，
所以；
法二：因为，
所以，有，
因为，所以，
所以；
法三：如图，作交于，则是的中点，
所以，，，
即，解得，所以.
例8-6.如图，在中，角的对边分别为.已知.
（1）求角；
（2）若为线段延长线上一点，且，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由条件及正弦定理可得：，
即
故，则有，
又，故有，
或（舍去），或（舍去），
则，又，所以；
（2）设，在和中，由正弦定理可得
于是，又，
则，，；
综上，，.
例8-7如图，在梯形中，AD//BC，且，.
（1）若，，求梯形的面积；
（2）若，证明：为直角三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由有，，解得，
，又，，
同理可求得，
梯形的面积：.
（2）设，，则，，，
在中，由正弦定理得，即①，
在中，由正弦定理得，即②，
由①②得：，化简得，，
又，所以，
又，所以，，为直角三角形.
例8-8.如图，在四边形中，已知.
（1）若，求的值；
（2）若，四边形的面积为4，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，∵，则
∴．
在中，由正弦定理得，，
∴．∵，∴，
∴．
（2）在、中，由余弦定理得，
，
，
从而①，
由得，②，
得，，∴．
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专题十七 解三角形
知识归纳
一、基本定理公式
1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ；；.
常见变形 (1)，，；(2)，，； ；；.
二、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状
设a是三角形中最长的边，则
（1）若，则是锐角三角形；
（2）若，则是直角三角形；
（3）若，则是钝角三角形；
或（1）若 ,则是锐角三角形；
若 ,则是直角三角形；
若 ,则是钝角三角形；
三、面积公式：
(1)
(2)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
(3)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长.
(4)其中
四、相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）内角和定理：
①
同理有：，.
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列.
五、实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
方法技巧与总结
1.方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
典例分析
题型一、正弦定理的应用
例1-1．在中，，，则外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
例1-2．在中，角的对边分别为，且，，则 _________.
例1-3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，角C为钝角，.
(1)求的值；
(2)求边c的长.
例1-4．在中，内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，求的值；
(2)若，的面积为，求边，的值．
题型二、余弦定理的应用
例2-1．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若a，b，c成等比数列，且，则A的大小是（ ）
A． B． C． D．
例2-2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2-3．设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若的面积为S，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
例2-4．在中，，M是的中点，，则___________，___________.
例2-5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________．
例2-6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
题型三、三角形解的个数
例3-1．（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是（ ）
A．，，，有两解 B．，，，有两解
C．，，，只有一解 D．，，，只有一解
例3-2．设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例3-3．（多选题）在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
题型四、判断三角形的形状
例4-1．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
例4-2．设的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形B． C为直角的直角三角形
C．C为顶角的等腰三角形 D．A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形
例4-3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
例4-4．设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
例4-5．在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
题型五、正、余弦定理与的综合
例5-1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．
例5-2．在中，角、、所对的边分别为、、，若，为的角平分线，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例5-3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
例5-4．（多选）在中，在边上，且，，若，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．为锐角三角形
C．的外接圆半径为 D．的内切圆半径为
例5-5．如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，．
(1)证明：；
(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积．
①； ②．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
例5-6．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，，，且______.
(1)证明：；
(2)若，求四边形ABCD的面积.
例5-7．△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.
(1)证明：；
(2)若，求.
例5-8．在中，内角的对边分别为，．
(1)求角；
(2)是边上的点，若，，求的值．
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