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专题十八 平面向量的概念、线性运算及坐标表示
知识归纳
一、向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二、向量的线性运算和向量共线定理
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律②结合律
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1）（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；当时，
【注意】
（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．
三、平面向量基本定理和性质
1．共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2．平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若，则．
推论2：若，则．
3.线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
4.三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
5.中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
四、平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
五、平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
方法技巧与总结
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
即．
（2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．
（3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
（4）减法公式：，常用于向量式的化简．
（5）、、三点共线，这是直线的向量式方程．
典例分析
题型一、平面向量的基本概念
例1-1．给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例1-2．（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若向量是非零向量，则与方向相同
D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使
例1-3．（多选题）下列有关四边形的形状，判断正确的有（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
例1-4．平面内三个单位向量，，满足，则（ ）
A．，方向相同 B．，方向相同
C．，方向相同 D．，，两两互不共线
例1-5．已知向量，则与向量垂直的单位向量的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
题型二、平面向量的线性表示
例2-1．在平行四边形中，分别是的中点，，，则（ ）
A． B． C． D．
例2-2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A． B． C． D．
例2-3．在等边中，O为重心，D是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
例2-4.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（ ）
A． B．
C． D．
例2-5.如图，在平行四边形中，，，点为与的交点，则（ ）
A． B． C． D．
例2-6．中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
例2-7．在凸四边形中，，则以下结论正确的是（ ）
A． B．四边形为菱形
C． D．四边形为平行四边形
例2-8．已知，为所在平面内的两点，且满足，，则__________．
例2-9．数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心 重心 垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例2-10．（多选题）如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三、向量共线的运用
例3-1．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且 B． C． D．
例3-2．已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
例3-3．已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2 B． C． D．
例3-4．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．4 D．2
例3-5．如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________．
例3-6．在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.
例3-7．如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______．
题型四、平面向量基本定理及应用
例4-1．设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
例4-2．如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
例4-3．如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型五、平面向量的直角坐标运算
例5-1．已知两点、，点满足，则的坐标为___________.
61．【多选】设，非零向量，，则（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．存在，使 D．若，则
例5-2．已知正方形的边长为是的中点，点满足，
则___________；___________.
例5-3．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则____________．
D
A
C
B
D
A
C
B
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题十八 平面向量的概念、线性运算及坐标表示
知识归纳
一．向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二．向量的线性运算和向量共线定理
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律②结合律
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1）（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；当时，
【注意】
（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．
三．平面向量基本定理和性质
1．共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2．平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若，则．
推论2：若，则．
3.线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
4.三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
5.中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
四．平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
五．平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
方法技巧与总结
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
即．
（2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．
（3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
（4）减法公式：，常用于向量式的化简．
（5）、、三点共线，这是直线的向量式方程．
典例分析
题型一、平面向量的基本概念
例1-1．给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【详解】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
例1-2．（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若向量是非零向量，则与方向相同
D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使
【答案】CD【详解】向量不等比较大小，故A选项错误.
向量加法、减法的结果仍为向量，故B选项错误.
与方向相同，C选项正确.
根据向量共线的知识可知D选项正确.
例1-3．（多选题）下列有关四边形的形状，判断正确的有（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
【答案】AB【详解】选项A：若，则，，则四边形为平行四边形.判断正确；选项B：若，则，，则四边形为梯形. 判断正确；
选项C：若，则，
则，即.仅由不能判定四边形为菱形.判断错误；
选项D：若，则，，则四边形为平行四边形，
又由，可得对角线，则平行四边形为菱形. 判断错误.
例1-4．平面内三个单位向量，，满足，则（ ）
A．，方向相同 B．，方向相同
C．，方向相同 D．，，两两互不共线
【答案】A
【详解】因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以 所以，所以，方向相同
例1-5．已知向量，则与向量垂直的单位向量的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D【详解】易知是与垂直的向量，，
所以与平行的单位向量为或，
题型二、平面向量的线性表示
例2-1．在平行四边形中，分别是的中点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，设，且，
则，
又因为，
所以，解得，所以.
例2-2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】因为，所以，
所以.
例2-3．在等边中，O为重心，D是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，
E为BC中点，则有，而D是的中点，
所以.
例2-4.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
例2-5.如图，在平行四边形中，，，点为与的交点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由，，知，分别为，的中点.
如图，设与的交点为，易得，
所以，所以.
因为点是的中点，所以.
由，，三点共线知，
存在，满足.
由，，三点共线知，
存在，满足.
所以.
又因为，为不共线的非零向量，所以，解得，所以.故选：.
例2-6．（多选题）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】对于A，连接DH，如图，由DF=FH，
得：，，A正确；
对于B，连接AF，由得：AF垂直平分DH，
而，即，则，B正确；
对于C，与不共线，C不正确；
对于D，连接CH，BH，由选项A知，，
而，则四边形是平行四边形，
，D不正确.
例2-7．在凸四边形中，，则以下结论正确的是（ ）
A． B．四边形为菱形
C． D．四边形为平行四边形
【答案】A【解析】如图（1）所示，设，则 都是单位向量，
因为，所以，可得，
又因为，所以，且为的平分线，所以C不正确；
在中，因为，且，
可得，
所以四边形的面积大于，所以A正确；
如图图（2）所示只有当时，此时凸四边形才能为平行四边形且为菱形，所以B、D不正确；
例2-8．已知，为所在平面内的两点，且满足，，则__________．
【答案】/0.1875【详解】解：取中点，中点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，
因为，所以，所以为中点；
因为，所以，所以也为中点，即与重合，
所以四边形AEGF是平行四边形，设平行四边形以为底的高为，
所以，∴，
例2-9．数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心 重心 垂心，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
例2-10.（多选题）如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，
设三点共线，O为线外一点，则，即与前系数和为1，
证：三点共线，，，．
，故A错；
三点共线，，三点共线，
，，解得，，
∴ F为BE的中点，，故B对；
， ，，故C对；
取AB中点G，BC中点H，如下图，则三点共线，
，故D对．故选：BCD．
题型三、向量共线的运用
例3-1．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】D【详解】对于A，当且时，或，A错误；
对于B，当时，，B错误；
对于C，当时，或，C错误；对于D，当时，，D正确．
例3-2．已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【答案】D【详解】
平面向量，不共线，，，，
对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，因，，则与不共线，B不正确；
对于C，因，，则与不共线，C不正确；
对于D，，即，
又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.
例3-3．已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C【详解】因为与共线，所以，，
所以，
因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得
例3-4．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．4 D．2
【答案】A【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以，
故，
当且仅当，即时等号成立，
例3-5．如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】，，又，∴，
∴，
又、、三点共线，∴，
∴，
当且仅当，即时取等，
∴的最小值为．
例3-6．在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.
【答案】【详解】因为，所以，又，
即，因为点在线段上，
所以，，三点共线，由平面向量三点共线定理得，，即，
所以，又是边长为的等边三角形，
所以
例3-7．如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______．
【答案】8
【详解】设，，，，，共线，，．
，则，点，是线段上两个动点，，．
则的最小值为．
题型四、平面向量基本定理及应用
例4-1．设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于AB项，若时，，不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；
对于D项，若时，不满足构成基向量的条件，所以D错误；
对于C项，因为，又因为恒成立，说明与不共线，复合构成基向量的条件，所以C正确.
例4-2．如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】连结DE，由题意可知，，所以，则，
所以，所以，，则，故，
又，所以，，则，
例4-3．如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．
设，
则
由，可得
则，解之得，则
则
又，则，解之得，即的长为4故选：C
题型五、平面向量的直角坐标运算
例5-1．已知两点、，点满足，则的坐标为___________.
【答案】
【详解】设点，由可得，
所以，，解得，故点.
例5-2．（多选）设，非零向量，，则（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．存在，使 D．若，则
【答案】ABD【详解】A选项，，
则，故A正确；
B选项，，则，
故，故B正确；
C选项，假设存在，使，则，，则可得
，故可得
，则假设不成立，故C错误；
D选项，因，则，又由题可得，则
，故D正确.
例5-3．已知正方形的边长为是的中点，点满足，
则___________；___________.
【答案】
【详解】以A为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，
所以，，
设，所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
例5-4．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则____________．
【答案】
【解析】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为
可知，，，
则，，即
又，
即，即，化简得
故答案为：
D
A
C
B
D
A
C
B
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