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专题十九 平面向量的数量积
知识归纳
一、 向量的数量积
(1)向量数量积的定义
①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)向量的投影
①定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
(3)平面向量数量积的几何意义
的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
(4)向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e＝e·a＝|a|cosθ.
②a⊥b a·b＝0.
③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 　
④．
⑤．
(5)向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(6)数量积的坐标表示
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系 (当且仅当时等号成立)
二、 向量数量积的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且
三、计算向量数量积的五种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
(4)投影法：
在方向上的投影：
在方向上的投影：
使用条件：已知向量的一个模，未知的向量在已知向量上做投影
方法技巧与总结
1、已知向量夹角为锐角或钝角，求参数
①向量a，b的夹角为锐角 a·b>0且向量a，b不共线（同向）．
②向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且向量a，b不共线．
2、常用充要条件
①G为△ABC重心的一个充要条件：＋＋＝0；
②O为△ABC外心的一个充要条件：＝＝；
③P为△ABC垂心的一个充要条件：·＝·＝·.
3、平面向量与平面几何综合的有关结论
(1)若，为非零向量，则给出·＝0，等价于已知MA⊥MB；给出·＜0，等价于已知∠AMB是钝角或两向量反向共线；给出·＞0，等价于已知∠AMB是锐角或两向量同向共线.
(2)给出λ＝，等价于已知MP是∠AMB的角平分线.
(3)在 ABCD中，给出(＋)·(－)＝0，等价于已知 ABCD是菱形；给出|＋|＝|－|，等价于已知 ABCD是矩形.
典例分析
题型一、平面向量的数量积运算
例1-1．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
例1-2．已知向量，，若，则__________
例1-3．已知向量与不共线，且，，若，则___________.
例1-4．如图，正六边形ABCDEF中，，点P是正六边形ABCDEF的中心，则______．
例1-5．过点的直线与交于A，B两点，当M为线段中点时，___________.
例1-6．如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成的．若大正方形的边长为，E为线段BF的中点，则______．
例1-7．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________．
例1-8．在中，，为的外心，，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
例1-9．已知是斜边上的高，，点M在线段上，满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
例1-10．已知在平行四边形中，，则值为__________．
题型二、平面向量的夹角
例2-1．已知向量，，则与夹角的余弦值为_________．
例2-2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
例2-3．已知平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，若，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例2-4．两不共线的向量，，满足，且，，则（ ）
A． B． C． D．
例2-5．已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例2-6．（多选题）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与可以作为平面内的一组基底
例2-7．（多选题）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
题型三、平面向量的模长
例3-1．已知向量、、满足，，，则______．
例3-2．已知平面向量满足，则_______．
例3-3．已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，求．
例3-4．已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
题型四、平面向量的投影、投影向量
例4-1．已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
例4-2．在中，已知，，，则向量在方向上的投影为（ ）．
A． B．2 C． D．
例4-3．已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
例4-4．已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
例4-5．设，是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则叫做向量在向量上的投影向量.如下图，已知扇形的半径为1，以为坐标原点建立平面直角坐标系，，，则弧的中点的坐标为________；向量在上的投影向量为________ .
题型五、平面向量的垂直问题
例5-1．已知向量，的夹角为45°，，且，若，则______．
例5-2．已知向量，，若，则______．
例5-3．已知向量，其中，若，则___________．
题型六、建立坐标系解决向量问题
例6-1．如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
例6-2．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
例6-3．（多选题）在平面四边形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
例6-4．（多选题）已知向量满足，则可能成立的结果为（ ）
A． B．
C． D．
例6-5．（多选题）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
例6-6．在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
例6-7．如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________.
【方法技巧与总结】
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
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专题十九 平面向量的数量积
知识归纳
一、 向量的数量积
(1)向量数量积的定义
①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)向量的投影
①定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
(3)平面向量数量积的几何意义
的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
(4)向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e＝e·a＝|a|cosθ.
②a⊥b a·b＝0.
③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 　
④．
⑤．
(5)向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(6)数量积的坐标表示
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系 (当且仅当时等号成立)
二、 向量数量积的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且
三、计算向量数量积的五种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
(4)投影法：
在方向上的投影：
在方向上的投影：
使用条件：已知向量的一个模，未知的向量在已知向量上做投影
方法技巧与总结
1、已知向量夹角为锐角或钝角，求参数
①向量a，b的夹角为锐角 a·b>0且向量a，b不共线（同向）．
②向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且向量a，b不共线．
2、常用充要条件
①G为△ABC重心的一个充要条件：＋＋＝0；
②O为△ABC外心的一个充要条件：＝＝；
③P为△ABC垂心的一个充要条件：·＝·＝·.
3、平面向量与平面几何综合的有关结论
(1)若，为非零向量，则给出·＝0，等价于已知MA⊥MB；给出·＜0，等价于已知∠AMB是钝角或两向量反向共线；给出·＞0，等价于已知∠AMB是锐角或两向量同向共线.
(2)给出λ＝，等价于已知MP是∠AMB的角平分线.
(3)在 ABCD中，给出(＋)·(－)＝0，等价于已知 ABCD是菱形；给出|＋|＝|－|，等价于已知 ABCD是矩形.
典例分析
题型一、平面向量的数量积运算
例1-1．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C【详解】∵，又∵
∴9，∴
例1-2．已知向量，，若，则__________
【答案】或
【详解】，，解得：或；
当时，，；当时，，；或.
例1-3．已知向量与不共线，且，，若，则___________.
【答案】
【详解】由得
由得，所以则
例1-4．如图，正六边形ABCDEF中，，点P是正六边形ABCDEF的中心，则______．
【答案】2【详解】在正六边形中，点P是正六边形ABCDEF的中心，
，且,.
例1-5．过点的直线与交于A，B两点，当M为线段中点时，___________.
【答案】-8【详解】因为点在内，所以当M为线段中点时，，又因为的半径为4,＝, 所以，所以，
所以，＝.
例1-6．如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成的．若大正方形的边长为，E为线段BF的中点，则______．
【答案】4
【详解】如图所示：设，由题可得，
所以，解得．
过F作BC的垂线，垂足设为Q，
故，故答案为：4．
例1-7．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________．
【答案】或【详解】由，得，即，
，
在中，已知，，，
所以，
即，解得或所以实数的值为或.
例1-8．在中，，为的外心，，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】如图，设的中点为D,E，连接OD,OE,则 ,
故，即 ,
即，故,，即 ,即，故,
故,
例1-9．已知是斜边上的高，，点M在线段上，满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A【详解】因为是斜边上的高，
所以,,
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以
,
例1-10．已知在平行四边形中，，则值为__________．
【答案】【详解】由题设可得如下图：，而，
所以，
又，
所以，则，
故，可得，即.
题型二、平面向量的夹角
例2-1．已知向量，，则与夹角的余弦值为_________．
【答案】【详解】由知，故，，，记与的夹角为，则．
例2-2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C【详解】,,即,解得,
例2-3．已知平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，若，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，则且，得，又，则，将平方得，解得，,则，设与的夹角为，则
例2-4．两不共线的向量，，满足，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由题意得：，，
即
，
，即
例2-5．已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】因为，又与的夹角为钝角，
当与共线时， ，
所以且与的不共线，即且，所以．
例2-6．（多选题）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与可以作为平面内的一组基底
【答案】ABD【详解】据题意
因为所以,所以对
因为,所以,所以对.
因为
所以,所以错
因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以正确故选：ABD
例2-7．（多选题）已知向量，，，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】ABC
【详解】对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确.
对于B，由，得，
则解得，故，所以B正确.对于C，因为，
所以，
则当时，取得最小值，为，所以C正确.
对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角，
所以，解得；
当向量与向量共线时，，解得，
所以的取值范围是，所以D不正确.故选：ABC.
【方法技巧与总结】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角.
题型三、平面向量的模长
例3-1．已知向量、、满足，，，则______．
【答案】
【详解】由已知可得，则，
即，
因为，则，所以，，，
因此，，故.
故答案为：.
例3-2．已知平面向量满足，则_______．
【答案】
【详解】由可得，两边同时平方得，
，，解得.故答案为：.
例3-3．已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，求．
【答案】或9
【详解】因为三个非零平面向量，，两两夹角相等，所以或．
当时，．
当，即，，共线时．
．故答案为：或9
例3-4．已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【详解】根据题意，设，，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系，
则，，设，则，
若，则有，
则在以为圆心，半径为2的圆上，
设为点，则，则有，
即，则的取值范围为
题型四、平面向量的投影、投影向量
例4-1．已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
【答案】C【详解】因为，在上的投影为1，所以，即；
所以在上的投影为；
例4-2．在中，已知，，，则向量在方向上的投影为（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】C【详解】由题设，则，可得，
所以向量在方向上的投影为.
例4-3．已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，因为，所以，
所以在方向上的投影向量为.
例4-4．已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为平面向量，的夹角为，且，，
所以在方向上的投影向量为 ，故选：C
例4-5．设，是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则叫做向量在向量上的投影向量.如下图，已知扇形的半径为1，以为坐标原点建立平面直角坐标系，，，则弧的中点的坐标为________；向量在上的投影向量为________ .
【答案】
【详解】由已知，，，所以，
所以，因为点为弧的中点，所以，
扇形的半径为1，所以弧满足的曲线参数方程为，
所以中点的坐标为，所以的坐标为，，，
向量在上的投影为，
因为，所以向量在上的投影向量为.故答案为：；
题型五、平面向量的垂直问题
例5-1．已知向量，的夹角为45°，，且，若，则______．
【答案】-2
【详解】因为得，又因为，
所以，所以．
例5-2．已知向量，，若，则______．
【答案】【详解】 ，所以
例5-3．已知向量，其中，若，则___________．
【答案】
【详解】因为，所以，即，
因为，所以，因此，所以
【方法技巧与总结】
题型六、建立坐标系解决向量问题
例6-1．如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
又，，，则，即，即，
则，
则，，则
例6-2．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】建立如图直角坐标系，则,
得,所以，故选：D.
例6-3．（多选题）在平面四边形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】因为，，可得，
所以为等边三角形，则 ，故A正确；
因为，所以，又，所以 ，
得，
所以，则，故B正确；根据以上分析作图如下：
由于与不平行，故C错误；
建立如上图所示的平面直角坐标系，则，，，
，，所以，故D正确；
例6-4．（多选题）已知向量满足，则可能成立的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD【详解】对于选项A、B，由题意，，，
设，，，不妨设，如图，
动点A在以原点为圆心2为半径的圆O上，
动点B在以C为圆心，1为半径的圆上，且满足，
圆C方程是
当B在圆C上运动时，由，得，
当且仅当O，A，B三点共线时取等号，
又由图易知，
即，故选项A不满足，选项B满足；
对于选项C、D，设，则，
由，解得，，又即，选项C，D满足.
例6-5．（多选题）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】由题意，分别以所在的直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正八边形，所以
，作，则，
因为，所以，所以，
同理可得其余各点坐标，，，，，
对于A中，，故A正确；
对于B中，，故B正确；
对于C中，，，，
所以，故C正确；
对于D中，，，，
，故D不正确.
例6-6．在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
【答案】
【详解】解：因为为的重心，所以，
因为，所以，则，
因为，所以，即，所以，
在中，．
方法一：因为，
，
所以，
．
方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，
由方法一可知，，
所以．
例6-7．如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________.
【答案】
【详解】因为为菱形，所以，以BD、AC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
因为，，所以
则，设
因为，所以
解得，所以
又
所以
因为，所以当时，有最小值，
当时，有最大值，
所以的取值范围为
故答案为：，
【方法技巧与总结】
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
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