资源简介

2023 年 8 月第一届“鱼塘杯”高考适应性练习
数学 答卷纸
考号： 学校：
注 意 事 项 准 考 证 号
1.　答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。
2.　客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,修改时用橡皮擦干净。 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
3.　主观题必须使用黑色签字笔书写。 2 2 2 2 2 2
4.　必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效。 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4
5.　保持答卷清洁完整。 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6
7 7 7 7 7 7
正确填涂 缺考标记 8 8 8 8 8 8
9 9 9 9 9 9
第I卷 选择题 (共60分)
1 A B C D 4 A B C D 7 A B C D 10 A B C D
2 A B C D 5 A B C D 8 A B C D 11 A B C D
3 A B C D 6 A B C D 9 A B C D 12 A B C D
第II卷 非选择题 (共90分)
13 14
15 16
17
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请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号

18
@鲁青信息 第 2 页 共 6 页
姓名： 考号:
{#{QQABCQyUgggIAAAAABgCAQFiCEKQkBACAAgGhAAAsAAACQFABAA=}#}
超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
19
@鲁青信息 第 3 页 共 6 页
姓名： 考号:
{#{QQABCQyUgggIAAAAABgCAQFiCEKQkBACAAgGhAAAsAAACQFABAA=}#}
请按照要求正确填写考号、姓名等信息
20
@鲁青信息 第 4 页 共 6 页
姓名： 考号:
{#{QQABCQyUgggIAAAAABgCAQFiCEKQkBACAAgGhAAAsAAACQFABAA=}#}
主观题必须使用黑色签字笔书写
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@鲁青信息 第 5 页 共 6 页
姓名： 考号:
{#{QQABCQyUgggIAAAAABgCAQFiCEKQkBACAAgGhAAAsAAACQFABAA=}#}
请在各题目的答题区域内作答
22
@鲁青信息 第 6 页 共 6 页
姓名： 考号:
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2023 年 8 月第一届“鱼塘杯”高考适应性练习
本参考答案和评分标准共 8 页，22 小题，满分 120 分.
1. 本参考答案和评分标准第 I 卷部分提供了答案和解析，第 II 卷部分提供了标准解答和
评分标准.
2. 第 II 卷部分每一题只给出了一种解答提供阅卷参考，如果出现新的解答，按照本参考
答案和评分标准的精神，划定步骤分评分.
3. 如果考生发现自己的改卷结果和本参考答案和评分标准不一致，可在官方 QQ 群中 @
任意一个管理员进行申诉，申诉时需要提供准考证号和自己的解答拍照.
4. 本联考活动最终解释权归鱼塘杯联考命题组所有.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
本题主要考察基本知识和基本方法.
1. 设集合 = { ∣ ( 4)( 5) = 0}，则集合 的非空真子集的个数是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B.
【解析】注意到 = {0, 4, 5}，因此 的非空真子集个数为 23 2 = 6.
2. 如果 = (1, 2)， = (3, ). 若 ( + ) = 0，则 的值是
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
【答案】D.
【解析】注意到 + = (4, 2 + )，所以 0 = ( + ) = 4 + 2(2 + )，解得 = 4.
2
3. 已知线段 | |，则平面上全体满足 | |2 + | |2 为定值 > 2 的点 的轨迹是
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线
【答案】B.
【解析】考虑一个三角形 ， 为这个三角形的中线，那么在两个小三角形中，根据
| |2 + | |2 | |2 | |2 + | |2 | |2
余弦定理，有 2 22| | | | + 2| | | | = 0，因此 | | + | | =
2(| |2 + | |2)，因此若 | |2 + | |2 为定值，其一定在 中点 为圆心，确定半径
的一个圆上运动.
Y 数学试卷（参考答案和评分标准）第 1 页（共 8 页）
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4. ∈ C 2023设 ，满足 i ∈ R，其中 i 为虚数单位. 则在复平面内， 表示的点的轨迹不经
过的象限是
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C.
2023
【解析】考虑向量意义. i ∈ R 意思是说 , 2023, i 共线，这个直线过第一、二、四象
限，不过第三象限.
5. 已知二项式 (1 + 2 )13 的展开式中第 项系数最大，则 (2 + ) 展开式的二项式系数和是
A. 210 B. 310 C. 29 D. 39
【答案】A.
【解析】用 表示二项式 (1 + 2 )13 中第 项系数，若二项式 (1 + 2 )13 中第 项系数最
大，则有 1 +1，其中 = C 1 1 13 2 ，解得 = 10，所以 (2 + ) 展开式的二项
式系数和为 210.
6. 如果 sin( + ) = 45，sin =
3
5，那么 cos 所有取值的和是
A. 96 B. 48 C. 24 D. 1225 25 25 25
【答案】C.
【解析】cos = cos[( + ) ] = cos( + ) cos + sin( + ) sin ，然而 cos( + ) 和
cos 24都有正负两种取值，最终可以得到这些的和为 25 .
10
7. 函数 ( ) 满足：任意 ∈ N ， ( ) 5 . 且 ( + ) = ( ) + ( ) + 10 . 则 ∑ ( )
=1
的最小值是
A. 1775 B. 1850 C. 1925 D. 2000
【答案】C.
【解析】注意 ( + ) 5( + )2 = ( ) 5 2 + ( ) 5 2，设 ( ) = ( ) 5 2，那
么 ( + ) = ( ) + ( )，因此 ( ) = ( 1) + (1) = = (1) = [ (1) 5]，因此
10 10 10
( ) = 5 2+[ (1) 5] 5 ，取 = 1，得到 (1) 5. 所以 ∑ ( ) = 5 ∑ 2+[ (1) 5] ∑
=1 =1 =1
10
5 ∑ 2 = 1925. 设 ( ) = 5 2，等号成立！
=1
8. 已知 , ∈ (0, 2)，满足 cos( + ) + cos sin cos sin cos sin 0，则下列关系式
一定成立的是
A. 0 B. 0 C. 0 + 2 D.

2 + <
【答案】D.
【解析】原不等式左侧 = cos cos sin sin + (cos sin ) sin cos = sin cos
( 1tan tan + cos sin ) = sin cos [tan(

2 ) + sin(

2 ) tan sin ]. 因为
Y 数学试卷（参考答案和评分标准）第 2 页（共 8 页）
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, ∈ (0, 2)，所以 sin cos 0. 因此原不等式可变为 tan(

2 ) + sin(

2 ) tan +
sin . 设 ( ) = tan + sin , ∈ (0, 2)，易知 ( ) 在定义域上单调递增，且原不等式即为
( 2 ) ( ),

故有 2

，即 + 2。由 , 取值范围易知 + < ，所以

2 + < .
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
本题主要考察基本知识和基本方法的适当扩展.
9. 给定一组均为整数的样本. 现在将这个样本同时加上 ∈ Z，则下列说法正确的是
A. 平均数增大
B. 方差不变
C. 如果 是奇数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变
D. 如果 是偶数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变
【答案】ABD.
【解析】A 和 B 显然正确. 如果 是奇数，和这组数据中的每一个相加，奇偶性替换，所以
是奇数的概率不一定不变；如果 是偶数，相加后奇偶性不变，所以奇数的概率不变.
10. 已知数列 { } 满足： = 2 +1 + 2 ， 1 = 1，则下列说法错误的是
A. 4 = 255 B. { + 1} 是等比数列
C. { } 是递增数列 D. 若令 = + 1，则 = 2
2 2
【答案】BD.
1
【解析】不妨令 = + 1，则有 2 +1 = = 22 , 1 = 1 + 1 = 2，故 2 = 2 , =
22 1 1. 计算可得 = 284 1 = 256 1 = 255.
+1 + 1 = 22 1 + 1 ，不为常数，所以 { + 1} 不是等比数列.
+1 [ 22 + ( + 1)22 1 +1 1 = ( + 1)]注意到 1 ( + 1)(22 1+1) ， 2 时，因为 2 > 1，所以
2 > 2 1 + 1 22 ，所以 > 22 1+1 = 2 22 1，所以 2 ( + 1)22 1 > 22 1 ( 1) 1，
+1 +1 1 +1 +1
所以 +1 +1 +1 +1 +1 1 > 0； = 1 时 1 = 2 > 0；综上， 1 > 0, > 1, > ， + 1

故 { } 单调递增.
根据上述结论， = 22 1 .
√ √ √
11. 已知四面体 , = = 5, = = 10, = = 13, 球 是四面体
的外接球， , 分别是直线 , 上一动点，则下列说法正确的是
√
A. cos∠ = 9 130130
B. | | 的最小值为 2
Y 数学试卷（参考答案和评分标准）第 3 页（共 8 页）
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C. 球 的表面积为 14
D. 若球 ′
√
与球 球心相同，半径为 3，则球 ′ 截直线 的长为 4 2
【答案】BCD.
【解析】作出一个长方体，其正面水平边长为 3，侧面水平边长为 2，高为 1，取其左前上方
顶点为 ，右后上方顶点为 ，左后下方顶点为 ，右前下方顶点为 ，则 , , , 即为四
面体 的四个顶点.
2 + 2
√
cos∠ =
2
首先有 2 =
2
10 .
然后 | |min 即为直线 和直线 之间的距离，即为长方体前后两平面距离，即为 2.
因√为长方体外接球过四面体四个顶点，所以四面体外接球即为长方体外接球。易知该球半
14
径为 2 ，所以四面体 外接球表面积为 14 . √ √
易知 点到 距离为 1，所以 ′ 截直线 的长度为 2 32 12 = 4 2.
12. 已知 △ 1内切圆半径为 9，现用斜二测画法画出其直观图 △
′ ′ ′，△ ′ ′ ′ 的面
√
2
积是 36 . , , 分别为 △ 的三边边长，则下列说法正确的是
A. ( + ) 4 1 9的最大值是 1 B. + + 的最小值是 2
C. 11 +
1
1 +
1 1 1 1
1 < 25 D. 1 + 1 + 1 > 17
【答案】BC.
【解析】由于本题是全卷最难的一题，如果将解析全部放出，会减少解析的神秘感，所以本
题解析敬请期待讲评现场（讲评人的手稿会发送到群文件）.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
本题主要考察基本知识和基本方法的适当扩展.
13. 现有一组数：22,17,69,34,29,66,58,40. 这组数的上四分位数是 .
【答案】62.
【解析】先排序，得到数据为 17,22,29,34,40,58,66,69. 再求上四分位数，也就是 75% 分
位数，由于 8 × 75% = 6，所以其为第 6 项和第 7 项的平均数，为 62.
14. 设正实数 满足 { }, [ ], 是等比数列，其中 [ ] 表示不超过 的最大整数，{ } = [ ]，
则 的值是 .
√
5 + 1
【答案】 2 .
【解析】设 [ ] = , { } = ，那么 + = ，所以 2 = ( + ) = + 2 < + 1，也
就是 2 1 < 0，得到 = 0（等比数列，舍去）或 = 1，因此 1 = (1 + )，最终得到
√
= + = 5 + 12 .
15. 小鱼忘记了四位的 iPad 密码，他尝试了 5 次：6197,5073,0359,3925,2530，每次都有两
个数字是正确的，可是位置都不对. 那么他 iPad 的密码是 .
Y 数学试卷（参考答案和评分标准）第 4 页（共 8 页）
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【答案】9702.
【解析】由于 3 和 5 在每个位置都出现过了，所以密码一定不含 3 或 5. 接下来通过每一位
的一一验证可以得到密码为 9702.
16. 设 是 ⊙ 的直径，取圆上在 不同侧的 , 两点，连 , , . 设 交
于 ，设 ∠ = ,∠ = 1 1，满足 tan + tan = tan( )，这样的点 的轨迹为
双曲线，其离心率是 .
√
【答案】 3.
【解析】由正切联想到斜率，由于 轨迹是 、 交点，故推测 为定值，下给出

证明与计算：设 ∠ = ，则 = 2 ，且 = tan ， = tan .tan = tan(2 ) =
1
tan tan( ) = tan( +

2) =
1 1 1
tan( + )，因为 tan + tan = tan( )，所
以 tan + tan = tan( + ) = tan + tan 1 tan tan ，即 = tan tan = 2，易知当
→ 0 时， → 2，此时 → ，同理 → 也存在，即 , 在双曲线上，由 , 对称性√
可知， , 两点对称，再结合双曲线第三定义可知： 2 1 = ，所以 = 3. 即双曲√
线离心率为 3.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10 分）
已知一组独立重复的试验，每次试验成功的概率为 ，失败的概率为 = 1 ，将试验进
行到出现 次成功为止，以随机变量 表示所需试验次数， 的概率分布为 ( = ).
（1）若 = 0.5, = 2，求 ( = 4)；
（2）如果不要求第 次成功时停止这组试验，记前 次成功的次数为随机变量 ，证明：
1 ( = ) ( = ) .
本题主要考察对排列组合与概率的结合、二项分布概率公式的运用.
【解析和评分标准】
（1 3） ( = 4) = C13 × (0.5)1 × (1 0.5)3 1 × 0.5 = 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （3 分）
（2）先求 ( = )，即前 1 次试验中有 1 次成功，且第 次试验成功.
所以 ( = ) = C 1 1 = ( 1)! 1 ( )!( 1)! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （5 分）
然后求 ( = )，易知 满足 次， 为成功概率的二项分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（6 分）
( = ) = C = !故 !( )! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（7 分）
! ( = ) = !( )! = ! ( )!( 1)! 因此 ( = ) ( 1)! !( )! ( 1)! = . . . . . . . . . . .（8 分）
( )!( 1)!
Y 数学试卷（参考答案和评分标准）第 5 页（共 8 页）
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又因为 , 分别为试验次数和成功次数，所以 且 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（9 分）
所以 1 ，即 1
( = )
( = ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（10 分）
18.（12 分）
设函数 ( ) = 2 6 + 2 ln .
（1）讨论 ( ) 的单调区间；
（2）若 ( 1) + ( 2) = 5，证明： 1 + 2 7.
本题主要考察导数的求法和运用、切线不等式、二次不等式和整体思想.
【解析和评分标准】
2
（1） ( ) 的定义域是 (0,+∞)， ′( ) = 2 6 + 2 = 2 6 + 2 . . . . . . . . . . . . . . . （1 分）√ √
令 ′( ) = 0 3 + 5 3 5解得在定义域内， 1 = 2 , 2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（2 分）√ √ √
当 0 < < 3 52 时，
′( ) > 0， ( ) 3 5单调递增；当 2 < <
3 + 5
2 时，
′( ) < 0，
√
( ) 3 + 5单调递减；当 > 2 时，
′( ) > 0， ( ) 单调递增 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（3 分）
√ √ √ √
因此 ( ) 的增区间为 (0, 3 5) ,(3 + 5,+∞) (3 5, 3 + 52 2 ，减区间为 2 2 ) （4 分）
（2）根据题意，有 2 ln 1 2 + 21 + 22 6 1 6 2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（5 分）
设 ( ) = ln + 1，定义域 (0,+∞) 1 1 ， ′( ) = 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（7 分）
当 0 < < 1 时 ′( ) > 0， ( ) 单调递增；当 > 1 时， ′( ) < 0， ( ) 单调递减，因此 ( )
的最大值是 (1) = 0. 所以 ln 1 对任意 > 0 恒成立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（10 分）
令 = 1 + 2，有 5 = 2 ln 1 2 + 2 21 + 2 6 1 6 2 2 + 2 + 22 1 2 1 2 6 1 6 2 =
( 21 + 2) 6( 1 + 2) 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（11 分）
因此 2 6 7 0，也就是 ( + 1)( 7) 0，解得 1 + 2 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（12 分）
19.（12 分）
设数列 { } 满足： 是区间 [0, 1) 内小数部分不含偶数数字的 位小数的个数.
（1）设数列 { } 满足 = tan(log5( )) tan(log5( +1))，且数列 { } 为数列 { } 前
项之和组成的数列，求数列 { } 的通项公式；
（2）若数列 { } 满足： 是区间 [0, 1) 内小数部分所有不含偶数数字的 位小数的和，证

明： <
5
9 .
[0, 1) .
本题主要考察计数原理、数列和数列求和尤其是等比数列求和的基本方法、数列不等式的
基本证明.
【解析和评分标准】
（1）由于 位小数的每一位都有 5 种选法，所以 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（2 分）
= tan( ) tan( + 1) = tan( + 1) tan( )所以 tan[( + 1) ] 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（4 分）
Y 数学试卷（参考答案和评分标准）第 6 页（共 8 页）
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所以 = 1 + 2 + +
tan( + 1)
= tan 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （6 分）
（2）由于 是区间 [0, 1) 内所有小数部分不含偶数数字的 位小数的和，注意到在小数的
第 位上出现 1, 3, 5, 7, 9 的数各有 5 1 个 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（8 分）

所以 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9) × 5 1 × (
1
10 + +
1
10 ) = 5
+1 × 10 19 × 10 . . . . . . . . . . （10 分）
= 5 × (10
1) 5 × 10 5
所以 9 × 10 < 9 × 10 = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（12 分）
20.（12 分）
设四面体 满足 ∠ = 1 13，cos∠ = 3，cos∠ = 4 . = 2, =
3, = 2.
（1）设 是 △ 的重心，求 | |；
（2）求四面体 在底面 上的高 .
本题主要考察重心的定义、空间向量的基本运算、点到平面的距离公式和解决立体几何问
题的基底法.
【解析和评分标准】
2
（1）取 中点 . 注意到 = + = + = + 1 + 1 3 3 3 =
+ 1 + 1 2 1 1 1 3 3 3 = 3 + 3 + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（1 分）
因此 | |2 = 1( + + )29 =
1
9(| |
2 + | |2 + | |2 + 2| || | cos∠ +
2| || | cos∠ + 2| || | cos∠ ) = 19 × (4 + 9 + 4 + 6 + 4 + 2) =
29
9 . . . .（3 分）√
所以 | | = | | = 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（4 分）
（2）设平面 的一个法向量是 = + + . 那么有 0 = = (
) = ( + + ) ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （6 分）
所以有 0 = 3 + 9 + 2 4 3 = + 6 + ，同理有 2 + 7 2 = 0，令 = 1，得
= 1, = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （8 分）
因此 = + ，由于 | | = √| |2
√
+ | |2 + 2| || | cos∠ = 10 . . . .（10 分）
而且 = 4 + 1 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（11 分）
|
√
= | = √5 = 10所以 | | 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（12 分）10
21.（12 分）
设 △ 中， , , 所对的边分别为 , , . 且有 = 2 .
（1）若 = 2，证明 < 1； √
（2）若 2 > 2 + 4 ，比较 + 2 和 4 的大小关系，说明理由.
本题主要考察解三角形的基本定理和基本方法和不等式的证明.
【解析和评分标准】
（1）因为 sin2 sin2 = 12(cos 2 cos 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（1 分）
Y 数学试卷（参考答案和评分标准）第 7 页（共 8 页）
{#{QQABCQyUgggIAAAAABgCAQFiCEKQkBACAAgGhAAAsAAACQFABAA=}#}
又因为 cos 2 cos 2 = 2 sin( + ) cos( )，且 + = , = 2 ，所以 sin2
sin2 = sin sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（2 分）
sin sin sin
又由于正弦定理， = = ，所以
2 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（4 分）
所以 2 2 = 2 ，( + 1)2 = 2 + 1 > 2，所以 < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （6 分）
（2）由于 2 = 2 + > 2 + 4 ，所以 > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（7 分）
2 2
又因为 2 + 4 = ( +
2
2) > + 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（9 分）
2
又因为 2 + 4 4 ，所以 ( + 2) > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（11 分）√
所以 + 2 > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（12 分）
22.（12 分）
在平面直角坐标系 中， ( 1, 0). 在 轴上运动，以 为圆心， 为半径的圆与
直线 交于 1, 2. 设 1, 2 的轨迹为 Γ .
（1）求 Γ 的方程；
（2）考虑抛物线 ∶ 2 = 4 4 上任意一点 ， 不在 轴上，过 作 的切线 与
Γ 交点的集合为 . 证明：一定存在点 ∈ ，使得 = 0.
Γ
= 0.
本题主要考察轨迹的求解、抛物线切线的计算、解析几何运算的基本知识和基本方法.
【解析和评分标准】
（1）设 (0, )，那么 ∶ = + ，⊙ ∶ 2 + ( )2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .（1 分）
直线方程代入圆方程得到 ( 2 + 1) 2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（2 分）

从直线方程得到 = + 1，代入上式得到
2 2 + 2( + 1)2 = 2，也就是 2( + 1)2 =
2(1 + )(1 )，不妨设 ≠ 1，那么 2( + 1) + 2( 1) = 0( ≠ 1) . . . . . . . . . . .（5 分）
（2）设 ( 0, 0)，那么 20 = 4 0 4. 设切线是 = ( 0) + 0，与抛物线联立得到
2 + 4 + (4 0 + 4 4 0) = 0，这个方程有两个相等的实数根，所以 = 16 2 4(4 0 +
4 4 0) = 0，计算得到切线 ∶ 0 = 2 2 0 4（不可能过 ( 1, 0)） . . . . . . . . . . .（7 分）
下面我们在 上找一个点 ′( 1, 1) 满足 ′ ′ = 0，所以
0
′ = 2 . . . . . . . . . . . （8 分）
+ 2
联立 和 ′ ∶ = 02 ，得到 =
0
（中间需要利用抛物线方程换掉
2
0） . . . . . .（9 分）
0
所以 ′( 0 + 2, 0( 0 + 2) 2 )，下面验证其在 Γ 上，这样我们就证明了题目的结论. 注意到0 0
2 2 2
21( 1 + 1) + 2( 1) =
( 0 + 2) ( 0 + 21 1 2 + 1) +
0( 0 + 2)
4 2 (
0 + 2
1) =0 0 0 0
2( 0 + 1)( 0 + 2)2 + 4( 0 + 1)( 0 + 2)
2
2 = 2( 0 + 1)( 0 + 2)
2 2( 0 + 1)( 0 + 2)2
3 4 2 3 3 = 0，0 0 0 0 0
所以 ′ 在 Γ 上 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .（11 分）
然而 ′ 也在 上，所以 ′ 是他们的一个交点， ′ ∈ ，那么我们就找到了这样的 ，也就
是 ′，满足 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （12 分）
Y 数学试卷（参考答案和评分标准）第 8 页（共 8 页）
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2023 年 8 月第一届“鱼塘杯”高考适应性练习
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号（即 QQ 号后 6 位）填写在答题卡上.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑; 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 最终请在“雨课堂”直
接选中您作答的选项.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上; 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不按
以上要求作答无效. 最终请逐题拍照上传至“雨课堂”的指定位置，要求字迹工整、清晰.
4. 请认准“鱼塘杯”高考适应性练习官方信息发布 QQ 群 778435509，后续阅卷申诉、奖
金颁发和获奖名单公示都在此群内进行. 本联考活动最终解释权归鱼塘杯联考命题组所有.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设集合 = { ∣ ( 4)( 5) = 0}，则集合 的非空真子集的个数是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 如果 = (1, 2)， = (3, ). 若 ( + ) = 0，则 的值是
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
2
3. 已知线段 ，则平面上全体满足 | |2 + | |2 > | |为定值 2 的点 的轨迹是
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线
4. ∈ C 2023设 ，满足 i ∈ R，其中 i 为虚数单位. 则在复平面内， 表示的点的轨迹不经
过的象限是
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 已知二项式 (1 + 2 )13 的展开式中第 项系数最大，则 (2 + ) 展开式的二项式系数和是
A. 210 B. 310 C. 29 D. 39
Y 数学试卷 第 1 页（共 4 页）
{#{QQABCQyUgggIAAAAABgCAQFiCEKQkBACAAgGhAAAsAAACQFABAA=}#}
6. 如果 sin( + ) = 4 35，sin = 5，那么 cos 所有取值的和是
A. 96 48 2425 B. 25 C. 25 D.
12
25
10
7. 函数 ( ) 满足：任意 ∈ N ， ( ) 5 . 且 ( + ) = ( ) + ( ) + 10 . 则 ∑ ( )
=1
的最小值是
A. 1775 B. 1850 C. 1925 D. 2000
8. 已知 , ∈ (0, 2)，满足 cos( + ) + cos sin cos sin cos sin 0，则下列关系式
一定成立的是
A. 0 B. 0 C. 0 + D. 2 2 + <
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 给定一组均为整数的样本. 现在将这个样本同时加上 ∈ Z，则下列说法正确的是
A. 平均数增大
B. 方差不变
C. 如果 是奇数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变
D. 如果 是偶数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变
10. 已知数列 { 2 } 满足： +1 = + 2 ， 1 = 1，则下列说法错误的是
A. 4 = 255 B. { + 1} 是等比数列
C. { } 是递增数列 D. 若令 = + 1，则 = 2
2 2
√ √ √
11. 已知四面体 , = = 5, = = 10, = = 13, 球 是四面体
的外接球， , 分别是直线 , 上一动点，则下列说法正确的是
√
A. cos∠ = 9 130130
B. | | 的最小值为 2
C. 球 的表面积为 14
√
D. 若球 ′ 与球 球心相同，半径为 3，则球 ′ 截直线 的长为 4 2
12. 1已知 △ 内切圆半径为 9，现用斜二测画法画出其直观图 △
′ ′ ′，△ ′ ′ ′ 的面
√
2
积是 36 . , , 分别为 △ 的三边边长，则下列说法正确的是
A. ( + ) 的最大值是 1 B. 4 + +
1 9
的最小值是 2
C. 1 11 + 1 +
1
1 < 25 D.
1
1 +
1 1
1 + 1 > 17
Y 数学试卷 第 2 页（共 4 页）
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三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 现有一组数：22,17,69,34,29,66,58,40. 这组数的上四分位数是 .
14. 设正实数 满足 { }, [ ], 是等比数列，其中 [ ] 表示不超过 的最大整数，{ } = [ ]，
则 的值是 .
15. 小鱼忘记了四位的 iPad 密码，他尝试了 5 次：6197,5073,0359,3925,2530，每次都有两
个数字是正确的，可是位置都不对. 那么他 iPad 的密码是 .
16. 设 是 ⊙ 的直径，取圆上在 不同侧的 , 两点，连 , , . 设 交
于 ，设 ∠ = ,∠ = tan + 1，满足 tan =
1
tan( )，这样的点 的轨迹为
双曲线，其离心率是 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10 分）
已知一组独立重复的试验，每次试验成功的概率为 ，失败的概率为 = 1 ，将试验进
行到出现 次成功为止，以随机变量 表示所需试验次数， 的概率分布为 ( = ).
（1）若 = 0.5, = 2，求 ( = 4)；
（2）如果不要求第 次成功时停止这组试验，记前 次成功的次数为随机变量 ，证明：
1 ( = ) ( = ) .
18.（12 分）
设函数 ( ) = 2 6 + 2 ln .
（1）讨论 ( ) 的单调区间；
（2）若 ( 1) + ( 2) = 5，证明： 1 + 2 7.
19.（12 分）
设数列 { } 满足： 是区间 [0, 1) 内小数部分不含偶数数字的 位小数的个数.
（1）设数列 { } 满足 = tan(log5( )) tan(log5( +1))，且数列 { } 为数列 { } 前
项之和组成的数列，求数列 { } 的通项公式；
（2）若数列 { } 满足： 是区间 [0, 1) 内所有小数部分不含偶数数字的 位小数的和，证

明：
5
< 9 .
[0, 1) .
Y 数学试卷 第 3 页（共 4 页）
{#{QQABCQyUgggIAAAAABgCAQFiCEKQkBACAAgGhAAAsAAACQFABAA=}#}
20.（12 分）
设四面体 满足 ∠ = 3，cos∠ =
1
3，cos∠ =
1
4 . = 2, =
3, = 2.
（1）设 是 △ 的重心，求 | |；
（2）求四面体 在底面 上的高 .
21.（12 分）
设 △ 中， , , 所对的边分别为 , , . 且有 = 2 .
（1）若 = 2，证明 < 1；
（2）若 2 > 2
√
+ 4 ，比较 + 2 和 4 的大小关系，说明理由.
22.（12 分）
在平面直角坐标系 中， ( 1, 0). 在 轴上运动，以 为圆心， 为半径的圆与
直线 交于 1, 2. 设 1, 2 的轨迹为 Γ .
（1）求 Γ 的方程；
（2）考虑抛物线 ∶ 2 = 4 4 上任意一点 ， 不在 轴上，过 作 的切线 与
Γ 交点的集合为 . 证明：一定存在点 ∈ ，使得 = 0.
Γ
= 0.
Y 数学试卷 第 4 页（共 4 页）
{#{QQABCQyUgggIAAAAABgCAQFiCEKQkBACAAgGhAAAsAAACQFABAA=}#}2023 年 8 月第一届“鱼塘杯“高考适应性练习 （2）证： 19.（本小题满分 12 分）
（1）解：
考号（QQ 号后六位）填涂区
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 1. 答题前，现将姓名、考号、考场号、座位
5 5 5 5 5 5 号填写清楚；
6 6 6 6 6 6 2. 考号和选择题答案请使用 2B 铅笔填涂；
7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 3. 非选择题请使用黑色笔，在指定区域内答
9 9 9 9 9 9 题超出对应区域的答案无效. 18.（本小题满分 12 分）
（1）解：
I
1. A B C D 6. A B C D 11. A B C D
2. A B C D 7. A B C D 12. A B C D
3. A B C D 8. A B C D
4. A B C D 9. A B C D
5. A B C D 10. A B C D
II
（共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
（2）证：
13. 14.
15. 16.
（共 6 个小题，共 70 分）
17. （2）证：（本小题满分 10 分）
（1）解：
{#{QQABCQyUgggIAAAAABgCAQFiCEKQkBACAAgGhAAAsAAACQFABAA=}#}
20.（本小题满分 12 分） 21.（本小题满分 10 分） 22.（本小题满分 12 分）
（1）解： （1）证： （1）解：
（2）解： （2）解： （2）证：
{#{QQABCQyUgggIAAAAABgCAQFiCEKQkBACAAgGhAAAsAAACQFABAA=}#}

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