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2022-2023学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4. 一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，两个半圆半径分别为和，则该圆台的体积是( )
A. B. C. D.
5. 已知数列的通项公式为，则( )
A. B. C. D.
6. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. 已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，，若，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 对变量和的一组样本数据，，，进行回归分析，建立回归模型，则( )
A. 残差平方和越大，模型的拟合效果越好
B. 若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点
C. 用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
D. 若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系
10. 已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数最大值为
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图像关于直线对称
D. 函数的图像向右平移个单位可以得到函数的图像
11. 已知双曲线：和圆：，则( )
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的渐近线方程为
C. 当时，双曲线与圆没有公共点
D. 当时，双曲线与圆恰有两个公共点
12. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，，交于点，是棱上的动点，则( )
A. 存在点，使平面
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 点到平面的距离与点到平面的距离之和为定值
D. 存在点，使直线与所成的角为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为，则展开式中的常数项为 用数字作答
14. 已知，则______．
15. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为______ ．
16. 已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，为上一点，，，．
若，求外接圆的半径；
设，若，求面积．
18. 本小题分
已知正项数列的前项和为，．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，证明：．
19. 本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点．
求证：平面平面；
若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
20. 本小题分
某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩 合计
优秀 不优秀
数学成绩 优秀
不优秀
合计
根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值．
现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出人组成一个小组，从抽取的人里再随机抽取人参加数学竞赛，求这人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望．
附：．
21. 本小题分
已知椭圆的右焦点与抛物线：的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且．
求曲线和曲线的标准方程；
过的直线交曲线于、两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值．
22. 本小题分
已知函数，．
若的最大值是，求的值；
若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解；由，得，解得，
所以，
由，得，解得，
所以，
所以．
故选：．
先求出集合，，再求两集合的交集．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，得，
所以，
所以的共轭复数的虚部为．
故选：．
对化简求出复数，再求出其共轭复数，从而可求出的共轭复数的虚部．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
所以，
所以向量在向量方向上的投影向量为．
故选：．
先计算向量与向量的数量积，再代入投影向量公式中，即可得答案．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：如图所示，
圆台的母线长为，设上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，
由题意可得，，，
解得，；
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为．
故选：．
求出圆台的母线长，利用勾股定理求出圆台的高，再利用圆台的体积公式求解即可．
本题考查了圆台侧面展开图的理解与应用，以及圆台体积公式应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为数列的通项公式为，且的周期为，
可得
，
又因为，
所以．
故选：．
根据题意化简得到，结合计算规律，准确计算，即可求解．
本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用．
根据题意，分步进行分析：第一步将四门选修课程分为组，第二步将分好的三组安排在三年内选修，由分步乘法计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分步进行分析：
第一步将四门选修课程分为组，
若分为、、的三组，有种分组方法；
若分为、、的三组，有种分组方法；
若分为、、的三组，有种分组方法，
则一共有种分组方法；
第二步将分好的三组安排在三年内选修，有种情况，
则每位同学的不同选修方式有种．
故选B．

7.【答案】
【解析】解：由题意，设椭圆的右焦点为，连接，
则，
如图：
当点在位置时，取到最大值，
当点在位置时，取到最小值，
所以的取值范围是，即，
所以的最大值，最小值，
所以．
故选：．
利用椭圆的定义转化为的最值问题，数形结合即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用导数研究函数单调性及最值，解决本题的关键是从已知等式中构造函数并能灵活利用函数性，属于中档题．
由已知等式代入可得，然后结合对数性质及基本函数单调性可得，代入到所求式子后再次构造函数，结合导数研究单调性，进而可求．
【解答】
解：因为，，，，
所以，
所以，
即，
因为在上单调递增，
所以，
即，
所以，
则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，取得最大值．
故选D．
9.【答案】
【解析】
【分析】
利用残差平方和的含义判断选项A，由回归方程必过样本中心判断选项B，由相关系数的含义判断选项C，．
本题考查了残差平方和的含义、相关系数的含义的应用，回归方程必过样本中心的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
【解答】
解：因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故选项A错误；
因为回归方程必过样本中心，故选项B正确；
因为系数越接近，说明模型的拟合效果越好，故选项C错误；
由相关系数为负且接近，则和之间具有很强的负线性相关关系，故选项D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图像和性质，考查了函数思想的应用，属于一般题．
由题意利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，再利用正弦函数的图像和性质即可求解．
【解答】
解：因为，
所以，
当时，函数取得最大值，故A正确；
令，当，所以，
又在区间上不是单调函数，故B错误；
当时，，函数的图像不关于直线对称，故C错误；
函数的图像向右平移个单位得到函数，故D正确．
故选AD．

11.【答案】
【解析】解：由已知得，，则，所以双曲线的离心率，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，即，故B错误；
因为圆心到双曲线的渐近线的距离，
所以当时，圆与双曲线的渐近线相切，此时双曲线与圆没有公共点，故C正确；
当时，圆的方程为：，
联立，整理可得：，可得，可得，解得，
即双曲线与圆的交点和，即双曲线与圆恰有两个公共点，故D正确．
故选：．
根据双曲线方程求出离心率与渐近线方程，即可判断、，求出圆心到渐近线的距离，即可判断，设双曲线上的点的坐标为，表示出的距离，即可得到圆心到双曲线上的点的距离的最小值，从而判断．
本题主要考查双曲线的性质，双曲线与圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，
则，，，，，，
由是棱上的动点，设，，
，因为底面为正方形，故，
又底面，所以，
又，所以底面，所以当与重合时，
三棱锥体积取得最大且为，故B对；
当为中点时，是的中位线，所以，又平面，
平面，所以平面，故A正确；
点到平面的距离，点到平面的距离：
，
所以，故C正确；
，，若存在点，使直线与所成的角为，
则，化简得，无解，
故D错误；
故选：．
根据题意以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，利用向量法判断，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断选项．根据线面平行的判定定理判断即可求解，然后结合空间向量的结论考查点面距离和异面直线所成的角即可．
本题主要考查线面平行的证明，锥体体积的计算，点面距离的计算，异面直线所成的角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
13.【答案】
【解析】解：展开式中奇数项二项式系数和为，
所以，所以，所以，
故通项公式，
整理得，
令，
所以，
故常数项为．
故答案为：．
根据展开式中奇数项二项式系数和为，计算，再写出通项公式，求出常数项即可．
本题考查了二项式定理，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：已知，，
则，
故答案为：．
由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值．
本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设是图像上的一点，，
所以在点处的切线方程为，，
令，解得，
，所以，
，所以或此时为，，不符合题意，舍去，
所以，此时可化为，，
所以．
故答案为：．
由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案．
本题考查利用导数求函数的切线，方程思想，化归转化思想，属中档题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题涉及等差数列的前项和，涉及累加法，涉及数列的单调性，重点考查数列与不等式结合的恒成立问题．
根据已知条件利用累加法，结合等差数列求和公式得到，验证适合此公式，进而可得数列的通项公式，通过研究的正负得到数列是单调递减数列，即当时，取得最大值，进而问题转化为对任意恒成立，进而得到的取值范围．
【解答】
解：，，
当时，，，，，
累项相加，得：，
，
又当时，也满足上式，
数列的通项公式为，
，
则，
对于任意的恒成立，
数列是单调递减数列，又由前面得，
所以当时，取得最大值，
，
即对任意恒成立，即对任意恒成立，
，即实数的取值范围为．
故答案为．

17.【答案】解：由余弦定理，
解得；
又，
解得；
外接圆的半径为；
由，所以，
所以；
由，
得；
设，则，，
在中，
由余弦定理得，
解得；
所以，；
由正弦定理，
即，
解得；
所以，
即的面积为．
【解析】利用余弦定理求出的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径；
由题意，利用正弦、余弦定理求得的正弦值，再计算的面积．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．
18.【答案】解：，
当时，，
两式相减得，
整理得，
，
，
又当时，，解得，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
；
证明：由得，
，
，即，
．
【解析】利用计算整理，可得，再利用等差数列的通项公式得答案；
将变形得，利用裂项相消法可得，进一步观察可得证明结论．
本题考查了数列的递推关系以及裂项相消求和问题，属于中档题．
19.【答案】证明：因为平面，平面，
则，
因为，，
则，
故AC，
所以，
又，，平面，
则平面，
又平面，
故平面平面；
解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
设，
则，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
因为二面角的余弦值为，
所以，解得，
故，
所以，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】利用平面，得到，结合，可证明平面，由面面垂直的判定定理证明即可；
建立合适的空间直角坐标系，设，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式列式求解，求解的值，然后再利用线面角的计算公式求解即可．
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，二面角的应用以及线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
20.【答案】解：零假设：数学成绩与语文成绩无关，
据表中数据计算得：，
根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；
，
估计的值为；
按分层抽样，语文成绩优秀的人，语文成绩不优秀的人，
随机变量的所有可能取值为，，，，
则，，，，
的概率分布列为：
数学期望．
【解析】零假设后，计算的值与比较即可；
根据条件概率公式计算即可；
分层抽样后运用超几何分布求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
21.【答案】解：椭圆，
又，
所以椭圆，
抛物线：；
因为直线斜率不为，设为，
设，，
联立，得，
所以，
所以，
所以，
，，
设四边形的面积为，
则，
令，再令，
易知在单调递增，
所以时，，
此时取得最小值，所以．
【解析】根据离心率以及抛物线的焦半径即可求解，，进而可根据，， 的关系求解，
联立直线与抛物线的方程得韦达定理，根据弦长公式求解弦长，进而根据向量共线得面积的关系为，结合对勾函数的性质即可求解最值．
本题考查有的几何性质，抛物线的几何性质，直线与椭圆的位置关系，函数思想，属中档题．
22.【答案】解：的定义域是，，
若，，在定义域内单调递增，无最大值，
若，，，单调递增，
，，单调递减，
当时，取最大值，
故；
原式恒成立即在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
设，则，
在递增且，，
故有唯一零点且，
即，
两边取对数得，
易知是增函数，
，即，由知，
在递增，在递减，
，
，
，
故的取值范围是．
【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，属于较难题．
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的方程，解出的值即可；
问题转化为在上恒成立，设，根据函数的单调性求出的最大值，求出的范围即可．
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