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2023年秋五四制鲁教版数学九年级上册期中模拟试题
满分120分,限时100分钟
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.把△ABC三边的长度都缩小为原来的,则锐角A的正弦值 (　　)
A.不变　　　　　　　　 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的3倍　　　　　　　　D.不能确定
2.点(-sin 60°,cos 30°)关于y轴对称的点的坐标是 (　　)
A.
C.
3.函数y=(m+1)·是关于x的反比例函数,则m的值为 (　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.-2
4.已知灯泡两端的电压U为220 V,通过灯泡的电流I不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为R,下列说法正确的是 (　　)
A.R至少为2 000 Ω　　　　　　　　B.R至多为2 000 Ω
C.R至少为24.2 Ω　　　　　　　　 D.R至多为24.2 Ω
5.如图,在4×4正方形网格中,每个小正方形的边长为1,若△ABC的顶点均是格点,则cos∠BAC的值是 (　　)
A.
6.如图,直线AB交x轴于点C,交反比例函数y=(a>1)的图象于A、B两点,过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,若S△BCD=5,则a的值为 (　　)
A.8　　　　B.9　　　　C.10　　　　D.11
7.某商场准备提高原有楼梯的安全性能,把坡角由37°减至30°,已知原楼梯长为5米,则调整后的楼梯会加长 (　　)
参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈
A.6米　　　　B.3米　　　　C.2米　　　　D.1米
8.图1是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB
=α,则OC2的值为 (　　)
A.+1　　　　　B.sin2α+1　　　　 C.+1　　　　　D.cos2α+1
9.如图,点A,B在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,BE⊥y轴于点E,连接AE.若OE=1,OC=OD,AC=AE,则k的值为 (　　)
A.2　　　　B.
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE是斜边AB上的中线,过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC=4,△AEF的面积为5,则sin∠CEF的值为 (　　)
A.
11.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AC=6,AB∥CD,AC平分∠DAB.设AB=x,AD=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为 (　　)
　　　　 A　　　 　 　　　　B
　　　　 C　　　 　　　　　D
12.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上,OC边在y轴的正半轴上,点B的坐标为(4,2),反比例函数y=(x>0)的图象与BC交于点D,与对角线OB交于点E,与AB交于点F,连接OD,DE,EF,DF.则下列结论:
①sin∠DOC=cos∠BOC;②OE=BE;③S△DOE=S△BEF;④OD∶DF=2∶3,其中正确的有(　　)
A.4个　　　　B.3个　　　　C.2个　　　　D.1个
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.一条上山直道的坡度为1∶7,沿这条直道上山,每前进100米所上升的高度为　　　　米.
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,AD=BC=5,
cos∠ADC=,则tan B的值是　　　　.
15.点(2a-1,y1),(a,y2)在反比例函数y=(k>0)的图象上,若016.如图,点A(a,b)是反比例函数y=(k<0,x<0)图象上的一点,若OA=,-a+b=4,则k的值为　　　　.
17.如图,在矩形ABCD中,E为AD上的点,AE=AB,BE=DE,
则tan∠BDE=　　　　.
18.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的负半轴上,点B在y轴的负半轴上,tan∠ABO=3,以AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=,则图象经过点D的反比例函数的解析式是　　　　.
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
19.(8分)
(1)计算:-4cos 30°+2 0220;
(2)已知0°<α<75°,sin(α+15°)=,计算的值.
20.(7分)如图,正比例函数y=-
(k≠0)的图象都经过点A(a,2).
(1)求点A的坐标和反比例函数的表达式;
(2)若点P(m,n)在该反比例函数的图象上,且它到y轴的距离小于3,请根据图象直接写出n的取值范围.
21.(9分)开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的,拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁DC的高度,如图,在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°,沿AC方向前进15 m到达B处,又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5 m,测量点A,B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上,求拂云阁DC的高度(结果精确到1 m.参考数据:sin 34°≈0.56,cos 34°≈0.83,
tan 34°≈0.67).
22.(10分)通过实验研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化,上课开始时,学生兴趣激增,中间一段时间,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示,当0≤x<10和10≤x<20时,图象是直线的一部分;当20≤x≤45时,图象是反比例函数图象的一部分.
(1)求点A对应的注意力指标;
(2)张老师在某节课上讲解一道数学综合题需要17分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于36 请说明理由.
23.(10分)如图,B港口在A港口的南偏西25°方向,距离A港口100海里处.一艘货轮航行到C处,发现A港口在货轮的北偏西25°方向,B港口在货轮的北偏西70°方向.求此时货轮与A港口的距离.(结果取整数,参考数据:sin 50°≈0.766,
cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192,≈1.414)
24.(10分)如图,点P为函数y=(x>0)图象的交点,点P的纵坐标为4,PB⊥x轴,垂足为点B.
(1)求m的值;
(2)点M是函数y=(x>0)图象上一动点,过点M作MD⊥BP于点D,若tan∠PMD=,求点M的坐标.
25.(12分)如图,避风港M在岛礁P正东方向.一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在北偏东45°方向,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东22°方向,渔船距离避风港250海里.求此时避风港约在渔船的什么方向.
(参考数据表)
计算器按键顺序 计算结果(近似值)
0.40
0.37
0.93
31
37
53
答案全解全析
一、选择题
1.答案　A　将△ABC三边的长度都缩小为原来的后,所得的三角形与原三角形相似,
所以锐角A的大小不变,所以锐角A的正弦值也不变.故选A.
2.答案　C　∵-sin 60°=-,cos 30°=,
∴点(-sin 60°,cos 30°)关于y轴对称的点的坐标是.故选C.
3.答案　C　∵函数y=(m+1)·是关于x的反比例函数,
∴解得m=2.
4.答案　A　∵I=,电压U为220 V,∴I=.
∵通过灯泡的电流I不得超过0.11 A,
∴≤0.11.∴R≥2 000 Ω.故选A.
5.答案　C　取格点D,连接BD,CD,如图.
由网格的特点易知A,C,D三点在同一直线上,
∵AD2=20,BD2=5,AB2=25,
∴AD2+BD2=AB2.∴∠ADB=90°.
∴cos∠BAC=,故选C.
6.答案　D　解法一:设坐标法.
设点B的坐标为,
∵S△BCD=5,且m>0,
∴=5,
解得a=11.故选D.
解法二:利用比例系数的几何意义求解.
如图,连接OB,
∵BD⊥y轴,∴BD∥x轴,∴S△OBD=S△CBD=5,
根据反比例函数比例系数的几何意义知,|a-1|=2S△OBD=10,
∵a>1,∴a-1>0,∴a-1=10,∴a=11.
7.答案　D　如图,
在Rt△BAD中,AB=5米,∠BAD=37°,
∴BD=AB·sin∠BAD≈5×=3米.
在Rt△BCD中,∠C=30°,∴BC=2BD=6米.则调整后的楼梯会加长6-5=1米,故选D.
8.答案　A　∵AB=BC=1,在Rt△OAB中,sin α=,∴OB=.在Rt△OBC中,OB2+BC2=OC2,∴OC2=+1.故选A.
9.答案　B　如图,设AC,BE交于点F.
把y=1代入y=得,x=k,∴B(k,1).∴OD=k.
∵OC=OD,∴EF=OC=k.
把x=得,y=,∴AE=AC=,
∴AF=.在Rt△AEF中,AE2=EF2+AF2,
∴,解得k=±.
∵k>0,∴k=.故选B.
10.答案　A　如图,连接BF,过点C作CM⊥EF,交EF的延长线于点M.
∵CE是斜边AB上的中线,EF⊥AB,
∴直线EF是线段AB的垂直平分线.
∴S△AFE=S△BFE=5.∴S△AFB=10.
又S△AFB=AF·BC,BC=4,∴AF=5.∴BF=5.
在Rt△BCF中,BC=4,BF=5,∴CF==3.
∵CM⊥EF,EF⊥AB,∴∠M=∠AEF.
又∠CFM=∠AFE,∴△CFM∽△AFE.
∴.故选A.
11.答案　D　本题属于由动点产生的函数图象问题.
∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∵AC平分∠DAB,
∴∠BAC=∠CAD,∴∠ACD=∠CAD,
则CD=AD=y,即△ACD为等腰三角形,如图,过点D作DE⊥AC于点E,
则∠AED=90°,DE垂直平分AC,∴AE=CE=AC=3,
∵∠BAC=∠CAD,∠B=∠AED=90°,∴△ABC∽△AED,∴,∴,∴y=,
∵在Rt△ABC中,AB12.答案　A　①矩形OABC中,∵B(4,2),∴BC=OA=4,AB=OC=2.
由勾股定理得OB=
(x>0)中,当y=2时,2=,解得x=1.∴D(1,2).∴CD=1.
由勾股定理得OD=,∴sin∠DOC=cos∠BOC,
故①中结论正确.
②设OB的解析式为y=kx(k≠0),把(4,2)代入,得2=4k,解得k=
时,x=±2.∴E(2,1).∴E是OB的中点,即OE=BE,故②中结论正确.
③在y=(x>0)中,当x=4时,y=×(4-2)=
,
∴S△DOE=S△BEF,故③中结论正确.
④由勾股定理得DF=,∴,即OD∶DF=2∶3,
故④中结论正确.∴正确的结论是①②③④,共4个,故选A.
二、填空题
13.答案　10
解析　设每前进100米所上升的高度为x米,∵上山直道的坡度为1∶7,
∴前进的水平距离为7x米,由勾股定理得x2+(7x)2=1002,解得x1=10,x2=-10(舍去).
故填10.
14.答案　
解析　∵∠C=90°,∴cos∠ADC=.
∵AD=BC=5,∴DC=3.
在Rt△ADC中,由勾股定理得AC==4.
∴tan B=.
15.答案　a>1
解析　∵k>0,
∴反比例函数y=的图象在第一、三象限,且在每个象限内,y随x的增大而减小.
∵0∴2a-1>a>0,解得a>1.
16.答案　-3
解析　因为点A(a,b)是反比例函数y=(k<0,x<0)图象上的一点,OA=,-a+b=4,
所以OA2=a2+b2=10,所以(-a+b)2+2ab=42+2ab=10,所以ab=-3,即k=-3.
17.答案　-1
解析　∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.
设AB=a,则AE=AB=a,∴BE=a,
∵BE=DE,∴AD=AE+DE=(+1)a.
在Rt△ABD中,tan∠BDE=-1,
故填-1.
18.答案　y=-
解析　如图,过点C作CT⊥y轴于点T,过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H.
∵tan∠ABO==3,
∴设OB=a,OA=3a.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠AOB=∠BTC=90°.
∴∠ABO+∠CBT=90°,∠CBT+∠BCT=90°.
∴∠ABO=∠BCT.
∴△AOB≌△BTC(AAS).
∴BT=OA=3a,TC=OB=a.
∴OT=BT-OB=2a.
∴C的坐标为(a,2a).
∵点C在y=的图象上,∴2a2=1.
同理可证△CHD≌△BTC,
∴DH=CT=a,CH=BT=3a.
∴D的坐标为(-2a,3a).
∵-2a×3a=-6a2=-3,
∴图象经过点D的反比例函数的解析式是y=-.
故填y=-.
三、解答题
19.解析　(1)-4cos 30°+2 0220
=|1-+1 2分
=. 4分
(2)∵sin 60°=,sin(α+15°)=,
∴α+15°=60°,解得α=45°. 5分
∴
=2+1+3=4. 8分
20.解析　(1)把A(a,2)代入y=-x,得2=-a,
解得a=-3.
∴A(-3,2). 2分
把A(-3,2)代入y=,得2=,
解得k=-6.
∴反比例函数的表达式为y=-. 4分
(2)n>2或n<-2. 7分
21.解析　如图,延长EF交DC于点H,
由题意可知,EH⊥DC.
设DH=x m,
在Rt△DHF中,∠DFH=45°,
∴FH=DH=x m. 4分
在Rt△DHE中,∠DEH=34°,
∴EH= m.
∵EF=AB=15 m,∴EH-FH=15 m,∴-x≈15, 7分
解得x≈30.5.
∴DC=30.5+1.5=32(m).
答:拂云阁DC的高度约为32 m. 9分
22.解析　(1)设当20≤x≤45时,反比例函数的表达式为y=(k≠0),将C(20,45)代入,得45=,解得k=900.
∴反比例函数的表达式为y=.
当x=45时,y==20,∴D的坐标为(45,20),
∴A的坐标为(0,20),即点A对应的注意力指标为20. 4分
(2)能.理由如下:设直线AB的表达式为y=mx+n(m≠0),将A(0,20),B(10,45)代入,
得
∴当0≤x<10时,y关于x的表达式为y=x+20.
当y≥36时,x+20≥36,解得x≥6.4. 7分
由(1)得反比例函数的表达式为y=,
当y≥36时,≥36,解得x≤25.
∴当6.4≤x≤25时,注意力指标都不低于36.
∵25-6.4=18.6分钟>17分钟,
∴张老师能经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于36.
10分
23.解析　如图,过点B作BD⊥AC,垂足为D. 2分
由题意得∠BAC=25°+25°=50°,∠BCA=70°-25°=45°.
在Rt△ABD中,AB=100海里,
∴AD= AB·cos∠BAC=AB·cos 50°≈100×0.643=64.3(海里),
BD=AB·sin∠BAC=AB·sin 50°≈100×0.766=76.6(海里). 6分
在Rt△BDC中,CD==76.6(海里),
∴AC=AD+CD=64.3+76.6≈141(海里).
∴此时货轮与A港口的距离约为141海里. 10分
24.解析　(1)∵点P的纵坐标为4,且点P在函数y=x+1的图象上,∴4=x+1,解得x=6,
∴P(6,4).
∵点P在函数y=(x>0)的图象上,∴4=,
∴m=24. 3分
(2)∵tan∠PMD=,∴,
设PD=t(t>0),则DM=2t,
当点M在点P的右侧时,点M的坐标为(6+2t,4-t),
∴(6+2t)(4-t)=24,
解得t1=1,t2=0(舍去), 7分
∴点M的坐标为(8,3);
当点M在点P的左侧时,点M的坐标为(6-2t,4+t),
∴(6-2t)(4+t)=24,
解得t3=0(舍去),t4=-1(舍去).
综上,点M的坐标为(8,3). 10分
25.解析　如图,过点P,M分别作PC⊥AB,MD⊥AB,分别交AB的延长线于点C,D,
则四边形PCDM为矩形,∴PC=MD. 3分
由题意知AB=60×1.5=90海里.
设PC=x海里,则AC=PC=x海里.
在Rt△BPC中,BC=PC·tan 22°≈0.40x=0.4x海里.
∵AC-BC=AB,∴x-0.4x=90,解得x=150.
∴MD=150海里. 8分
在Rt△BMD中,cos∠BMD==0.6,
∴∠BMD≈53°.
∴此时避风港约在渔船的北偏东53°方向. 12分
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